MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metuust Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metuust 24487
Description: The uniform structure generated by metric 𝐷 is a uniform structure. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Dec-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
metuust ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) β†’ (metUnifβ€˜π·) ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹))

Proof of Theorem metuust
Dummy variables π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metuval 24476 . . 3 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ (metUnifβ€˜π·) = ((𝑋 Γ— 𝑋)filGenran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))))
21adantl 480 . 2 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) β†’ (metUnifβ€˜π·) = ((𝑋 Γ— 𝑋)filGenran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))))
3 oveq2 7432 . . . . . 6 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (0[,)π‘Ž) = (0[,)𝑏))
43imaeq2d 6066 . . . . 5 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)))
54cbvmptv 5263 . . . 4 (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))) = (𝑏 ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)))
65rneqi 5941 . . 3 ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))) = ran (𝑏 ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)))
76metust 24485 . 2 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) β†’ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGenran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))) ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹))
82, 7eqeltrd 2828 1 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) β†’ (metUnifβ€˜π·) ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2936  βˆ…c0 4324   ↦ cmpt 5233   Γ— cxp 5678  β—‘ccnv 5679  ran crn 5681   β€œ cima 5683  β€˜cfv 6551  (class class class)co 7424  0cc0 11144  β„+crp 13012  [,)cico 13364  PsMetcpsmet 21268  filGencfg 21273  metUnifcmetu 21275  UnifOncust 24122
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-er 8729  df-map 8851  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-div 11908  df-2 12311  df-rp 13013  df-xneg 13130  df-xadd 13131  df-xmul 13132  df-ico 13368  df-psmet 21276  df-fbas 21281  df-fg 21282  df-metu 21283  df-fil 23768  df-ust 24123
This theorem is referenced by:  psmetutop  24494  xmsusp  24496  cmetcusp  25300  cnflduss  25302
  Copyright terms: Public domain W3C validator