MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mircl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mircl 26434
Description: Closure of the point inversion function. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mirval.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirval.d = (dist‘𝐺)
mirval.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirval.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirval.s 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirval.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
mirval.a (𝜑𝐴𝑃)
mirfv.m 𝑀 = (𝑆𝐴)
mircl.x (𝜑𝑋𝑃)
Assertion
Ref Expression
mircl (𝜑 → (𝑀𝑋) ∈ 𝑃)

Proof of Theorem mircl
StepHypRef Expression
1 mirval.p . . 3 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 mirval.d . . 3 = (dist‘𝐺)
3 mirval.i . . 3 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 mirval.l . . 3 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5 mirval.s . . 3 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
6 mirval.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
7 mirval.a . . 3 (𝜑𝐴𝑃)
8 mirfv.m . . 3 𝑀 = (𝑆𝐴)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8mirf 26433 . 2 (𝜑𝑀:𝑃𝑃)
10 mircl.x . 2 (𝜑𝑋𝑃)
119, 10ffvelrnd 6828 1 (𝜑 → (𝑀𝑋) ∈ 𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1537  wcel 2114  cfv 6331  Basecbs 16462  distcds 16553  TarskiGcstrkg 26203  Itvcitv 26209  LineGclng 26210  pInvGcmir 26425
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pr 5306
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-op 4550  df-uni 4815  df-iun 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-id 5436  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-riota 7091  df-ov 7136  df-trkgc 26221  df-trkgb 26222  df-trkgcb 26223  df-trkg 26226  df-mir 26426
This theorem is referenced by:  mirmir  26435  mirreu  26437  mireq  26438  miriso  26443  mirmir2  26447  mirln  26449  mirconn  26451  mirhl  26452  mirbtwnhl  26453  mirhl2  26454  mircgrextend  26455  mirtrcgr  26456  miduniq  26458  miduniq1  26459  miduniq2  26460  ragcom  26471  ragcol  26472  ragmir  26473  mirrag  26474  ragflat2  26476  ragflat  26477  ragcgr  26480  footexALT  26491  footexlem1  26492  footexlem2  26493  footex  26494  colperpexlem1  26503  colperpexlem3  26505  mideulem2  26507  opphllem  26508  opphllem2  26521  opphllem3  26522  opphllem4  26523  opphllem6  26525  opphl  26527  colhp  26543  mirmid  26556  lmieu  26557  lmimid  26567  lmiisolem  26569  hypcgrlem1  26572  hypcgrlem2  26573  hypcgr  26574  sacgr  26604
  Copyright terms: Public domain W3C validator