MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mircinv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mircinv 28691
Description: The center point is invariant of a point inversion. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mirval.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirval.d = (dist‘𝐺)
mirval.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirval.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirval.s 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirval.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
mirval.a (𝜑𝐴𝑃)
mirfv.m 𝑀 = (𝑆𝐴)
Assertion
Ref Expression
mircinv (𝜑 → (𝑀𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem mircinv
StepHypRef Expression
1 eqid 2735 . 2 𝐴 = 𝐴
2 mirval.p . . 3 𝑃 = (Base‘𝐺)
3 mirval.d . . 3 = (dist‘𝐺)
4 mirval.i . . 3 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5 mirval.l . . 3 𝐿 = (LineG‘𝐺)
6 mirval.s . . 3 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
7 mirval.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
8 mirval.a . . 3 (𝜑𝐴𝑃)
9 mirfv.m . . 3 𝑀 = (𝑆𝐴)
102, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 8mirinv 28689 . 2 (𝜑 → ((𝑀𝐴) = 𝐴𝐴 = 𝐴))
111, 10mpbiri 258 1 (𝜑 → (𝑀𝐴) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1537  wcel 2106  cfv 6563  Basecbs 17245  distcds 17307  TarskiGcstrkg 28450  Itvcitv 28456  LineGclng 28457  pInvGcmir 28675
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-trkgc 28471  df-trkgb 28472  df-trkgcb 28473  df-trkg 28476  df-mir 28676
This theorem is referenced by:  mirln  28699  mirconn  28701  mirbtwnhl  28703  midexlem  28715  ragtrivb  28725  colperpexlem1  28753  colperpexlem3  28755  midex  28760  lmieu  28807
  Copyright terms: Public domain W3C validator