MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  txmetcn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem txmetcn 24381
Description: Continuity of a binary operation on metric spaces. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
metcn.2 𝐽 = (MetOpenβ€˜πΆ)
metcn.4 𝐾 = (MetOpenβ€˜π·)
txmetcnp.4 𝐿 = (MetOpenβ€˜πΈ)
Assertion
Ref Expression
txmetcn ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘)) β†’ (𝐹 ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝐿) ↔ (𝐹:(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 βˆ€π‘£ ∈ π‘Œ (((π‘₯𝐢𝑒) < 𝑀 ∧ (𝑦𝐷𝑣) < 𝑀) β†’ ((π‘₯𝐹𝑦)𝐸(𝑒𝐹𝑣)) < 𝑧))))
Distinct variable groups:   𝑣,𝑒,𝑀,π‘₯,𝑦,𝑧,𝐹   𝑒,𝐽,𝑣,𝑀,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑒,𝐾,𝑣,𝑀,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑒,𝑋,𝑣,𝑀,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑒,π‘Œ,𝑣,𝑀,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑒,𝑍,𝑣,𝑀,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑒,𝐢,𝑣,𝑀,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑒,𝐷,𝑣,𝑀,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑒,𝐸,𝑣,𝑀,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑀,𝐿,π‘₯,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐿(𝑣,𝑒)

Proof of Theorem txmetcn
Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metcn.2 . . . . . 6 𝐽 = (MetOpenβ€˜πΆ)
21mopntopon 24269 . . . . 5 (𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
3 metcn.4 . . . . . 6 𝐾 = (MetOpenβ€˜π·)
43mopntopon 24269 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
5 txtopon 23419 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ (𝐽 Γ—t 𝐾) ∈ (TopOnβ€˜(𝑋 Γ— π‘Œ)))
62, 4, 5syl2an 595 . . . 4 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) β†’ (𝐽 Γ—t 𝐾) ∈ (TopOnβ€˜(𝑋 Γ— π‘Œ)))
763adant3 1129 . . 3 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘)) β†’ (𝐽 Γ—t 𝐾) ∈ (TopOnβ€˜(𝑋 Γ— π‘Œ)))
8 txmetcnp.4 . . . . 5 𝐿 = (MetOpenβ€˜πΈ)
98mopntopon 24269 . . . 4 (𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘) β†’ 𝐿 ∈ (TopOnβ€˜π‘))
1093ad2ant3 1132 . . 3 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘)) β†’ 𝐿 ∈ (TopOnβ€˜π‘))
11 cncnp 23108 . . 3 (((𝐽 Γ—t 𝐾) ∈ (TopOnβ€˜(𝑋 Γ— π‘Œ)) ∧ 𝐿 ∈ (TopOnβ€˜π‘)) β†’ (𝐹 ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝐿) ↔ (𝐹:(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ)𝐹 ∈ (((𝐽 Γ—t 𝐾) CnP 𝐿)β€˜π‘‘))))
127, 10, 11syl2anc 583 . 2 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘)) β†’ (𝐹 ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝐿) ↔ (𝐹:(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ)𝐹 ∈ (((𝐽 Γ—t 𝐾) CnP 𝐿)β€˜π‘‘))))
13 fveq2 6882 . . . . . 6 (𝑑 = ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© β†’ (((𝐽 Γ—t 𝐾) CnP 𝐿)β€˜π‘‘) = (((𝐽 Γ—t 𝐾) CnP 𝐿)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©))
1413eleq2d 2811 . . . . 5 (𝑑 = ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© β†’ (𝐹 ∈ (((𝐽 Γ—t 𝐾) CnP 𝐿)β€˜π‘‘) ↔ 𝐹 ∈ (((𝐽 Γ—t 𝐾) CnP 𝐿)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©)))
1514ralxp 5832 . . . 4 (βˆ€π‘‘ ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ)𝐹 ∈ (((𝐽 Γ—t 𝐾) CnP 𝐿)β€˜π‘‘) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ 𝐹 ∈ (((𝐽 Γ—t 𝐾) CnP 𝐿)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©))
16 simplr 766 . . . . . 6 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘)) ∧ 𝐹:(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ)) β†’ 𝐹:(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘)
171, 3, 8txmetcnp 24380 . . . . . . 7 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ)) β†’ (𝐹 ∈ (((𝐽 Γ—t 𝐾) CnP 𝐿)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) ↔ (𝐹:(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘ ∧ βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 βˆ€π‘£ ∈ π‘Œ (((π‘₯𝐢𝑒) < 𝑀 ∧ (𝑦𝐷𝑣) < 𝑀) β†’ ((π‘₯𝐹𝑦)𝐸(𝑒𝐹𝑣)) < 𝑧))))
