Theorem mircl 28745

Description: Closure of the point inversion function. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mirval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirval.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
mirval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirval.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirval.s	⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
mirval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
mirfv.m	⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝐴)
mircl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
mircl	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑋) ∈ 𝑃)

Proof of Theorem mircl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mirval.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		mirval.d	. . 3 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		mirval.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		mirval.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5		mirval.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
6		mirval.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		mirval.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
8		mirfv.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝐴)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	mirf 28744	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀:𝑃⟶𝑃)
10		mircl.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
11	9, 10	ffvelcdmd 7039	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑋) ∈ 𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6500  Basecbs 17148  distcds 17198  TarskiGcstrkg 28511  Itvcitv 28517  LineGclng 28518  pInvGcmir 28736

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5379

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-trkgc 28532  df-trkgb 28533  df-trkgcb 28534  df-trkg 28537  df-mir 28737

This theorem is referenced by:  mirmir  28746  mirreu  28748  mireq  28749  miriso  28754  mirmir2  28758  mirln  28760  mirconn  28762  mirhl  28763  mirbtwnhl  28764  mirhl2  28765  mircgrextend  28766  mirtrcgr  28767  miduniq  28769  miduniq1  28770  miduniq2  28771  ragcom  28782  ragcol  28783  ragmir  28784  mirrag  28785  ragflat2  28787  ragflat  28788  ragcgr  28791  footexALT  28802  footexlem1  28803  footexlem2  28804  footex  28805  colperpexlem1  28814  colperpexlem3  28816  mideulem2  28818  opphllem  28819  opphllem2  28832  opphllem3  28833  opphllem4  28834  opphllem6  28836  opphl  28838  colhp  28854  mirmid  28867  lmieu  28868  lmimid  28878  lmiisolem  28880  hypcgrlem1  28883  hypcgrlem2  28884  hypcgr  28885  sacgr  28915