Theorem mircgrextend 27332

Description: Link congruence over a pair of mirror points. cf tgcgrextend 27135. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
mirval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirval.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
mirval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirval.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirval.s	⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
mirtrcgr.e	⊢ ∼ = (cgrG‘𝐺)
mirtrcgr.m	⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝐵)
mirtrcgr.n	⊢ 𝑁 = (𝑆‘𝑌)
mirtrcgr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
mirtrcgr.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
mirtrcgr.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
mirtrcgr.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
mircgrextend.1	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) = (𝑋 − 𝑌))

Assertion

Ref	Expression
mircgrextend	⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝑀‘𝐴)) = (𝑋 − (𝑁‘𝑋)))

Proof of Theorem mircgrextend

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mirval.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		mirval.d	. 2 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		mirval.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		mirval.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5		mirtrcgr.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
6		mirtrcgr.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
7		mirval.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
8		mirval.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
9		mirtrcgr.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝐵)
10	1, 2, 3, 7, 8, 4, 6, 9, 5	mircl 27311	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ 𝑃)
11		mirtrcgr.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
12		mirtrcgr.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
13		mirtrcgr.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (𝑆‘𝑌)
14	1, 2, 3, 7, 8, 4, 12, 13, 11	mircl 27311	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝑃)
15	1, 2, 3, 7, 8, 4, 6, 9, 5	mirbtwn 27308	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((𝑀‘𝐴)𝐼𝐴))
16	1, 2, 3, 4, 10, 6, 5, 15	tgbtwncom 27138	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼(𝑀‘𝐴)))
17	1, 2, 3, 7, 8, 4, 12, 13, 11	mirbtwn 27308	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ((𝑁‘𝑋)𝐼𝑋))
18	1, 2, 3, 4, 14, 12, 11, 17	tgbtwncom 27138	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑋𝐼(𝑁‘𝑋)))
19		mircgrextend.1	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) = (𝑋 − 𝑌))
20	1, 2, 3, 4, 5, 6, 11, 12, 19	tgcgrcomlr 27130	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) = (𝑌 − 𝑋))
21	1, 2, 3, 7, 8, 4, 6, 9, 5	mircgr 27307	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − (𝑀‘𝐴)) = (𝐵 − 𝐴))
22	1, 2, 3, 7, 8, 4, 12, 13, 11	mircgr 27307	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − (𝑁‘𝑋)) = (𝑌 − 𝑋))
23	20, 21, 22	3eqtr4d 2786	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − (𝑀‘𝐴)) = (𝑌 − (𝑁‘𝑋)))
24	1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 11, 12, 14, 16, 18, 19, 23	tgcgrextend 27135	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝑀‘𝐴)) = (𝑋 − (𝑁‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ‘cfv 6479  (class class class)co 7337  Basecbs 17009  distcds 17068  TarskiGcstrkg 27077  Itvcitv 27083  LineGclng 27084  cgrGccgrg 27160  pInvGcmir 27302

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pr 5372

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-id 5518  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-trkgc 27098  df-trkgb 27099  df-trkgcb 27100  df-trkg 27103  df-mir 27303

This theorem is referenced by:  mirtrcgr  27333