1817adantlr 712 . . . . . 6 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘)) ∧ 𝐹:(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ)) β†’ (𝐹 ∈ (((𝐽 Γ—t 𝐾) CnP 𝐿)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) ↔ (𝐹:(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘ ∧ βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 βˆ€π‘£ ∈ π‘Œ (((π‘₯𝐢𝑒) < 𝑀 ∧ (𝑦𝐷𝑣) < 𝑀) β†’ ((π‘₯𝐹𝑦)𝐸(𝑒𝐹𝑣)) < 𝑧))))
1916, 18mpbirand 704 . . . . 5 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘)) ∧ 𝐹:(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ)) β†’ (𝐹 ∈ (((𝐽 Γ—t 𝐾) CnP 𝐿)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) ↔ βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 βˆ€π‘£ ∈ π‘Œ (((π‘₯𝐢𝑒) < 𝑀 ∧ (𝑦𝐷𝑣) < 𝑀) β†’ ((π‘₯𝐹𝑦)𝐸(𝑒𝐹𝑣)) < 𝑧)))
20192ralbidva 3208 . . . 4 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘)) ∧ 𝐹:(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ 𝐹 ∈ (((𝐽 Γ—t 𝐾) CnP 𝐿)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 βˆ€π‘£ ∈ π‘Œ (((π‘₯𝐢𝑒) < 𝑀 ∧ (𝑦𝐷𝑣) < 𝑀) β†’ ((π‘₯𝐹𝑦)𝐸(𝑒𝐹𝑣)) < 𝑧)))
2115, 20bitrid 283 . . 3 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘)) ∧ 𝐹:(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘) β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ)𝐹 ∈ (((𝐽 Γ—t 𝐾) CnP 𝐿)β€˜π‘‘) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 βˆ€π‘£ ∈ π‘Œ (((π‘₯𝐢𝑒) < 𝑀 ∧ (𝑦𝐷𝑣) < 𝑀) β†’ ((π‘₯𝐹𝑦)𝐸(𝑒𝐹𝑣)) < 𝑧)))
2221pm5.32da 578 . 2 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘)) β†’ ((𝐹:(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ)𝐹 ∈ (((𝐽 Γ—t 𝐾) CnP 𝐿)β€˜π‘‘)) ↔ (𝐹:(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 βˆ€π‘£ ∈ π‘Œ (((π‘₯𝐢𝑒) < 𝑀 ∧ (𝑦𝐷𝑣) < 𝑀) β†’ ((π‘₯𝐹𝑦)𝐸(𝑒𝐹𝑣)) < 𝑧))))
2312, 22bitrd 279 1 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘)) β†’ (𝐹 ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝐿) ↔ (𝐹:(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 βˆ€π‘£ ∈ π‘Œ (((π‘₯𝐢𝑒) < 𝑀 ∧ (𝑦𝐷𝑣) < 𝑀) β†’ ((π‘₯𝐹𝑦)𝐸(𝑒𝐹𝑣)) < 𝑧))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3053  βˆƒwrex 3062  βŸ¨cop 4627   class class class wbr 5139   Γ— cxp 5665  βŸΆwf 6530  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402   < clt 11246  β„+crp 12972  βˆžMetcxmet 21215  MetOpencmopn 21220  TopOnctopon 22736   Cn ccn 23052   CnP ccnp 23053   Γ—t ctx 23388
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-iin 4991  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-of 7664  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-supp 8142  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8700  df-map 8819  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11870  df-nn 12211  df-2 12273  df-3 12274  df-4 12275  df-5 12276  df-6 12277  df-7 12278  df-8 12279  df-9 12280  df-n0 12471  df-z 12557  df-dec 12676  df-uz 12821  df-q 12931  df-rp 12973  df-xneg 13090  df-xadd 13091  df-xmul 13092  df-icc 13329  df-fz 13483  df-fzo 13626  df-seq 13965  df-hash 14289  df-struct 17081  df-sets 17098  df-slot 17116  df-ndx 17128  df-base 17146  df-ress 17175  df-plusg 17211  df-mulr 17212  df-sca 17214  df-vsca 17215  df-ip 17216  df-tset 17217  df-ple 17218  df-ds 17220  df-hom 17222  df-cco 17223  df-rest 17369  df-topn 17370  df-0g 17388  df-gsum 17389  df-topgen 17390  df-pt 17391  df-prds 17394  df-xrs 17449  df-qtop 17454  df-imas 17455  df-xps 17457  df-mre 17531  df-mrc 17532  df-acs 17534  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18988  df-cntz 19225  df-cmn 19694  df-psmet 21222  df-xmet 21223  df-bl 21225  df-mopn 21226  df-top 22720  df-topon 22737  df-topsp 22759  df-bases 22773  df-cn 23055  df-cnp 23056  df-tx 23390  df-hmeo 23583  df-xms 24150  df-tms 24152
This theorem is referenced by:  ngptgp  24469  nlmvscn  24528  xmetdcn2  24677  addcnlem  24704  ipcn  25098  vacn  30419  smcnlem  30422
  Copyright terms: Public domain W3C validator