Theorem mircl 28949

Description: Closure of the point inversion function. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mirval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirval.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
mirval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirval.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirval.s	⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
mirval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
mirfv.m	⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝐴)
mircl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
mircl	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑋) ∈ 𝑃)

Proof of Theorem mircl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mirval.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		mirval.d	. . 3 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		mirval.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		mirval.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5		mirval.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
6		mirval.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		mirval.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
8		mirfv.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝐴)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	mirf 28948	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀:𝑃⟶𝑃)
10		mircl.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
11	9, 10	ffvelcdmd 7080	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑋) ∈ 𝑃)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  ‘cfv 6536  Basecbs 17275  distcds 17325  TarskiGcstrkg 28707  Itvcitv 28713  LineGclng 28714  pInvGcmir 28940

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pr 5403

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5555  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-trkgc 28728  df-trkgb 28729  df-trkgcb 28730  df-trkg 28733  df-mir 28941

This theorem is used by:  mirmir  28950  mirreu  28952  mireq  28953  miriso  28958  mirmir2  28962  mirln  28964  mirconn  28966  mirhl  28967  mirbtwnhl  28968  mirhl2  28969  mircgrextend  28970  mirtrcgr  28971  miduniq  28973  miduniq1  28974  miduniq2  28975  mirleqb  28982  mirlni  28983  ragcom  28989  ragcol  28990  ragmir  28991  mirrag  28992  ragflat2  28994  ragflat  28995  ragcgr  28998  footexALT  29009  footexlem1  29010  footexlem2  29011  footex  29012  colperpexlem1  29022  colperpexlem3  29024  mideulem2  29026  opphllem  29027  opphllem2  29040  opphllem3  29041  opphllem4  29042  opphllem6  29044  opphl  29046  oppmir  29047  colhp  29063  plngmiropp  29087  nhpmirhp  29091  mirmid  29103  lmieu  29104  lmimid  29114  lmiisolem  29116  hypcgrlem1  29120  hypcgrlem2  29121  hypcgr  29122  sacgr  29153  ragsupplcgra  29159  prlngsymquadlem  29224