Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Hankins < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  neifg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem neifg 34560
Description: The neighborhood filter of a nonempty set is generated by its open supersets. See comments for opnfbas 22993. (Contributed by Jeff Hankins, 3-Sep-2009.)
Hypothesis
Ref Expression
neifg.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
neifg ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑆 ≠ ∅) → (𝑋filGen{𝑥𝐽𝑆𝑥}) = ((nei‘𝐽)‘𝑆))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐽   𝑥,𝑆   𝑥,𝑋

Proof of Theorem neifg
Dummy variables 𝑢 𝑡 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 neifg.1 . . . 4 𝑋 = 𝐽
21opnfbas 22993 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑆 ≠ ∅) → {𝑥𝐽𝑆𝑥} ∈ (fBas‘𝑋))
3 fgval 23021 . . 3 ({𝑥𝐽𝑆𝑥} ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑋filGen{𝑥𝐽𝑆𝑥}) = {𝑡 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑥𝐽𝑆𝑥} ∩ 𝒫 𝑡) ≠ ∅})
42, 3syl 17 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑆 ≠ ∅) → (𝑋filGen{𝑥𝐽𝑆𝑥}) = {𝑡 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑥𝐽𝑆𝑥} ∩ 𝒫 𝑡) ≠ ∅})
5 pweq 4549 . . . . . . 7 (𝑡 = 𝑢 → 𝒫 𝑡 = 𝒫 𝑢)
65ineq2d 4146 . . . . . 6 (𝑡 = 𝑢 → ({𝑥𝐽𝑆𝑥} ∩ 𝒫 𝑡) = ({𝑥𝐽𝑆𝑥} ∩ 𝒫 𝑢))
76neeq1d 3003 . . . . 5 (𝑡 = 𝑢 → (({𝑥𝐽𝑆𝑥} ∩ 𝒫 𝑡) ≠ ∅ ↔ ({𝑥𝐽𝑆𝑥} ∩ 𝒫 𝑢) ≠ ∅))
87elrab 3624 . . . 4 (𝑢 ∈ {𝑡 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑥𝐽𝑆𝑥} ∩ 𝒫 𝑡) ≠ ∅} ↔ (𝑢 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ({𝑥𝐽𝑆𝑥} ∩ 𝒫 𝑢) ≠ ∅))
9 velpw 4538 . . . . . . 7 (𝑢 ∈ 𝒫 𝑋𝑢𝑋)
109a1i 11 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑆 ≠ ∅) → (𝑢 ∈ 𝒫 𝑋𝑢𝑋))
11 n0 4280 . . . . . . . 8 (({𝑥𝐽𝑆𝑥} ∩ 𝒫 𝑢) ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ ({𝑥𝐽𝑆𝑥} ∩ 𝒫 𝑢))
12 elin 3903 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ({𝑥𝐽𝑆𝑥} ∩ 𝒫 𝑢) ↔ (𝑧 ∈ {𝑥𝐽𝑆𝑥} ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑢))
13 sseq2 3947 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑧 → (𝑆𝑥𝑆𝑧))
1413elrab 3624 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ {𝑥𝐽𝑆𝑥} ↔ (𝑧𝐽𝑆𝑧))
15 velpw 4538 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ 𝒫 𝑢𝑧𝑢)
1614, 15anbi12i 627 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ {𝑥𝐽𝑆𝑥} ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑢) ↔ ((𝑧𝐽𝑆𝑧) ∧ 𝑧𝑢))
1712, 16bitri 274 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ({𝑥𝐽𝑆𝑥} ∩ 𝒫 𝑢) ↔ ((𝑧𝐽𝑆𝑧) ∧ 𝑧𝑢))
