Theorem mirmir 26927

Description: The point inversion function is an involution. Theorem 7.7 of [Schwabhauser] p. 49. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mirval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirval.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
mirval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirval.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirval.s	⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
mirval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
mirfv.m	⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝐴)
mirmir.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
mirmir	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑀‘𝐵)) = 𝐵)

Proof of Theorem mirmir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mirval.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		mirval.d	. . 3 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		mirval.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		mirval.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5		mirval.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
6		mirval.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		mirval.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
8		mirfv.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝐴)
9		mirmir.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	mircl 26926	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐵) ∈ 𝑃)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	mircgr 26922	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝑀‘𝐵)) = (𝐴 − 𝐵))
12	11	eqcomd 2744	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) = (𝐴 − (𝑀‘𝐵)))
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	mirbtwn 26923	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((𝑀‘𝐵)𝐼𝐵))
14	1, 2, 3, 6, 10, 7, 9, 13	tgbtwncom 26753	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐵𝐼(𝑀‘𝐵)))
15	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 9, 12, 14	ismir 26924	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝑀‘(𝑀‘𝐵)))
16	15	eqcomd 2744	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑀‘𝐵)) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840  distcds 16897  TarskiGcstrkg 26693  Itvcitv 26699  LineGclng 26700  pInvGcmir 26917

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-trkgc 26713  df-trkgb 26714  df-trkgcb 26715  df-trkg 26718  df-mir 26918

This theorem is referenced by:  mircom  26928  mirreu  26929  mireq  26930  mirne  26932  mirf1o  26934  mirbtwnb  26937  miduniq2  26952  ragcom  26963  ragmir  26965  colperpexlem1  26995  colperpexlem2  26996  opphllem2  27013  opphllem3  27014  opphllem4  27015  opphllem6  27017  opphl  27019  colhp  27035  sacgr  27096