Theorem mnfle 13291

Description: Minus infinity is less than or equal to any extended real. (Contributed by NM, 19-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
mnfle	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝐴)

Proof of Theorem mnfle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nltmnf 13285	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ¬ 𝐴 < -∞)
2		mnfxr 11393	. . 3 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
3		xrlenlt 11401	. . 3 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (-∞ ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < -∞))
4	2, 3	mpan 703	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (-∞ ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < -∞))
5	1, 4	mpbird 260	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106  -∞cmnf 11368  ℝ^*cxr 11369   < clt 11370   ≤ cle 11371

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376

This theorem is used by:  mnfled  13292  ngtmnft  13323  xrre2  13327  xleadd1a  13410  xlt2add  13417  xsubge0  13418  xlesubadd  13420  xlemul1a  13445  supxrmnf  13474  elioc2  13567  iccmax  13581  xrsdsreclblem  21749  leordtvallem2  23559  lecldbas  23567  tgioo  25145  xrtgioo  25156  ioombl  25916  ismbfd  25990  degltlem1  26420  ply1rem  26514  xrdifh  33442  tpr2rico  34614  itg2gt0cn  38785  hbtlem2  44318  supxrgelem  46554  supxrge  46555  suplesup  46556  xrlexaddrp  46569  infxr  46583  infleinf  46588  eliocre  46726  fouriersw  47446