Theorem mircl 29139

Description: Closure of the point inversion function. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mirval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirval.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
mirval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirval.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirval.s	⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
mirval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
mirfv.m	⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝐴)
mircl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
mircl	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑋) ∈ 𝑃)

Proof of Theorem mircl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mirval.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		mirval.d	. . 3 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		mirval.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		mirval.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5		mirval.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
6		mirval.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		mirval.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
8		mirfv.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝐴)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	mirf 29138	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀:𝑃⟶𝑃)
10		mircl.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
11	9, 10	ffvelcdmd 7086	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑋) ∈ 𝑃)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6539  Basecbs 17393  distcds 17443  TarskiGcstrkg 28895  Itvcitv 28901  LineGclng 28902  pInvGcmir 29130

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-trkgc 28916  df-trkgb 28917  df-trkgcb 28918  df-trkg 28921  df-mir 29131

This theorem is used by:  mirmir  29140  mirreu  29142  mireq  29143  miriso  29148  mirmir2  29152  mirln  29154  mirconn  29156  mirhl  29157  mirbtwnhl  29158  mirhl2  29159  mircgrextend  29160  mirtrcgr  29161  miduniq  29163  miduniq1  29164  miduniq2  29165  mirleqb  29172  mirlni  29173  ragcom  29179  ragcol  29180  ragmir  29181  mirrag  29182  ragflat2  29184  ragflat  29185  ragcgr  29188  footexALT  29199  footexlem1  29200  footexlem2  29201  footex  29202  colperpexlem1  29212  colperpexlem3  29214  mideulem2  29216  opphllem  29217  opphllem2  29230  opphllem3  29231  opphllem4  29232  opphllem6  29234  opphl  29236  oppmir  29238  colhp  29254  plngmiropp  29278  nhpmirhp  29282  mirmid  29294  lmieu  29295  lmimid  29305  lmiisolem  29307  hypcgrlem1  29311  hypcgrlem2  29312  hypcgr  29313  sacgr  29345  ragsupplcgra  29351  tgaaddcpbllem1  29355  tgaaddcpbllem2  29356  tgaaddcpbl  29358  prlngsymquadlem  29447  tgmircgrg  33071  tgmircgra  33072  tgextalem1inag  33076  tgextale  33077  tgextamirnhl  33078  tgextahp  33079  tgextancgra  33080