Theorem mirmir 27944

Description: The point inversion function is an involution. Theorem 7.7 of [Schwabhauser] p. 49. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mirval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirval.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
mirval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirval.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirval.s	⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
mirval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
mirfv.m	⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝐴)
mirmir.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
mirmir	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑀‘𝐵)) = 𝐵)

Proof of Theorem mirmir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mirval.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		mirval.d	. . 3 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		mirval.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		mirval.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5		mirval.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
6		mirval.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		mirval.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
8		mirfv.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝐴)
9		mirmir.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	mircl 27943	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐵) ∈ 𝑃)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	mircgr 27939	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝑀‘𝐵)) = (𝐴 − 𝐵))
12	11	eqcomd 2739	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) = (𝐴 − (𝑀‘𝐵)))
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	mirbtwn 27940	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((𝑀‘𝐵)𝐼𝐵))
14	1, 2, 3, 6, 10, 7, 9, 13	tgbtwncom 27770	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐵𝐼(𝑀‘𝐵)))
15	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 9, 12, 14	ismir 27941	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝑀‘(𝑀‘𝐵)))
16	15	eqcomd 2739	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑀‘𝐵)) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  distcds 17206  TarskiGcstrkg 27709  Itvcitv 27715  LineGclng 27716  pInvGcmir 27934

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-trkgc 27730  df-trkgb 27731  df-trkgcb 27732  df-trkg 27735  df-mir 27935

This theorem is referenced by:  mircom  27945  mirreu  27946  mireq  27947  mirne  27949  mirf1o  27951  mirbtwnb  27954  miduniq2  27969  ragcom  27980  ragmir  27982  colperpexlem1  28012  colperpexlem2  28013  opphllem2  28030  opphllem3  28031  opphllem4  28032  opphllem6  28034  opphl  28036  colhp  28052  sacgr  28113