Theorem mnfled 13118

Description: Minus infinity is less than or equal to any extended real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
mnfled.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
mnfled	⊢ (𝜑 → -∞ ≤ 𝐴)

Proof of Theorem mnfled

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnfled.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		mnfle 13117	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → -∞ ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5141  -∞cmnf 11247  ℝ^*cxr 11248   ≤ cle 11250

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255

This theorem is referenced by:  ply1degltel  33170  ply1degleel  33171  ply1degltdimlem  33225  ply1degltdim  33226  xlimmnfvlem2  45102  xlimliminflimsup  45131  pimltmnf2f  45966  pimiooltgt  45979  preimaicomnf  45980