Theorem mircinv 28174

Description: The center point is invariant of a point inversion. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mirval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirval.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
mirval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirval.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirval.s	⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
mirval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
mirfv.m	⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
mircinv	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem mircinv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2732	. 2 ⊢ 𝐴 = 𝐴
2		mirval.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
3		mirval.d	. . 3 ⊢ − = (dist‘𝐺)
4		mirval.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5		mirval.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
6		mirval.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
7		mirval.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
8		mirval.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
9		mirfv.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝐴)
10	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 8	mirinv 28172	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝐴) = 𝐴 ↔ 𝐴 = 𝐴))
11	1, 10	mpbiri 257	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6543  Basecbs 17148  distcds 17210  TarskiGcstrkg 27933  Itvcitv 27939  LineGclng 27940  pInvGcmir 28158

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-trkgc 27954  df-trkgb 27955  df-trkgcb 27956  df-trkg 27959  df-mir 28159

This theorem is referenced by:  mirln  28182  mirconn  28184  mirbtwnhl  28186  midexlem  28198  ragtrivb  28208  colperpexlem1  28236  colperpexlem3  28238  midex  28243  lmieu  28290