MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mirmir Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mirmir 26753
Description: The point inversion function is an involution. Theorem 7.7 of [Schwabhauser] p. 49. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mirval.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirval.d = (dist‘𝐺)
mirval.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirval.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirval.s 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirval.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
mirval.a (𝜑𝐴𝑃)
mirfv.m 𝑀 = (𝑆𝐴)
mirmir.b (𝜑𝐵𝑃)
Assertion
Ref Expression
mirmir (𝜑 → (𝑀‘(𝑀𝐵)) = 𝐵)

Proof of Theorem mirmir
StepHypRef Expression
1 mirval.p . . 3 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 mirval.d . . 3 = (dist‘𝐺)
3 mirval.i . . 3 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 mirval.l . . 3 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5 mirval.s . . 3 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
6 mirval.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
7 mirval.a . . 3 (𝜑𝐴𝑃)
8 mirfv.m . . 3 𝑀 = (𝑆𝐴)
9 mirmir.b . . . 4 (𝜑𝐵𝑃)
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9mircl 26752 . . 3 (𝜑 → (𝑀𝐵) ∈ 𝑃)
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9mircgr 26748 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 (𝑀𝐵)) = (𝐴 𝐵))
1211eqcomd 2743 . . 3 (𝜑 → (𝐴 𝐵) = (𝐴 (𝑀𝐵)))
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9mirbtwn 26749 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ((𝑀𝐵)𝐼𝐵))
141, 2, 3, 6, 10, 7, 9, 13tgbtwncom 26579 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ (𝐵𝐼(𝑀𝐵)))
151, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 9, 12, 14ismir 26750 . 2 (𝜑𝐵 = (𝑀‘(𝑀𝐵)))
1615eqcomd 2743 1 (𝜑 → (𝑀‘(𝑀𝐵)) = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1543  wcel 2110  cfv 6380  (class class class)co 7213  Basecbs 16760  distcds 16811  TarskiGcstrkg 26521  Itvcitv 26527  LineGclng 26528  pInvGcmir 26743
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pr 5322
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-trkgc 26539  df-trkgb 26540  df-trkgcb 26541  df-trkg 26544  df-mir 26744
This theorem is referenced by:  mircom  26754  mirreu  26755  mireq  26756  mirne  26758  mirf1o  26760  mirbtwnb  26763  miduniq2  26778  ragcom  26789  ragmir  26791  colperpexlem1  26821  colperpexlem2  26822  opphllem2  26839  opphllem3  26840  opphllem4  26841  opphllem6  26843  opphl  26845  colhp  26861  sacgr  26922
  Copyright terms: Public domain W3C validator