MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sacgr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sacgr 26769
Description: Supplementary angles of congruent angles are themselves congruent. Theorem 11.13 of [Schwabhauser] p. 98. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Sep-2020.) (Proof shortened by Igor Ieskov, 16-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
dfcgra2.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
dfcgra2.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
dfcgra2.m = (dist‘𝐺)
dfcgra2.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
dfcgra2.a (𝜑𝐴𝑃)
dfcgra2.b (𝜑𝐵𝑃)
dfcgra2.c (𝜑𝐶𝑃)
dfcgra2.d (𝜑𝐷𝑃)
dfcgra2.e (𝜑𝐸𝑃)
dfcgra2.f (𝜑𝐹𝑃)
sacgr.x (𝜑𝑋𝑃)
sacgr.y (𝜑𝑌𝑃)
sacgr.1 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
sacgr.2 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋))
sacgr.3 (𝜑𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑌))
sacgr.4 (𝜑𝐵𝑋)
sacgr.5 (𝜑𝐸𝑌)
Assertion
Ref Expression
sacgr (𝜑 → ⟨“𝑋𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑌𝐸𝐹”⟩)

Proof of Theorem sacgr
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfcgra2.p . . 3 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 dfcgra2.i . . 3 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3 eqid 2738 . . 3 (hlG‘𝐺) = (hlG‘𝐺)
4 dfcgra2.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
54ad3antrrr 730 . . 3 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6 sacgr.x . . . 4 (𝜑𝑋𝑃)
76ad3antrrr 730 . . 3 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)) → 𝑋𝑃)
8 dfcgra2.b . . . 4 (𝜑𝐵𝑃)
98ad3antrrr 730 . . 3 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)) → 𝐵𝑃)
10 dfcgra2.c . . . 4 (𝜑𝐶𝑃)
1110ad3antrrr 730 . . 3 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)) → 𝐶𝑃)
12 sacgr.y . . . 4 (𝜑𝑌𝑃)
1312ad3antrrr 730 . . 3 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)) → 𝑌𝑃)
14 dfcgra2.e . . . 4 (𝜑𝐸𝑃)
1514ad3antrrr 730 . . 3 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)) → 𝐸𝑃)
16 dfcgra2.f . . . 4 (𝜑𝐹𝑃)
1716ad3antrrr 730 . . 3 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)) → 𝐹𝑃)
18 dfcgra2.m . . . 4 = (dist‘𝐺)
19 eqid 2738 . . . 4 (LineG‘𝐺) = (LineG‘𝐺)
20 eqid 2738 . . . 4 (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
21 eqid 2738 . . . 4 ((pInvG‘𝐺)‘𝐸) = ((pInvG‘𝐺)‘𝐸)
22 simpllr 776 . . . 4 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)) → 𝑥𝑃)
231, 18, 2, 19, 20, 5, 15, 21, 22mircl 26599 . . 3 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)) → (((pInvG‘𝐺)‘𝐸)‘𝑥) ∈ 𝑃)
24 simplr 769 . . 3 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)) → 𝑦𝑃)
25 eqid 2738 . . . . . . 7 ((pInvG‘𝐺)‘𝐵) = ((pInvG‘𝐺)‘𝐵)
261, 18, 2, 19, 20, 4, 8, 25, 6mirmir 26600 . . . . . 6 (𝜑 → (((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)) = 𝑋)
27 eqidd 2739 . . . . . 6 (𝜑𝐵 = 𝐵)
28 eqidd 2739 . . . . . 6 (𝜑𝐶 = 𝐶)
2926, 27, 28s3eqd 14308 . . . . 5 (𝜑 → ⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋))𝐵𝐶”⟩ = ⟨“𝑋𝐵𝐶”⟩)
3029ad3antrrr 730 . . . 4 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)) → ⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋))𝐵𝐶”⟩ = ⟨“𝑋𝐵𝐶”⟩)
31 eqid 2738 . . . . 5 (cgrG‘𝐺) = (cgrG‘𝐺)
321, 18, 2, 19, 20, 4, 8, 25, 6mircl 26599 . . . . . 6 (𝜑 → (((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋) ∈ 𝑃)
3332ad3antrrr 730 . . . . 5 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)) → (((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋) ∈ 𝑃)
34 sacgr.4 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵𝑋)
3534necomd 2989 . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝐵)
361, 18, 2, 19, 20, 4, 8, 25, 6, 35mirne 26605 . . . . . 6 (𝜑 → (((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋) ≠ 𝐵)
3736ad3antrrr 730 . . . . 5 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)) → (((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋) ≠ 𝐵)
38 simpr1 1195 . . . . 5 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)) → ⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩)
391, 18, 2, 19, 20, 5, 31, 25, 21, 33, 9, 22, 15, 11, 24, 37, 38mirtrcgr 26621 . . . 4 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)) → ⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋))𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐸)‘𝑥)𝐸𝑦”⟩)
4030, 39eqbrtrrd 5051 . . 3 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)) → ⟨“𝑋𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐸)‘𝑥)𝐸𝑦”⟩)
41 sacgr.5 . . . . . . 7 (𝜑𝐸𝑌)
4241ad3antrrr 730 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)) → 𝐸𝑌)
4342necomd 2989 . . . . 5 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)) → 𝑌𝐸)
44 dfcgra2.d . . . . . . . 8 (𝜑𝐷𝑃)
4544ad3antrrr 730 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)) → 𝐷𝑃)
46 simpr2 1196 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)) → 𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷)
