MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  txmetcn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem txmetcn 22573
Description: Continuity of a binary operation on metric spaces. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
metcn.2 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
metcn.4 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)
txmetcnp.4 𝐿 = (MetOpen‘𝐸)
Assertion
Ref Expression
txmetcn ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) → (𝐹 ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝐿) ↔ (𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍 ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑌𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+𝑢𝑋𝑣𝑌 (((𝑥𝐶𝑢) < 𝑤 ∧ (𝑦𝐷𝑣) < 𝑤) → ((𝑥𝐹𝑦)𝐸(𝑢𝐹𝑣)) < 𝑧))))
Distinct variable groups:   𝑣,𝑢,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧,𝐹   𝑢,𝐽,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢,𝐾,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢,𝑋,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢,𝑌,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢,𝑍,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢,𝐶,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢,𝐷,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢,𝐸,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝐿,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐿(𝑣,𝑢)

Proof of Theorem txmetcn
Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metcn.2 . . . . . 6 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
21mopntopon 22464 . . . . 5 (𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
3 metcn.4 . . . . . 6 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)
43mopntopon 22464 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
5 txtopon 21615 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌)) → (𝐽 ×t 𝐾) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)))
62, 4, 5syl2an 583 . . . 4 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) → (𝐽 ×t 𝐾) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)))
763adant3 1126 . . 3 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) → (𝐽 ×t 𝐾) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)))
8 txmetcnp.4 . . . . 5 𝐿 = (MetOpen‘𝐸)
98mopntopon 22464 . . . 4 (𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍) → 𝐿 ∈ (TopOn‘𝑍))
1093ad2ant3 1129 . . 3 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) → 𝐿 ∈ (TopOn‘𝑍))
11 cncnp 21305 . . 3 (((𝐽 ×t 𝐾) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)) ∧ 𝐿 ∈ (TopOn‘𝑍)) → (𝐹 ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝐿) ↔ (𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑋 × 𝑌)𝐹 ∈ (((𝐽 ×t 𝐾) CnP 𝐿)‘𝑡))))
127, 10, 11syl2anc 573 . 2 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) → (𝐹 ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝐿) ↔ (𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑋 × 𝑌)𝐹 ∈ (((𝐽 ×t 𝐾) CnP 𝐿)‘𝑡))))
13 fveq2 6333 . . . . . 6 (𝑡 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (((𝐽 ×t 𝐾) CnP 𝐿)‘𝑡) = (((𝐽 ×t 𝐾) CnP 𝐿)‘⟨𝑥, 𝑦⟩))
1413eleq2d 2836 . . . . 5 (𝑡 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (𝐹 ∈ (((𝐽 ×t 𝐾) CnP 𝐿)‘𝑡) ↔ 𝐹 ∈ (((𝐽 ×t 𝐾) CnP 𝐿)‘⟨𝑥, 𝑦⟩)))
1514ralxp 5401 . . . 4 (∀𝑡 ∈ (𝑋 × 𝑌)𝐹 ∈ (((𝐽 ×t 𝐾) CnP 𝐿)‘𝑡) ↔ ∀𝑥𝑋𝑦𝑌 𝐹 ∈ (((𝐽 ×t 𝐾) CnP 𝐿)‘⟨𝑥, 𝑦⟩))
161, 3, 8txmetcnp 22572 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑌)) → (𝐹 ∈ (((𝐽 ×t 𝐾) CnP 𝐿)‘⟨𝑥, 𝑦⟩) ↔ (𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+𝑢𝑋𝑣𝑌 (((𝑥𝐶𝑢) < 𝑤 ∧ (𝑦𝐷𝑣) < 𝑤) → ((𝑥𝐹𝑦)𝐸(𝑢𝐹𝑣)) < 𝑧))))
1716adantlr 694 . . . . . 6 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑌)) → (𝐹 ∈ (((𝐽 ×t 𝐾) CnP 𝐿)‘⟨𝑥, 𝑦⟩) ↔ (𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+𝑢𝑋𝑣𝑌 (((𝑥𝐶𝑢) < 𝑤 ∧ (𝑦𝐷𝑣) < 𝑤) → ((𝑥𝐹𝑦)𝐸(𝑢𝐹𝑣)) < 𝑧))))
