MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mircinv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mircinv 28465
Description: The center point is invariant of a point inversion. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mirval.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirval.d = (dist‘𝐺)
mirval.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirval.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirval.s 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirval.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
mirval.a (𝜑𝐴𝑃)
mirfv.m 𝑀 = (𝑆𝐴)
Assertion
Ref Expression
mircinv (𝜑 → (𝑀𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem mircinv
StepHypRef Expression
1 eqid 2727 . 2 𝐴 = 𝐴
2 mirval.p . . 3 𝑃 = (Base‘𝐺)
3 mirval.d . . 3 = (dist‘𝐺)
4 mirval.i . . 3 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5 mirval.l . . 3 𝐿 = (LineG‘𝐺)
6 mirval.s . . 3 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
7 mirval.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
8 mirval.a . . 3 (𝜑𝐴𝑃)
9 mirfv.m . . 3 𝑀 = (𝑆𝐴)
102, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 8mirinv 28463 . 2 (𝜑 → ((𝑀𝐴) = 𝐴𝐴 = 𝐴))
111, 10mpbiri 258 1 (𝜑 → (𝑀𝐴) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1534  wcel 2099  cfv 6542  Basecbs 17173  distcds 17235  TarskiGcstrkg 28224  Itvcitv 28230  LineGclng 28231  pInvGcmir 28449
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pr 5423
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-trkgc 28245  df-trkgb 28246  df-trkgcb 28247  df-trkg 28250  df-mir 28450
This theorem is referenced by:  mirln  28473  mirconn  28475  mirbtwnhl  28477  midexlem  28489  ragtrivb  28499  colperpexlem1  28527  colperpexlem3  28529  midex  28534  lmieu  28581
  Copyright terms: Public domain W3C validator