MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metucn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metucn 24080
Description: Uniform continuity in metric spaces. Compare the order of the quantifiers with metcn 24052. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Jan-2018.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Feb-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
metucn.u π‘ˆ = (metUnifβ€˜πΆ)
metucn.v 𝑉 = (metUnifβ€˜π·)
metucn.x (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
metucn.y (πœ‘ β†’ π‘Œ β‰  βˆ…)
metucn.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹))
metucn.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘Œ))
Assertion
Ref Expression
metucn (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (π‘ˆ Cnu𝑉) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((π‘₯𝐢𝑦) < 𝑐 β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)𝐷(πΉβ€˜π‘¦)) < 𝑑))))
Distinct variable groups:   𝑐,𝑑,π‘₯,𝑦,𝐢   𝐷,𝑐,𝑑,π‘₯,𝑦   𝐹,𝑐,𝑑,π‘₯,𝑦   π‘₯,π‘ˆ,𝑦   π‘₯,𝑉   𝑋,𝑐,𝑑,π‘₯,𝑦   π‘Œ,𝑐,𝑑,π‘₯,𝑦   πœ‘,𝑐,𝑑,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   π‘ˆ(𝑐,𝑑)   𝑉(𝑦,𝑐,𝑑)

Proof of Theorem metucn
Dummy variables π‘Ž 𝑒 𝑒 𝑣 𝑏 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metucn.u . . . . . 6 π‘ˆ = (metUnifβ€˜πΆ)
2 metucn.c . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹))
3 metuval 24058 . . . . . . 7 (𝐢 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ (metUnifβ€˜πΆ) = ((𝑋 Γ— 𝑋)filGenran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐢 β€œ (0[,)π‘Ž)))))
42, 3syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (metUnifβ€˜πΆ) = ((𝑋 Γ— 𝑋)filGenran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐢 β€œ (0[,)π‘Ž)))))
51, 4eqtrid 2785 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘ˆ = ((𝑋 Γ— 𝑋)filGenran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐢 β€œ (0[,)π‘Ž)))))
6 metucn.v . . . . . 6 𝑉 = (metUnifβ€˜π·)
7 metucn.d . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘Œ))
8 metuval 24058 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘Œ) β†’ (metUnifβ€˜π·) = ((π‘Œ Γ— π‘Œ)filGenran (𝑏 ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)))))
97, 8syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (metUnifβ€˜π·) = ((π‘Œ Γ— π‘Œ)filGenran (𝑏 ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)))))
106, 9eqtrid 2785 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑉 = ((π‘Œ Γ— π‘Œ)filGenran (𝑏 ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)))))
115, 10oveq12d 7427 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ Cnu𝑉) = (((𝑋 Γ— 𝑋)filGenran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐢 β€œ (0[,)π‘Ž)))) Cnu((π‘Œ Γ— π‘Œ)filGenran (𝑏 ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏))))))
1211eleq2d 2820 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (π‘ˆ Cnu𝑉) ↔ 𝐹 ∈ (((𝑋 Γ— 𝑋)filGenran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐢 β€œ (0[,)π‘Ž)))) Cnu((π‘Œ Γ— π‘Œ)filGenran (𝑏 ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)))))))
13 eqid 2733 . . . 4 ((𝑋 Γ— 𝑋)filGenran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐢 β€œ (0[,)π‘Ž)))) = ((𝑋 Γ— 𝑋)filGenran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐢 β€œ (0[,)π‘Ž))))
14 eqid 2733 . . . 4 ((π‘Œ Γ— π‘Œ)filGenran (𝑏 ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)))) = ((π‘Œ Γ— π‘Œ)filGenran (𝑏 ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏))))
15 metucn.x . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
16 oveq2 7417 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = 𝑐 β†’ (0[,)π‘Ž) = (0[,)𝑐))
1716imaeq2d 6060 . . . . . . . 8 (π‘Ž = 𝑐 β†’ (◑𝐢 β€œ (0[,)π‘Ž)) = (◑𝐢 β€œ (0[,)𝑐)))
1817cbvmptv 5262 . . . . . . 7 (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐢 β€œ (0[,)π‘Ž))) = (𝑐 ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐢 β€œ (0[,)𝑐)))
1918rneqi 5937 . . . . . 6 ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐢 β€œ (0[,)π‘Ž))) = ran (𝑐 ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐢 β€œ (0[,)𝑐)))
2019metust 24067 . . . . 5 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐢 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) β†’ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGenran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐢 β€œ (0[,)π‘Ž)))) ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹))
2115, 2, 20syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGenran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐢 β€œ (0[,)π‘Ž)))) ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹))
22 metucn.y . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ β‰  βˆ…)
23 oveq2 7417 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 𝑑 β†’ (0[,)𝑏) = (0[,)𝑑))
2423imaeq2d 6060 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝑑 β†’ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)) = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑)))
2524cbvmptv 5262 . . . . . . 7 (𝑏 ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏))) = (𝑑 ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑)))
