MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  txmetcn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem txmetcn 23927
Description: Continuity of a binary operation on metric spaces. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
metcn.2 𝐽 = (MetOpenβ€˜πΆ)
metcn.4 𝐾 = (MetOpenβ€˜π·)
txmetcnp.4 𝐿 = (MetOpenβ€˜πΈ)
Assertion
Ref Expression
txmetcn ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘)) β†’ (𝐹 ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝐿) ↔ (𝐹:(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 βˆ€π‘£ ∈ π‘Œ (((π‘₯𝐢𝑒) < 𝑀 ∧ (𝑦𝐷𝑣) < 𝑀) β†’ ((π‘₯𝐹𝑦)𝐸(𝑒𝐹𝑣)) < 𝑧))))
Distinct variable groups:   𝑣,𝑒,𝑀,π‘₯,𝑦,𝑧,𝐹   𝑒,𝐽,𝑣,𝑀,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑒,𝐾,𝑣,𝑀,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑒,𝑋,𝑣,𝑀,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑒,π‘Œ,𝑣,𝑀,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑒,𝑍,𝑣,𝑀,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑒,𝐢,𝑣,𝑀,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑒,𝐷,𝑣,𝑀,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑒,𝐸,𝑣,𝑀,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑀,𝐿,π‘₯,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐿(𝑣,𝑒)

Proof of Theorem txmetcn
Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metcn.2 . . . . . 6 𝐽 = (MetOpenβ€˜πΆ)
21mopntopon 23815 . . . . 5 (𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
3 metcn.4 . . . . . 6 𝐾 = (MetOpenβ€˜π·)
43mopntopon 23815 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
5 txtopon 22965 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ (𝐽 Γ—t 𝐾) ∈ (TopOnβ€˜(𝑋 Γ— π‘Œ)))
62, 4, 5syl2an 597 . . . 4 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) β†’ (𝐽 Γ—t 𝐾) ∈ (TopOnβ€˜(𝑋 Γ— π‘Œ)))
763adant3 1133 . . 3 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘)) β†’ (𝐽 Γ—t 𝐾) ∈ (TopOnβ€˜(𝑋 Γ— π‘Œ)))
8 txmetcnp.4 . . . . 5 𝐿 = (MetOpenβ€˜πΈ)
98mopntopon 23815 . . . 4 (𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘) β†’ 𝐿 ∈ (TopOnβ€˜π‘))
1093ad2ant3 1136 . . 3 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘)) β†’ 𝐿 ∈ (TopOnβ€˜π‘))
11 cncnp 22654 . . 3 (((𝐽 Γ—t 𝐾) ∈ (TopOnβ€˜(𝑋 Γ— π‘Œ)) ∧ 𝐿 ∈ (TopOnβ€˜π‘)) β†’ (𝐹 ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝐿) ↔ (𝐹:(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ)𝐹 ∈ (((𝐽 Γ—t 𝐾) CnP 𝐿)β€˜π‘‘))))
127, 10, 11syl2anc 585 . 2 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘)) β†’ (𝐹 ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝐿) ↔ (𝐹:(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ)𝐹 ∈ (((𝐽 Γ—t 𝐾) CnP 𝐿)β€˜π‘‘))))
13 fveq2 6846 . . . . . 6 (𝑑 = ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© β†’ (((𝐽 Γ—t 𝐾) CnP 𝐿)β€˜π‘‘) = (((𝐽 Γ—t 𝐾) CnP 𝐿)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©))
1413eleq2d 2820 . . . . 5 (𝑑 = ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© β†’ (𝐹 ∈ (((𝐽 Γ—t 𝐾) CnP 𝐿)β€˜π‘‘) ↔ 𝐹 ∈ (((𝐽 Γ—t 𝐾) CnP 𝐿)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©)))
1514ralxp 5801 . . . 4 (βˆ€π‘‘ ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ)𝐹 ∈ (((𝐽 Γ—t 𝐾) CnP 𝐿)β€˜π‘‘) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ 𝐹 ∈ (((𝐽 Γ—t 𝐾) CnP 𝐿)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©))
16 simplr 768 . . . . . 6 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘)) ∧ 𝐹:(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ)) β†’ 𝐹:(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘)
