Theorem neifg 36372

Description: The neighborhood filter of a nonempty set is generated by its open supersets. See comments for opnfbas 23850. (Contributed by Jeff Hankins, 3-Sep-2009.)

Hypothesis

Ref	Expression
neifg.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
neifg	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑆 ≠ ∅) → (𝑋filGen{𝑥 ∈ 𝐽 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑥}) = ((nei‘𝐽)‘𝑆))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐽   𝑥,𝑆   𝑥,𝑋

Proof of Theorem neifg

Dummy variables 𝑢 𝑡 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neifg.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2	1	opnfbas 23850	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑆 ≠ ∅) → {𝑥 ∈ 𝐽 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑥} ∈ (fBas‘𝑋))
3		fgval 23878	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐽 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑥} ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑋filGen{𝑥 ∈ 𝐽 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑥}) = {𝑡 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑥 ∈ 𝐽 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑥} ∩ 𝒫 𝑡) ≠ ∅})
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑆 ≠ ∅) → (𝑋filGen{𝑥 ∈ 𝐽 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑥}) = {𝑡 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑥 ∈ 𝐽 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑥} ∩ 𝒫 𝑡) ≠ ∅})
5		pweq 4614	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 = 𝑢 → 𝒫 𝑡 = 𝒫 𝑢)
6	5	ineq2d 4220	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = 𝑢 → ({𝑥 ∈ 𝐽 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑥} ∩ 𝒫 𝑡) = ({𝑥 ∈ 𝐽 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑥} ∩ 𝒫 𝑢))
7	6	neeq1d 3000	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = 𝑢 → (({𝑥 ∈ 𝐽 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑥} ∩ 𝒫 𝑡) ≠ ∅ ↔ ({𝑥 ∈ 𝐽 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑥} ∩ 𝒫 𝑢) ≠ ∅))
8	7	elrab 3692	. . . 4 ⊢ (𝑢 ∈ {𝑡 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑥 ∈ 𝐽 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑥} ∩ 𝒫 𝑡) ≠ ∅} ↔ (𝑢 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ({𝑥 ∈ 𝐽 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑥} ∩ 𝒫 𝑢) ≠ ∅))
9		velpw 4605	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝑢 ⊆ 𝑋)
10	9	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑆 ≠ ∅) → (𝑢 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝑢 ⊆ 𝑋))
11		n0 4353	. . . . . . . 8 ⊢ (({𝑥 ∈ 𝐽 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑥} ∩ 𝒫 𝑢) ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐽 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑥} ∩ 𝒫 𝑢))
12		elin 3967	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐽 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑥} ∩ 𝒫 𝑢) ↔ (𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝐽 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑥} ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑢))
13		sseq2 4010	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑆 ⊆ 𝑥 ↔ 𝑆 ⊆ 𝑧))
14	13	elrab 3692	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝐽 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑥} ↔ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑧))
15		velpw 4605	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ 𝒫 𝑢 ↔ 𝑧 ⊆ 𝑢)
16	14, 15	anbi12i 628	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝐽 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑥} ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑢) ↔ ((𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑧) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑢))
17	12, 16	bitri 275	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐽 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑥} ∩ 𝒫 𝑢) ↔ ((𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑧) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑢))
18	17	exbii 1848	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑧 𝑧 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐽 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑥} ∩ 𝒫 𝑢) ↔ ∃𝑧((𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑧) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑢))
19	11, 18	bitri 275	. . . . . . 7 ⊢ (({𝑥 ∈ 𝐽 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑥} ∩ 𝒫 𝑢) ≠ ∅ ↔ ∃𝑧((𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑧) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑢))
20	19	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑆 ≠ ∅) → (({𝑥 ∈ 𝐽 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑥} ∩ 𝒫 𝑢) ≠ ∅ ↔ ∃𝑧((𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑧) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑢)))
21	10, 20	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ((𝑢 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ({𝑥 ∈ 𝐽 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑥} ∩ 𝒫 𝑢) ≠ ∅) ↔ (𝑢 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑧((𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑧) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑢))))
22		anass 468	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑧) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑢) ↔ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ (𝑆 ⊆ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑢)))
23	22	exbii 1848	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑧((𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑧) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑢) ↔ ∃𝑧(𝑧 ∈ 𝐽 ∧ (𝑆 ⊆ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑢)))
24		df-rex 3071	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝐽 (𝑆 ⊆ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑢) ↔ ∃𝑧(𝑧 ∈ 𝐽 ∧ (𝑆 ⊆ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑢)))
25	23, 24	bitr4i 278	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑧((𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑧) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑢) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐽 (𝑆 ⊆ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑢))
26	25	anbi2i 623	. . . . . 6 ⊢ ((𝑢 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑧((𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑧) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑢)) ↔ (𝑢 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐽 (𝑆 ⊆ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑢)))
27	1	isnei 23111	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝑢 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ↔ (𝑢 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐽 (𝑆 ⊆ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑢))))
28	27	3adant3 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑆 ≠ ∅) → (𝑢 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ↔ (𝑢 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐽 (𝑆 ⊆ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑢))))
29	26, 28	bitr4id 290	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ((𝑢 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑧((𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑧) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑢)) ↔ 𝑢 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))
30	21, 29	bitrd 279	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ((𝑢 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ({𝑥 ∈ 𝐽 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑥} ∩ 𝒫 𝑢) ≠ ∅) ↔ 𝑢 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))
31	8, 30	bitrid 283	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑆 ≠ ∅) → (𝑢 ∈ {𝑡 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑥 ∈ 𝐽 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑥} ∩ 𝒫 𝑡) ≠ ∅} ↔ 𝑢 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))
32	31	eqrdv 2735	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑆 ≠ ∅) → {𝑡 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑥 ∈ 𝐽 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑥} ∩ 𝒫 𝑡) ≠ ∅} = ((nei‘𝐽)‘𝑆))
33	4, 32	eqtrd 2777	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑆 ≠ ∅) → (𝑋filGen{𝑥 ∈ 𝐽 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑥}) = ((nei‘𝐽)‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ∃wrex 3070  {crab 3436   ∩ cin 3950   ⊆ wss 3951  ∅c0 4333  𝒫 cpw 4600  ∪ cuni 4907  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  fBascfbas 21352  filGencfg 21353  Topctop 22899  neicnei 23105

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-top 22900  df-nei 23106

This theorem is referenced by: (None)