MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metuel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metuel 24466
Description: Elementhood in the uniform structure generated by a metric 𝐷 (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Dec-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
metuel ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) β†’ (𝑉 ∈ (metUnifβ€˜π·) ↔ (𝑉 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ βˆƒπ‘€ ∈ ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))𝑀 βŠ† 𝑉)))
Distinct variable groups:   𝑀,π‘Ž,𝐷   𝑋,π‘Ž   𝑀,𝑉
Allowed substitution hints:   𝑉(π‘Ž)   𝑋(𝑀)

Proof of Theorem metuel
Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metuval 24451 . . . 4 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ (metUnifβ€˜π·) = ((𝑋 Γ— 𝑋)filGenran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))))
21adantl 481 . . 3 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) β†’ (metUnifβ€˜π·) = ((𝑋 Γ— 𝑋)filGenran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))))
32eleq2d 2815 . 2 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) β†’ (𝑉 ∈ (metUnifβ€˜π·) ↔ 𝑉 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGenran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))))))
4 oveq2 7422 . . . . . . 7 (π‘Ž = 𝑒 β†’ (0[,)π‘Ž) = (0[,)𝑒))
54imaeq2d 6057 . . . . . 6 (π‘Ž = 𝑒 β†’ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑒)))
65cbvmptv 5255 . . . . 5 (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))) = (𝑒 ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑒)))
76rneqi 5933 . . . 4 ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))) = ran (𝑒 ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑒)))
87metustfbas 24459 . . 3 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) β†’ ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))) ∈ (fBasβ€˜(𝑋 Γ— 𝑋)))
9 elfg 23768 . . 3 (ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))) ∈ (fBasβ€˜(𝑋 Γ— 𝑋)) β†’ (𝑉 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGenran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))) ↔ (𝑉 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ βˆƒπ‘€ ∈ ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))𝑀 βŠ† 𝑉)))
108, 9syl 17 . 2 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) β†’ (𝑉 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGenran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))) ↔ (𝑉 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ βˆƒπ‘€ ∈ ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))𝑀 βŠ† 𝑉)))
113, 10bitrd 279 1 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) β†’ (𝑉 ∈ (metUnifβ€˜π·) ↔ (𝑉 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ βˆƒπ‘€ ∈ ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))𝑀 βŠ† 𝑉)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2936  βˆƒwrex 3066   βŠ† wss 3945  βˆ…c0 4318   ↦ cmpt 5225   Γ— cxp 5670  β—‘ccnv 5671  ran crn 5673   β€œ cima 5675  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  0cc0 11132  β„+crp 13000  [,)cico 13352  PsMetcpsmet 21256  fBascfbas 21260  filGencfg 21261  metUnifcmetu 21263
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-er 8718  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-rp 13001  df-ico 13356  df-psmet 21264  df-fbas 21269  df-fg 21270  df-metu 21271
This theorem is referenced by:  metuel2  24467  metustbl  24468  restmetu  24472
  Copyright terms: Public domain W3C validator