MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mirne Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mirne 28183
Description: Mirror of non-center point cannot be the center point. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
mirval.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
mirval.d βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
mirval.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
mirval.l 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
mirval.s 𝑆 = (pInvGβ€˜πΊ)
mirval.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
mirval.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
mirfv.m 𝑀 = (π‘†β€˜π΄)
mirinv.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
mirne.1 (πœ‘ β†’ 𝐡 β‰  𝐴)
Assertion
Ref Expression
mirne (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π΅) β‰  𝐴)

Proof of Theorem mirne
StepHypRef Expression
1 simpr 483 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜π΅) = 𝐴) β†’ (π‘€β€˜π΅) = 𝐴)
21fveq2d 6896 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜π΅) = 𝐴) β†’ (π‘€β€˜(π‘€β€˜π΅)) = (π‘€β€˜π΄))
3 mirval.p . . . . . 6 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
4 mirval.d . . . . . 6 βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
5 mirval.i . . . . . 6 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
6 mirval.l . . . . . 6 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
7 mirval.s . . . . . 6 𝑆 = (pInvGβ€˜πΊ)
8 mirval.g . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
9 mirval.a . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
10 mirfv.m . . . . . 6 𝑀 = (π‘†β€˜π΄)
11 mirinv.b . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
123, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11mirmir 28178 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘€β€˜π΅)) = 𝐡)
1312adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜π΅) = 𝐴) β†’ (π‘€β€˜(π‘€β€˜π΅)) = 𝐡)
14 eqid 2730 . . . . . 6 𝐴 = 𝐴
153, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 9mirinv 28182 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜π΄) = 𝐴 ↔ 𝐴 = 𝐴))
1614, 15mpbiri 257 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π΄) = 𝐴)
1716adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜π΅) = 𝐴) β†’ (π‘€β€˜π΄) = 𝐴)
182, 13, 173eqtr3d 2778 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜π΅) = 𝐴) β†’ 𝐡 = 𝐴)
19 mirne.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 β‰  𝐴)
2019adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜π΅) = 𝐴) β†’ 𝐡 β‰  𝐴)
2120neneqd 2943 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜π΅) = 𝐴) β†’ Β¬ 𝐡 = 𝐴)
2218, 21pm2.65da 813 . 2 (πœ‘ β†’ Β¬ (π‘€β€˜π΅) = 𝐴)
2322neqned 2945 1 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π΅) β‰  𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  β€˜cfv 6544  Basecbs 17150  distcds 17212  TarskiGcstrkg 27943  Itvcitv 27949  LineGclng 27950  pInvGcmir 28168
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-trkgc 27964  df-trkgb 27965  df-trkgcb 27966  df-trkg 27969  df-mir 28169
This theorem is referenced by:  mirhl2  28197  sacgr  28347
  Copyright terms: Public domain W3C validator