Theorem mirmir 28195

Description: The point inversion function is an involution. Theorem 7.7 of [Schwabhauser] p. 49. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mirval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirval.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
mirval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirval.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirval.s	⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
mirval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
mirfv.m	⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝐴)
mirmir.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
mirmir	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑀‘𝐵)) = 𝐵)

Proof of Theorem mirmir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mirval.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		mirval.d	. . 3 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		mirval.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		mirval.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5		mirval.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
6		mirval.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		mirval.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
8		mirfv.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝐴)
9		mirmir.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	mircl 28194	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐵) ∈ 𝑃)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	mircgr 28190	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝑀‘𝐵)) = (𝐴 − 𝐵))
12	11	eqcomd 2737	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) = (𝐴 − (𝑀‘𝐵)))
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	mirbtwn 28191	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((𝑀‘𝐵)𝐼𝐵))
14	1, 2, 3, 6, 10, 7, 9, 13	tgbtwncom 28021	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐵𝐼(𝑀‘𝐵)))
15	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 9, 12, 14	ismir 28192	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝑀‘(𝑀‘𝐵)))
16	15	eqcomd 2737	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑀‘𝐵)) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  Basecbs 17151  distcds 17213  TarskiGcstrkg 27960  Itvcitv 27966  LineGclng 27967  pInvGcmir 28185

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-trkgc 27981  df-trkgb 27982  df-trkgcb 27983  df-trkg 27986  df-mir 28186

This theorem is referenced by:  mircom  28196  mirreu  28197  mireq  28198  mirne  28200  mirf1o  28202  mirbtwnb  28205  miduniq2  28220  ragcom  28231  ragmir  28233  colperpexlem1  28263  colperpexlem2  28264  opphllem2  28281  opphllem3  28282  opphllem4  28283  opphllem6  28285  opphl  28287  colhp  28303  sacgr  28364