Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xlimmnfvlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xlimmnfvlem2 44044
Description: Lemma for xlimmnf 44052: the "if" part of the biconditional. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
xlimmnfvlem2.k 𝑘𝜑
xlimmnfvlem2.j 𝑗𝜑
xlimmnfvlem2.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
xlimmnfvlem2.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
xlimmnfvlem2.f (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
xlimmnfvlem2.g (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) < 𝑥)
Assertion
Ref Expression
xlimmnfvlem2 (𝜑𝐹~~>*-∞)
Distinct variable groups:   𝑗,𝐹,𝑘,𝑥   𝑗,𝑀   𝑗,𝑍,𝑘   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗,𝑘)   𝑀(𝑥,𝑘)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem xlimmnfvlem2
Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 letopon 22552 . . . . . . 7 (ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*)
21a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*))
32elfvexd 6879 . . . . 5 (𝜑 → ℝ* ∈ V)
4 cnex 11129 . . . . . 6 ℂ ∈ V
54a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ℂ ∈ V)
6 xlimmnfvlem2.f . . . . 5 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
7 xlimmnfvlem2.z . . . . . . 7 𝑍 = (ℤ𝑀)
87uzsscn2 43687 . . . . . 6 𝑍 ⊆ ℂ
98a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝑍 ⊆ ℂ)
10 elpm2r 8780 . . . . 5 (((ℝ* ∈ V ∧ ℂ ∈ V) ∧ (𝐹:𝑍⟶ℝ*𝑍 ⊆ ℂ)) → 𝐹 ∈ (ℝ*pm ℂ))
113, 5, 6, 9, 10syl22anc 837 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (ℝ*pm ℂ))
12 mnfxr 11209 . . . . 5 -∞ ∈ ℝ*
1312a1i 11 . . . 4 (𝜑 → -∞ ∈ ℝ*)
14 mnfnei 22568 . . . . . . . 8 ((𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ -∞ ∈ 𝑢) → ∃𝑥 ∈ ℝ (-∞[,)𝑥) ⊆ 𝑢)
1514adantll 712 . . . . . . 7 (((𝜑𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )) ∧ -∞ ∈ 𝑢) → ∃𝑥 ∈ ℝ (-∞[,)𝑥) ⊆ 𝑢)
16 xlimmnfvlem2.j . . . . . . . . . . . . 13 𝑗𝜑
17 nfv 1917 . . . . . . . . . . . . 13 𝑗 𝑥 ∈ ℝ
1816, 17nfan 1902 . . . . . . . . . . . 12 𝑗(𝜑𝑥 ∈ ℝ)
19 nfv 1917 . . . . . . . . . . . 12 𝑗(-∞[,)𝑥) ⊆ 𝑢
2018, 19nfan 1902 . . . . . . . . . . 11 𝑗((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (-∞[,)𝑥) ⊆ 𝑢)
21 simprr 771 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (-∞[,)𝑥) ⊆ 𝑢) ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) < 𝑥)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) < 𝑥)
22 xlimmnfvlem2.k . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑘𝜑
23 nfv 1917 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑘 𝑥 ∈ ℝ
2422, 23nfan 1902 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑘(𝜑𝑥 ∈ ℝ)
25 nfv 1917 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑘(-∞[,)𝑥) ⊆ 𝑢
2624, 25nfan 1902 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑘((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (-∞[,)𝑥) ⊆ 𝑢)
27 nfv 1917 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑘 𝑗𝑍
2826, 27nfan 1902 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑘(((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (-∞[,)𝑥) ⊆ 𝑢) ∧ 𝑗𝑍)
297uztrn2 12779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
30293adant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
316fdmd 6677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝑍)
32313ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → dom 𝐹 = 𝑍)
3330, 32eleqtrrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 ∈ dom 𝐹)
3433ad5ant134 1367 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∧ (-∞[,)𝑥) ⊆ 𝑢) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ (𝐹𝑘) < 𝑥) → 𝑘 ∈ dom 𝐹)
3534adantl4r 753 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (-∞[,)𝑥) ⊆ 𝑢) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ (𝐹𝑘) < 𝑥) → 𝑘 ∈ dom 𝐹)
36 simp-4r 782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑 ∧ (-∞[,)𝑥) ⊆ 𝑢) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ (𝐹𝑘) < 𝑥) → (-∞[,)𝑥) ⊆ 𝑢)
3736adantl4r 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (-∞[,)𝑥) ⊆ 𝑢) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ (𝐹𝑘) < 𝑥) → (-∞[,)𝑥) ⊆ 𝑢)
3812a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ (𝐹𝑘) < 𝑥) → -∞ ∈ ℝ*)
39 simp-4r 782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ (𝐹𝑘) < 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
40 rexr 11198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
4139, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ (𝐹𝑘) < 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ*)
42 simp-4l 781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ (𝐹𝑘) < 𝑥) → 𝜑)
4329ad4ant23 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ (𝐹𝑘) < 𝑥) → 𝑘𝑍)
446ffvelcdmda 7032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ*)
4542, 43, 44syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ (𝐹𝑘) < 𝑥) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ*)
4645mnfled 43597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ (𝐹𝑘) < 𝑥) → -∞ ≤ (𝐹𝑘))
47 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ (𝐹𝑘) < 𝑥) → (𝐹𝑘) < 𝑥)
4838, 41, 45, 46, 47elicod 13311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ (𝐹𝑘) < 𝑥) → (𝐹𝑘) ∈ (-∞[,)𝑥))
4948adantl3r 748 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (-∞[,)𝑥) ⊆ 𝑢) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ (𝐹𝑘) < 𝑥) → (𝐹𝑘) ∈ (-∞[,)𝑥))
5037, 49sseldd 3944 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (-∞[,)𝑥) ⊆ 𝑢) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ (𝐹𝑘) < 𝑥) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)
