Theorem sacgr 26617

Description: Supplementary angles of congruent angles are themselves congruent. Theorem 11.13 of [Schwabhauser] p. 98. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Sep-2020.) (Proof shortened by Igor Ieskov, 16-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
dfcgra2.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
dfcgra2.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
dfcgra2.m	⊢ − = (dist‘𝐺)
dfcgra2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
dfcgra2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
dfcgra2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
dfcgra2.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
dfcgra2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
dfcgra2.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
dfcgra2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
sacgr.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
sacgr.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
sacgr.1	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
sacgr.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋))
sacgr.3	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑌))
sacgr.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝑋)
sacgr.5	⊢ (𝜑 → 𝐸 ≠ 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
sacgr	⊢ (𝜑 → ⟨“𝑋𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑌𝐸𝐹”⟩)

Proof of Theorem sacgr

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfcgra2.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		dfcgra2.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3		eqid 2821	. . 3 ⊢ (hlG‘𝐺) = (hlG‘𝐺)
4		dfcgra2.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	ad3antrrr 728	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		sacgr.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
7	6	ad3antrrr 728	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)) → 𝑋 ∈ 𝑃)
8		dfcgra2.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
9	8	ad3antrrr 728	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
10		dfcgra2.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
11	10	ad3antrrr 728	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
12		sacgr.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
13	12	ad3antrrr 728	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)) → 𝑌 ∈ 𝑃)
14		dfcgra2.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
15	14	ad3antrrr 728	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)) → 𝐸 ∈ 𝑃)
16		dfcgra2.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
17	16	ad3antrrr 728	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)) → 𝐹 ∈ 𝑃)
18		dfcgra2.m	. . . 4 ⊢ − = (dist‘𝐺)
19		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (LineG‘𝐺) = (LineG‘𝐺)
20		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
21		eqid 2821	. . . 4 ⊢ ((pInvG‘𝐺)‘𝐸) = ((pInvG‘𝐺)‘𝐸)
22		simpllr 774	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)) → 𝑥 ∈ 𝑃)
23	1, 18, 2, 19, 20, 5, 15, 21, 22	mircl 26447	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)) → (((pInvG‘𝐺)‘𝐸)‘𝑥) ∈ 𝑃)
24		simplr 767	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)) → 𝑦 ∈ 𝑃)
25		eqid 2821	. . . . . . 7 ⊢ ((pInvG‘𝐺)‘𝐵) = ((pInvG‘𝐺)‘𝐵)
26	1, 18, 2, 19, 20, 4, 8, 25, 6	mirmir 26448	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)) = 𝑋)
27		eqidd 2822	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐵)
28		eqidd 2822	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐶)
29	26, 27, 28	s3eqd 14226	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋))𝐵𝐶”⟩ = ⟨“𝑋𝐵𝐶”⟩)
30	29	ad3antrrr 728	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)) → ⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋))𝐵𝐶”⟩ = ⟨“𝑋𝐵𝐶”⟩)
31		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ (cgrG‘𝐺) = (cgrG‘𝐺)
32	1, 18, 2, 19, 20, 4, 8, 25, 6	mircl 26447	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋) ∈ 𝑃)
33	32	ad3antrrr 728	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)) → (((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋) ∈ 𝑃)
34		sacgr.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝑋)
35	34	necomd 3071	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝐵)
36	1, 18, 2, 19, 20, 4, 8, 25, 6, 35	mirne 26453	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋) ≠ 𝐵)
37	36	ad3antrrr 728	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)) → (((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋) ≠ 𝐵)
38		simpr1 1190	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)) → ⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩)
39	1, 18, 2, 19, 20, 5, 31, 25, 21, 33, 9, 22, 15, 11, 24, 37, 38	mirtrcgr 26469	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)) → ⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋))𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐸)‘𝑥)𝐸𝑦”⟩)
40	30, 39	eqbrtrrd 5090	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)) → ⟨“𝑋𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐸)‘𝑥)𝐸𝑦”⟩)