171, 3, 8txmetcnp 23926 . . . . . . 7 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ)) β†’ (𝐹 ∈ (((𝐽 Γ—t 𝐾) CnP 𝐿)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) ↔ (𝐹:(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘ ∧ βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 βˆ€π‘£ ∈ π‘Œ (((π‘₯𝐢𝑒) < 𝑀 ∧ (𝑦𝐷𝑣) < 𝑀) β†’ ((π‘₯𝐹𝑦)𝐸(𝑒𝐹𝑣)) < 𝑧))))
1817adantlr 714 . . . . . 6 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘)) ∧ 𝐹:(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ)) β†’ (𝐹 ∈ (((𝐽 Γ—t 𝐾) CnP 𝐿)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) ↔ (𝐹:(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘ ∧ βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 βˆ€π‘£ ∈ π‘Œ (((π‘₯𝐢𝑒) < 𝑀 ∧ (𝑦𝐷𝑣) < 𝑀) β†’ ((π‘₯𝐹𝑦)𝐸(𝑒𝐹𝑣)) < 𝑧))))
1916, 18mpbirand 706 . . . . 5 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘)) ∧ 𝐹:(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ)) β†’ (𝐹 ∈ (((𝐽 Γ—t 𝐾) CnP 𝐿)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) ↔ βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 βˆ€π‘£ ∈ π‘Œ (((π‘₯𝐢𝑒) < 𝑀 ∧ (𝑦𝐷𝑣) < 𝑀) β†’ ((π‘₯𝐹𝑦)𝐸(𝑒𝐹𝑣)) < 𝑧)))
20192ralbidva 3207 . . . 4 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘)) ∧ 𝐹:(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ 𝐹 ∈ (((𝐽 Γ—t 𝐾) CnP 𝐿)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 βˆ€π‘£ ∈ π‘Œ (((π‘₯𝐢𝑒) < 𝑀 ∧ (𝑦𝐷𝑣) < 𝑀) β†’ ((π‘₯𝐹𝑦)𝐸(𝑒𝐹𝑣)) < 𝑧)))
2115, 20bitrid 283 . . 3 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘)) ∧ 𝐹:(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘) β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ)𝐹 ∈ (((𝐽 Γ—t 𝐾) CnP 𝐿)β€˜π‘‘) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 βˆ€π‘£ ∈ π‘Œ (((π‘₯𝐢𝑒) < 𝑀 ∧ (𝑦𝐷𝑣) < 𝑀) β†’ ((π‘₯𝐹𝑦)𝐸(𝑒𝐹𝑣)) < 𝑧)))
2221pm5.32da 580 . 2 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘)) β†’ ((𝐹:(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ)𝐹 ∈ (((𝐽 Γ—t 𝐾) CnP 𝐿)β€˜π‘‘)) ↔ (𝐹:(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 βˆ€π‘£ ∈ π‘Œ (((π‘₯𝐢𝑒) < 𝑀 ∧ (𝑦𝐷𝑣) < 𝑀) β†’ ((π‘₯𝐹𝑦)𝐸(𝑒𝐹𝑣)) < 𝑧))))
2312, 22bitrd 279 1 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘)) β†’ (𝐹 ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝐿) ↔ (𝐹:(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 βˆ€π‘£ ∈ π‘Œ (((π‘₯𝐢𝑒) < 𝑀 ∧ (𝑦𝐷𝑣) < 𝑀) β†’ ((π‘₯𝐹𝑦)𝐸(𝑒𝐹𝑣)) < 𝑧))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  βŸ¨cop 4596   class class class wbr 5109   Γ— cxp 5635  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   < clt 11197  β„+crp 12923  βˆžMetcxmet 20804  MetOpencmopn 20809  TopOnctopon 22282   Cn ccn 22598   CnP ccnp 22599   Γ—t ctx 22934
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-er 8654  df-map 8773  df-ixp 8842  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-fi 9355  df-sup 9386  df-inf 9387  df-oi 9454  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-xmul 13043  df-icc 13280  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-seq 13916  df-hash 14240  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-hom 17165  df-cco 17166  df-rest 17312  df-topn 17313  df-0g 17331  df-gsum 17332  df-topgen 17333  df-pt 17334  df-prds 17337  df-xrs 17392  df-qtop 17397  df-imas 17398  df-xps 17400  df-mre 17474  df-mrc 17475  df-acs 17477  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-submnd 18610  df-mulg 18881  df-cntz 19105  df-cmn 19572  df-psmet 20811  df-xmet 20812  df-bl 20814  df-mopn 20815  df-top 22266  df-topon 22283  df-topsp 22305  df-bases 22319  df-cn 22601  df-cnp 22602  df-tx 22936  df-hmeo 23129  df-xms 23696  df-tms 23698
This theorem is referenced by:  ngptgp  24015  nlmvscn  24074  xmetdcn2  24223  addcnlem  24250  ipcn  24633  vacn  29685  smcnlem  29688
  Copyright terms: Public domain W3C validator