Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xlimmnfvlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xlimmnfvlem2 42462
 Description: Lemma for xlimmnf 42470: the "if" part of the biconditional. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
xlimmnfvlem2.k 𝑘𝜑
xlimmnfvlem2.j 𝑗𝜑
xlimmnfvlem2.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
xlimmnfvlem2.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
xlimmnfvlem2.f (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
xlimmnfvlem2.g (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) < 𝑥)
Assertion
Ref Expression
xlimmnfvlem2 (𝜑𝐹~~>*-∞)
Distinct variable groups:   𝑗,𝐹,𝑘,𝑥   𝑗,𝑀   𝑗,𝑍,𝑘   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗,𝑘)   𝑀(𝑥,𝑘)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem xlimmnfvlem2
Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 letopon 21813 . . . . . . 7 (ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*)
21a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*))
32elfvexd 6683 . . . . 5 (𝜑 → ℝ* ∈ V)
4 cnex 10611 . . . . . 6 ℂ ∈ V
54a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ℂ ∈ V)
6 xlimmnfvlem2.f . . . . 5 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
7 xlimmnfvlem2.z . . . . . . 7 𝑍 = (ℤ𝑀)
87uzsscn2 42104 . . . . . 6 𝑍 ⊆ ℂ
98a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝑍 ⊆ ℂ)
10 elpm2r 8411 . . . . 5 (((ℝ* ∈ V ∧ ℂ ∈ V) ∧ (𝐹:𝑍⟶ℝ*𝑍 ⊆ ℂ)) → 𝐹 ∈ (ℝ*pm ℂ))
113, 5, 6, 9, 10syl22anc 837 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (ℝ*pm ℂ))
12 mnfxr 10691 . . . . 5 -∞ ∈ ℝ*
1312a1i 11 . . . 4 (𝜑 → -∞ ∈ ℝ*)
14 mnfnei 21829 . . . . . . . 8 ((𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ -∞ ∈ 𝑢) → ∃𝑥 ∈ ℝ (-∞[,)𝑥) ⊆ 𝑢)
1514adantll 713 . . . . . . 7 (((𝜑𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )) ∧ -∞ ∈ 𝑢) → ∃𝑥 ∈ ℝ (-∞[,)𝑥) ⊆ 𝑢)
16 xlimmnfvlem2.j . . . . . . . . . . . . 13 𝑗𝜑
17 nfv 1915 . . . . . . . . . . . . 13 𝑗 𝑥 ∈ ℝ
1816, 17nfan 1900 . . . . . . . . . . . 12 𝑗(𝜑𝑥 ∈ ℝ)
19 nfv 1915 . . . . . . . . . . . 12 𝑗(-∞[,)𝑥) ⊆ 𝑢
2018, 19nfan 1900 . . . . . . . . . . 11 𝑗((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (-∞[,)𝑥) ⊆ 𝑢)
21 simprr 772 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (-∞[,)𝑥) ⊆ 𝑢) ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) < 𝑥)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) < 𝑥)
22 xlimmnfvlem2.k . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑘𝜑
23 nfv 1915 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑘 𝑥 ∈ ℝ
2422, 23nfan 1900 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑘(𝜑𝑥 ∈ ℝ)
25 nfv 1915 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑘(-∞[,)𝑥) ⊆ 𝑢
2624, 25nfan 1900 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑘((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (-∞[,)𝑥) ⊆ 𝑢)
27 nfv 1915 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑘 𝑗𝑍
2826, 27nfan 1900 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑘(((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (-∞[,)𝑥) ⊆ 𝑢) ∧ 𝑗𝑍)
297uztrn2 12254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
30293adant1 1127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
316fdmd 6501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝑍)
32313ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → dom 𝐹 = 𝑍)
3330, 32eleqtrrd 2896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 ∈ dom 𝐹)
3433ad5ant134 1364 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∧ (-∞[,)𝑥) ⊆ 𝑢) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ (𝐹𝑘) < 𝑥) → 𝑘 ∈ dom 𝐹)
3534adantl4r 754 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (-∞[,)𝑥) ⊆ 𝑢) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ (𝐹𝑘) < 𝑥) → 𝑘 ∈ dom 𝐹)
36 simp-4r 783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑 ∧ (-∞[,)𝑥) ⊆ 𝑢) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ (𝐹𝑘) < 𝑥) → (-∞[,)𝑥) ⊆ 𝑢)
3736adantl4r 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (-∞[,)𝑥) ⊆ 𝑢) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ (𝐹𝑘) < 𝑥) → (-∞[,)𝑥) ⊆ 𝑢)
3812a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ (𝐹𝑘) < 𝑥) → -∞ ∈ ℝ*)
39 simp-4r 783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ (𝐹𝑘) < 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
40 rexr 10680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
4139, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ (𝐹𝑘) < 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ*)
42 simp-4l 782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ (𝐹𝑘) < 𝑥) → 𝜑)
4329ad4ant23 752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ (𝐹𝑘) < 𝑥) → 𝑘𝑍)
446ffvelrnda 6832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ*)
4542, 43, 44syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ (𝐹𝑘) < 𝑥) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ*)
4645mnfled 42011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ (𝐹𝑘) < 𝑥) → -∞ ≤ (𝐹𝑘))
47 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ (𝐹𝑘) < 𝑥) → (𝐹𝑘) < 𝑥)