41		sacgr.5	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ≠ 𝑌)
42	41	ad3antrrr 728	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)) → 𝐸 ≠ 𝑌)
43	42	necomd 3071	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)) → 𝑌 ≠ 𝐸)
44		dfcgra2.d	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
45	44	ad3antrrr 728	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
46		simpr2 1191	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)) → 𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷)
47	1, 2, 3, 22, 45, 15, 5, 46	hlne1 26391	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)) → 𝑥 ≠ 𝐸)
48	1, 18, 2, 19, 20, 5, 15, 21, 22, 47	mirne 26453	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)) → (((pInvG‘𝐺)‘𝐸)‘𝑥) ≠ 𝐸)
49	1, 2, 3, 22, 45, 15, 5, 46	hlcomd 26390	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)) → 𝐷((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝑥)
50		sacgr.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑌))
51	50	ad3antrrr 728	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)) → 𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑌))
52	1, 2, 3, 45, 22, 13, 5, 15, 49, 51	btwnhl 26400	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)) → 𝐸 ∈ (𝑥𝐼𝑌))
53	1, 18, 2, 5, 22, 15, 13, 52	tgbtwncom 26274	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)) → 𝐸 ∈ (𝑌𝐼𝑥))
54	1, 18, 2, 19, 20, 5, 15, 21, 22	mirmir 26448	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)) → (((pInvG‘𝐺)‘𝐸)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝐸)‘𝑥)) = 𝑥)
55	54	oveq2d 7172	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)) → (𝑌𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐸)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝐸)‘𝑥))) = (𝑌𝐼𝑥))
56	53, 55	eleqtrrd 2916	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)) → 𝐸 ∈ (𝑌𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐸)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝐸)‘𝑥))))
57	1, 18, 2, 19, 20, 5, 21, 3, 15, 13, 23, 15, 43, 48, 56	mirhl2 26467	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)) → 𝑌((hlG‘𝐺)‘𝐸)(((pInvG‘𝐺)‘𝐸)‘𝑥))
58	1, 2, 3, 13, 23, 15, 5, 57	hlcomd 26390	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)) → (((pInvG‘𝐺)‘𝐸)‘𝑥)((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝑌)
59		simpr3 1192	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)) → 𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)
60	1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 23, 24, 40, 58, 59	iscgrad 26597	. 2 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)) → ⟨“𝑋𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑌𝐸𝐹”⟩)
61		dfcgra2.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
62		sacgr.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
63	1, 2, 3, 4, 61, 8, 10, 44, 14, 16, 62	cgrane2 26599	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
64	1, 2, 4, 3, 32, 8, 10, 36, 63	cgraid 26605	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)𝐵𝐶”⟩)
65	1, 2, 3, 4, 61, 8, 10, 44, 14, 16, 62	cgrane1 26598	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
66		sacgr.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋))
67	26	oveq2d 7172	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋))) = (𝐴𝐼𝑋))
68	66, 67	eleqtrrd 2916	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋))))
69	1, 18, 2, 19, 20, 4, 25, 3, 8, 61, 32, 61, 65, 36, 68	mirhl2 26467	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴((hlG‘𝐺)‘𝐵)(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋))
70	1, 2, 3, 4, 32, 8, 10, 32, 8, 10, 64, 61, 69	cgrahl1 26602	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)
71	1, 2, 4, 3, 32, 8, 10, 61, 8, 10, 70, 44, 14, 16, 62	cgratr 26609	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
72	1, 2, 3, 4, 32, 8, 10, 44, 14, 16	iscgra 26595	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)))
73	71, 72	mpbid 234	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹))
74	60, 73	r19.29vva 3336	1 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑋𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑌𝐸𝐹”⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016  ∃wrex 3139   class class class wbr 5066  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  ⟨“cs3 14204  Basecbs 16483  distcds 16574  TarskiGcstrkg 26216  Itvcitv 26222  LineGclng 26223  cgrGccgrg 26296  hlGchlg 26386  pInvGcmir 26438  cgrAccgra 26593

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-oadd 8106  df-er 8289  df-map 8408  df-pm 8409  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-dju 9330  df-card 9368  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-n0 11899  df-xnn0 11969  df-z 11983  df-uz 12245  df-fz 12894  df-fzo 13035  df-hash 13692  df-word 13863  df-concat 13923  df-s1 13950  df-s2 14210  df-s3 14211  df-trkgc 26234  df-trkgb 26235  df-trkgcb 26236  df-trkg 26239  df-cgrg 26297  df-leg 26369  df-hlg 26387  df-mir 26439  df-cgra 26594

This theorem is referenced by:  oacgr  26618