MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1nn0clb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem deg1nn0clb 26044
Description: A polynomial is nonzero iff it has definite degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1z.d 𝐷 = ( deg1𝑅)
deg1z.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
deg1z.z 0 = (0g𝑃)
deg1nn0cl.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
Assertion
Ref Expression
deg1nn0clb ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵) → (𝐹0 ↔ (𝐷𝐹) ∈ ℕ0))

Proof of Theorem deg1nn0clb
StepHypRef Expression
1 deg1z.d . . . 4 𝐷 = ( deg1𝑅)
2 deg1z.p . . . 4 𝑃 = (Poly1𝑅)
3 deg1z.z . . . 4 0 = (0g𝑃)
4 deg1nn0cl.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑃)
51, 2, 3, 4deg1nn0cl 26042 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) → (𝐷𝐹) ∈ ℕ0)
653expia 1118 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵) → (𝐹0 → (𝐷𝐹) ∈ ℕ0))
7 mnfnre 11287 . . . . . . 7 -∞ ∉ ℝ
87neli 3038 . . . . . 6 ¬ -∞ ∈ ℝ
9 nn0re 12511 . . . . . 6 (-∞ ∈ ℕ0 → -∞ ∈ ℝ)
108, 9mto 196 . . . . 5 ¬ -∞ ∈ ℕ0
111, 2, 3deg1z 26041 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → (𝐷0 ) = -∞)
1211adantr 479 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵) → (𝐷0 ) = -∞)
1312eleq1d 2810 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵) → ((𝐷0 ) ∈ ℕ0 ↔ -∞ ∈ ℕ0))
1410, 13mtbiri 326 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵) → ¬ (𝐷0 ) ∈ ℕ0)
15 fveq2 6892 . . . . . 6 (𝐹 = 0 → (𝐷𝐹) = (𝐷0 ))
1615eleq1d 2810 . . . . 5 (𝐹 = 0 → ((𝐷𝐹) ∈ ℕ0 ↔ (𝐷0 ) ∈ ℕ0))
1716notbid 317 . . . 4 (𝐹 = 0 → (¬ (𝐷𝐹) ∈ ℕ0 ↔ ¬ (𝐷0 ) ∈ ℕ0))
1814, 17syl5ibrcom 246 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵) → (𝐹 = 0 → ¬ (𝐷𝐹) ∈ ℕ0))
1918necon2ad 2945 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵) → ((𝐷𝐹) ∈ ℕ0𝐹0 ))
206, 19impbid 211 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵) → (𝐹0 ↔ (𝐷𝐹) ∈ ℕ0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2930  cfv 6543  cr 11137  -∞cmnf 11276  0cn0 12502  Basecbs 17179  0gc0g 17420  Ringcrg 20177  Poly1cpl1 22104   deg1 cdg1 26005
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-addf 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-supp 8164  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-ixp 8915  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-fsupp 9386  df-sup 9465  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-seq 13999  df-hash 14322  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-hom 17256  df-cco 17257  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-prds 17428  df-pws 17430  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18740  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-subg 19082  df-cntz 19272  df-cmn 19741  df-abl 19742  df-mgp 20079  df-ur 20126  df-ring 20179  df-cring 20180  df-cnfld 21284  df-psr 21846  df-mpl 21848  df-opsr 21850  df-psr1 22107  df-ply1 22109  df-mdeg 26006  df-deg1 26007
This theorem is referenced by:  deg1ldgn  26047  ply1domn  26077  uc1pmon1p  26105  ply1remlem  26117  fta1glem1  26120  fta1g  26122  idomrootle  26125  lgsqrlem4  27300  aks6d1c2lem4  41654  aks6d1c5lem3  41664  aks6d1c6lem1  41698  aks6d1c6lem3  41700  mon1psubm  42692
  Copyright terms: Public domain W3C validator