Theorem mirmir 29143

Description: The point inversion function is an involution. Theorem 7.7 of [Schwabhauser] p. 49. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mirval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirval.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
mirval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirval.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirval.s	⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
mirval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
mirfv.m	⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝐴)
mirmir.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
mirmir	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑀‘𝐵)) = 𝐵)

Proof of Theorem mirmir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mirval.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		mirval.d	. . 3 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		mirval.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		mirval.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5		mirval.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
6		mirval.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		mirval.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
8		mirfv.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝐴)
9		mirmir.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	mircl 29142	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐵) ∈ 𝑃)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	mircgr 29138	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝑀‘𝐵)) = (𝐴 − 𝐵))
12	11	eqcomd 2766	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) = (𝐴 − (𝑀‘𝐵)))
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	mirbtwn 29139	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((𝑀‘𝐵)𝐼𝐵))
14	1, 2, 3, 6, 10, 7, 9, 13	tgbtwncom 28960	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐵𝐼(𝑀‘𝐵)))
15	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 9, 12, 14	ismir 29140	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝑀‘(𝑀‘𝐵)))
16	15	eqcomd 2766	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑀‘𝐵)) = 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  Basecbs 17396  distcds 17446  TarskiGcstrkg 28898  Itvcitv 28904  LineGclng 28905  pInvGcmir 29133

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-trkgc 28919  df-trkgb 28920  df-trkgcb 28921  df-trkg 28924  df-mir 29134

This theorem is used by:  mircom  29144  mirreu  29145  mireq  29146  mirne  29148  mirf1o  29150  mirbtwnb  29153  miduniq2  29168  ragcom  29182  ragmir  29184  colperpexlem1  29215  colperpexlem2  29216  opphllem2  29233  opphllem3  29234  opphllem4  29235  opphllem6  29237  opphl  29239  oppmir  29241  colhp  29257  sacgr  29348  tgaaddcpbllem1  29358  tgaaddcpbl  29361  prlngmolem2  29440  tgmircgrg  33074  tgextamirn  33076