1817exbii 1850 . . . . . . . 8 (∃𝑧 𝑧 ∈ ({𝑥𝐽𝑆𝑥} ∩ 𝒫 𝑢) ↔ ∃𝑧((𝑧𝐽𝑆𝑧) ∧ 𝑧𝑢))
1911, 18bitri 274 . . . . . . 7 (({𝑥𝐽𝑆𝑥} ∩ 𝒫 𝑢) ≠ ∅ ↔ ∃𝑧((𝑧𝐽𝑆𝑧) ∧ 𝑧𝑢))
2019a1i 11 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑆 ≠ ∅) → (({𝑥𝐽𝑆𝑥} ∩ 𝒫 𝑢) ≠ ∅ ↔ ∃𝑧((𝑧𝐽𝑆𝑧) ∧ 𝑧𝑢)))
2110, 20anbi12d 631 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑆 ≠ ∅) → ((𝑢 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ({𝑥𝐽𝑆𝑥} ∩ 𝒫 𝑢) ≠ ∅) ↔ (𝑢𝑋 ∧ ∃𝑧((𝑧𝐽𝑆𝑧) ∧ 𝑧𝑢))))
22 anass 469 . . . . . . . . 9 (((𝑧𝐽𝑆𝑧) ∧ 𝑧𝑢) ↔ (𝑧𝐽 ∧ (𝑆𝑧𝑧𝑢)))
2322exbii 1850 . . . . . . . 8 (∃𝑧((𝑧𝐽𝑆𝑧) ∧ 𝑧𝑢) ↔ ∃𝑧(𝑧𝐽 ∧ (𝑆𝑧𝑧𝑢)))
24 df-rex 3070 . . . . . . . 8 (∃𝑧𝐽 (𝑆𝑧𝑧𝑢) ↔ ∃𝑧(𝑧𝐽 ∧ (𝑆𝑧𝑧𝑢)))
2523, 24bitr4i 277 . . . . . . 7 (∃𝑧((𝑧𝐽𝑆𝑧) ∧ 𝑧𝑢) ↔ ∃𝑧𝐽 (𝑆𝑧𝑧𝑢))
2625anbi2i 623 . . . . . 6 ((𝑢𝑋 ∧ ∃𝑧((𝑧𝐽𝑆𝑧) ∧ 𝑧𝑢)) ↔ (𝑢𝑋 ∧ ∃𝑧𝐽 (𝑆𝑧𝑧𝑢)))
271isnei 22254 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (𝑢 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ↔ (𝑢𝑋 ∧ ∃𝑧𝐽 (𝑆𝑧𝑧𝑢))))
28273adant3 1131 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑆 ≠ ∅) → (𝑢 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ↔ (𝑢𝑋 ∧ ∃𝑧𝐽 (𝑆𝑧𝑧𝑢))))
2926, 28bitr4id 290 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑆 ≠ ∅) → ((𝑢𝑋 ∧ ∃𝑧((𝑧𝐽𝑆𝑧) ∧ 𝑧𝑢)) ↔ 𝑢 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))
3021, 29bitrd 278 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑆 ≠ ∅) → ((𝑢 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ({𝑥𝐽𝑆𝑥} ∩ 𝒫 𝑢) ≠ ∅) ↔ 𝑢 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))
318, 30syl5bb 283 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑆 ≠ ∅) → (𝑢 ∈ {𝑡 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑥𝐽𝑆𝑥} ∩ 𝒫 𝑡) ≠ ∅} ↔ 𝑢 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))
3231eqrdv 2736 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑆 ≠ ∅) → {𝑡 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑥𝐽𝑆𝑥} ∩ 𝒫 𝑡) ≠ ∅} = ((nei‘𝐽)‘𝑆))
334, 32eqtrd 2778 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑆 ≠ ∅) → (𝑋filGen{𝑥𝐽𝑆𝑥}) = ((nei‘𝐽)‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1086   = wceq 1539  wex 1782  wcel 2106  wne 2943  wrex 3065  {crab 3068  cin 3886  wss 3887  c0 4256  𝒫 cpw 4533   cuni 4839  cfv 6433  (class class class)co 7275  fBascfbas 20585  filGencfg 20586  Topctop 22042  neicnei 22248
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-fbas 20594  df-fg 20595  df-top 22043  df-nei 22249
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator