MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mnfle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mnfle 12521
Description: Minus infinity is less than or equal to any extended real. (Contributed by NM, 19-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
mnfle (𝐴 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝐴)

Proof of Theorem mnfle
StepHypRef Expression
1 nltmnf 12516 . 2 (𝐴 ∈ ℝ* → ¬ 𝐴 < -∞)
2 mnfxr 10691 . . 3 -∞ ∈ ℝ*
3 xrlenlt 10699 . . 3 ((-∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (-∞ ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < -∞))
42, 3mpan 689 . 2 (𝐴 ∈ ℝ* → (-∞ ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < -∞))
51, 4mpbird 260 1 (𝐴 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wcel 2112   class class class wbr 5033  -∞cmnf 10666  *cxr 10667   < clt 10668  cle 10669
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5428  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674
This theorem is referenced by:  ngtmnft  12551  xrre2  12555  xleadd1a  12638  xlt2add  12645  xsubge0  12646  xlesubadd  12648  xlemul1a  12673  supxrmnf  12702  elioc2  12792  iccmax  12805  xrsdsreclblem  20140  leordtvallem2  21819  lecldbas  21827  tgioo  23404  xrtgioo  23414  ioombl  24172  ismbfd  24246  degltlem1  24676  ply1rem  24767  xrdifh  30532  tpr2rico  31263  itg2gt0cn  35105  hbtlem2  40055  supxrgelem  41956  supxrge  41957  suplesup  41958  xrlexaddrp  41971  infxr  41986  infleinf  41991  mnfled  42011  eliocre  42133  fouriersw  42860
  Copyright terms: Public domain W3C validator