Theorem mnfle 13114

Description: Minus infinity is less than or equal to any extended real. (Contributed by NM, 19-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
mnfle	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝐴)

Proof of Theorem mnfle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nltmnf 13109	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ¬ 𝐴 < -∞)
2		mnfxr 11271	. . 3 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
3		xrlenlt 11279	. . 3 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (-∞ ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < -∞))
4	2, 3	mpan 689	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (-∞ ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < -∞))
5	1, 4	mpbird 257	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5149  -∞cmnf 11246  ℝ^*cxr 11247   < clt 11248   ≤ cle 11249

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254

This theorem is referenced by:  mnfled  13115  ngtmnft  13145  xrre2  13149  xleadd1a  13232  xlt2add  13239  xsubge0  13240  xlesubadd  13242  xlemul1a  13267  supxrmnf  13296  elioc2  13387  iccmax  13400  xrsdsreclblem  20991  leordtvallem2  22715  lecldbas  22723  tgioo  24312  xrtgioo  24322  ioombl  25082  ismbfd  25156  degltlem1  25590  ply1rem  25681  xrdifh  31991  tpr2rico  32892  itg2gt0cn  36543  hbtlem2  41866  supxrgelem  44047  supxrge  44048  suplesup  44049  xrlexaddrp  44062  infxr  44077  infleinf  44082  eliocre  44222  fouriersw  44947