Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Hankins < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  neifg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem neifg 36354
Description: The neighborhood filter of a nonempty set is generated by its open supersets. See comments for opnfbas 23866. (Contributed by Jeff Hankins, 3-Sep-2009.)
Hypothesis
Ref Expression
neifg.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
neifg ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑆 ≠ ∅) → (𝑋filGen{𝑥𝐽𝑆𝑥}) = ((nei‘𝐽)‘𝑆))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐽   𝑥,𝑆   𝑥,𝑋

Proof of Theorem neifg
Dummy variables 𝑢 𝑡 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 neifg.1 . . . 4 𝑋 = 𝐽
21opnfbas 23866 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑆 ≠ ∅) → {𝑥𝐽𝑆𝑥} ∈ (fBas‘𝑋))
3 fgval 23894 . . 3 ({𝑥𝐽𝑆𝑥} ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑋filGen{𝑥𝐽𝑆𝑥}) = {𝑡 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑥𝐽𝑆𝑥} ∩ 𝒫 𝑡) ≠ ∅})
42, 3syl 17 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑆 ≠ ∅) → (𝑋filGen{𝑥𝐽𝑆𝑥}) = {𝑡 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑥𝐽𝑆𝑥} ∩ 𝒫 𝑡) ≠ ∅})
5 pweq 4619 . . . . . . 7 (𝑡 = 𝑢 → 𝒫 𝑡 = 𝒫 𝑢)
65ineq2d 4228 . . . . . 6 (𝑡 = 𝑢 → ({𝑥𝐽𝑆𝑥} ∩ 𝒫 𝑡) = ({𝑥𝐽𝑆𝑥} ∩ 𝒫 𝑢))
76neeq1d 2998 . . . . 5 (𝑡 = 𝑢 → (({𝑥𝐽𝑆𝑥} ∩ 𝒫 𝑡) ≠ ∅ ↔ ({𝑥𝐽𝑆𝑥} ∩ 𝒫 𝑢) ≠ ∅))
87elrab 3695 . . . 4 (𝑢 ∈ {𝑡 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑥𝐽𝑆𝑥} ∩ 𝒫 𝑡) ≠ ∅} ↔ (𝑢 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ({𝑥𝐽𝑆𝑥} ∩ 𝒫 𝑢) ≠ ∅))
9 velpw 4610 . . . . . . 7 (𝑢 ∈ 𝒫 𝑋𝑢𝑋)
109a1i 11 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑆 ≠ ∅) → (𝑢 ∈ 𝒫 𝑋𝑢𝑋))
11 n0 4359 . . . . . . . 8 (({𝑥𝐽𝑆𝑥} ∩ 𝒫 𝑢) ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ ({𝑥𝐽𝑆𝑥} ∩ 𝒫 𝑢))
12 elin 3979 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ({𝑥𝐽𝑆𝑥} ∩ 𝒫 𝑢) ↔ (𝑧 ∈ {𝑥𝐽𝑆𝑥} ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑢))
13 sseq2 4022 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑧 → (𝑆𝑥𝑆𝑧))
1413elrab 3695 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ {𝑥𝐽𝑆𝑥} ↔ (𝑧𝐽𝑆𝑧))
15 velpw 4610 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ 𝒫 𝑢𝑧𝑢)
1614, 15anbi12i 628 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ {𝑥𝐽𝑆𝑥} ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑢) ↔ ((𝑧𝐽𝑆𝑧) ∧ 𝑧𝑢))
1712, 16bitri 275 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ({𝑥𝐽𝑆𝑥} ∩ 𝒫 𝑢) ↔ ((𝑧𝐽𝑆𝑧) ∧ 𝑧𝑢))
