Theorem mnfle 13086

Description: Minus infinity is less than or equal to any extended real. (Contributed by NM, 19-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
mnfle	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝐴)

Proof of Theorem mnfle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nltmnf 13080	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ¬ 𝐴 < -∞)
2		mnfxr 11202	. . 3 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
3		xrlenlt 11210	. . 3 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (-∞ ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < -∞))
4	2, 3	mpan 691	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (-∞ ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < -∞))
5	1, 4	mpbird 257	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5085  -∞cmnf 11177  ℝ^*cxr 11178   < clt 11179   ≤ cle 11180

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185

This theorem is referenced by:  mnfled  13087  ngtmnft  13118  xrre2  13122  xleadd1a  13205  xlt2add  13212  xsubge0  13213  xlesubadd  13215  xlemul1a  13240  supxrmnf  13269  elioc2  13362  iccmax  13376  xrsdsreclblem  21393  leordtvallem2  23176  lecldbas  23184  tgioo  24761  xrtgioo  24772  ioombl  25532  ismbfd  25606  degltlem1  26037  ply1rem  26131  xrdifh  32853  tpr2rico  34056  itg2gt0cn  37996  hbtlem2  43552  supxrgelem  45767  supxrge  45768  suplesup  45769  xrlexaddrp  45782  infxr  45796  infleinf  45801  eliocre  45939  fouriersw  46659