MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  txmetcn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem txmetcn 24561
Description: Continuity of a binary operation on metric spaces. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
metcn.2 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
metcn.4 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)
txmetcnp.4 𝐿 = (MetOpen‘𝐸)
Assertion
Ref Expression
txmetcn ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) → (𝐹 ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝐿) ↔ (𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍 ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑌𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+𝑢𝑋𝑣𝑌 (((𝑥𝐶𝑢) < 𝑤 ∧ (𝑦𝐷𝑣) < 𝑤) → ((𝑥𝐹𝑦)𝐸(𝑢𝐹𝑣)) < 𝑧))))
Distinct variable groups:   𝑣,𝑢,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧,𝐹   𝑢,𝐽,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢,𝐾,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢,𝑋,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢,𝑌,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢,𝑍,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢,𝐶,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢,𝐷,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢,𝐸,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝐿,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐿(𝑣,𝑢)

Proof of Theorem txmetcn
Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metcn.2 . . . . . 6 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
21mopntopon 24449 . . . . 5 (𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
3 metcn.4 . . . . . 6 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)
43mopntopon 24449 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
5 txtopon 23599 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌)) → (𝐽 ×t 𝐾) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)))
62, 4, 5syl2an 596 . . . 4 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) → (𝐽 ×t 𝐾) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)))
763adant3 1133 . . 3 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) → (𝐽 ×t 𝐾) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)))
8 txmetcnp.4 . . . . 5 𝐿 = (MetOpen‘𝐸)
98mopntopon 24449 . . . 4 (𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍) → 𝐿 ∈ (TopOn‘𝑍))
1093ad2ant3 1136 . . 3 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) → 𝐿 ∈ (TopOn‘𝑍))
11 cncnp 23288 . . 3 (((𝐽 ×t 𝐾) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)) ∧ 𝐿 ∈ (TopOn‘𝑍)) → (𝐹 ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝐿) ↔ (𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑋 × 𝑌)𝐹 ∈ (((𝐽 ×t 𝐾) CnP 𝐿)‘𝑡))))
127, 10, 11syl2anc 584 . 2 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) → (𝐹 ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝐿) ↔ (𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑋 × 𝑌)𝐹 ∈ (((𝐽 ×t 𝐾) CnP 𝐿)‘𝑡))))
13 fveq2 6906 . . . . . 6 (𝑡 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (((𝐽 ×t 𝐾) CnP 𝐿)‘𝑡) = (((𝐽 ×t 𝐾) CnP 𝐿)‘⟨𝑥, 𝑦⟩))
1413eleq2d 2827 . . . . 5 (𝑡 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (𝐹 ∈ (((𝐽 ×t 𝐾) CnP 𝐿)‘𝑡) ↔ 𝐹 ∈ (((𝐽 ×t 𝐾) CnP 𝐿)‘⟨𝑥, 𝑦⟩)))
1514ralxp 5852 . . . 4 (∀𝑡 ∈ (𝑋 × 𝑌)𝐹 ∈ (((𝐽 ×t 𝐾) CnP 𝐿)‘𝑡) ↔ ∀𝑥𝑋𝑦𝑌 𝐹 ∈ (((𝐽 ×t 𝐾) CnP 𝐿)‘⟨𝑥, 𝑦⟩))
16 simplr 769 . . . . . 6 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑌)) → 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍)
171, 3, 8txmetcnp 24560 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑌)) → (𝐹 ∈ (((𝐽 ×t 𝐾) CnP 𝐿)‘⟨𝑥, 𝑦⟩) ↔ (𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+𝑢𝑋𝑣𝑌 (((𝑥𝐶𝑢) < 𝑤 ∧ (𝑦𝐷𝑣) < 𝑤) → ((𝑥𝐹𝑦)𝐸(𝑢𝐹𝑣)) < 𝑧))))
1817adantlr 715 . . . . . 6 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑌)) → (𝐹 ∈ (((𝐽 ×t 𝐾) CnP 𝐿)‘⟨𝑥, 𝑦⟩) ↔ (𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+𝑢𝑋𝑣𝑌 (((𝑥𝐶𝑢) < 𝑤 ∧ (𝑦𝐷𝑣) < 𝑤) → ((𝑥𝐹𝑦)𝐸(𝑢𝐹𝑣)) < 𝑧))))
1916, 18mpbirand 707 . . . . 5 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑌)) → (𝐹 ∈ (((𝐽 ×t 𝐾) CnP 𝐿)‘⟨𝑥, 𝑦⟩) ↔ ∀𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+𝑢𝑋𝑣𝑌 (((𝑥𝐶𝑢) < 𝑤 ∧ (𝑦𝐷𝑣) < 𝑤) → ((𝑥𝐹𝑦)𝐸(𝑢𝐹𝑣)) < 𝑧)))
20192ralbidva 3219 . . . 4 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍) → (∀𝑥𝑋𝑦𝑌 𝐹 ∈ (((𝐽 ×t 𝐾) CnP 𝐿)‘⟨𝑥, 𝑦⟩) ↔ ∀𝑥𝑋𝑦𝑌𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+𝑢𝑋𝑣𝑌 (((𝑥𝐶𝑢) < 𝑤 ∧ (𝑦𝐷𝑣) < 𝑤) → ((𝑥𝐹𝑦)𝐸(𝑢𝐹𝑣)) < 𝑧)))
2115, 20bitrid 283 . . 3 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍) → (∀𝑡 ∈ (𝑋 × 𝑌)𝐹 ∈ (((𝐽 ×t 𝐾) CnP 𝐿)‘𝑡) ↔ ∀𝑥𝑋𝑦𝑌𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+𝑢𝑋𝑣𝑌 (((𝑥𝐶𝑢) < 𝑤 ∧ (𝑦𝐷𝑣) < 𝑤) → ((𝑥𝐹𝑦)𝐸(𝑢𝐹𝑣)) < 𝑧)))
2221pm5.32da 579 . 2 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) → ((𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑋 × 𝑌)𝐹 ∈ (((𝐽 ×t 𝐾) CnP 𝐿)‘𝑡)) ↔ (𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍 ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑌𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+𝑢𝑋𝑣𝑌 (((𝑥𝐶𝑢) < 𝑤 ∧ (𝑦𝐷𝑣) < 𝑤) → ((𝑥𝐹𝑦)𝐸(𝑢𝐹𝑣)) < 𝑧))))
2312, 22bitrd 279 1 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) → (𝐹 ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝐿) ↔ (𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍 ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑌𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+𝑢𝑋𝑣𝑌 (((𝑥𝐶𝑢) < 𝑤 ∧ (𝑦𝐷𝑣) < 𝑤) → ((𝑥𝐹𝑦)𝐸(𝑢𝐹𝑣)) < 𝑧))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  wrex 3070  cop 4632   class class class wbr 5143   × cxp 5683  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431   < clt 11295  +crp 13034  ∞Metcxmet 21349  MetOpencmopn 21354  TopOnctopon 22916   Cn ccn 23232   CnP ccnp 23233   ×t ctx 23568
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-hash 14370  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-xms 24330  df-tms 24332
This theorem is referenced by:  ngptgp  24649  nlmvscn  24708  xmetdcn2  24859  addcnlem  24886  ipcn  25280  vacn  30713  smcnlem  30716
  Copyright terms: Public domain W3C validator