Theorem mircl 27912

Description: Closure of the point inversion function. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mirval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirval.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
mirval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirval.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirval.s	⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
mirval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
mirfv.m	⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝐴)
mircl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
mircl	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑋) ∈ 𝑃)

Proof of Theorem mircl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mirval.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		mirval.d	. . 3 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		mirval.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		mirval.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5		mirval.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
6		mirval.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		mirval.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
8		mirfv.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝐴)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	mirf 27911	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀:𝑃⟶𝑃)
10		mircl.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
11	9, 10	ffvelcdmd 7088	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑋) ∈ 𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6544  Basecbs 17144  distcds 17206  TarskiGcstrkg 27678  Itvcitv 27684  LineGclng 27685  pInvGcmir 27903

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-trkgc 27699  df-trkgb 27700  df-trkgcb 27701  df-trkg 27704  df-mir 27904

This theorem is referenced by:  mirmir  27913  mirreu  27915  mireq  27916  miriso  27921  mirmir2  27925  mirln  27927  mirconn  27929  mirhl  27930  mirbtwnhl  27931  mirhl2  27932  mircgrextend  27933  mirtrcgr  27934  miduniq  27936  miduniq1  27937  miduniq2  27938  ragcom  27949  ragcol  27950  ragmir  27951  mirrag  27952  ragflat2  27954  ragflat  27955  ragcgr  27958  footexALT  27969  footexlem1  27970  footexlem2  27971  footex  27972  colperpexlem1  27981  colperpexlem3  27983  mideulem2  27985  opphllem  27986  opphllem2  27999  opphllem3  28000  opphllem4  28001  opphllem6  28003  opphl  28005  colhp  28021  mirmid  28034  lmieu  28035  lmimid  28045  lmiisolem  28047  hypcgrlem1  28050  hypcgrlem2  28051  hypcgr  28052  sacgr  28082