Theorem mircinv 28814

Description: The center point is invariant of a point inversion. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mirval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirval.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
mirval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirval.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirval.s	⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
mirval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
mirfv.m	⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
mircinv	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem mircinv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. 2 ⊢ 𝐴 = 𝐴
2		mirval.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
3		mirval.d	. . 3 ⊢ − = (dist‘𝐺)
4		mirval.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5		mirval.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
6		mirval.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
7		mirval.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
8		mirval.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
9		mirfv.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝐴)
10	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 8	mirinv 28812	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝐴) = 𝐴 ↔ 𝐴 = 𝐴))
11	1, 10	mpbiri 260	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ‘cfv 6517  Basecbs 17228  distcds 17278  TarskiGcstrkg 28573  Itvcitv 28579  LineGclng 28580  pInvGcmir 28798

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pr 5389

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5540  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-trkgc 28594  df-trkgb 28595  df-trkgcb 28596  df-trkg 28599  df-mir 28799

This theorem is referenced by:  mirln  28822  mirconn  28824  mirbtwnhl  28826  midexlem  28838  ragtrivb  28848  colperpexlem1  28876  colperpexlem3  28878  midex  28883  lmieu  28930