2625rneqi 5937 . . . . . 6 ran (𝑏 ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏))) = ran (𝑑 ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑)))
2726metust 24067 . . . . 5 ((π‘Œ β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘Œ)) β†’ ((π‘Œ Γ— π‘Œ)filGenran (𝑏 ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)))) ∈ (UnifOnβ€˜π‘Œ))
2822, 7, 27syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘Œ Γ— π‘Œ)filGenran (𝑏 ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)))) ∈ (UnifOnβ€˜π‘Œ))
29 oveq2 7417 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = 𝑒 β†’ (0[,)π‘Ž) = (0[,)𝑒))
3029imaeq2d 6060 . . . . . . . 8 (π‘Ž = 𝑒 β†’ (◑𝐢 β€œ (0[,)π‘Ž)) = (◑𝐢 β€œ (0[,)𝑒)))
3130cbvmptv 5262 . . . . . . 7 (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐢 β€œ (0[,)π‘Ž))) = (𝑒 ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐢 β€œ (0[,)𝑒)))
3231rneqi 5937 . . . . . 6 ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐢 β€œ (0[,)π‘Ž))) = ran (𝑒 ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐢 β€œ (0[,)𝑒)))
3332metustfbas 24066 . . . . 5 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐢 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) β†’ ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐢 β€œ (0[,)π‘Ž))) ∈ (fBasβ€˜(𝑋 Γ— 𝑋)))
3415, 2, 33syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐢 β€œ (0[,)π‘Ž))) ∈ (fBasβ€˜(𝑋 Γ— 𝑋)))
35 oveq2 7417 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 𝑓 β†’ (0[,)𝑏) = (0[,)𝑓))
3635imaeq2d 6060 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝑓 β†’ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)) = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑓)))
3736cbvmptv 5262 . . . . . . 7 (𝑏 ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏))) = (𝑓 ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑓)))
3837rneqi 5937 . . . . . 6 ran (𝑏 ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏))) = ran (𝑓 ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑓)))
3938metustfbas 24066 . . . . 5 ((π‘Œ β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘Œ)) β†’ ran (𝑏 ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏))) ∈ (fBasβ€˜(π‘Œ Γ— π‘Œ)))
4022, 7, 39syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran (𝑏 ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏))) ∈ (fBasβ€˜(π‘Œ Γ— π‘Œ)))
4113, 14, 21, 28, 34, 40isucn2 23784 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (((𝑋 Γ— 𝑋)filGenran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐢 β€œ (0[,)π‘Ž)))) Cnu((π‘Œ Γ— π‘Œ)filGenran (𝑏 ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏))))) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘£ ∈ ran (𝑏 ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)))βˆƒπ‘’ ∈ ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐢 β€œ (0[,)π‘Ž)))βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑒𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑣(πΉβ€˜π‘¦)))))
4212, 41bitrd 279 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (π‘ˆ Cnu𝑉) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘£ ∈ ran (𝑏 ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)))βˆƒπ‘’ ∈ ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐢 β€œ (0[,)π‘Ž)))βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑒𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑣(πΉβ€˜π‘¦)))))
43 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑)) = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑))
44 oveq2 7417 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = 𝑑 β†’ (0[,)𝑓) = (0[,)𝑑))
4544imaeq2d 6060 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = 𝑑 β†’ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑓)) = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑)))
4645rspceeqv 3634 . . . . . . . . . 10 ((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑)) = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑))) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ ℝ+ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑)) = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑓)))
4743, 46mpan2 690 . . . . . . . . 9 (𝑑 ∈ ℝ+ β†’ βˆƒπ‘“ ∈ ℝ+ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑)) = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑓)))
4847adantl 483 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ ℝ+ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑)) = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑓)))
4938metustel 24059 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘Œ) β†’ ((◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑)) ∈ ran (𝑏 ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏))) ↔ βˆƒπ‘“ ∈ ℝ+ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑)) = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑓))))
507, 49syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑)) ∈ ran (𝑏 ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏))) ↔ βˆƒπ‘“ ∈ ℝ+ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑)) = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑓))))
