Theorem mirne 29146

Description: Mirror of non-center point cannot be the center point. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
mirval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirval.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
mirval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirval.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirval.s	⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
mirval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
mirfv.m	⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝐴)
mirinv.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
mirne.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
mirne	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐵) ≠ 𝐴)

Proof of Theorem mirne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐵) = 𝐴) → (𝑀‘𝐵) = 𝐴)
2	1	fveq2d 6892	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐵) = 𝐴) → (𝑀‘(𝑀‘𝐵)) = (𝑀‘𝐴))
3		mirval.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
4		mirval.d	. . . . . 6 ⊢ − = (dist‘𝐺)
5		mirval.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
6		mirval.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
7		mirval.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
8		mirval.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
9		mirval.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
10		mirfv.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝐴)
11		mirinv.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
12	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	mirmir 29141	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑀‘𝐵)) = 𝐵)
13	12	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐵) = 𝐴) → (𝑀‘(𝑀‘𝐵)) = 𝐵)
14		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = 𝐴
15	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 9	mirinv 29145	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝐴) = 𝐴 ↔ 𝐴 = 𝐴))
16	14, 15	mpbiri 261	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) = 𝐴)
17	16	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐵) = 𝐴) → (𝑀‘𝐴) = 𝐴)
18	2, 13, 17	3eqtr3d 2803	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐵) = 𝐴) → 𝐵 = 𝐴)
19		mirne.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)
20	19	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐵) = 𝐴) → 𝐵 ≠ 𝐴)
21	20	neneqd 2960	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐵) = 𝐴) → ¬ 𝐵 = 𝐴)
22	18, 21	pm2.65da 829	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑀‘𝐵) = 𝐴)
23	22	neqned 2962	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐵) ≠ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ‘cfv 6541  Basecbs 17394  distcds 17444  TarskiGcstrkg 28896  Itvcitv 28902  LineGclng 28903  pInvGcmir 29131

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7379  df-ov 7425  df-trkgc 28917  df-trkgb 28918  df-trkgcb 28919  df-trkg 28922  df-mir 29132

This theorem is used by:  mirhl2  29160  sacgr  29346  perpeq  29355  tgaaddcpbllem2  29357  prlngmid2  29446  tgextalem1inag  33077  tgextamirnhl  33079