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Theorem xlimmnfvlem2 45134
Description: Lemma for xlimmnf 45142: the "if" part of the biconditional. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
xlimmnfvlem2.k β„²π‘˜πœ‘
xlimmnfvlem2.j β„²π‘—πœ‘
xlimmnfvlem2.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
xlimmnfvlem2.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
xlimmnfvlem2.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„*)
xlimmnfvlem2.g (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) < π‘₯)
Assertion
Ref Expression
xlimmnfvlem2 (πœ‘ β†’ 𝐹~~>*-∞)
Distinct variable groups:   𝑗,𝐹,π‘˜,π‘₯   𝑗,𝑀   𝑗,𝑍,π‘˜   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑗,π‘˜)   𝑀(π‘₯,π‘˜)   𝑍(π‘₯)

Proof of Theorem xlimmnfvlem2
Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 letopon 23083 . . . . . . 7 (ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ (TopOnβ€˜β„*)
21a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ (TopOnβ€˜β„*))
32elfvexd 6930 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ℝ* ∈ V)
4 cnex 11205 . . . . . 6 β„‚ ∈ V
54a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ β„‚ ∈ V)
6 xlimmnfvlem2.f . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„*)
7 xlimmnfvlem2.z . . . . . . 7 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
87uzsscn2 44773 . . . . . 6 𝑍 βŠ† β„‚
98a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑍 βŠ† β„‚)
10 elpm2r 8853 . . . . 5 (((ℝ* ∈ V ∧ β„‚ ∈ V) ∧ (𝐹:π‘βŸΆβ„* ∧ 𝑍 βŠ† β„‚)) β†’ 𝐹 ∈ (ℝ* ↑pm β„‚))
113, 5, 6, 9, 10syl22anc 838 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (ℝ* ↑pm β„‚))
12 mnfxr 11287 . . . . 5 -∞ ∈ ℝ*
1312a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ -∞ ∈ ℝ*)
14 mnfnei 23099 . . . . . . . 8 ((𝑒 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ -∞ ∈ 𝑒) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ (-∞[,)π‘₯) βŠ† 𝑒)
1514adantll 713 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ )) ∧ -∞ ∈ 𝑒) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ (-∞[,)π‘₯) βŠ† 𝑒)
16 xlimmnfvlem2.j . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘—πœ‘
17 nfv 1910 . . . . . . . . . . . . 13 Ⅎ𝑗 π‘₯ ∈ ℝ
1816, 17nfan 1895 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑗(πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ)
19 nfv 1910 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑗(-∞[,)π‘₯) βŠ† 𝑒
2018, 19nfan 1895 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑗((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (-∞[,)π‘₯) βŠ† 𝑒)
21 simprr 772 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (-∞[,)π‘₯) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) < π‘₯)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) < π‘₯)
22 xlimmnfvlem2.k . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 β„²π‘˜πœ‘
23 nfv 1910 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 β„²π‘˜ π‘₯ ∈ ℝ
2422, 23nfan 1895 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 β„²π‘˜(πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ)
25 nfv 1910 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 β„²π‘˜(-∞[,)π‘₯) βŠ† 𝑒
2624, 25nfan 1895 . . . . . . . . . . . . . . . 16 β„²π‘˜((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (-∞[,)π‘₯) βŠ† 𝑒)
27 nfv 1910 . . . . . . . . . . . . . . . 16 β„²π‘˜ 𝑗 ∈ 𝑍
2826, 27nfan 1895 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„²π‘˜(((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (-∞[,)π‘₯) βŠ† 𝑒) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍)
297uztrn2 12857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
30293adant1 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
316fdmd 6727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 = 𝑍)
32313ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ dom 𝐹 = 𝑍)
3330, 32eleqtrrd 2831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ dom 𝐹)
3433ad5ant134 1365 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((πœ‘ ∧ (-∞[,)π‘₯) βŠ† 𝑒) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) < π‘₯) β†’ π‘˜ ∈ dom 𝐹)
3534adantl4r 754 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (-∞[,)π‘₯) βŠ† 𝑒) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) < π‘₯) β†’ π‘˜ ∈ dom 𝐹)
36 simp-4r 783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((πœ‘ ∧ (-∞[,)π‘₯) βŠ† 𝑒) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) < π‘₯) β†’ (-∞[,)π‘₯) βŠ† 𝑒)
3736adantl4r 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (-∞[,)π‘₯) βŠ† 𝑒) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) < π‘₯) β†’ (-∞[,)π‘₯) βŠ† 𝑒)
3812a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) < π‘₯) β†’ -∞ ∈ ℝ*)
39 simp-4r 783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) < π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
40 rexr 11276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
4139, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) < π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
42 simp-4l 782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) < π‘₯) β†’ πœ‘)
4329ad4ant23 752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) < π‘₯) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
446ffvelcdmda 7088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ*)
4542, 43, 44syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) < π‘₯) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ*)
4645mnfled 13133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) < π‘₯) β†’ -∞ ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
47 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) < π‘₯) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) < π‘₯)
