Theorem neifg 36584

Description: The neighborhood filter of a nonempty set is generated by its open supersets. See comments for opnfbas 23798. (Contributed by Jeff Hankins, 3-Sep-2009.)

Hypothesis

Ref	Expression
neifg.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
neifg	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑆 ≠ ∅) → (𝑋filGen{𝑥 ∈ 𝐽 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑥}) = ((nei‘𝐽)‘𝑆))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐽   𝑥,𝑆   𝑥,𝑋

Proof of Theorem neifg

Dummy variables 𝑢 𝑡 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neifg.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2	1	opnfbas 23798	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑆 ≠ ∅) → {𝑥 ∈ 𝐽 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑥} ∈ (fBas‘𝑋))
3		fgval 23826	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐽 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑥} ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑋filGen{𝑥 ∈ 𝐽 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑥}) = {𝑡 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑥 ∈ 𝐽 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑥} ∩ 𝒫 𝑡) ≠ ∅})
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑆 ≠ ∅) → (𝑋filGen{𝑥 ∈ 𝐽 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑥}) = {𝑡 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑥 ∈ 𝐽 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑥} ∩ 𝒫 𝑡) ≠ ∅})
5		pweq 4570	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 = 𝑢 → 𝒫 𝑡 = 𝒫 𝑢)
6	5	ineq2d 4174	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = 𝑢 → ({𝑥 ∈ 𝐽 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑥} ∩ 𝒫 𝑡) = ({𝑥 ∈ 𝐽 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑥} ∩ 𝒫 𝑢))
7	6	neeq1d 2992	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = 𝑢 → (({𝑥 ∈ 𝐽 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑥} ∩ 𝒫 𝑡) ≠ ∅ ↔ ({𝑥 ∈ 𝐽 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑥} ∩ 𝒫 𝑢) ≠ ∅))
8	7	elrab 3648	. . . 4 ⊢ (𝑢 ∈ {𝑡 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑥 ∈ 𝐽 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑥} ∩ 𝒫 𝑡) ≠ ∅} ↔ (𝑢 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ({𝑥 ∈ 𝐽 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑥} ∩ 𝒫 𝑢) ≠ ∅))
9		velpw 4561	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝑢 ⊆ 𝑋)
10	9	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑆 ≠ ∅) → (𝑢 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝑢 ⊆ 𝑋))
11		n0 4307	. . . . . . . 8 ⊢ (({𝑥 ∈ 𝐽 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑥} ∩ 𝒫 𝑢) ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐽 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑥} ∩ 𝒫 𝑢))
12		elin 3919	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐽 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑥} ∩ 𝒫 𝑢) ↔ (𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝐽 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑥} ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑢))
13		sseq2 3962	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑆 ⊆ 𝑥 ↔ 𝑆 ⊆ 𝑧))
14	13	elrab 3648	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝐽 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑥} ↔ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑧))
15		velpw 4561	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ 𝒫 𝑢 ↔ 𝑧 ⊆ 𝑢)
16	14, 15	anbi12i 629	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝐽 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑥} ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑢) ↔ ((𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑧) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑢))
17	12, 16	bitri 275	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐽 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑥} ∩ 𝒫 𝑢) ↔ ((𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑧) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑢))
18	17	exbii 1850	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑧 𝑧 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐽 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑥} ∩ 𝒫 𝑢) ↔ ∃𝑧((𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑧) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑢))
19	11, 18	bitri 275	. . . . . . 7 ⊢ (({𝑥 ∈ 𝐽 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑥} ∩ 𝒫 𝑢) ≠ ∅ ↔ ∃𝑧((𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑧) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑢))
20	19	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑆 ≠ ∅) → (({𝑥 ∈ 𝐽 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑥} ∩ 𝒫 𝑢) ≠ ∅ ↔ ∃𝑧((𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑧) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑢)))
21	10, 20	anbi12d 633	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ((𝑢 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ({𝑥 ∈ 𝐽 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑥} ∩ 𝒫 𝑢) ≠ ∅) ↔ (𝑢 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑧((𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑧) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑢))))
22		anass 468	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑧) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑢) ↔ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ (𝑆 ⊆ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑢)))
23	22	exbii 1850	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑧((𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑧) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑢) ↔ ∃𝑧(𝑧 ∈ 𝐽 ∧ (𝑆 ⊆ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑢)))
24		df-rex 3063	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝐽 (𝑆 ⊆ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑢) ↔ ∃𝑧(𝑧 ∈ 𝐽 ∧ (𝑆 ⊆ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑢)))
25	23, 24	bitr4i 278	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑧((𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑧) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑢) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐽 (𝑆 ⊆ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑢))
26	25	anbi2i 624	. . . . . 6 ⊢ ((𝑢 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑧((𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑧) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑢)) ↔ (𝑢 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐽 (𝑆 ⊆ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑢)))
27	1	isnei 23059	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝑢 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ↔ (𝑢 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐽 (𝑆 ⊆ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑢))))
28	27	3adant3 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑆 ≠ ∅) → (𝑢 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ↔ (𝑢 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐽 (𝑆 ⊆ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑢))))
29	26, 28	bitr4id 290	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ((𝑢 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑧((𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑧) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑢)) ↔ 𝑢 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))
30	21, 29	bitrd 279	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ((𝑢 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ({𝑥 ∈ 𝐽 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑥} ∩ 𝒫 𝑢) ≠ ∅) ↔ 𝑢 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))
31	8, 30	bitrid 283	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑆 ≠ ∅) → (𝑢 ∈ {𝑡 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑥 ∈ 𝐽 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑥} ∩ 𝒫 𝑡) ≠ ∅} ↔ 𝑢 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))
32	31	eqrdv 2735	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑆 ≠ ∅) → {𝑡 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑥 ∈ 𝐽 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑥} ∩ 𝒫 𝑡) ≠ ∅} = ((nei‘𝐽)‘𝑆))
33	4, 32	eqtrd 2772	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑆 ≠ ∅) → (𝑋filGen{𝑥 ∈ 𝐽 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑥}) = ((nei‘𝐽)‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃wrex 3062  {crab 3401   ∩ cin 3902   ⊆ wss 3903  ∅c0 4287  𝒫 cpw 4556  ∪ cuni 4865  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  fBascfbas 21309  filGencfg 21310  Topctop 22849  neicnei 23053

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-fbas 21318  df-fg 21319  df-top 22850  df-nei 23054

This theorem is referenced by: (None)