Theorem sacgr 28988

Description: Supplementary angles of congruent angles are themselves congruent. Theorem 11.13 of [Schwabhauser] p. 98. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Sep-2020.) (Proof shortened by Igor Ieskov, 16-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
dfcgra2.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
dfcgra2.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
dfcgra2.m	⊢ − = (dist‘𝐺)
dfcgra2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
dfcgra2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
dfcgra2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
dfcgra2.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
dfcgra2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
dfcgra2.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
dfcgra2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
sacgr.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
sacgr.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
sacgr.1	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
sacgr.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋))
sacgr.3	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑌))
sacgr.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝑋)
sacgr.5	⊢ (𝜑 → 𝐸 ≠ 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
sacgr	⊢ (𝜑 → ⟨“𝑋𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑌𝐸𝐹”⟩)

Proof of Theorem sacgr

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfcgra2.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		dfcgra2.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3		eqid 2761	. . 3 ⊢ (hlG‘𝐺) = (hlG‘𝐺)
4		dfcgra2.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	ad3antrrr 740	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		sacgr.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
7	6	ad3antrrr 740	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)) → 𝑋 ∈ 𝑃)
8		dfcgra2.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
9	8	ad3antrrr 740	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
10		dfcgra2.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
11	10	ad3antrrr 740	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
12		sacgr.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
13	12	ad3antrrr 740	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)) → 𝑌 ∈ 𝑃)
14		dfcgra2.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
15	14	ad3antrrr 740	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)) → 𝐸 ∈ 𝑃)
16		dfcgra2.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
17	16	ad3antrrr 740	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)) → 𝐹 ∈ 𝑃)
18		dfcgra2.m	. . . 4 ⊢ − = (dist‘𝐺)
19		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (LineG‘𝐺) = (LineG‘𝐺)
20		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
21		eqid 2761	. . . 4 ⊢ ((pInvG‘𝐺)‘𝐸) = ((pInvG‘𝐺)‘𝐸)
22		simpllr 785	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)) → 𝑥 ∈ 𝑃)
23	1, 18, 2, 19, 20, 5, 15, 21, 22	mircl 28818	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)) → (((pInvG‘𝐺)‘𝐸)‘𝑥) ∈ 𝑃)
24		simplr 778	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)) → 𝑦 ∈ 𝑃)
25		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ ((pInvG‘𝐺)‘𝐵) = ((pInvG‘𝐺)‘𝐵)
26	1, 18, 2, 19, 20, 4, 8, 25, 6	mirmir 28819	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)) = 𝑋)
27		eqidd 2762	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐵)
28		eqidd 2762	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐶)
29	26, 27, 28	s3eqd 14871	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋))𝐵𝐶”⟩ = ⟨“𝑋𝐵𝐶”⟩)
30	29	ad3antrrr 740	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)) → ⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋))𝐵𝐶”⟩ = ⟨“𝑋𝐵𝐶”⟩)
31		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (cgrG‘𝐺) = (cgrG‘𝐺)
32	1, 18, 2, 19, 20, 4, 8, 25, 6	mircl 28818	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋) ∈ 𝑃)
33	32	ad3antrrr 740	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)) → (((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋) ∈ 𝑃)
34		sacgr.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝑋)
35	34	necomd 3011	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝐵)
36	1, 18, 2, 19, 20, 4, 8, 25, 6, 35	mirne 28824	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋) ≠ 𝐵)
37	36	ad3antrrr 740	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)) → (((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋) ≠ 𝐵)
38		simpr1 1207	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)) → ⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩)
39	1, 18, 2, 19, 20, 5, 31, 25, 21, 33, 9, 22, 15, 11, 24, 37, 38	mirtrcgr 28840	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)) → ⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋))𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐸)‘𝑥)𝐸𝑦”⟩)
40	30, 39	eqbrtrrd 5121	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)) → ⟨“𝑋𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐸)‘𝑥)𝐸𝑦”⟩)
