Theorem mnfled 13122

Description: Minus infinity is less than or equal to any extended real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
mnfled.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
mnfled	⊢ (𝜑 → -∞ ≤ 𝐴)

Proof of Theorem mnfled

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnfled.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		mnfle 13121	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → -∞ ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5148  -∞cmnf 11253  ℝ^*cxr 11254   ≤ cle 11256

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261

This theorem is referenced by:  ply1degltel  33106  ply1degleel  33107  ply1degltdimlem  33161  ply1degltdim  33162  xlimmnfvlem2  45008  xlimliminflimsup  45037  pimltmnf2f  45872  pimiooltgt  45885  preimaicomnf  45886