5150adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ ((◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑)) ∈ ran (𝑏 ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏))) ↔ βˆƒπ‘“ ∈ ℝ+ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑)) = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑓))))
5248, 51mpbird 257 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑)) ∈ ran (𝑏 ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏))))
5326metustel 24059 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘Œ) β†’ (𝑣 ∈ ran (𝑏 ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏))) ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ 𝑣 = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑))))
547, 53syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑣 ∈ ran (𝑏 ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏))) ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ 𝑣 = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑))))
55 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑣 = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑))) β†’ 𝑣 = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑)))
5655breqd 5160 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑣 = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑))) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)𝑣(πΉβ€˜π‘¦) ↔ (πΉβ€˜π‘₯)(◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑))(πΉβ€˜π‘¦)))
5756imbi2d 341 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑣 = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑))) β†’ ((π‘₯𝑒𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑣(πΉβ€˜π‘¦)) ↔ (π‘₯𝑒𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)(◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑))(πΉβ€˜π‘¦))))
5857ralbidv 3178 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑣 = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑))) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑒𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑣(πΉβ€˜π‘¦)) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑒𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)(◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑))(πΉβ€˜π‘¦))))
5958rexralbidv 3221 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑣 = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑))) β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐢 β€œ (0[,)π‘Ž)))βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑒𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑣(πΉβ€˜π‘¦)) ↔ βˆƒπ‘’ ∈ ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐢 β€œ (0[,)π‘Ž)))βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑒𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)(◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑))(πΉβ€˜π‘¦))))
6052, 54, 59ralxfr2d 5409 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘£ ∈ ran (𝑏 ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)))βˆƒπ‘’ ∈ ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐢 β€œ (0[,)π‘Ž)))βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑒𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑣(πΉβ€˜π‘¦)) ↔ βˆ€π‘‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘’ ∈ ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐢 β€œ (0[,)π‘Ž)))βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑒𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)(◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑))(πΉβ€˜π‘¦))))
61 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (◑𝐢 β€œ (0[,)𝑐)) = (◑𝐢 β€œ (0[,)𝑐))
62 oveq2 7417 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑒 = 𝑐 β†’ (0[,)𝑒) = (0[,)𝑐))
6362imaeq2d 6060 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒 = 𝑐 β†’ (◑𝐢 β€œ (0[,)𝑒)) = (◑𝐢 β€œ (0[,)𝑐)))
6463rspceeqv 3634 . . . . . . . . . . 11 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ (◑𝐢 β€œ (0[,)𝑐)) = (◑𝐢 β€œ (0[,)𝑐))) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ ℝ+ (◑𝐢 β€œ (0[,)𝑐)) = (◑𝐢 β€œ (0[,)𝑒)))
6561, 64mpan2 690 . . . . . . . . . 10 (𝑐 ∈ ℝ+ β†’ βˆƒπ‘’ ∈ ℝ+ (◑𝐢 β€œ (0[,)𝑐)) = (◑𝐢 β€œ (0[,)𝑒)))
6665adantl 483 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ ℝ+ (◑𝐢 β€œ (0[,)𝑐)) = (◑𝐢 β€œ (0[,)𝑒)))
6732metustel 24059 . . . . . . . . . . 11 (𝐢 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ ((◑𝐢 β€œ (0[,)𝑐)) ∈ ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐢 β€œ (0[,)π‘Ž))) ↔ βˆƒπ‘’ ∈ ℝ+ (◑𝐢 β€œ (0[,)𝑐)) = (◑𝐢 β€œ (0[,)𝑒))))
682, 67syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((◑𝐢 β€œ (0[,)𝑐)) ∈ ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐢 β€œ (0[,)π‘Ž))) ↔ βˆƒπ‘’ ∈ ℝ+ (◑𝐢 β€œ (0[,)𝑐)) = (◑𝐢 β€œ (0[,)𝑒))))
6968adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) β†’ ((◑𝐢 β€œ (0[,)𝑐)) ∈ ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐢 β€œ (0[,)π‘Ž))) ↔ βˆƒπ‘’ ∈ ℝ+ (◑𝐢 β€œ (0[,)𝑐)) = (◑𝐢 β€œ (0[,)𝑒))))
7066, 69mpbird 257 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) β†’ (◑𝐢 β€œ (0[,)𝑐)) ∈ ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐢 β€œ (0[,)π‘Ž))))