41		sacgr.5	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ≠ 𝑌)
42	41	ad3antrrr 740	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)) → 𝐸 ≠ 𝑌)
43	42	necomd 3011	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)) → 𝑌 ≠ 𝐸)
44		dfcgra2.d	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
45	44	ad3antrrr 740	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
46		simpr2 1208	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)) → 𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷)
47	1, 2, 3, 22, 45, 15, 5, 46	hlne1 28762	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)) → 𝑥 ≠ 𝐸)
48	1, 18, 2, 19, 20, 5, 15, 21, 22, 47	mirne 28824	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)) → (((pInvG‘𝐺)‘𝐸)‘𝑥) ≠ 𝐸)
49	1, 2, 3, 22, 45, 15, 5, 46	hlcomd 28761	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)) → 𝐷((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝑥)
50		sacgr.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑌))
51	50	ad3antrrr 740	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)) → 𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑌))
52	1, 2, 3, 45, 22, 13, 5, 15, 49, 51	btwnhl 28771	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)) → 𝐸 ∈ (𝑥𝐼𝑌))
53	1, 18, 2, 5, 22, 15, 13, 52	tgbtwncom 28645	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)) → 𝐸 ∈ (𝑌𝐼𝑥))
54	1, 18, 2, 19, 20, 5, 15, 21, 22	mirmir 28819	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)) → (((pInvG‘𝐺)‘𝐸)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝐸)‘𝑥)) = 𝑥)
55	54	oveq2d 7407	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)) → (𝑌𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐸)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝐸)‘𝑥))) = (𝑌𝐼𝑥))
56	53, 55	eleqtrrd 2864	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)) → 𝐸 ∈ (𝑌𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐸)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝐸)‘𝑥))))
57	1, 18, 2, 19, 20, 5, 21, 3, 15, 13, 23, 15, 43, 48, 56	mirhl2 28838	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)) → 𝑌((hlG‘𝐺)‘𝐸)(((pInvG‘𝐺)‘𝐸)‘𝑥))
58	1, 2, 3, 13, 23, 15, 5, 57	hlcomd 28761	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)) → (((pInvG‘𝐺)‘𝐸)‘𝑥)((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝑌)
59		simpr3 1209	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)) → 𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)
60	1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 23, 24, 40, 58, 59	iscgrad 28968	. 2 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)) → ⟨“𝑋𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑌𝐸𝐹”⟩)
61		dfcgra2.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
62		sacgr.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
63	1, 2, 3, 4, 61, 8, 10, 44, 14, 16, 62	cgrane2 28970	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
64	1, 2, 4, 3, 32, 8, 10, 36, 63	cgraid 28976	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)𝐵𝐶”⟩)
65	1, 2, 3, 4, 61, 8, 10, 44, 14, 16, 62	cgrane1 28969	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
66		sacgr.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋))
67	26	oveq2d 7407	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋))) = (𝐴𝐼𝑋))
68	66, 67	eleqtrrd 2864	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋))))
69	1, 18, 2, 19, 20, 4, 25, 3, 8, 61, 32, 61, 65, 36, 68	mirhl2 28838	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴((hlG‘𝐺)‘𝐵)(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋))
70	1, 2, 3, 4, 32, 8, 10, 32, 8, 10, 64, 61, 69	cgrahl1 28973	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)
71	1, 2, 4, 3, 32, 8, 10, 61, 8, 10, 70, 44, 14, 16, 62	cgratr 28980	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
72	1, 2, 3, 4, 32, 8, 10, 44, 14, 16	iscgra 28966	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)))
73	71, 72	mpbid 234	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹))
74	60, 73	r19.29vva 3221	1 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑋𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑌𝐸𝐹”⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ∃wrex 3085   class class class wbr 5097  ‘cfv 6516  (class class class)co 7391  ⟨“cs3 14849  Basecbs 17236  distcds 17286  TarskiGcstrkg 28584  Itvcitv 28590  LineGclng 28591  cgrGccgrg 28667  hlGchlg 28757  pInvGcmir 28809  cgrAccgra 28964

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-1o 8431  df-oadd 8435  df-er 8672  df-map 8804  df-pm 8805  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-dju 9853  df-card 9891  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-nn 12205  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12476  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12834  df-fz 13507  df-fzo 13654  df-hash 14338  df-word 14521  df-concat 14578  df-s1 14604  df-s2 14855  df-s3 14856  df-trkgc 28605  df-trkgb 28606  df-trkgcb 28607  df-trkg 28610  df-cgrg 28668  df-leg 28740  df-hlg 28758  df-mir 28810  df-cgra 28965

This theorem is referenced by:  oacgr  28989