MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metucn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metucn 24079
Description: Uniform continuity in metric spaces. Compare the order of the quantifiers with metcn 24051. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Jan-2018.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Feb-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
metucn.u π‘ˆ = (metUnifβ€˜πΆ)
metucn.v 𝑉 = (metUnifβ€˜π·)
metucn.x (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
metucn.y (πœ‘ β†’ π‘Œ β‰  βˆ…)
metucn.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹))
metucn.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘Œ))
Assertion
Ref Expression
metucn (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (π‘ˆ Cnu𝑉) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((π‘₯𝐢𝑦) < 𝑐 β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)𝐷(πΉβ€˜π‘¦)) < 𝑑))))
Distinct variable groups:   𝑐,𝑑,π‘₯,𝑦,𝐢   𝐷,𝑐,𝑑,π‘₯,𝑦   𝐹,𝑐,𝑑,π‘₯,𝑦   π‘₯,π‘ˆ,𝑦   π‘₯,𝑉   𝑋,𝑐,𝑑,π‘₯,𝑦   π‘Œ,𝑐,𝑑,π‘₯,𝑦   πœ‘,𝑐,𝑑,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   π‘ˆ(𝑐,𝑑)   𝑉(𝑦,𝑐,𝑑)

Proof of Theorem metucn
Dummy variables π‘Ž 𝑒 𝑒 𝑣 𝑏 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metucn.u . . . . . 6 π‘ˆ = (metUnifβ€˜πΆ)
2 metucn.c . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹))
3 metuval 24057 . . . . . . 7 (𝐢 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ (metUnifβ€˜πΆ) = ((𝑋 Γ— 𝑋)filGenran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐢 β€œ (0[,)π‘Ž)))))
42, 3syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (metUnifβ€˜πΆ) = ((𝑋 Γ— 𝑋)filGenran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐢 β€œ (0[,)π‘Ž)))))
51, 4eqtrid 2784 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘ˆ = ((𝑋 Γ— 𝑋)filGenran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐢 β€œ (0[,)π‘Ž)))))
6 metucn.v . . . . . 6 𝑉 = (metUnifβ€˜π·)
7 metucn.d . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘Œ))
8 metuval 24057 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘Œ) β†’ (metUnifβ€˜π·) = ((π‘Œ Γ— π‘Œ)filGenran (𝑏 ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)))))
97, 8syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (metUnifβ€˜π·) = ((π‘Œ Γ— π‘Œ)filGenran (𝑏 ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)))))
106, 9eqtrid 2784 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑉 = ((π‘Œ Γ— π‘Œ)filGenran (𝑏 ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)))))
115, 10oveq12d 7426 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ Cnu𝑉) = (((𝑋 Γ— 𝑋)filGenran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐢 β€œ (0[,)π‘Ž)))) Cnu((π‘Œ Γ— π‘Œ)filGenran (𝑏 ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏))))))
1211eleq2d 2819 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (π‘ˆ Cnu𝑉) ↔ 𝐹 ∈ (((𝑋 Γ— 𝑋)filGenran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐢 β€œ (0[,)π‘Ž)))) Cnu((π‘Œ Γ— π‘Œ)filGenran (𝑏 ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)))))))
13 eqid 2732 . . . 4 ((𝑋 Γ— 𝑋)filGenran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐢 β€œ (0[,)π‘Ž)))) = ((𝑋 Γ— 𝑋)filGenran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐢 β€œ (0[,)π‘Ž))))
14 eqid 2732 . . . 4 ((π‘Œ Γ— π‘Œ)filGenran (𝑏 ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)))) = ((π‘Œ Γ— π‘Œ)filGenran (𝑏 ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏))))
15 metucn.x . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
16 oveq2 7416 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = 𝑐 β†’ (0[,)π‘Ž) = (0[,)𝑐))
1716imaeq2d 6059 . . . . . . . 8 (π‘Ž = 𝑐 β†’ (◑𝐢 β€œ (0[,)π‘Ž)) = (◑𝐢 β€œ (0[,)𝑐)))
1817cbvmptv 5261 . . . . . . 7 (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐢 β€œ (0[,)π‘Ž))) = (𝑐 ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐢 β€œ (0[,)𝑐)))
1918rneqi 5936 . . . . . 6 ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐢 β€œ (0[,)π‘Ž))) = ran (𝑐 ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐢 β€œ (0[,)𝑐)))
2019metust 24066 . . . . 5 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐢 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) β†’ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGenran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐢 β€œ (0[,)π‘Ž)))) ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹))
2115, 2, 20syl2anc 584 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGenran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐢 β€œ (0[,)π‘Ž)))) ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹))
22 metucn.y . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ β‰  βˆ…)
23 oveq2 7416 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 𝑑 β†’ (0[,)𝑏) = (0[,)𝑑))
2423imaeq2d 6059 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝑑 β†’ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)) = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑)))
2524cbvmptv 5261 . . . . . . 7 (𝑏 ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏))) = (𝑑 ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑)))