1817exbii 1845 . . . . . . . 8 (∃𝑧 𝑧 ∈ ({𝑥𝐽𝑆𝑥} ∩ 𝒫 𝑢) ↔ ∃𝑧((𝑧𝐽𝑆𝑧) ∧ 𝑧𝑢))
1911, 18bitri 275 . . . . . . 7 (({𝑥𝐽𝑆𝑥} ∩ 𝒫 𝑢) ≠ ∅ ↔ ∃𝑧((𝑧𝐽𝑆𝑧) ∧ 𝑧𝑢))
2019a1i 11 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑆 ≠ ∅) → (({𝑥𝐽𝑆𝑥} ∩ 𝒫 𝑢) ≠ ∅ ↔ ∃𝑧((𝑧𝐽𝑆𝑧) ∧ 𝑧𝑢)))
2110, 20anbi12d 632 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑆 ≠ ∅) → ((𝑢 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ({𝑥𝐽𝑆𝑥} ∩ 𝒫 𝑢) ≠ ∅) ↔ (𝑢𝑋 ∧ ∃𝑧((𝑧𝐽𝑆𝑧) ∧ 𝑧𝑢))))
22 anass 468 . . . . . . . . 9 (((𝑧𝐽𝑆𝑧) ∧ 𝑧𝑢) ↔ (𝑧𝐽 ∧ (𝑆𝑧𝑧𝑢)))
2322exbii 1845 . . . . . . . 8 (∃𝑧((𝑧𝐽𝑆𝑧) ∧ 𝑧𝑢) ↔ ∃𝑧(𝑧𝐽 ∧ (𝑆𝑧𝑧𝑢)))
24 df-rex 3069 . . . . . . . 8 (∃𝑧𝐽 (𝑆𝑧𝑧𝑢) ↔ ∃𝑧(𝑧𝐽 ∧ (𝑆𝑧𝑧𝑢)))
2523, 24bitr4i 278 . . . . . . 7 (∃𝑧((𝑧𝐽𝑆𝑧) ∧ 𝑧𝑢) ↔ ∃𝑧𝐽 (𝑆𝑧𝑧𝑢))
2625anbi2i 623 . . . . . 6 ((𝑢𝑋 ∧ ∃𝑧((𝑧𝐽𝑆𝑧) ∧ 𝑧𝑢)) ↔ (𝑢𝑋 ∧ ∃𝑧𝐽 (𝑆𝑧𝑧𝑢)))
271isnei 23127 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (𝑢 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ↔ (𝑢𝑋 ∧ ∃𝑧𝐽 (𝑆𝑧𝑧𝑢))))
28273adant3 1131 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑆 ≠ ∅) → (𝑢 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ↔ (𝑢𝑋 ∧ ∃𝑧𝐽 (𝑆𝑧𝑧𝑢))))
2926, 28bitr4id 290 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑆 ≠ ∅) → ((𝑢𝑋 ∧ ∃𝑧((𝑧𝐽𝑆𝑧) ∧ 𝑧𝑢)) ↔ 𝑢 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))
3021, 29bitrd 279 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑆 ≠ ∅) → ((𝑢 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ({𝑥𝐽𝑆𝑥} ∩ 𝒫 𝑢) ≠ ∅) ↔ 𝑢 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))
318, 30bitrid 283 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑆 ≠ ∅) → (𝑢 ∈ {𝑡 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑥𝐽𝑆𝑥} ∩ 𝒫 𝑡) ≠ ∅} ↔ 𝑢 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))
3231eqrdv 2733 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑆 ≠ ∅) → {𝑡 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑥𝐽𝑆𝑥} ∩ 𝒫 𝑡) ≠ ∅} = ((nei‘𝐽)‘𝑆))
334, 32eqtrd 2775 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑆 ≠ ∅) → (𝑋filGen{𝑥𝐽𝑆𝑥}) = ((nei‘𝐽)‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wex 1776  wcel 2106  wne 2938  wrex 3068  {crab 3433  cin 3962  wss 3963  c0 4339  𝒫 cpw 4605   cuni 4912  cfv 6563  (class class class)co 7431  fBascfbas 21370  filGencfg 21371  Topctop 22915  neicnei 23121
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-top 22916  df-nei 23122
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator