Theorem mircinv 27029

Description: The center point is invariant of a point inversion. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mirval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirval.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
mirval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirval.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirval.s	⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
mirval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
mirfv.m	⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
mircinv	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem mircinv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. 2 ⊢ 𝐴 = 𝐴
2		mirval.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
3		mirval.d	. . 3 ⊢ − = (dist‘𝐺)
4		mirval.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5		mirval.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
6		mirval.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
7		mirval.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
8		mirval.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
9		mirfv.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝐴)
10	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 8	mirinv 27027	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝐴) = 𝐴 ↔ 𝐴 = 𝐴))
11	1, 10	mpbiri 257	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6433  Basecbs 16912  distcds 16971  TarskiGcstrkg 26788  Itvcitv 26794  LineGclng 26795  pInvGcmir 27013

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-trkgc 26809  df-trkgb 26810  df-trkgcb 26811  df-trkg 26814  df-mir 27014

This theorem is referenced by:  mirln  27037  mirconn  27039  mirbtwnhl  27041  midexlem  27053  ragtrivb  27063  colperpexlem1  27091  colperpexlem3  27093  midex  27098  lmieu  27145