2625rneqi 5936 . . . . . 6 ran (𝑏 ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏))) = ran (𝑑 ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑)))
2726metust 24066 . . . . 5 ((π‘Œ β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘Œ)) β†’ ((π‘Œ Γ— π‘Œ)filGenran (𝑏 ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)))) ∈ (UnifOnβ€˜π‘Œ))
2822, 7, 27syl2anc 584 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘Œ Γ— π‘Œ)filGenran (𝑏 ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)))) ∈ (UnifOnβ€˜π‘Œ))
29 oveq2 7416 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = 𝑒 β†’ (0[,)π‘Ž) = (0[,)𝑒))
3029imaeq2d 6059 . . . . . . . 8 (π‘Ž = 𝑒 β†’ (◑𝐢 β€œ (0[,)π‘Ž)) = (◑𝐢 β€œ (0[,)𝑒)))
3130cbvmptv 5261 . . . . . . 7 (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐢 β€œ (0[,)π‘Ž))) = (𝑒 ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐢 β€œ (0[,)𝑒)))
3231rneqi 5936 . . . . . 6 ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐢 β€œ (0[,)π‘Ž))) = ran (𝑒 ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐢 β€œ (0[,)𝑒)))
3332metustfbas 24065 . . . . 5 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐢 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) β†’ ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐢 β€œ (0[,)π‘Ž))) ∈ (fBasβ€˜(𝑋 Γ— 𝑋)))
3415, 2, 33syl2anc 584 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐢 β€œ (0[,)π‘Ž))) ∈ (fBasβ€˜(𝑋 Γ— 𝑋)))
35 oveq2 7416 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 𝑓 β†’ (0[,)𝑏) = (0[,)𝑓))
3635imaeq2d 6059 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝑓 β†’ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)) = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑓)))
3736cbvmptv 5261 . . . . . . 7 (𝑏 ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏))) = (𝑓 ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑓)))
3837rneqi 5936 . . . . . 6 ran (𝑏 ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏))) = ran (𝑓 ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑓)))
3938metustfbas 24065 . . . . 5 ((π‘Œ β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘Œ)) β†’ ran (𝑏 ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏))) ∈ (fBasβ€˜(π‘Œ Γ— π‘Œ)))
4022, 7, 39syl2anc 584 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran (𝑏 ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏))) ∈ (fBasβ€˜(π‘Œ Γ— π‘Œ)))
4113, 14, 21, 28, 34, 40isucn2 23783 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (((𝑋 Γ— 𝑋)filGenran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐢 β€œ (0[,)π‘Ž)))) Cnu((π‘Œ Γ— π‘Œ)filGenran (𝑏 ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏))))) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘£ ∈ ran (𝑏 ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)))βˆƒπ‘’ ∈ ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐢 β€œ (0[,)π‘Ž)))βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑒𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑣(πΉβ€˜π‘¦)))))
4212, 41bitrd 278 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (π‘ˆ Cnu𝑉) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘£ ∈ ran (𝑏 ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)))βˆƒπ‘’ ∈ ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐢 β€œ (0[,)π‘Ž)))βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑒𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑣(πΉβ€˜π‘¦)))))
43 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑)) = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑))
44 oveq2 7416 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = 𝑑 β†’ (0[,)𝑓) = (0[,)𝑑))
4544imaeq2d 6059 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = 𝑑 β†’ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑓)) = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑)))
4645rspceeqv 3633 . . . . . . . . . 10 ((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑)) = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑))) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ ℝ+ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑)) = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑓)))
4743, 46mpan2 689 . . . . . . . . 9 (𝑑 ∈ ℝ+ β†’ βˆƒπ‘“ ∈ ℝ+ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑)) = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑓)))
4847adantl 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ ℝ+ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑)) = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑓)))
4938metustel 24058 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘Œ) β†’ ((◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑)) ∈ ran (𝑏 ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏))) ↔ βˆƒπ‘“ ∈ ℝ+ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑)) = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑓))))
507, 49syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑)) ∈ ran (𝑏 ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏))) ↔ βˆƒπ‘“ ∈ ℝ+ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑)) = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑓))))