7119metustel 24059 . . . . . . . . 9 (𝐢 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ (𝑒 ∈ ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐢 β€œ (0[,)π‘Ž))) ↔ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ 𝑒 = (◑𝐢 β€œ (0[,)𝑐))))
722, 71syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑒 ∈ ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐢 β€œ (0[,)π‘Ž))) ↔ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ 𝑒 = (◑𝐢 β€œ (0[,)𝑐))))
73 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑒 = (◑𝐢 β€œ (0[,)𝑐))) β†’ 𝑒 = (◑𝐢 β€œ (0[,)𝑐)))
7473breqd 5160 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑒 = (◑𝐢 β€œ (0[,)𝑐))) β†’ (π‘₯𝑒𝑦 ↔ π‘₯(◑𝐢 β€œ (0[,)𝑐))𝑦))
7574imbi1d 342 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑒 = (◑𝐢 β€œ (0[,)𝑐))) β†’ ((π‘₯𝑒𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)(◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑))(πΉβ€˜π‘¦)) ↔ (π‘₯(◑𝐢 β€œ (0[,)𝑐))𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)(◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑))(πΉβ€˜π‘¦))))
76752ralbidv 3219 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑒 = (◑𝐢 β€œ (0[,)𝑐))) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑒𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)(◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑))(πΉβ€˜π‘¦)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯(◑𝐢 β€œ (0[,)𝑐))𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)(◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑))(πΉβ€˜π‘¦))))
7770, 72, 76rexxfr2d 5410 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐢 β€œ (0[,)π‘Ž)))βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑒𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)(◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑))(πΉβ€˜π‘¦)) ↔ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯(◑𝐢 β€œ (0[,)𝑐))𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)(◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑))(πΉβ€˜π‘¦))))
7877ralbidv 3178 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘’ ∈ ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐢 β€œ (0[,)π‘Ž)))βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑒𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)(◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑))(πΉβ€˜π‘¦)) ↔ βˆ€π‘‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯(◑𝐢 β€œ (0[,)𝑐))𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)(◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑))(πΉβ€˜π‘¦))))
7960, 78bitrd 279 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘£ ∈ ran (𝑏 ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)))βˆƒπ‘’ ∈ ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐢 β€œ (0[,)π‘Ž)))βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑒𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑣(πΉβ€˜π‘¦)) ↔ βˆ€π‘‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯(◑𝐢 β€œ (0[,)𝑐))𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)(◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑))(πΉβ€˜π‘¦))))
8079adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ (βˆ€π‘£ ∈ ran (𝑏 ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)))βˆƒπ‘’ ∈ ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐢 β€œ (0[,)π‘Ž)))βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑒𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑣(πΉβ€˜π‘¦)) ↔ βˆ€π‘‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯(◑𝐢 β€œ (0[,)𝑐))𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)(◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑))(πΉβ€˜π‘¦))))
812ad4antr 731 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐢 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹))
82 simplr 768 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑐 ∈ ℝ+)
83 simprr 772 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑦 ∈ 𝑋)
84 simprl 770 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
85 elbl4 24072 . . . . . . . . . 10 (((𝐢 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑦(ballβ€˜πΆ)𝑐) ↔ π‘₯(◑𝐢 β€œ (0[,)𝑐))𝑦))
86 rpxr 12983 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 ∈ ℝ+ β†’ 𝑐 ∈ ℝ*)
87 elbl3ps 23897 . . . . . . . . . . 11 (((𝐢 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑐 ∈ ℝ*) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑦(ballβ€˜πΆ)𝑐) ↔ (π‘₯𝐢𝑦) < 𝑐))
8886, 87sylanl2 680 . . . . . . . . . 10 (((𝐢 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑦(ballβ€˜πΆ)𝑐) ↔ (π‘₯𝐢𝑦) < 𝑐))
8985, 88bitr3d 281 . . . . . . . . 9 (((𝐢 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯(◑𝐢 β€œ (0[,)𝑐))𝑦 ↔ (π‘₯𝐢𝑦) < 𝑐))
9081, 82, 83, 84, 89syl22anc 838 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯(◑𝐢 β€œ (0[,)𝑐))𝑦 ↔ (π‘₯𝐢𝑦) < 𝑐))
917ad4antr 731 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘Œ))
92 simpllr 775 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑑 ∈ ℝ+)
93 simp-4r 783 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ)
9493, 83ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ π‘Œ)
