Theorem deg1nn0clb 24683

Description: A polynomial is nonzero iff it has definite degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1z.d	⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
deg1z.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
deg1z.z	⊢ 0 = (0g‘𝑃)
deg1nn0cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
deg1nn0clb	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → (𝐹 ≠ 0 ↔ (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0))

Proof of Theorem deg1nn0clb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		deg1z.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
2		deg1z.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3		deg1z.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
4		deg1nn0cl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
5	1, 2, 3, 4	deg1nn0cl 24681	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0)
6	5	3expia 1117	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → (𝐹 ≠ 0 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0))
7		mnfnre 10683	. . . . . . 7 ⊢ -∞ ∉ ℝ
8	7	neli 3125	. . . . . 6 ⊢ ¬ -∞ ∈ ℝ
9		nn0re 11905	. . . . . 6 ⊢ (-∞ ∈ ℕ0 → -∞ ∈ ℝ)
10	8, 9	mto 199	. . . . 5 ⊢ ¬ -∞ ∈ ℕ0
11	1, 2, 3	deg1z 24680	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐷‘ 0 ) = -∞)
12	11	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → (𝐷‘ 0 ) = -∞)
13	12	eleq1d 2897	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → ((𝐷‘ 0 ) ∈ ℕ0 ↔ -∞ ∈ ℕ0))
14	10, 13	mtbiri 329	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → ¬ (𝐷‘ 0 ) ∈ ℕ0)
15		fveq2 6669	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 = 0 → (𝐷‘𝐹) = (𝐷‘ 0 ))
16	15	eleq1d 2897	. . . . 5 ⊢ (𝐹 = 0 → ((𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0 ↔ (𝐷‘ 0 ) ∈ ℕ0))
17	16	notbid 320	. . . 4 ⊢ (𝐹 = 0 → (¬ (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0 ↔ ¬ (𝐷‘ 0 ) ∈ ℕ0))
18	14, 17	syl5ibrcom 249	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → (𝐹 = 0 → ¬ (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0))
19	18	necon2ad 3031	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → ((𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0 → 𝐹 ≠ 0 ))
20	6, 19	impbid 214	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → (𝐹 ≠ 0 ↔ (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016  ‘cfv 6354  ℝcr 10535  -∞cmnf 10672  ℕ₀cn0 11896  Basecbs 16482  0_gc0g 16712  Ringcrg 19296  Poly₁cpl1 20344   deg₁ cdg1 24647

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-addf 10615  ax-mulf 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-isom 6363  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-of 7408  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-supp 7830  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-oadd 8105  df-er 8288  df-map 8407  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-fsupp 8833  df-sup 8905  df-oi 8973  df-card 9367  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-5 11702  df-6 11703  df-7 11704  df-8 11705  df-9 11706  df-n0 11897  df-z 11981  df-dec 12098  df-uz 12243  df-fz 12892  df-fzo 13033  df-seq 13369  df-hash 13690  df-struct 16484  df-ndx 16485  df-slot 16486  df-base 16488  df-sets 16489  df-ress 16490  df-plusg 16577  df-mulr 16578  df-starv 16579  df-sca 16580  df-vsca 16581  df-tset 16583  df-ple 16584  df-ds 16586  df-unif 16587  df-0g 16714  df-gsum 16715  df-mgm 17851  df-sgrp 17900  df-mnd 17911  df-submnd 17956  df-grp 18105  df-minusg 18106  df-subg 18275  df-cntz 18446  df-cmn 18907  df-abl 18908  df-mgp 19239  df-ur 19251  df-ring 19298  df-cring 19299  df-psr 20135  df-mpl 20137  df-opsr 20139  df-psr1 20347  df-ply1 20349  df-cnfld 20545  df-mdeg 24648  df-deg1 24649

This theorem is referenced by:  deg1ldgn  24686  ply1domn  24716  uc1pmon1p  24744  ply1remlem  24755  fta1glem1  24758  fta1g  24760  lgsqrlem4  25924  idomrootle  39793  mon1psubm  39804