5135, 50jca 512 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (-∞[,)𝑥) ⊆ 𝑢) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ (𝐹𝑘) < 𝑥) → (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢))
5251ex 413 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (-∞[,)𝑥) ⊆ 𝑢) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝐹𝑘) < 𝑥 → (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))
5328, 52ralimdaa 3242 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (-∞[,)𝑥) ⊆ 𝑢) ∧ 𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))
5453adantrr 715 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (-∞[,)𝑥) ⊆ 𝑢) ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) < 𝑥)) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))
5521, 54mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (-∞[,)𝑥) ⊆ 𝑢) ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) < 𝑥)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢))
56553impb 1115 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (-∞[,)𝑥) ⊆ 𝑢) ∧ 𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) < 𝑥) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢))
57 xlimmnfvlem2.g . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) < 𝑥)
5857r19.21bi 3233 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) < 𝑥)
5958adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (-∞[,)𝑥) ⊆ 𝑢) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) < 𝑥)
6020, 56, 59reximdd 43342 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (-∞[,)𝑥) ⊆ 𝑢) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢))
61 xlimmnfvlem2.m . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
627rexuz3 15230 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))
6361, 62syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))
6463ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (-∞[,)𝑥) ⊆ 𝑢) → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))
6560, 64mpbid 231 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (-∞[,)𝑥) ⊆ 𝑢) → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢))
6665rexlimdva2 3153 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ (-∞[,)𝑥) ⊆ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))
6766ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝜑𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )) ∧ -∞ ∈ 𝑢) → (∃𝑥 ∈ ℝ (-∞[,)𝑥) ⊆ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))
6815, 67mpd 15 . . . . . 6 (((𝜑𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )) ∧ -∞ ∈ 𝑢) → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢))
6968ex 413 . . . . 5 ((𝜑𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )) → (-∞ ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))
7069ralrimiva 3142 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )(-∞ ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))
7111, 13, 703jca 1128 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ∈ (ℝ*pm ℂ) ∧ -∞ ∈ ℝ* ∧ ∀𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )(-∞ ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢))))
72 nfcv 2906 . . . 4 𝑘𝐹
7372, 2lmbr3 43958 . . 3 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))-∞ ↔ (𝐹 ∈ (ℝ*pm ℂ) ∧ -∞ ∈ ℝ* ∧ ∀𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )(-∞ ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))))
7471, 73mpbird 256 . 2 (𝜑𝐹(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))-∞)
75 df-xlim 44030 . . . 4 ~~>* = (⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))
7675breqi 5110 . . 3 (𝐹~~>*-∞ ↔ 𝐹(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))-∞)
7776a1i 11 . 2 (𝜑 → (𝐹~~>*-∞ ↔ 𝐹(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))-∞))
7874, 77mpbird 256 1 (𝜑𝐹~~>*-∞)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wnf 1785  wcel 2106  wral 3063  wrex 3072  Vcvv 3444  wss 3909   class class class wbr 5104  dom cdm 5632  wf 6490  cfv 6494  (class class class)co 7354  pm cpm 8763  cc 11046  cr 11047  -∞cmnf 11184  *cxr 11185   < clt 11186  cle 11187  cz 12496  cuz 12760  [,)cico 13263  ordTopcordt 17378  TopOnctopon 22255  𝑡clm 22573  ~~>*clsxlim 44029
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7669  ax-cnex 11104  ax-resscn 11105  ax-1cn 11106  ax-icn 11107  ax-addcl 11108  ax-addrcl 11109  ax-mulcl 11110  ax-mulrcl 11111  ax-mulcom 11112  ax-addass 11113  ax-mulass 11114  ax-distr 11115  ax-i2m1 11116  ax-1ne0 11117  ax-1rid 11118  ax-rnegex 11119  ax-rrecex 11120  ax-cnre 11121  ax-pre-lttri 11122  ax-pre-lttrn 11123  ax-pre-ltadd 11124  ax-pre-mulgt0 11125
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-int 4907  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5530  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7310  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-om 7800  df-1st 7918  df-2nd 7919  df-1o 8409  df-er 8645  df-pm 8765  df-en 8881  df-dom 8882  df-sdom 8883  df-fin 8884  df-fi 9344  df-pnf 11188  df-mnf 11189  df-xr 11190  df-ltxr 11191  df-le 11192  df-sub 11384  df-neg 11385  df-z 12497  df-uz 12761  df-ioo 13265  df-ioc 13266  df-ico 13267  df-icc 13268  df-topgen 17322  df-ordt 17380  df-ps 18452  df-tsr 18453  df-top 22239  df-topon 22256  df-bases 22292  df-lm 22576  df-xlim 44030
This theorem is referenced by:  xlimmnfv  44045
  Copyright terms: Public domain W3C validator