Theorem mircl 29166

Description: Closure of the point inversion function. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mirval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirval.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
mirval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirval.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirval.s	⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
mirval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
mirfv.m	⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝐴)
mircl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
mircl	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑋) ∈ 𝑃)

Proof of Theorem mircl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mirval.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		mirval.d	. . 3 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		mirval.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		mirval.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5		mirval.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
6		mirval.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		mirval.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
8		mirfv.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝐴)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	mirf 29165	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀:𝑃⟶𝑃)
10		mircl.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
11	9, 10	ffvelcdmd 7112	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑋) ∈ 𝑃)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6561  Basecbs 17419  distcds 17469  TarskiGcstrkg 28922  Itvcitv 28928  LineGclng 28929  pInvGcmir 29157

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pr 5396

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5551  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-trkgc 28943  df-trkgb 28944  df-trkgcb 28945  df-trkg 28948  df-mir 29158

This theorem is used by:  mirmir  29167  mirreu  29169  mireq  29170  miriso  29175  mirmir2  29179  mirln  29181  mirconn  29183  mirhl  29184  mirbtwnhl  29185  mirhl2  29186  mircgrextend  29187  mirtrcgr  29188  miduniq  29190  miduniq1  29191  miduniq2  29192  mirleqb  29199  mirlni  29200  ragcom  29206  ragcol  29207  ragmir  29208  mirrag  29209  ragflat2  29211  ragflat  29212  ragcgr  29215  footexALT  29226  footexlem1  29227  footexlem2  29228  footex  29229  colperpexlem1  29239  colperpexlem3  29241  mideulem2  29243  opphllem  29244  opphllem2  29257  opphllem3  29258  opphllem4  29259  opphllem6  29261  opphl  29263  oppmir  29265  colhp  29281  plngmiropp  29305  nhpmirhp  29309  mirmid  29321  lmieu  29322  lmimid  29332  lmiisolem  29334  hypcgrlem1  29338  hypcgrlem2  29339  hypcgr  29340  sacgr  29372  ragsupplcgra  29378  tgaaddcpbllem1  29382  tgaaddcpbllem2  29383  tgaaddcpbl  29385  prlngsymquadlem  29474  tgmircgrg  33098  tgmircgra  33099  tgextalem1inag  33103  tgextale  33104  tgextamirnhl  33105  tgextahp  33106  tgextancgra  33107