Theorem isnei 23132

Description: The predicate "the class 𝑁 is a neighborhood of 𝑆". (Contributed by FL, 25-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
neifval.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
isnei	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ↔ (𝑁 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐽 (𝑆 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁))))

Distinct variable groups:   𝑔,𝐽   𝑔,𝑁   𝑆,𝑔   𝑔,𝑋

Proof of Theorem isnei

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neifval.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2	1	neival 23131	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ((nei‘𝐽)‘𝑆) = {𝑣 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∃𝑔 ∈ 𝐽 (𝑆 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑣)})
3	2	eleq2d 2830	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ↔ 𝑁 ∈ {𝑣 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∃𝑔 ∈ 𝐽 (𝑆 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑣)}))
4		sseq2 4035	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = 𝑁 → (𝑔 ⊆ 𝑣 ↔ 𝑔 ⊆ 𝑁))
5	4	anbi2d 629	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 = 𝑁 → ((𝑆 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑣) ↔ (𝑆 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁)))
6	5	rexbidv 3185	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = 𝑁 → (∃𝑔 ∈ 𝐽 (𝑆 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑣) ↔ ∃𝑔 ∈ 𝐽 (𝑆 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁)))
7	6	elrab 3708	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ {𝑣 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∃𝑔 ∈ 𝐽 (𝑆 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑣)} ↔ (𝑁 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐽 (𝑆 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁)))
8	1	topopn 22933	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝑋 ∈ 𝐽)
9		elpw2g 5351	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐽 → (𝑁 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝑁 ⊆ 𝑋))
10	8, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑁 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝑁 ⊆ 𝑋))
11	10	anbi1d 630	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ((𝑁 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐽 (𝑆 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁)) ↔ (𝑁 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐽 (𝑆 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁))))
12	7, 11	bitrid 283	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑁 ∈ {𝑣 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∃𝑔 ∈ 𝐽 (𝑆 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑣)} ↔ (𝑁 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐽 (𝑆 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁))))
13	12	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝑁 ∈ {𝑣 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∃𝑔 ∈ 𝐽 (𝑆 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑣)} ↔ (𝑁 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐽 (𝑆 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁))))
14	3, 13	bitrd 279	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ↔ (𝑁 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐽 (𝑆 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3076  {crab 3443   ⊆ wss 3976  𝒫 cpw 4622  ∪ cuni 4931  ‘cfv 6573  Topctop 22920  neicnei 23126

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-top 22921  df-nei 23127

This theorem is referenced by:  neiint  23133  isneip  23134  neii1  23135  neii2  23137  neiss  23138  neips  23142  opnneissb  23143  opnssneib  23144  ssnei2  23145  innei  23154  neitr  23209  neitx  23636  neifg  36337  islptre  45540  sepfsepc  48607