Theorem tgcgrcomlr 26839

Description: Congruence commutes on both sides. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Mar-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tkgeom.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tkgeom.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
tkgeom.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tkgeom.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tgcgrcomlr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
tgcgrcomlr.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
tgcgrcomlr.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
tgcgrcomlr.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
tgcgrcomlr.6	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
tgcgrcomlr	⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) = (𝐷 − 𝐶))

Proof of Theorem tgcgrcomlr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgcgrcomlr.6	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝐷))
2		tkgeom.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
3		tkgeom.d	. . 3 ⊢ − = (dist‘𝐺)
4		tkgeom.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5		tkgeom.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		tgcgrcomlr.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
7		tgcgrcomlr.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
8	2, 3, 4, 5, 6, 7	axtgcgrrflx 26821	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐴))
9		tgcgrcomlr.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
10		tgcgrcomlr.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
11	2, 3, 4, 5, 9, 10	axtgcgrrflx 26821	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐷) = (𝐷 − 𝐶))
12	1, 8, 11	3eqtr3d 2788	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) = (𝐷 − 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2110  ‘cfv 6432  (class class class)co 7271  Basecbs 16910  distcds 16969  TarskiGcstrkg 26786  Itvcitv 26792

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-nul 5234

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-ral 3071  df-rex 3072  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-br 5080  df-iota 6390  df-fv 6440  df-ov 7274  df-trkgc 26807  df-trkg 26812

This theorem is referenced by:  tgcgrextend  26844  tgifscgr  26867  tgcgrsub  26868  iscgrglt  26873  trgcgrg  26874  tgcgrxfr  26877  cgr3swap12  26882  cgr3swap23  26883  tgbtwnxfr  26889  lnext  26926  tgbtwnconn1lem1  26931  tgbtwnconn1lem2  26932  tgbtwnconn1lem3  26933  tgbtwnconn1  26934  legov2  26945  legtri3  26949  legbtwn  26953  tgcgrsub2  26954  miriso  27029  mircgrextend  27041  mirtrcgr  27042  miduniq  27044  colmid  27047  symquadlem  27048  krippenlem  27049  midexlem  27051  ragcom  27057  ragflat  27063  ragcgr  27066  footexALT  27077  footexlem1  27078  footexlem2  27079  colperpexlem1  27089  mideulem2  27093  opphllem  27094  opphllem3  27108  lmiisolem  27155  hypcgrlem1  27158  trgcopy  27163  trgcopyeulem  27164  iscgra1  27169  cgracgr  27177  cgraswap  27179  cgrcgra  27180  cgracom  27181  cgratr  27182  flatcgra  27183  dfcgra2  27189  acopy  27192  acopyeu  27193  cgrg3col4  27212  tgsas1  27213  tgsas3  27216  tgasa1  27217