MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mirhl2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mirhl2 28498
Description: Deduce half-line relation from mirror point. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
mirval.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
mirval.d βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
mirval.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
mirval.l 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
mirval.s 𝑆 = (pInvGβ€˜πΊ)
mirval.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
mirhl.m 𝑀 = (π‘†β€˜π΄)
mirhl.k 𝐾 = (hlGβ€˜πΊ)
mirhl.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
mirhl.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
mirhl.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑃)
mirhl.z (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑃)
mirhl2.1 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  𝐴)
mirhl2.2 (πœ‘ β†’ π‘Œ β‰  𝐴)
mirhl2.3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼(π‘€β€˜π‘Œ)))
Assertion
Ref Expression
mirhl2 (πœ‘ β†’ 𝑋(πΎβ€˜π΄)π‘Œ)

Proof of Theorem mirhl2
StepHypRef Expression
1 mirhl2.1 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  𝐴)
2 mirhl2.2 . 2 (πœ‘ β†’ π‘Œ β‰  𝐴)
3 mirval.p . . 3 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
4 mirval.i . . 3 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
5 mirval.g . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
6 mirval.d . . . 4 βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
7 mirval.l . . . 4 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
8 mirval.s . . . 4 𝑆 = (pInvGβ€˜πΊ)
9 mirhl.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
10 mirhl.m . . . 4 𝑀 = (π‘†β€˜π΄)
11 mirhl.y . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑃)
123, 6, 4, 7, 8, 5, 9, 10, 11mircl 28478 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π‘Œ) ∈ 𝑃)
13 mirhl.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
143, 6, 4, 7, 8, 5, 9, 10, 11, 2mirne 28484 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π‘Œ) β‰  𝐴)
15 mirhl2.3 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼(π‘€β€˜π‘Œ)))
163, 6, 4, 5, 13, 9, 12, 15tgbtwncom 28305 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ((π‘€β€˜π‘Œ)𝐼𝑋))
173, 6, 4, 7, 8, 5, 9, 10, 11mirbtwn 28475 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ((π‘€β€˜π‘Œ)πΌπ‘Œ))
183, 4, 5, 12, 9, 13, 11, 14, 16, 17tgbtwnconn2 28393 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ (π΄πΌπ‘Œ) ∨ π‘Œ ∈ (𝐴𝐼𝑋)))
19 mirhl.k . . 3 𝐾 = (hlGβ€˜πΊ)
203, 4, 19, 13, 11, 9, 5ishlg 28419 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑋(πΎβ€˜π΄)π‘Œ ↔ (𝑋 β‰  𝐴 ∧ π‘Œ β‰  𝐴 ∧ (𝑋 ∈ (π΄πΌπ‘Œ) ∨ π‘Œ ∈ (𝐴𝐼𝑋)))))
211, 2, 18, 20mpbir3and 1340 1 (πœ‘ β†’ 𝑋(πΎβ€˜π΄)π‘Œ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∨ wo 846   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2937   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  Basecbs 17180  distcds 17242  TarskiGcstrkg 28244  Itvcitv 28250  LineGclng 28251  hlGchlg 28417  pInvGcmir 28469
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-oadd 8491  df-er 8725  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-dju 9925  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-n0 12504  df-xnn0 12576  df-z 12590  df-uz 12854  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-hash 14323  df-word 14498  df-concat 14554  df-s1 14579  df-s2 14832  df-s3 14833  df-trkgc 28265  df-trkgb 28266  df-trkgcb 28267  df-trkg 28270  df-cgrg 28328  df-hlg 28418  df-mir 28470
This theorem is referenced by:  colhp  28587  sacgr  28648
  Copyright terms: Public domain W3C validator