MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mirf1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mirf1o 27497
Description: The point inversion function 𝑀 is a bijection. Theorem 7.11 of [Schwabhauser] p. 50. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mirval.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirval.d = (dist‘𝐺)
mirval.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirval.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirval.s 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirval.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
mirval.a (𝜑𝐴𝑃)
mirfv.m 𝑀 = (𝑆𝐴)
Assertion
Ref Expression
mirf1o (𝜑𝑀:𝑃1-1-onto𝑃)

Proof of Theorem mirf1o
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mirval.p . . . 4 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 mirval.d . . . 4 = (dist‘𝐺)
3 mirval.i . . . 4 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 mirval.l . . . 4 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5 mirval.s . . . 4 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
6 mirval.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
7 mirval.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑃)
8 mirfv.m . . . 4 𝑀 = (𝑆𝐴)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8mirf 27488 . . 3 (𝜑𝑀:𝑃𝑃)
109ffnd 6666 . 2 (𝜑𝑀 Fn 𝑃)
116adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝑃) → 𝐺 ∈ TarskiG)
127adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝑃) → 𝐴𝑃)
13 simpr 485 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝑃) → 𝑎𝑃)
141, 2, 3, 4, 5, 11, 12, 8, 13mirmir 27490 . . . 4 ((𝜑𝑎𝑃) → (𝑀‘(𝑀𝑎)) = 𝑎)
1514ralrimiva 3141 . . 3 (𝜑 → ∀𝑎𝑃 (𝑀‘(𝑀𝑎)) = 𝑎)
16 nvocnv 7223 . . 3 ((𝑀:𝑃𝑃 ∧ ∀𝑎𝑃 (𝑀‘(𝑀𝑎)) = 𝑎) → 𝑀 = 𝑀)
179, 15, 16syl2anc 584 . 2 (𝜑𝑀 = 𝑀)
18 nvof1o 7222 . 2 ((𝑀 Fn 𝑃𝑀 = 𝑀) → 𝑀:𝑃1-1-onto𝑃)
1910, 17, 18syl2anc 584 1 (𝜑𝑀:𝑃1-1-onto𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3062  ccnv 5630   Fn wfn 6488  wf 6489  1-1-ontowf1o 6492  cfv 6493  Basecbs 17075  distcds 17134  TarskiGcstrkg 27255  Itvcitv 27261  LineGclng 27262  pInvGcmir 27480
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pr 5382
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-id 5529  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7309  df-ov 7356  df-trkgc 27276  df-trkgb 27277  df-trkgcb 27278  df-trkg 27281  df-mir 27481
This theorem is referenced by:  mirmot  27503
  Copyright terms: Public domain W3C validator