9593, 84ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ π‘Œ)
96 elbl4 24072 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ ((πΉβ€˜π‘¦) ∈ π‘Œ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ π‘Œ)) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ((πΉβ€˜π‘¦)(ballβ€˜π·)𝑑) ↔ (πΉβ€˜π‘₯)(◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑))(πΉβ€˜π‘¦)))
97 rpxr 12983 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 ∈ ℝ+ β†’ 𝑑 ∈ ℝ*)
98 elbl3ps 23897 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ*) ∧ ((πΉβ€˜π‘¦) ∈ π‘Œ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ π‘Œ)) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ((πΉβ€˜π‘¦)(ballβ€˜π·)𝑑) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯)𝐷(πΉβ€˜π‘¦)) < 𝑑))
9997, 98sylanl2 680 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ ((πΉβ€˜π‘¦) ∈ π‘Œ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ π‘Œ)) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ((πΉβ€˜π‘¦)(ballβ€˜π·)𝑑) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯)𝐷(πΉβ€˜π‘¦)) < 𝑑))
10096, 99bitr3d 281 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ ((πΉβ€˜π‘¦) ∈ π‘Œ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ π‘Œ)) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)(◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑))(πΉβ€˜π‘¦) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯)𝐷(πΉβ€˜π‘¦)) < 𝑑))
10191, 92, 94, 95, 100syl22anc 838 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)(◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑))(πΉβ€˜π‘¦) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯)𝐷(πΉβ€˜π‘¦)) < 𝑑))
10290, 101imbi12d 345 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘₯(◑𝐢 β€œ (0[,)𝑐))𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)(◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑))(πΉβ€˜π‘¦)) ↔ ((π‘₯𝐢𝑦) < 𝑐 β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)𝐷(πΉβ€˜π‘¦)) < 𝑑)))
1031022ralbidva 3217 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯(◑𝐢 β€œ (0[,)𝑐))𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)(◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑))(πΉβ€˜π‘¦)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((π‘₯𝐢𝑦) < 𝑐 β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)𝐷(πΉβ€˜π‘¦)) < 𝑑)))
104103rexbidva 3177 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯(◑𝐢 β€œ (0[,)𝑐))𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)(◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑))(πΉβ€˜π‘¦)) ↔ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((π‘₯𝐢𝑦) < 𝑐 β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)𝐷(πΉβ€˜π‘¦)) < 𝑑)))
105104ralbidva 3176 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯(◑𝐢 β€œ (0[,)𝑐))𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)(◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑))(πΉβ€˜π‘¦)) ↔ βˆ€π‘‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((π‘₯𝐢𝑦) < 𝑐 β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)𝐷(πΉβ€˜π‘¦)) < 𝑑)))
10680, 105bitrd 279 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ (βˆ€π‘£ ∈ ran (𝑏 ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)))βˆƒπ‘’ ∈ ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐢 β€œ (0[,)π‘Ž)))βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑒𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑣(πΉβ€˜π‘¦)) ↔ βˆ€π‘‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((π‘₯𝐢𝑦) < 𝑐 β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)𝐷(πΉβ€˜π‘¦)) < 𝑑)))
107106pm5.32da 580 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘£ ∈ ran (𝑏 ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)))βˆƒπ‘’ ∈ ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐢 β€œ (0[,)π‘Ž)))βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑒𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑣(πΉβ€˜π‘¦))) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((π‘₯𝐢𝑦) < 𝑐 β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)𝐷(πΉβ€˜π‘¦)) < 𝑑))))
10842, 107bitrd 279 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (π‘ˆ Cnu𝑉) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((π‘₯𝐢𝑦) < 𝑐 β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)𝐷(πΉβ€˜π‘¦)) < 𝑑))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  βˆ…c0 4323   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232   Γ— cxp 5675  β—‘ccnv 5676  ran crn 5678   β€œ cima 5680  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  0cc0 11110  β„*cxr 11247   < clt 11248  β„+crp 12974  [,)cico 13326  PsMetcpsmet 20928  ballcbl 20931  fBascfbas 20932  filGencfg 20933  metUnifcmetu 20935  UnifOncust 23704   Cnucucn 23780
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-2 12275  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ico 13330  df-psmet 20936  df-bl 20939  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-metu 20943  df-fil 23350  df-ust 23705  df-ucn 23781
This theorem is referenced by:  qqhucn  32972  heicant  36523
  Copyright terms: Public domain W3C validator