Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1nn0clb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem deg1nn0clb 24256
 Description: A polynomial is nonzero iff it has definite degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1z.d 𝐷 = ( deg1𝑅)
deg1z.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
deg1z.z 0 = (0g𝑃)
deg1nn0cl.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
Assertion
Ref Expression
deg1nn0clb ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵) → (𝐹0 ↔ (𝐷𝐹) ∈ ℕ0))

Proof of Theorem deg1nn0clb
StepHypRef Expression
1 deg1z.d . . . 4 𝐷 = ( deg1𝑅)
2 deg1z.p . . . 4 𝑃 = (Poly1𝑅)
3 deg1z.z . . . 4 0 = (0g𝑃)
4 deg1nn0cl.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑃)
51, 2, 3, 4deg1nn0cl 24254 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) → (𝐷𝐹) ∈ ℕ0)
653expia 1154 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵) → (𝐹0 → (𝐷𝐹) ∈ ℕ0))
7 mnfnre 10406 . . . . . . 7 -∞ ∉ ℝ
87neli 3104 . . . . . 6 ¬ -∞ ∈ ℝ
9 nn0re 11635 . . . . . 6 (-∞ ∈ ℕ0 → -∞ ∈ ℝ)
108, 9mto 189 . . . . 5 ¬ -∞ ∈ ℕ0
111, 2, 3deg1z 24253 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → (𝐷0 ) = -∞)
1211adantr 474 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵) → (𝐷0 ) = -∞)
1312eleq1d 2891 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵) → ((𝐷0 ) ∈ ℕ0 ↔ -∞ ∈ ℕ0))
1410, 13mtbiri 319 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵) → ¬ (𝐷0 ) ∈ ℕ0)
15 fveq2 6437 . . . . . 6 (𝐹 = 0 → (𝐷𝐹) = (𝐷0 ))
1615eleq1d 2891 . . . . 5 (𝐹 = 0 → ((𝐷𝐹) ∈ ℕ0 ↔ (𝐷0 ) ∈ ℕ0))
1716notbid 310 . . . 4 (𝐹 = 0 → (¬ (𝐷𝐹) ∈ ℕ0 ↔ ¬ (𝐷0 ) ∈ ℕ0))
1814, 17syl5ibrcom 239 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵) → (𝐹 = 0 → ¬ (𝐷𝐹) ∈ ℕ0))
1918necon2ad 3014 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵) → ((𝐷𝐹) ∈ ℕ0𝐹0 ))
206, 19impbid 204 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵) → (𝐹0 ↔ (𝐷𝐹) ∈ ℕ0))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1656   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2999  ‘cfv 6127  ℝcr 10258  -∞cmnf 10396  ℕ0cn0 11625  Basecbs 16229  0gc0g 16460  Ringcrg 18908  Poly1cpl1 19914   deg1 cdg1 24220 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336  ax-addf 10338  ax-mulf 10339 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-se 5306  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-isom 6136  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-of 7162  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-supp 7565  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-oadd 7835  df-er 8014  df-map 8129  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-fsupp 8551  df-sup 8623  df-oi 8691  df-card 9085  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-4 11423  df-5 11424  df-6 11425  df-7 11426  df-8 11427  df-9 11428  df-n0 11626  df-z 11712  df-dec 11829  df-uz 11976  df-fz 12627  df-fzo 12768  df-seq 13103  df-hash 13418  df-struct 16231  df-ndx 16232  df-slot 16233  df-base 16235  df-sets 16236  df-ress 16237  df-plusg 16325  df-mulr 16326  df-starv 16327  df-sca 16328  df-vsca 16329  df-tset 16331  df-ple 16332  df-ds 16334  df-unif 16335  df-0g 16462  df-gsum 16463  df-mgm 17602  df-sgrp 17644  df-mnd 17655  df-submnd 17696  df-grp 17786  df-minusg 17787  df-subg 17949  df-cntz 18107  df-cmn 18555  df-abl 18556  df-mgp 18851  df-ur 18863  df-ring 18910  df-cring 18911  df-psr 19724  df-mpl 19726  df-opsr 19728  df-psr1 19917  df-ply1 19919  df-cnfld 20114  df-mdeg 24221  df-deg1 24222 This theorem is referenced by:  deg1ldgn  24259  ply1domn  24289  uc1pmon1p  24317  ply1remlem  24328  fta1glem1  24331  fta1g  24333  lgsqrlem4  25494  idomrootle  38611  mon1psubm  38622
 Copyright terms: Public domain W3C validator