5150adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ ((◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑)) ∈ ran (𝑏 ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏))) ↔ βˆƒπ‘“ ∈ ℝ+ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑)) = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑓))))
5248, 51mpbird 256 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑)) ∈ ran (𝑏 ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏))))
5326metustel 24058 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘Œ) β†’ (𝑣 ∈ ran (𝑏 ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏))) ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ 𝑣 = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑))))
547, 53syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑣 ∈ ran (𝑏 ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏))) ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ 𝑣 = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑))))
55 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑣 = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑))) β†’ 𝑣 = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑)))
5655breqd 5159 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑣 = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑))) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)𝑣(πΉβ€˜π‘¦) ↔ (πΉβ€˜π‘₯)(◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑))(πΉβ€˜π‘¦)))
5756imbi2d 340 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑣 = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑))) β†’ ((π‘₯𝑒𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑣(πΉβ€˜π‘¦)) ↔ (π‘₯𝑒𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)(◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑))(πΉβ€˜π‘¦))))
5857ralbidv 3177 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑣 = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑))) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑒𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑣(πΉβ€˜π‘¦)) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑒𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)(◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑))(πΉβ€˜π‘¦))))
5958rexralbidv 3220 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑣 = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑))) β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐢 β€œ (0[,)π‘Ž)))βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑒𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑣(πΉβ€˜π‘¦)) ↔ βˆƒπ‘’ ∈ ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐢 β€œ (0[,)π‘Ž)))βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑒𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)(◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑))(πΉβ€˜π‘¦))))
6052, 54, 59ralxfr2d 5408 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘£ ∈ ran (𝑏 ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)))βˆƒπ‘’ ∈ ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐢 β€œ (0[,)π‘Ž)))βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑒𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑣(πΉβ€˜π‘¦)) ↔ βˆ€π‘‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘’ ∈ ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐢 β€œ (0[,)π‘Ž)))βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑒𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)(◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑))(πΉβ€˜π‘¦))))
61 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 (◑𝐢 β€œ (0[,)𝑐)) = (◑𝐢 β€œ (0[,)𝑐))
62 oveq2 7416 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑒 = 𝑐 β†’ (0[,)𝑒) = (0[,)𝑐))
6362imaeq2d 6059 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒 = 𝑐 β†’ (◑𝐢 β€œ (0[,)𝑒)) = (◑𝐢 β€œ (0[,)𝑐)))
6463rspceeqv 3633 . . . . . . . . . . 11 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ (◑𝐢 β€œ (0[,)𝑐)) = (◑𝐢 β€œ (0[,)𝑐))) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ ℝ+ (◑𝐢 β€œ (0[,)𝑐)) = (◑𝐢 β€œ (0[,)𝑒)))
6561, 64mpan2 689 . . . . . . . . . 10 (𝑐 ∈ ℝ+ β†’ βˆƒπ‘’ ∈ ℝ+ (◑𝐢 β€œ (0[,)𝑐)) = (◑𝐢 β€œ (0[,)𝑒)))
6665adantl 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ ℝ+ (◑𝐢 β€œ (0[,)𝑐)) = (◑𝐢 β€œ (0[,)𝑒)))
6732metustel 24058 . . . . . . . . . . 11 (𝐢 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ ((◑𝐢 β€œ (0[,)𝑐)) ∈ ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐢 β€œ (0[,)π‘Ž))) ↔ βˆƒπ‘’ ∈ ℝ+ (◑𝐢 β€œ (0[,)𝑐)) = (◑𝐢 β€œ (0[,)𝑒))))
682, 67syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((◑𝐢 β€œ (0[,)𝑐)) ∈ ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐢 β€œ (0[,)π‘Ž))) ↔ βˆƒπ‘’ ∈ ℝ+ (◑𝐢 β€œ (0[,)𝑐)) = (◑𝐢 β€œ (0[,)𝑒))))
6968adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) β†’ ((◑𝐢 β€œ (0[,)𝑐)) ∈ ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐢 β€œ (0[,)π‘Ž))) ↔ βˆƒπ‘’ ∈ ℝ+ (◑𝐢 β€œ (0[,)𝑐)) = (◑𝐢 β€œ (0[,)𝑒))))
7066, 69mpbird 256 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) β†’ (◑𝐢 β€œ (0[,)𝑐)) ∈ ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐢 β€œ (0[,)π‘Ž))))
