Theorem mnfled 13295

Description: Minus infinity is less than or equal to any extended real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
mnfled.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
mnfled	⊢ (𝜑 → -∞ ≤ 𝐴)

Proof of Theorem mnfled

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnfled.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		mnfle 13294	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝐴)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → -∞ ≤ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106  -∞cmnf 11371  ℝ^*cxr 11372   ≤ cle 11374

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5551  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379

This theorem is used by:  ply1degltel  34209  ply1degleel  34210  ply1degltdimlem  34337  ply1degltdim  34338  xlimmnfvlem2  47058  xlimliminflimsup  47087  fourierdlem49  47380  fourierdlem113  47444  pimltmnf2f  47922  pimiooltgt  47935  preimaicomnf  47936