MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mirmot Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mirmot 27446
Description: Point investion is a motion of the geometric space. Theorem 7.14 of [Schwabhauser] p. 51. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mirval.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirval.d = (dist‘𝐺)
mirval.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirval.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirval.s 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirval.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
mirmot.m 𝑀 = (𝑆𝐴)
mirmot.a (𝜑𝐴𝑃)
Assertion
Ref Expression
mirmot (𝜑𝑀 ∈ (𝐺Ismt𝐺))

Proof of Theorem mirmot
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mirval.p . . 3 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 mirval.d . . 3 = (dist‘𝐺)
3 mirval.i . . 3 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 mirval.l . . 3 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5 mirval.s . . 3 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
6 mirval.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
7 mirmot.a . . 3 (𝜑𝐴𝑃)
8 mirmot.m . . 3 𝑀 = (𝑆𝐴)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8mirf1o 27440 . 2 (𝜑𝑀:𝑃1-1-onto𝑃)
106adantr 482 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑃𝑏𝑃)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
117adantr 482 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑃𝑏𝑃)) → 𝐴𝑃)
12 simprl 770 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑃𝑏𝑃)) → 𝑎𝑃)
13 simprr 772 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑃𝑏𝑃)) → 𝑏𝑃)
141, 2, 3, 4, 5, 10, 11, 8, 12, 13miriso 27441 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑃𝑏𝑃)) → ((𝑀𝑎) (𝑀𝑏)) = (𝑎 𝑏))
1514ralrimivva 3196 . 2 (𝜑 → ∀𝑎𝑃𝑏𝑃 ((𝑀𝑎) (𝑀𝑏)) = (𝑎 𝑏))
161, 2ismot 27306 . . 3 (𝐺 ∈ TarskiG → (𝑀 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↔ (𝑀:𝑃1-1-onto𝑃 ∧ ∀𝑎𝑃𝑏𝑃 ((𝑀𝑎) (𝑀𝑏)) = (𝑎 𝑏))))
176, 16syl 17 . 2 (𝜑 → (𝑀 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↔ (𝑀:𝑃1-1-onto𝑃 ∧ ∀𝑎𝑃𝑏𝑃 ((𝑀𝑎) (𝑀𝑏)) = (𝑎 𝑏))))
189, 15, 17mpbir2and 712 1 (𝜑𝑀 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3063  1-1-ontowf1o 6493  cfv 6494  (class class class)co 7352  Basecbs 17043  distcds 17102  TarskiGcstrkg 27198  Itvcitv 27204  LineGclng 27205  Ismtcismt 27303  pInvGcmir 27423
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7665  ax-cnex 11066  ax-resscn 11067  ax-1cn 11068  ax-icn 11069  ax-addcl 11070  ax-addrcl 11071  ax-mulcl 11072  ax-mulrcl 11073  ax-mulcom 11074  ax-addass 11075  ax-mulass 11076  ax-distr 11077  ax-i2m1 11078  ax-1ne0 11079  ax-1rid 11080  ax-rnegex 11081  ax-rrecex 11082  ax-cnre 11083  ax-pre-lttri 11084  ax-pre-lttrn 11085  ax-pre-ltadd 11086  ax-pre-mulgt0 11087
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-int 4907  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5530  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6252  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7308  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7796  df-1st 7914  df-2nd 7915  df-frecs 8205  df-wrecs 8236  df-recs 8310  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-oadd 8409  df-er 8607  df-map 8726  df-en 8843  df-dom 8844  df-sdom 8845  df-fin 8846  df-dju 9796  df-card 9834  df-pnf 11150  df-mnf 11151  df-xr 11152  df-ltxr 11153  df-le 11154  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12113  df-2 12175  df-n0 12373  df-xnn0 12445  df-z 12459  df-uz 12723  df-fz 13380  df-hash 14185  df-trkgc 27219  df-trkgb 27220  df-trkgcb 27221  df-trkg 27224  df-ismt 27304  df-mir 27424
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator