MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mircinv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mircinv 25987
Description: The center point is invariant of a point inversion. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mirval.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirval.d = (dist‘𝐺)
mirval.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirval.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirval.s 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirval.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
mirval.a (𝜑𝐴𝑃)
mirfv.m 𝑀 = (𝑆𝐴)
Assertion
Ref Expression
mircinv (𝜑 → (𝑀𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem mircinv
StepHypRef Expression
1 eqid 2825 . 2 𝐴 = 𝐴
2 mirval.p . . 3 𝑃 = (Base‘𝐺)
3 mirval.d . . 3 = (dist‘𝐺)
4 mirval.i . . 3 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5 mirval.l . . 3 𝐿 = (LineG‘𝐺)
6 mirval.s . . 3 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
7 mirval.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
8 mirval.a . . 3 (𝜑𝐴𝑃)
9 mirfv.m . . 3 𝑀 = (𝑆𝐴)
102, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 8mirinv 25985 . 2 (𝜑 → ((𝑀𝐴) = 𝐴𝐴 = 𝐴))
111, 10mpbiri 250 1 (𝜑 → (𝑀𝐴) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1656  wcel 2164  cfv 6127  Basecbs 16229  distcds 16321  TarskiGcstrkg 25749  Itvcitv 25755  LineGclng 25756  pInvGcmir 25971
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pr 5129
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-op 4406  df-uni 4661  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-id 5252  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-trkgc 25767  df-trkgb 25768  df-trkgcb 25769  df-trkg 25772  df-mir 25972
This theorem is referenced by:  mirln  25995  mirconn  25997  mirbtwnhl  25999  mirhl2  26000  midexlem  26011  ragtrivb  26021  colperpexlem1  26046  colperpexlem3  26048  midex  26053  lmieu  26100
  Copyright terms: Public domain W3C validator