471, 2, 3, 22, 45, 15, 5, 46hlne1 26543 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)) → 𝑥𝐸)
481, 18, 2, 19, 20, 5, 15, 21, 22, 47mirne 26605 . . . . 5 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)) → (((pInvG‘𝐺)‘𝐸)‘𝑥) ≠ 𝐸)
491, 2, 3, 22, 45, 15, 5, 46hlcomd 26542 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)) → 𝐷((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝑥)
50 sacgr.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑌))
5150ad3antrrr 730 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)) → 𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑌))
521, 2, 3, 45, 22, 13, 5, 15, 49, 51btwnhl 26552 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)) → 𝐸 ∈ (𝑥𝐼𝑌))
531, 18, 2, 5, 22, 15, 13, 52tgbtwncom 26426 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)) → 𝐸 ∈ (𝑌𝐼𝑥))
541, 18, 2, 19, 20, 5, 15, 21, 22mirmir 26600 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)) → (((pInvG‘𝐺)‘𝐸)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝐸)‘𝑥)) = 𝑥)
5554oveq2d 7180 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)) → (𝑌𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐸)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝐸)‘𝑥))) = (𝑌𝐼𝑥))
5653, 55eleqtrrd 2836 . . . . 5 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)) → 𝐸 ∈ (𝑌𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐸)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝐸)‘𝑥))))
571, 18, 2, 19, 20, 5, 21, 3, 15, 13, 23, 15, 43, 48, 56mirhl2 26619 . . . 4 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)) → 𝑌((hlG‘𝐺)‘𝐸)(((pInvG‘𝐺)‘𝐸)‘𝑥))
581, 2, 3, 13, 23, 15, 5, 57hlcomd 26542 . . 3 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)) → (((pInvG‘𝐺)‘𝐸)‘𝑥)((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝑌)
59 simpr3 1197 . . 3 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)) → 𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)
601, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 23, 24, 40, 58, 59iscgrad 26749 . 2 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)) → ⟨“𝑋𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑌𝐸𝐹”⟩)
61 dfcgra2.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑃)
62 sacgr.1 . . . . . . 7 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
631, 2, 3, 4, 61, 8, 10, 44, 14, 16, 62cgrane2 26751 . . . . . 6 (𝜑𝐵𝐶)
641, 2, 4, 3, 32, 8, 10, 36, 63cgraid 26757 . . . . 5 (𝜑 → ⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)𝐵𝐶”⟩)
651, 2, 3, 4, 61, 8, 10, 44, 14, 16, 62cgrane1 26750 . . . . . 6 (𝜑𝐴𝐵)
66 sacgr.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋))
6726oveq2d 7180 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋))) = (𝐴𝐼𝑋))
6866, 67eleqtrrd 2836 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋))))
691, 18, 2, 19, 20, 4, 25, 3, 8, 61, 32, 61, 65, 36, 68mirhl2 26619 . . . . 5 (𝜑𝐴((hlG‘𝐺)‘𝐵)(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋))
701, 2, 3, 4, 32, 8, 10, 32, 8, 10, 64, 61, 69cgrahl1 26754 . . . 4 (𝜑 → ⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)
711, 2, 4, 3, 32, 8, 10, 61, 8, 10, 70, 44, 14, 16, 62cgratr 26761 . . 3 (𝜑 → ⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
721, 2, 3, 4, 32, 8, 10, 44, 14, 16iscgra 26747 . . 3 (𝜑 → (⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ↔ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃 (⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)))
7371, 72mpbid 235 . 2 (𝜑 → ∃𝑥𝑃𝑦𝑃 (⟨“(((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝑋)𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹))
7460, 73r19.29vva 3242 1 (𝜑 → ⟨“𝑋𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑌𝐸𝐹”⟩)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2113  wne 2934  wrex 3054   class class class wbr 5027  cfv 6333  (class class class)co 7164  ⟨“cs3 14286  Basecbs 16579  distcds 16670  TarskiGcstrkg 26368  Itvcitv 26374  LineGclng 26375  cgrGccgrg 26448  hlGchlg 26538  pInvGcmir 26590  cgrAccgra 26745
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5151  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-uni 4794  df-int 4834  df-iun 4880  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-om 7594  df-1st 7707  df-2nd 7708  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-1o 8124  df-oadd 8128  df-er 8313  df-map 8432  df-pm 8433  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-fin 8552  df-dju 9396  df-card 9434  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-nn 11710  df-2 11772  df-3 11773  df-n0 11970  df-xnn0 12042  df-z 12056  df-uz 12318  df-fz 12975  df-fzo 13118  df-hash 13776  df-word 13949  df-concat 14005  df-s1 14032  df-s2 14292  df-s3 14293  df-trkgc 26386  df-trkgb 26387  df-trkgcb 26388  df-trkg 26391  df-cgrg 26449  df-leg 26521  df-hlg 26539  df-mir 26591  df-cgra 26746
This theorem is referenced by:  oacgr  26770
  Copyright terms: Public domain W3C validator