Theorem mirne 28995

Description: Mirror of non-center point cannot be the center point. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
mirval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirval.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
mirval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirval.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirval.s	⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
mirval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
mirfv.m	⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝐴)
mirinv.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
mirne.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
mirne	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐵) ≠ 𝐴)

Proof of Theorem mirne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐵) = 𝐴) → (𝑀‘𝐵) = 𝐴)
2	1	fveq2d 6889	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐵) = 𝐴) → (𝑀‘(𝑀‘𝐵)) = (𝑀‘𝐴))
3		mirval.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
4		mirval.d	. . . . . 6 ⊢ − = (dist‘𝐺)
5		mirval.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
6		mirval.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
7		mirval.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
8		mirval.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
9		mirval.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
10		mirfv.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝐴)
11		mirinv.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
12	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	mirmir 28990	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑀‘𝐵)) = 𝐵)
13	12	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐵) = 𝐴) → (𝑀‘(𝑀‘𝐵)) = 𝐵)
14		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = 𝐴
15	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 9	mirinv 28994	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝐴) = 𝐴 ↔ 𝐴 = 𝐴))
16	14, 15	mpbiri 261	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) = 𝐴)
17	16	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐵) = 𝐴) → (𝑀‘𝐴) = 𝐴)
18	2, 13, 17	3eqtr3d 2808	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐵) = 𝐴) → 𝐵 = 𝐴)
19		mirne.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)
20	19	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐵) = 𝐴) → 𝐵 ≠ 𝐴)
21	20	neneqd 2965	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐵) = 𝐴) → ¬ 𝐵 = 𝐴)
22	18, 21	pm2.65da 829	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑀‘𝐵) = 𝐴)
23	22	neqned 2967	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐵) ≠ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ‘cfv 6540  Basecbs 17291  distcds 17341  TarskiGcstrkg 28747  Itvcitv 28753  LineGclng 28754  pInvGcmir 28980

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5406

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-trkgc 28768  df-trkgb 28769  df-trkgcb 28770  df-trkg 28773  df-mir 28981

This theorem is used by:  mirhl2  29009  sacgr  29193  perpeq  29202  tgaaddcpbllem2  29204  prlngmid2  29266