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Theorem xlimmnfvlem2 45280
Description: Lemma for xlimmnf 45288: the "if" part of the biconditional. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
xlimmnfvlem2.k β„²π‘˜πœ‘
xlimmnfvlem2.j β„²π‘—πœ‘
xlimmnfvlem2.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
xlimmnfvlem2.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
xlimmnfvlem2.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„*)
xlimmnfvlem2.g (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) < π‘₯)
Assertion
Ref Expression
xlimmnfvlem2 (πœ‘ β†’ 𝐹~~>*-∞)
Distinct variable groups:   𝑗,𝐹,π‘˜,π‘₯   𝑗,𝑀   𝑗,𝑍,π‘˜   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑗,π‘˜)   𝑀(π‘₯,π‘˜)   𝑍(π‘₯)

Proof of Theorem xlimmnfvlem2
Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 letopon 23122 . . . . . . 7 (ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ (TopOnβ€˜β„*)
21a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ (TopOnβ€˜β„*))
32elfvexd 6929 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ℝ* ∈ V)
4 cnex 11214 . . . . . 6 β„‚ ∈ V
54a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ β„‚ ∈ V)
6 xlimmnfvlem2.f . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„*)
7 xlimmnfvlem2.z . . . . . . 7 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
87uzsscn2 44919 . . . . . 6 𝑍 βŠ† β„‚
98a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑍 βŠ† β„‚)
10 elpm2r 8857 . . . . 5 (((ℝ* ∈ V ∧ β„‚ ∈ V) ∧ (𝐹:π‘βŸΆβ„* ∧ 𝑍 βŠ† β„‚)) β†’ 𝐹 ∈ (ℝ* ↑pm β„‚))
113, 5, 6, 9, 10syl22anc 837 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (ℝ* ↑pm β„‚))
12 mnfxr 11296 . . . . 5 -∞ ∈ ℝ*
1312a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ -∞ ∈ ℝ*)
14 mnfnei 23138 . . . . . . . 8 ((𝑒 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ -∞ ∈ 𝑒) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ (-∞[,)π‘₯) βŠ† 𝑒)
1514adantll 712 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ )) ∧ -∞ ∈ 𝑒) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ (-∞[,)π‘₯) βŠ† 𝑒)
16 xlimmnfvlem2.j . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘—πœ‘
17 nfv 1909 . . . . . . . . . . . . 13 Ⅎ𝑗 π‘₯ ∈ ℝ
1816, 17nfan 1894 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑗(πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ)
19 nfv 1909 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑗(-∞[,)π‘₯) βŠ† 𝑒
2018, 19nfan 1894 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑗((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (-∞[,)π‘₯) βŠ† 𝑒)
21 simprr 771 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (-∞[,)π‘₯) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) < π‘₯)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) < π‘₯)
22 xlimmnfvlem2.k . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 β„²π‘˜πœ‘
23 nfv 1909 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 β„²π‘˜ π‘₯ ∈ ℝ
2422, 23nfan 1894 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 β„²π‘˜(πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ)
25 nfv 1909 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 β„²π‘˜(-∞[,)π‘₯) βŠ† 𝑒
2624, 25nfan 1894 . . . . . . . . . . . . . . . 16 β„²π‘˜((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (-∞[,)π‘₯) βŠ† 𝑒)
27 nfv 1909 . . . . . . . . . . . . . . . 16 β„²π‘˜ 𝑗 ∈ 𝑍
2826, 27nfan 1894 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„²π‘˜(((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (-∞[,)π‘₯) βŠ† 𝑒) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍)
297uztrn2 12866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
30293adant1 1127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
316fdmd 6727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 = 𝑍)
32313ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ dom 𝐹 = 𝑍)
3330, 32eleqtrrd 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ dom 𝐹)
3433ad5ant134 1364 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((πœ‘ ∧ (-∞[,)π‘₯) βŠ† 𝑒) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) < π‘₯) β†’ π‘˜ ∈ dom 𝐹)
3534adantl4r 753 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (-∞[,)π‘₯) βŠ† 𝑒) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) < π‘₯) β†’ π‘˜ ∈ dom 𝐹)
36 simp-4r 782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((πœ‘ ∧ (-∞[,)π‘₯) βŠ† 𝑒) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) < π‘₯) β†’ (-∞[,)π‘₯) βŠ† 𝑒)
3736adantl4r 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (-∞[,)π‘₯) βŠ† 𝑒) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) < π‘₯) β†’ (-∞[,)π‘₯) βŠ† 𝑒)
3812a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) < π‘₯) β†’ -∞ ∈ ℝ*)
39 simp-4r 782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) < π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
40 rexr 11285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
4139, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) < π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
42 simp-4l 781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) < π‘₯) β†’ πœ‘)
4329ad4ant23 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) < π‘₯) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
446ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ*)
4542, 43, 44syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) < π‘₯) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ*)
4645mnfled 13142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) < π‘₯) β†’ -∞ ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
47 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) < π‘₯) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) < π‘₯)
