Theorem cfilucfil2 24697

Description: Given a metric 𝐷 and a uniform structure generated by that metric, Cauchy filter bases on that uniform structure are exactly the filter bases which contain balls of any pre-chosen size. See iscfil 25403. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Dec-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Feb-2018.)

Assertion

Ref	Expression
cfilucfil2	⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → (𝐶 ∈ (CauFilu‘(metUnif‘𝐷)) ↔ (𝐶 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐶 (𝐷 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐶   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦

Proof of Theorem cfilucfil2

Dummy variables 𝑏 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metuval 24685	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → (metUnif‘𝐷) = ((𝑋 × 𝑋)filGenran (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (◡𝐷 “ (0[,)𝑎)))))
2	1	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → (metUnif‘𝐷) = ((𝑋 × 𝑋)filGenran (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (◡𝐷 “ (0[,)𝑎)))))
3	2	fveq2d 6885	. . 3 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → (CauFilu‘(metUnif‘𝐷)) = (CauFilu‘((𝑋 × 𝑋)filGenran (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (◡𝐷 “ (0[,)𝑎))))))
4	3	eleq2d 2847	. 2 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → (𝐶 ∈ (CauFilu‘(metUnif‘𝐷)) ↔ 𝐶 ∈ (CauFilu‘((𝑋 × 𝑋)filGenran (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (◡𝐷 “ (0[,)𝑎)))))))
5		oveq2 7418	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (0[,)𝑎) = (0[,)𝑏))
6	5	imaeq2d 6062	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (◡𝐷 “ (0[,)𝑎)) = (◡𝐷 “ (0[,)𝑏)))
7	6	cbvmptv 5214	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (◡𝐷 “ (0[,)𝑎))) = (𝑏 ∈ ℝ+ ↦ (◡𝐷 “ (0[,)𝑏)))
8	7	rneqi 5927	. . 3 ⊢ ran (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (◡𝐷 “ (0[,)𝑎))) = ran (𝑏 ∈ ℝ+ ↦ (◡𝐷 “ (0[,)𝑏)))
9	8	cfilucfil 24695	. 2 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → (𝐶 ∈ (CauFilu‘((𝑋 × 𝑋)filGenran (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (◡𝐷 “ (0[,)𝑎))))) ↔ (𝐶 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐶 (𝐷 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥))))
10	4, 9	bitrd 282	1 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → (𝐶 ∈ (CauFilu‘(metUnif‘𝐷)) ↔ (𝐶 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐶 (𝐷 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1568   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ∀wral 3077  ∃wrex 3087   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285   ↦ cmpt 5191   × cxp 5659  ^◡ccnv 5660  ran crn 5662   “ cima 5664  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  0cc0 11099  ℝ⁺crp 13015  [,)cico 13373  PsMetcpsmet 21485  fBascfbas 21489  filGencfg 21490  metUnifcmetu 21492  CauFil_uccfilu 24421

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-rp 13016  df-xneg 13136  df-xadd 13137  df-xmul 13138  df-ico 13377  df-psmet 21493  df-fbas 21498  df-fg 21499  df-metu 21500  df-fil 23982  df-ust 24337  df-cfilu 24422

This theorem is referenced by:  cfilucfil3  25458  cmetcusp  25492