4838, 41, 45, 46, 47elicod 13392 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) < π‘₯) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (-∞[,)π‘₯))
4948adantl3r 749 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (-∞[,)π‘₯) βŠ† 𝑒) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) < π‘₯) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (-∞[,)π‘₯))
5037, 49sseldd 3979 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (-∞[,)π‘₯) βŠ† 𝑒) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) < π‘₯) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒)
5135, 50jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (-∞[,)π‘₯) βŠ† 𝑒) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) < π‘₯) β†’ (π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒))
5251ex 412 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (-∞[,)π‘₯) βŠ† 𝑒) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) < π‘₯ β†’ (π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒)))
5328, 52ralimdaa 3252 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (-∞[,)π‘₯) βŠ† 𝑒) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) < π‘₯ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒)))
5453adantrr 716 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (-∞[,)π‘₯) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) < π‘₯)) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) < π‘₯ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒)))
5521, 54mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (-∞[,)π‘₯) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) < π‘₯)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒))
56553impb 1113 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (-∞[,)π‘₯) βŠ† 𝑒) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) < π‘₯) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒))
57 xlimmnfvlem2.g . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) < π‘₯)
5857r19.21bi 3243 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) < π‘₯)
5958adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (-∞[,)π‘₯) βŠ† 𝑒) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) < π‘₯)
6020, 56, 59reximdd 44431 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (-∞[,)π‘₯) βŠ† 𝑒) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒))
61 xlimmnfvlem2.m . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
627rexuz3 15313 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ β„€ β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒) ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒)))
6361, 62syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒) ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒)))
6463ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (-∞[,)π‘₯) βŠ† 𝑒) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒) ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒)))
6560, 64mpbid 231 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (-∞[,)π‘₯) βŠ† 𝑒) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒))
6665rexlimdva2 3152 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ (-∞[,)π‘₯) βŠ† 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒)))
6766ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ )) ∧ -∞ ∈ 𝑒) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ (-∞[,)π‘₯) βŠ† 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒)))
6815, 67mpd 15 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ )) ∧ -∞ ∈ 𝑒) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒))
6968ex 412 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ )) β†’ (-∞ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒)))
7069ralrimiva 3141 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘’ ∈ (ordTopβ€˜ ≀ )(-∞ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒)))
7111, 13, 703jca 1126 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (ℝ* ↑pm β„‚) ∧ -∞ ∈ ℝ* ∧ βˆ€π‘’ ∈ (ordTopβ€˜ ≀ )(-∞ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒))))
72 nfcv 2898 . . . 4 β„²π‘˜πΉ
7372, 2lmbr3 45048 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹(β‡π‘‘β€˜(ordTopβ€˜ ≀ ))-∞ ↔ (𝐹 ∈ (ℝ* ↑pm β„‚) ∧ -∞ ∈ ℝ* ∧ βˆ€π‘’ ∈ (ordTopβ€˜ ≀ )(-∞ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒)))))
7471, 73mpbird 257 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹(β‡π‘‘β€˜(ordTopβ€˜ ≀ ))-∞)
75 df-xlim 45120 . . . 4 ~~>* = (β‡π‘‘β€˜(ordTopβ€˜ ≀ ))
7675breqi 5148 . . 3 (𝐹~~>*-∞ ↔ 𝐹(β‡π‘‘β€˜(ordTopβ€˜ ≀ ))-∞)
7776a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹~~>*-∞ ↔ 𝐹(β‡π‘‘β€˜(ordTopβ€˜ ≀ ))-∞))
7874, 77mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ 𝐹~~>*-∞)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534  β„²wnf 1778   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3056  βˆƒwrex 3065  Vcvv 3469   βŠ† wss 3944   class class class wbr 5142  dom cdm 5672  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414   ↑pm cpm 8835  β„‚cc 11122  β„cr 11123  -∞cmnf 11262  β„*cxr 11263   < clt 11264   ≀ cle 11265  β„€cz 12574  β„€β‰₯cuz 12838  [,)cico 13344  ordTopcordt 17466  TopOnctopon 22786  β‡π‘‘clm 23104  ~~>*clsxlim 45119
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-1o 8478  df-er 8716  df-pm 8837  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fi 9420  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-z 12575  df-uz 12839  df-ioo 13346  df-ioc 13347  df-ico 13348  df-icc 13349  df-topgen 17410  df-ordt 17468  df-ps 18543  df-tsr 18544  df-top 22770  df-topon 22787  df-bases 22823  df-lm 23107  df-xlim 45120
This theorem is referenced by:  xlimmnfv  45135
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