Theorem neifg 36863

Description: The neighborhood filter of a nonempty set is generated by its open supersets. See comments for opnfbas 23980. (Contributed by Jeff Hankins, 3-Sep-2009.)

Hypothesis

Ref	Expression
neifg.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
neifg	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑆 ≠ ∅) → (𝑋filGen{𝑥 ∈ 𝐽 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑥}) = ((nei‘𝐽)‘𝑆))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐽   𝑥,𝑆   𝑥,𝑋

Proof of Theorem neifg

Dummy variables 𝑢 𝑡 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neifg.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2	1	opnfbas 23980	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑆 ≠ ∅) → {𝑥 ∈ 𝐽 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑥} ∈ (fBas‘𝑋))
3		fgval 24008	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐽 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑥} ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑋filGen{𝑥 ∈ 𝐽 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑥}) = {𝑡 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑥 ∈ 𝐽 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑥} ∩ 𝒫 𝑡) ≠ ∅})
4	2, 3	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑆 ≠ ∅) → (𝑋filGen{𝑥 ∈ 𝐽 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑥}) = {𝑡 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑥 ∈ 𝐽 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑥} ∩ 𝒫 𝑡) ≠ ∅})
5		pweq 4577	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 = 𝑢 → 𝒫 𝑡 = 𝒫 𝑢)
6	5	ineq2d 4174	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = 𝑢 → ({𝑥 ∈ 𝐽 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑥} ∩ 𝒫 𝑡) = ({𝑥 ∈ 𝐽 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑥} ∩ 𝒫 𝑢))
7	6	neeq1d 3017	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = 𝑢 → (({𝑥 ∈ 𝐽 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑥} ∩ 𝒫 𝑡) ≠ ∅ ↔ ({𝑥 ∈ 𝐽 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑥} ∩ 𝒫 𝑢) ≠ ∅))
8	7	elrab 3651	. . . 4 ⊢ (𝑢 ∈ {𝑡 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑥 ∈ 𝐽 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑥} ∩ 𝒫 𝑡) ≠ ∅} ↔ (𝑢 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ({𝑥 ∈ 𝐽 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑥} ∩ 𝒫 𝑢) ≠ ∅))
9		velpw 4568	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝑢 ⊆ 𝑋)
10	9	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑆 ≠ ∅) → (𝑢 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝑢 ⊆ 𝑋))
11		n0 4308	. . . . . . . 8 ⊢ (({𝑥 ∈ 𝐽 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑥} ∩ 𝒫 𝑢) ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐽 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑥} ∩ 𝒫 𝑢))
12		elin 3922	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐽 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑥} ∩ 𝒫 𝑢) ↔ (𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝐽 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑥} ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑢))
13		sseq2 3964	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑆 ⊆ 𝑥 ↔ 𝑆 ⊆ 𝑧))
14	13	elrab 3651	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝐽 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑥} ↔ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑧))
15		velpw 4568	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ 𝒫 𝑢 ↔ 𝑧 ⊆ 𝑢)
16	14, 15	anbi12i 639	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝐽 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑥} ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑢) ↔ ((𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑧) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑢))
17	12, 16	bitri 278	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐽 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑥} ∩ 𝒫 𝑢) ↔ ((𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑧) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑢))
18	17	exbii 1878	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑧 𝑧 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐽 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑥} ∩ 𝒫 𝑢) ↔ ∃𝑧((𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑧) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑢))
19	11, 18	bitri 278	. . . . . . 7 ⊢ (({𝑥 ∈ 𝐽 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑥} ∩ 𝒫 𝑢) ≠ ∅ ↔ ∃𝑧((𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑧) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑢))
20	19	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑆 ≠ ∅) → (({𝑥 ∈ 𝐽 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑥} ∩ 𝒫 𝑢) ≠ ∅ ↔ ∃𝑧((𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑧) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑢)))
21	10, 20	anbi12d 643	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ((𝑢 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ({𝑥 ∈ 𝐽 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑥} ∩ 𝒫 𝑢) ≠ ∅) ↔ (𝑢 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑧((𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑧) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑢))))
22		anass 473	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑧) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑢) ↔ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ (𝑆 ⊆ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑢)))
23	22	exbii 1878	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑧((𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑧) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑢) ↔ ∃𝑧(𝑧 ∈ 𝐽 ∧ (𝑆 ⊆ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑢)))
24		df-rex 3090	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝐽 (𝑆 ⊆ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑢) ↔ ∃𝑧(𝑧 ∈ 𝐽 ∧ (𝑆 ⊆ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑢)))
25	23, 24	bitr4i 281	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑧((𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑧) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑢) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐽 (𝑆 ⊆ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑢))
26	25	anbi2i 634	. . . . . 6 ⊢ ((𝑢 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑧((𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑧) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑢)) ↔ (𝑢 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐽 (𝑆 ⊆ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑢)))
27	1	isnei 23241	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝑢 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ↔ (𝑢 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐽 (𝑆 ⊆ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑢))))
28	27	3adant3 1150	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑆 ≠ ∅) → (𝑢 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ↔ (𝑢 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐽 (𝑆 ⊆ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑢))))
29	26, 28	bitr4id 293	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ((𝑢 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑧((𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑧) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑢)) ↔ 𝑢 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))
30	21, 29	bitrd 282	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ((𝑢 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ({𝑥 ∈ 𝐽 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑥} ∩ 𝒫 𝑢) ≠ ∅) ↔ 𝑢 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))
31	8, 30	bitrid 286	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑆 ≠ ∅) → (𝑢 ∈ {𝑡 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑥 ∈ 𝐽 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑥} ∩ 𝒫 𝑡) ≠ ∅} ↔ 𝑢 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))
32	31	eqrdv 2761	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑆 ≠ ∅) → {𝑡 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑥 ∈ 𝐽 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑥} ∩ 𝒫 𝑡) ≠ ∅} = ((nei‘𝐽)‘𝑆))
33	4, 32	eqtrd 2798	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑆 ≠ ∅) → (𝑋filGen{𝑥 ∈ 𝐽 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑥}) = ((nei‘𝐽)‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  ∃wex 1809   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∃wrex 3089  {crab 3416   ∩ cin 3905   ⊆ wss 3906  ∅c0 4287  𝒫 cpw 4563  ∪ cuni 4873  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  fBascfbas 21491  filGencfg 21492  Topctop 23031  neicnei 23235

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-fbas 21500  df-fg 21501  df-top 23032  df-nei 23236

This theorem is referenced by: (None)