Theorem mnfle 13197

Description: Minus infinity is less than or equal to any extended real. (Contributed by NM, 19-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
mnfle	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝐴)

Proof of Theorem mnfle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nltmnf 13192	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ¬ 𝐴 < -∞)
2		mnfxr 11347	. . 3 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
3		xrlenlt 11355	. . 3 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (-∞ ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < -∞))
4	2, 3	mpan 689	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (-∞ ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < -∞))
5	1, 4	mpbird 257	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5166  -∞cmnf 11322  ℝ^*cxr 11323   < clt 11324   ≤ cle 11325

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330

This theorem is referenced by:  mnfled  13198  ngtmnft  13228  xrre2  13232  xleadd1a  13315  xlt2add  13322  xsubge0  13323  xlesubadd  13325  xlemul1a  13350  supxrmnf  13379  elioc2  13470  iccmax  13483  xrsdsreclblem  21453  leordtvallem2  23240  lecldbas  23248  tgioo  24837  xrtgioo  24847  ioombl  25619  ismbfd  25693  degltlem1  26131  ply1rem  26225  xrdifh  32785  tpr2rico  33858  itg2gt0cn  37635  hbtlem2  43081  supxrgelem  45252  supxrge  45253  suplesup  45254  xrlexaddrp  45267  infxr  45282  infleinf  45287  eliocre  45427  fouriersw  46152