Theorem mnfled 13078

Description: Minus infinity is less than or equal to any extended real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
mnfled.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
mnfled	⊢ (𝜑 → -∞ ≤ 𝐴)

Proof of Theorem mnfled

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnfled.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		mnfle 13077	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → -∞ ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  -∞cmnf 11168  ℝ^*cxr 11169   ≤ cle 11171

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176

This theorem is referenced by:  ply1degltel  33669  ply1degleel  33670  ply1degltdimlem  33782  ply1degltdim  33783  xlimmnfvlem2  46279  xlimliminflimsup  46308  pimltmnf2f  47143  pimiooltgt  47156  preimaicomnf  47157