7119metustel 24058 . . . . . . . . 9 (𝐢 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ (𝑒 ∈ ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐢 β€œ (0[,)π‘Ž))) ↔ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ 𝑒 = (◑𝐢 β€œ (0[,)𝑐))))
722, 71syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑒 ∈ ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐢 β€œ (0[,)π‘Ž))) ↔ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ 𝑒 = (◑𝐢 β€œ (0[,)𝑐))))
73 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑒 = (◑𝐢 β€œ (0[,)𝑐))) β†’ 𝑒 = (◑𝐢 β€œ (0[,)𝑐)))
7473breqd 5159 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑒 = (◑𝐢 β€œ (0[,)𝑐))) β†’ (π‘₯𝑒𝑦 ↔ π‘₯(◑𝐢 β€œ (0[,)𝑐))𝑦))
7574imbi1d 341 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑒 = (◑𝐢 β€œ (0[,)𝑐))) β†’ ((π‘₯𝑒𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)(◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑))(πΉβ€˜π‘¦)) ↔ (π‘₯(◑𝐢 β€œ (0[,)𝑐))𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)(◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑))(πΉβ€˜π‘¦))))
76752ralbidv 3218 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑒 = (◑𝐢 β€œ (0[,)𝑐))) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑒𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)(◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑))(πΉβ€˜π‘¦)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯(◑𝐢 β€œ (0[,)𝑐))𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)(◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑))(πΉβ€˜π‘¦))))
7770, 72, 76rexxfr2d 5409 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐢 β€œ (0[,)π‘Ž)))βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑒𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)(◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑))(πΉβ€˜π‘¦)) ↔ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯(◑𝐢 β€œ (0[,)𝑐))𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)(◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑))(πΉβ€˜π‘¦))))
7877ralbidv 3177 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘’ ∈ ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐢 β€œ (0[,)π‘Ž)))βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑒𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)(◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑))(πΉβ€˜π‘¦)) ↔ βˆ€π‘‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯(◑𝐢 β€œ (0[,)𝑐))𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)(◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑))(πΉβ€˜π‘¦))))
7960, 78bitrd 278 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘£ ∈ ran (𝑏 ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)))βˆƒπ‘’ ∈ ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐢 β€œ (0[,)π‘Ž)))βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑒𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑣(πΉβ€˜π‘¦)) ↔ βˆ€π‘‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯(◑𝐢 β€œ (0[,)𝑐))𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)(◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑))(πΉβ€˜π‘¦))))
8079adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ (βˆ€π‘£ ∈ ran (𝑏 ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)))βˆƒπ‘’ ∈ ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐢 β€œ (0[,)π‘Ž)))βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑒𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑣(πΉβ€˜π‘¦)) ↔ βˆ€π‘‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯(◑𝐢 β€œ (0[,)𝑐))𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)(◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑))(πΉβ€˜π‘¦))))
812ad4antr 730 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐢 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹))
82 simplr 767 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑐 ∈ ℝ+)
83 simprr 771 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑦 ∈ 𝑋)
84 simprl 769 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
85 elbl4 24071 . . . . . . . . . 10 (((𝐢 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑦(ballβ€˜πΆ)𝑐) ↔ π‘₯(◑𝐢 β€œ (0[,)𝑐))𝑦))
86 rpxr 12982 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 ∈ ℝ+ β†’ 𝑐 ∈ ℝ*)
87 elbl3ps 23896 . . . . . . . . . . 11 (((𝐢 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑐 ∈ ℝ*) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑦(ballβ€˜πΆ)𝑐) ↔ (π‘₯𝐢𝑦) < 𝑐))
8886, 87sylanl2 679 . . . . . . . . . 10 (((𝐢 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑦(ballβ€˜πΆ)𝑐) ↔ (π‘₯𝐢𝑦) < 𝑐))
8985, 88bitr3d 280 . . . . . . . . 9 (((𝐢 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯(◑𝐢 β€œ (0[,)𝑐))𝑦 ↔ (π‘₯𝐢𝑦) < 𝑐))
9081, 82, 83, 84, 89syl22anc 837 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯(◑𝐢 β€œ (0[,)𝑐))𝑦 ↔ (π‘₯𝐢𝑦) < 𝑐))
917ad4antr 730 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘Œ))
92 simpllr 774 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑑 ∈ ℝ+)
93 simp-4r 782 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ)
