Theorem mirhl2 27911

Description: Deduce half-line relation from mirror point. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
mirval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirval.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
mirval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirval.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirval.s	⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
mirhl.m	⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝐴)
mirhl.k	⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
mirhl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
mirhl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
mirhl.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
mirhl.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
mirhl2.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝐴)
mirhl2.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝐴)
mirhl2.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑋𝐼(𝑀‘𝑌)))

Assertion

Ref	Expression
mirhl2	⊢ (𝜑 → 𝑋(𝐾‘𝐴)𝑌)

Proof of Theorem mirhl2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mirhl2.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝐴)
2		mirhl2.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝐴)
3		mirval.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
4		mirval.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5		mirval.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		mirval.d	. . . 4 ⊢ − = (dist‘𝐺)
7		mirval.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
8		mirval.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
9		mirhl.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
10		mirhl.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝐴)
11		mirhl.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
12	3, 6, 4, 7, 8, 5, 9, 10, 11	mircl 27891	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑌) ∈ 𝑃)
13		mirhl.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
14	3, 6, 4, 7, 8, 5, 9, 10, 11, 2	mirne 27897	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑌) ≠ 𝐴)
15		mirhl2.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑋𝐼(𝑀‘𝑌)))
16	3, 6, 4, 5, 13, 9, 12, 15	tgbtwncom 27718	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((𝑀‘𝑌)𝐼𝑋))
17	3, 6, 4, 7, 8, 5, 9, 10, 11	mirbtwn 27888	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((𝑀‘𝑌)𝐼𝑌))
18	3, 4, 5, 12, 9, 13, 11, 14, 16, 17	tgbtwnconn2 27806	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝐴𝐼𝑋)))
19		mirhl.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
20	3, 4, 19, 13, 11, 9, 5	ishlg 27832	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋(𝐾‘𝐴)𝑌 ↔ (𝑋 ≠ 𝐴 ∧ 𝑌 ≠ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝐴𝐼𝑋)))))
21	1, 2, 18, 20	mpbir3and 1343	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋(𝐾‘𝐴)𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941   class class class wbr 5146  ‘cfv 6539  (class class class)co 7403  Basecbs 17139  distcds 17201  TarskiGcstrkg 27657  Itvcitv 27663  LineGclng 27664  hlGchlg 27830  pInvGcmir 27882

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5283  ax-sep 5297  ax-nul 5304  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7719  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4527  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4907  df-int 4949  df-iun 4997  df-br 5147  df-opab 5209  df-mpt 5230  df-tr 5264  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6296  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6491  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7359  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8460  df-oadd 8464  df-er 8698  df-pm 8818  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-dju 9891  df-card 9929  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11441  df-neg 11442  df-nn 12208  df-2 12270  df-3 12271  df-n0 12468  df-xnn0 12540  df-z 12554  df-uz 12818  df-fz 13480  df-fzo 13623  df-hash 14286  df-word 14460  df-concat 14516  df-s1 14541  df-s2 14794  df-s3 14795  df-trkgc 27678  df-trkgb 27679  df-trkgcb 27680  df-trkg 27683  df-cgrg 27741  df-hlg 27831  df-mir 27883

This theorem is referenced by:  colhp  28000  sacgr  28061