Theorem mircl 28975

Description: Closure of the point inversion function. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mirval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirval.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
mirval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirval.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirval.s	⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
mirval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
mirfv.m	⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝐴)
mircl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
mircl	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑋) ∈ 𝑃)

Proof of Theorem mircl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mirval.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		mirval.d	. . 3 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		mirval.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		mirval.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5		mirval.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
6		mirval.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		mirval.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
8		mirfv.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝐴)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	mirf 28974	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀:𝑃⟶𝑃)
10		mircl.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
11	9, 10	ffvelcdmd 7087	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑋) ∈ 𝑃)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6543  Basecbs 17294  distcds 17344  TarskiGcstrkg 28733  Itvcitv 28739  LineGclng 28740  pInvGcmir 28966

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pr 5409

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-trkgc 28754  df-trkgb 28755  df-trkgcb 28756  df-trkg 28759  df-mir 28967

This theorem is used by:  mirmir  28976  mirreu  28978  mireq  28979  miriso  28984  mirmir2  28988  mirln  28990  mirconn  28992  mirhl  28993  mirbtwnhl  28994  mirhl2  28995  mircgrextend  28996  mirtrcgr  28997  miduniq  28999  miduniq1  29000  miduniq2  29001  mirleqb  29008  mirlni  29009  ragcom  29015  ragcol  29016  ragmir  29017  mirrag  29018  ragflat2  29020  ragflat  29021  ragcgr  29024  footexALT  29035  footexlem1  29036  footexlem2  29037  footex  29038  colperpexlem1  29048  colperpexlem3  29050  mideulem2  29052  opphllem  29053  opphllem2  29066  opphllem3  29067  opphllem4  29068  opphllem6  29070  opphl  29072  oppmir  29073  colhp  29089  plngmiropp  29113  nhpmirhp  29117  mirmid  29129  lmieu  29130  lmimid  29140  lmiisolem  29142  hypcgrlem1  29146  hypcgrlem2  29147  hypcgr  29148  sacgr  29179  ragsupplcgra  29185  prlngsymquadlem  29250