MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mirne Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mirne 26758
Description: Mirror of non-center point cannot be the center point. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
mirval.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirval.d = (dist‘𝐺)
mirval.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirval.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirval.s 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirval.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
mirval.a (𝜑𝐴𝑃)
mirfv.m 𝑀 = (𝑆𝐴)
mirinv.b (𝜑𝐵𝑃)
mirne.1 (𝜑𝐵𝐴)
Assertion
Ref Expression
mirne (𝜑 → (𝑀𝐵) ≠ 𝐴)

Proof of Theorem mirne
StepHypRef Expression
1 simpr 488 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀𝐵) = 𝐴) → (𝑀𝐵) = 𝐴)
21fveq2d 6721 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑀𝐵) = 𝐴) → (𝑀‘(𝑀𝐵)) = (𝑀𝐴))
3 mirval.p . . . . . 6 𝑃 = (Base‘𝐺)
4 mirval.d . . . . . 6 = (dist‘𝐺)
5 mirval.i . . . . . 6 𝐼 = (Itv‘𝐺)
6 mirval.l . . . . . 6 𝐿 = (LineG‘𝐺)
7 mirval.s . . . . . 6 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
8 mirval.g . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
9 mirval.a . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑃)
10 mirfv.m . . . . . 6 𝑀 = (𝑆𝐴)
11 mirinv.b . . . . . 6 (𝜑𝐵𝑃)
123, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11mirmir 26753 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀‘(𝑀𝐵)) = 𝐵)
1312adantr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑀𝐵) = 𝐴) → (𝑀‘(𝑀𝐵)) = 𝐵)
14 eqid 2737 . . . . . 6 𝐴 = 𝐴
153, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 9mirinv 26757 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑀𝐴) = 𝐴𝐴 = 𝐴))
1614, 15mpbiri 261 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀𝐴) = 𝐴)
1716adantr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑀𝐵) = 𝐴) → (𝑀𝐴) = 𝐴)
182, 13, 173eqtr3d 2785 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑀𝐵) = 𝐴) → 𝐵 = 𝐴)
19 mirne.1 . . . . 5 (𝜑𝐵𝐴)
2019adantr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑀𝐵) = 𝐴) → 𝐵𝐴)
2120neneqd 2945 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑀𝐵) = 𝐴) → ¬ 𝐵 = 𝐴)
2218, 21pm2.65da 817 . 2 (𝜑 → ¬ (𝑀𝐵) = 𝐴)
2322neqned 2947 1 (𝜑 → (𝑀𝐵) ≠ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1543  wcel 2110  wne 2940  cfv 6380  Basecbs 16760  distcds 16811  TarskiGcstrkg 26521  Itvcitv 26527  LineGclng 26528  pInvGcmir 26743
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pr 5322
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-trkgc 26539  df-trkgb 26540  df-trkgcb 26541  df-trkg 26544  df-mir 26744
This theorem is referenced by:  mirhl2  26772  sacgr  26922
  Copyright terms: Public domain W3C validator