4838, 41, 45, 46, 47elicod 13401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) < π‘₯) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (-∞[,)π‘₯))
4948adantl3r 748 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (-∞[,)π‘₯) βŠ† 𝑒) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) < π‘₯) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (-∞[,)π‘₯))
5037, 49sseldd 3974 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (-∞[,)π‘₯) βŠ† 𝑒) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) < π‘₯) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒)
5135, 50jca 510 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (-∞[,)π‘₯) βŠ† 𝑒) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) < π‘₯) β†’ (π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒))
5251ex 411 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (-∞[,)π‘₯) βŠ† 𝑒) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) < π‘₯ β†’ (π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒)))
5328, 52ralimdaa 3248 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (-∞[,)π‘₯) βŠ† 𝑒) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) < π‘₯ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒)))
5453adantrr 715 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (-∞[,)π‘₯) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) < π‘₯)) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) < π‘₯ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒)))
5521, 54mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (-∞[,)π‘₯) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) < π‘₯)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒))
56553impb 1112 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (-∞[,)π‘₯) βŠ† 𝑒) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) < π‘₯) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒))
57 xlimmnfvlem2.g . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) < π‘₯)
5857r19.21bi 3239 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) < π‘₯)
5958adantr 479 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (-∞[,)π‘₯) βŠ† 𝑒) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) < π‘₯)
6020, 56, 59reximdd 44578 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (-∞[,)π‘₯) βŠ† 𝑒) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒))
61 xlimmnfvlem2.m . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
627rexuz3 15322 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ β„€ β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒) ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒)))
6361, 62syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒) ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒)))
6463ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (-∞[,)π‘₯) βŠ† 𝑒) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒) ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒)))
6560, 64mpbid 231 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (-∞[,)π‘₯) βŠ† 𝑒) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒))
6665rexlimdva2 3147 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ (-∞[,)π‘₯) βŠ† 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒)))
6766ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ )) ∧ -∞ ∈ 𝑒) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ (-∞[,)π‘₯) βŠ† 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒)))
6815, 67mpd 15 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ )) ∧ -∞ ∈ 𝑒) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒))
6968ex 411 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ )) β†’ (-∞ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒)))
7069ralrimiva 3136 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘’ ∈ (ordTopβ€˜ ≀ )(-∞ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒)))
7111, 13, 703jca 1125 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (ℝ* ↑pm β„‚) ∧ -∞ ∈ ℝ* ∧ βˆ€π‘’ ∈ (ordTopβ€˜ ≀ )(-∞ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒))))
72 nfcv 2892 . . . 4 β„²π‘˜πΉ
7372, 2lmbr3 45194 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹(β‡π‘‘β€˜(ordTopβ€˜ ≀ ))-∞ ↔ (𝐹 ∈ (ℝ* ↑pm β„‚) ∧ -∞ ∈ ℝ* ∧ βˆ€π‘’ ∈ (ordTopβ€˜ ≀ )(-∞ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒)))))
7471, 73mpbird 256 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹(β‡π‘‘β€˜(ordTopβ€˜ ≀ ))-∞)
75 df-xlim 45266 . . . 4 ~~>* = (β‡π‘‘β€˜(ordTopβ€˜ ≀ ))
7675breqi 5150 . . 3 (𝐹~~>*-∞ ↔ 𝐹(β‡π‘‘β€˜(ordTopβ€˜ ≀ ))-∞)
7776a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹~~>*-∞ ↔ 𝐹(β‡π‘‘β€˜(ordTopβ€˜ ≀ ))-∞))
7874, 77mpbird 256 1 (πœ‘ β†’ 𝐹~~>*-∞)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533  β„²wnf 1777   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051  βˆƒwrex 3060  Vcvv 3463   βŠ† wss 3941   class class class wbr 5144  dom cdm 5673  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7413   ↑pm cpm 8839  β„‚cc 11131  β„cr 11132  -∞cmnf 11271  β„*cxr 11272   < clt 11273   ≀ cle 11274  β„€cz 12583  β„€β‰₯cuz 12847  [,)cico 13353  ordTopcordt 17475  TopOnctopon 22825  β‡π‘‘clm 23143  ~~>*clsxlim 45265
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-1o 8480  df-er 8718  df-pm 8841  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fi 9429  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-z 12584  df-uz 12848  df-ioo 13355  df-ioc 13356  df-ico 13357  df-icc 13358  df-topgen 17419  df-ordt 17477  df-ps 18552  df-tsr 18553  df-top 22809  df-topon 22826  df-bases 22862  df-lm 23146  df-xlim 45266
This theorem is referenced by:  xlimmnfv  45281
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