9493, 83ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ π‘Œ)
9593, 84ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ π‘Œ)
96 elbl4 24071 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ ((πΉβ€˜π‘¦) ∈ π‘Œ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ π‘Œ)) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ((πΉβ€˜π‘¦)(ballβ€˜π·)𝑑) ↔ (πΉβ€˜π‘₯)(◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑))(πΉβ€˜π‘¦)))
97 rpxr 12982 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 ∈ ℝ+ β†’ 𝑑 ∈ ℝ*)
98 elbl3ps 23896 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ*) ∧ ((πΉβ€˜π‘¦) ∈ π‘Œ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ π‘Œ)) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ((πΉβ€˜π‘¦)(ballβ€˜π·)𝑑) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯)𝐷(πΉβ€˜π‘¦)) < 𝑑))
9997, 98sylanl2 679 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ ((πΉβ€˜π‘¦) ∈ π‘Œ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ π‘Œ)) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ((πΉβ€˜π‘¦)(ballβ€˜π·)𝑑) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯)𝐷(πΉβ€˜π‘¦)) < 𝑑))
10096, 99bitr3d 280 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ ((πΉβ€˜π‘¦) ∈ π‘Œ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ π‘Œ)) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)(◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑))(πΉβ€˜π‘¦) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯)𝐷(πΉβ€˜π‘¦)) < 𝑑))
10191, 92, 94, 95, 100syl22anc 837 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)(◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑))(πΉβ€˜π‘¦) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯)𝐷(πΉβ€˜π‘¦)) < 𝑑))
10290, 101imbi12d 344 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘₯(◑𝐢 β€œ (0[,)𝑐))𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)(◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑))(πΉβ€˜π‘¦)) ↔ ((π‘₯𝐢𝑦) < 𝑐 β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)𝐷(πΉβ€˜π‘¦)) < 𝑑)))
1031022ralbidva 3216 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯(◑𝐢 β€œ (0[,)𝑐))𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)(◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑))(πΉβ€˜π‘¦)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((π‘₯𝐢𝑦) < 𝑐 β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)𝐷(πΉβ€˜π‘¦)) < 𝑑)))
104103rexbidva 3176 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯(◑𝐢 β€œ (0[,)𝑐))𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)(◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑))(πΉβ€˜π‘¦)) ↔ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((π‘₯𝐢𝑦) < 𝑐 β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)𝐷(πΉβ€˜π‘¦)) < 𝑑)))
105104ralbidva 3175 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯(◑𝐢 β€œ (0[,)𝑐))𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)(◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑))(πΉβ€˜π‘¦)) ↔ βˆ€π‘‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((π‘₯𝐢𝑦) < 𝑐 β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)𝐷(πΉβ€˜π‘¦)) < 𝑑)))
10680, 105bitrd 278 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ (βˆ€π‘£ ∈ ran (𝑏 ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)))βˆƒπ‘’ ∈ ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐢 β€œ (0[,)π‘Ž)))βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑒𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑣(πΉβ€˜π‘¦)) ↔ βˆ€π‘‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((π‘₯𝐢𝑦) < 𝑐 β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)𝐷(πΉβ€˜π‘¦)) < 𝑑)))
107106pm5.32da 579 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘£ ∈ ran (𝑏 ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)))βˆƒπ‘’ ∈ ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐢 β€œ (0[,)π‘Ž)))βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑒𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑣(πΉβ€˜π‘¦))) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((π‘₯𝐢𝑦) < 𝑐 β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)𝐷(πΉβ€˜π‘¦)) < 𝑑))))
10842, 107bitrd 278 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (π‘ˆ Cnu𝑉) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((π‘₯𝐢𝑦) < 𝑐 β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)𝐷(πΉβ€˜π‘¦)) < 𝑑))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  βˆ…c0 4322   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   Γ— cxp 5674  β—‘ccnv 5675  ran crn 5677   β€œ cima 5679  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  0cc0 11109  β„*cxr 11246   < clt 11247  β„+crp 12973  [,)cico 13325  PsMetcpsmet 20927  ballcbl 20930  fBascfbas 20931  filGencfg 20932  metUnifcmetu 20934  UnifOncust 23703   Cnucucn 23779
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-2 12274  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-ico 13329  df-psmet 20935  df-bl 20938  df-fbas 20940  df-fg 20941  df-metu 20942  df-fil 23349  df-ust 23704  df-ucn 23780
This theorem is referenced by:  qqhucn  32967  heicant  36518
  Copyright terms: Public domain W3C validator