Theorem metuel 24397

Description: Elementhood in the uniform structure generated by a metric 𝐷 (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Dec-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Feb-2018.)

Assertion

Ref	Expression
metuel	⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → (𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷) ↔ (𝑉 ⊆ (𝑋 × 𝑋) ∧ ∃𝑤 ∈ ran (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (◡𝐷 “ (0[,)𝑎)))𝑤 ⊆ 𝑉)))

Distinct variable groups:   𝑤,𝑎,𝐷   𝑋,𝑎   𝑤,𝑉

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑎)   𝑋(𝑤)

Proof of Theorem metuel

Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metuval 24382	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → (metUnif‘𝐷) = ((𝑋 × 𝑋)filGenran (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (◡𝐷 “ (0[,)𝑎)))))
2	1	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → (metUnif‘𝐷) = ((𝑋 × 𝑋)filGenran (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (◡𝐷 “ (0[,)𝑎)))))
3	2	eleq2d 2811	. 2 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → (𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷) ↔ 𝑉 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGenran (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (◡𝐷 “ (0[,)𝑎))))))
4		oveq2 7410	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑒 → (0[,)𝑎) = (0[,)𝑒))
5	4	imaeq2d 6050	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑒 → (◡𝐷 “ (0[,)𝑎)) = (◡𝐷 “ (0[,)𝑒)))
6	5	cbvmptv 5252	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (◡𝐷 “ (0[,)𝑎))) = (𝑒 ∈ ℝ+ ↦ (◡𝐷 “ (0[,)𝑒)))
7	6	rneqi 5927	. . . 4 ⊢ ran (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (◡𝐷 “ (0[,)𝑎))) = ran (𝑒 ∈ ℝ+ ↦ (◡𝐷 “ (0[,)𝑒)))
8	7	metustfbas 24390	. . 3 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → ran (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (◡𝐷 “ (0[,)𝑎))) ∈ (fBas‘(𝑋 × 𝑋)))
9		elfg 23699	. . 3 ⊢ (ran (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (◡𝐷 “ (0[,)𝑎))) ∈ (fBas‘(𝑋 × 𝑋)) → (𝑉 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGenran (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (◡𝐷 “ (0[,)𝑎)))) ↔ (𝑉 ⊆ (𝑋 × 𝑋) ∧ ∃𝑤 ∈ ran (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (◡𝐷 “ (0[,)𝑎)))𝑤 ⊆ 𝑉)))
10	8, 9	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → (𝑉 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGenran (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (◡𝐷 “ (0[,)𝑎)))) ↔ (𝑉 ⊆ (𝑋 × 𝑋) ∧ ∃𝑤 ∈ ran (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (◡𝐷 “ (0[,)𝑎)))𝑤 ⊆ 𝑉)))
11	3, 10	bitrd 279	1 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → (𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷) ↔ (𝑉 ⊆ (𝑋 × 𝑋) ∧ ∃𝑤 ∈ ran (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (◡𝐷 “ (0[,)𝑎)))𝑤 ⊆ 𝑉)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2932  ∃wrex 3062   ⊆ wss 3941  ∅c0 4315   ↦ cmpt 5222   × cxp 5665  ^◡ccnv 5666  ran crn 5668   “ cima 5670  ‘cfv 6534  (class class class)co 7402  0cc0 11107  ℝ⁺crp 12972  [,)cico 13324  PsMetcpsmet 21214  fBascfbas 21218  filGencfg 21219  metUnifcmetu 21221

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-po 5579  df-so 5580  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-rp 12973  df-ico 13328  df-psmet 21222  df-fbas 21227  df-fg 21228  df-metu 21229

This theorem is referenced by:  metuel2  24398  metustbl  24399  restmetu  24403