18 simplr 752 . . . . . . 7 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑌)) → 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍)
1918biantrurd 522 . . . . . 6 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑌)) → (∀𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+𝑢𝑋𝑣𝑌 (((𝑥𝐶𝑢) < 𝑤 ∧ (𝑦𝐷𝑣) < 𝑤) → ((𝑥𝐹𝑦)𝐸(𝑢𝐹𝑣)) < 𝑧) ↔ (𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+𝑢𝑋𝑣𝑌 (((𝑥𝐶𝑢) < 𝑤 ∧ (𝑦𝐷𝑣) < 𝑤) → ((𝑥𝐹𝑦)𝐸(𝑢𝐹𝑣)) < 𝑧))))
2017, 19bitr4d 271 . . . . 5 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑌)) → (𝐹 ∈ (((𝐽 ×t 𝐾) CnP 𝐿)‘⟨𝑥, 𝑦⟩) ↔ ∀𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+𝑢𝑋𝑣𝑌 (((𝑥𝐶𝑢) < 𝑤 ∧ (𝑦𝐷𝑣) < 𝑤) → ((𝑥𝐹𝑦)𝐸(𝑢𝐹𝑣)) < 𝑧)))
21202ralbidva 3137 . . . 4 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍) → (∀𝑥𝑋𝑦𝑌 𝐹 ∈ (((𝐽 ×t 𝐾) CnP 𝐿)‘⟨𝑥, 𝑦⟩) ↔ ∀𝑥𝑋𝑦𝑌𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+𝑢𝑋𝑣𝑌 (((𝑥𝐶𝑢) < 𝑤 ∧ (𝑦𝐷𝑣) < 𝑤) → ((𝑥𝐹𝑦)𝐸(𝑢𝐹𝑣)) < 𝑧)))
2215, 21syl5bb 272 . . 3 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍) → (∀𝑡 ∈ (𝑋 × 𝑌)𝐹 ∈ (((𝐽 ×t 𝐾) CnP 𝐿)‘𝑡) ↔ ∀𝑥𝑋𝑦𝑌𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+𝑢𝑋𝑣𝑌 (((𝑥𝐶𝑢) < 𝑤 ∧ (𝑦𝐷𝑣) < 𝑤) → ((𝑥𝐹𝑦)𝐸(𝑢𝐹𝑣)) < 𝑧)))
2322pm5.32da 568 . 2 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) → ((𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑋 × 𝑌)𝐹 ∈ (((𝐽 ×t 𝐾) CnP 𝐿)‘𝑡)) ↔ (𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍 ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑌𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+𝑢𝑋𝑣𝑌 (((𝑥𝐶𝑢) < 𝑤 ∧ (𝑦𝐷𝑣) < 𝑤) → ((𝑥𝐹𝑦)𝐸(𝑢𝐹𝑣)) < 𝑧))))
2412, 23bitrd 268 1 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) → (𝐹 ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝐿) ↔ (𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍 ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑌𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+𝑢𝑋𝑣𝑌 (((𝑥𝐶𝑢) < 𝑤 ∧ (𝑦𝐷𝑣) < 𝑤) → ((𝑥𝐹𝑦)𝐸(𝑢𝐹𝑣)) < 𝑧))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061  wrex 3062  cop 4323   class class class wbr 4787   × cxp 5248  wf 6026  cfv 6030  (class class class)co 6796   < clt 10280  +crp 12035  ∞Metcxmt 19946  MetOpencmopn 19951  TopOnctopon 20935   Cn ccn 21249   CnP ccnp 21250   ×t ctx 21584
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-inf2 8706  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-pre-sup 10220
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-iin 4658  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-of 7048  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-supp 7451  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-2o 7718  df-oadd 7721  df-er 7900  df-map 8015  df-ixp 8067  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-fsupp 8436  df-fi 8477  df-sup 8508  df-inf 8509  df-oi 8575  df-card 8969  df-cda 9196  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-4 11287  df-5 11288  df-6 11289  df-7 11290  df-8 11291  df-9 11292  df-n0 11500  df-z 11585  df-dec 11701  df-uz 11894  df-q 11997  df-rp 12036  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-icc 12387  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-hash 13322  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-hom 16174  df-cco 16175  df-rest 16291  df-topn 16292  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-topgen 16312  df-pt 16313  df-prds 16316  df-xrs 16370  df-qtop 16375  df-imas 16376  df-xps 16378  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-mulg 17749  df-cntz 17957  df-cmn 18402  df-psmet 19953  df-xmet 19954  df-bl 19956  df-mopn 19957  df-top 20919  df-topon 20936  df-topsp 20958  df-bases 20971  df-cn 21252  df-cnp 21253  df-tx 21586  df-hmeo 21779  df-xms 22345  df-tms 22347
This theorem is referenced by:  ngptgp  22660  nlmvscn  22711  xmetdcn2  22860  addcnlem  22887  ipcn  23264  vacn  27889  smcnlem  27892
  Copyright terms: Public domain W3C validator