4838, 41, 45, 46, 47elicod 12779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ (𝐹𝑘) < 𝑥) → (𝐹𝑘) ∈ (-∞[,)𝑥))
4948adantl3r 749 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (-∞[,)𝑥) ⊆ 𝑢) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ (𝐹𝑘) < 𝑥) → (𝐹𝑘) ∈ (-∞[,)𝑥))
5037, 49sseldd 3919 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (-∞[,)𝑥) ⊆ 𝑢) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ (𝐹𝑘) < 𝑥) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)
5135, 50jca 515 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (-∞[,)𝑥) ⊆ 𝑢) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ (𝐹𝑘) < 𝑥) → (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢))
5251ex 416 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (-∞[,)𝑥) ⊆ 𝑢) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝐹𝑘) < 𝑥 → (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))
5328, 52ralimda 41761 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (-∞[,)𝑥) ⊆ 𝑢) ∧ 𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))
5453adantrr 716 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (-∞[,)𝑥) ⊆ 𝑢) ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) < 𝑥)) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))
5521, 54mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (-∞[,)𝑥) ⊆ 𝑢) ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) < 𝑥)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢))
56553impb 1112 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (-∞[,)𝑥) ⊆ 𝑢) ∧ 𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) < 𝑥) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢))
57 xlimmnfvlem2.g . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) < 𝑥)
5857r19.21bi 3176 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) < 𝑥)
5958adantr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (-∞[,)𝑥) ⊆ 𝑢) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) < 𝑥)
6020, 56, 59reximdd 41776 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (-∞[,)𝑥) ⊆ 𝑢) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢))
61 xlimmnfvlem2.m . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
627rexuz3 14703 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))
6361, 62syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))
6463ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (-∞[,)𝑥) ⊆ 𝑢) → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))
6560, 64mpbid 235 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (-∞[,)𝑥) ⊆ 𝑢) → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢))
6665rexlimdva2 3249 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ (-∞[,)𝑥) ⊆ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))
6766ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝜑𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )) ∧ -∞ ∈ 𝑢) → (∃𝑥 ∈ ℝ (-∞[,)𝑥) ⊆ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))
6815, 67mpd 15 . . . . . 6 (((𝜑𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )) ∧ -∞ ∈ 𝑢) → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢))
6968ex 416 . . . . 5 ((𝜑𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )) → (-∞ ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))
7069ralrimiva 3152 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )(-∞ ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))
7111, 13, 703jca 1125 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ∈ (ℝ*pm ℂ) ∧ -∞ ∈ ℝ* ∧ ∀𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )(-∞ ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢))))
72 nfcv 2958 . . . 4 𝑘𝐹
7372, 2lmbr3 42376 . . 3 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))-∞ ↔ (𝐹 ∈ (ℝ*pm ℂ) ∧ -∞ ∈ ℝ* ∧ ∀𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )(-∞ ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))))
7471, 73mpbird 260 . 2 (𝜑𝐹(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))-∞)
75 df-xlim 42448 . . . 4 ~~>* = (⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))
7675breqi 5039 . . 3 (𝐹~~>*-∞ ↔ 𝐹(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))-∞)
7776a1i 11 . 2 (𝜑 → (𝐹~~>*-∞ ↔ 𝐹(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))-∞))
7874, 77mpbird 260 1 (𝜑𝐹~~>*-∞)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2112  ∀wral 3109  ∃wrex 3110  Vcvv 3444   ⊆ wss 3884   class class class wbr 5033  dom cdm 5523  ⟶wf 6324  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139   ↑pm cpm 8394  ℂcc 10528  ℝcr 10529  -∞cmnf 10666  ℝ*cxr 10667   < clt 10668   ≤ cle 10669  ℤcz 11973  ℤ≥cuz 12235  [,)cico 12732  ordTopcordt 16767  TopOnctopon 21518  ⇝𝑡clm 21834  ~~>*clsxlim 42447 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-pm 8396  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fi 8863  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-z 11974  df-uz 12236  df-ioo 12734  df-ioc 12735  df-ico 12736  df-icc 12737  df-topgen 16712  df-ordt 16769  df-ps 17805  df-tsr 17806  df-top 21502  df-topon 21519  df-bases 21554  df-lm 21837  df-xlim 42448 This theorem is referenced by:  xlimmnfv  42463
 Copyright terms: Public domain W3C validator