Theorem mnfled 13032

Description: Minus infinity is less than or equal to any extended real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
mnfled.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
mnfled	⊢ (𝜑 → -∞ ≤ 𝐴)

Proof of Theorem mnfled

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnfled.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		mnfle 13031	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → -∞ ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5091  -∞cmnf 11141  ℝ^*cxr 11142   ≤ cle 11144

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149

This theorem is referenced by:  ply1degltel  33550  ply1degleel  33551  ply1degltdimlem  33630  ply1degltdim  33631  xlimmnfvlem2  45870  xlimliminflimsup  45899  pimltmnf2f  46734  pimiooltgt  46747  preimaicomnf  46748