MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isnei Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isnei 23111
Description: The predicate "the class 𝑁 is a neighborhood of 𝑆". (Contributed by FL, 25-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
neifval.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
isnei ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ↔ (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑁))))
Distinct variable groups:   𝑔,𝐽   𝑔,𝑁   𝑆,𝑔   𝑔,𝑋

Proof of Theorem isnei
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 neifval.1 . . . 4 𝑋 = 𝐽
21neival 23110 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → ((nei‘𝐽)‘𝑆) = {𝑣 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑣)})
32eleq2d 2827 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ↔ 𝑁 ∈ {𝑣 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑣)}))
4 sseq2 4010 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝑁 → (𝑔𝑣𝑔𝑁))
54anbi2d 630 . . . . . 6 (𝑣 = 𝑁 → ((𝑆𝑔𝑔𝑣) ↔ (𝑆𝑔𝑔𝑁)))
65rexbidv 3179 . . . . 5 (𝑣 = 𝑁 → (∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑣) ↔ ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑁)))
76elrab 3692 . . . 4 (𝑁 ∈ {𝑣 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑣)} ↔ (𝑁 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑁)))
81topopn 22912 . . . . . 6 (𝐽 ∈ Top → 𝑋𝐽)
9 elpw2g 5333 . . . . . 6 (𝑋𝐽 → (𝑁 ∈ 𝒫 𝑋𝑁𝑋))
108, 9syl 17 . . . . 5 (𝐽 ∈ Top → (𝑁 ∈ 𝒫 𝑋𝑁𝑋))
1110anbi1d 631 . . . 4 (𝐽 ∈ Top → ((𝑁 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑁)) ↔ (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑁))))
127, 11bitrid 283 . . 3 (𝐽 ∈ Top → (𝑁 ∈ {𝑣 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑣)} ↔ (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑁))))
1312adantr 480 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (𝑁 ∈ {𝑣 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑣)} ↔ (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑁))))
143, 13bitrd 279 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ↔ (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑁))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wrex 3070  {crab 3436  wss 3951  𝒫 cpw 4600   cuni 4907  cfv 6561  Topctop 22899  neicnei 23105
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-top 22900  df-nei 23106
This theorem is referenced by:  neiint  23112  isneip  23113  neii1  23114  neii2  23116  neiss  23117  neips  23121  opnneissb  23122  opnssneib  23123  ssnei2  23124  innei  23133  neitr  23188  neitx  23615  neifg  36372  islptre  45634  sepfsepc  48825
  Copyright terms: Public domain W3C validator