MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isnei Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isnei 21683
Description: The predicate "the class 𝑁 is a neighborhood of 𝑆". (Contributed by FL, 25-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
neifval.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
isnei ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ↔ (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑁))))
Distinct variable groups:   𝑔,𝐽   𝑔,𝑁   𝑆,𝑔   𝑔,𝑋

Proof of Theorem isnei
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 neifval.1 . . . 4 𝑋 = 𝐽
21neival 21682 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → ((nei‘𝐽)‘𝑆) = {𝑣 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑣)})
32eleq2d 2896 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ↔ 𝑁 ∈ {𝑣 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑣)}))
4 sseq2 3968 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝑁 → (𝑔𝑣𝑔𝑁))
54anbi2d 630 . . . . . 6 (𝑣 = 𝑁 → ((𝑆𝑔𝑔𝑣) ↔ (𝑆𝑔𝑔𝑁)))
65rexbidv 3282 . . . . 5 (𝑣 = 𝑁 → (∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑣) ↔ ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑁)))
76elrab 3656 . . . 4 (𝑁 ∈ {𝑣 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑣)} ↔ (𝑁 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑁)))
81topopn 21486 . . . . . 6 (𝐽 ∈ Top → 𝑋𝐽)
9 elpw2g 5219 . . . . . 6 (𝑋𝐽 → (𝑁 ∈ 𝒫 𝑋𝑁𝑋))
108, 9syl 17 . . . . 5 (𝐽 ∈ Top → (𝑁 ∈ 𝒫 𝑋𝑁𝑋))
1110anbi1d 631 . . . 4 (𝐽 ∈ Top → ((𝑁 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑁)) ↔ (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑁))))
127, 11syl5bb 285 . . 3 (𝐽 ∈ Top → (𝑁 ∈ {𝑣 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑣)} ↔ (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑁))))
1312adantr 483 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (𝑁 ∈ {𝑣 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑣)} ↔ (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑁))))
143, 13bitrd 281 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ↔ (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑁))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398   = wceq 1537  wcel 2114  wrex 3126  {crab 3129  wss 3909  𝒫 cpw 4511   cuni 4810  cfv 6327  Topctop 21473  neicnei 21677
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5162  ax-sep 5175  ax-nul 5182  ax-pow 5238  ax-pr 5302
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rab 3134  df-v 3472  df-sbc 3749  df-csb 3857  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-op 4546  df-uni 4811  df-iun 4893  df-br 5039  df-opab 5101  df-mpt 5119  df-id 5432  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-iota 6286  df-fun 6329  df-fn 6330  df-f 6331  df-f1 6332  df-fo 6333  df-f1o 6334  df-fv 6335  df-top 21474  df-nei 21678
This theorem is referenced by:  neiint  21684  isneip  21685  neii1  21686  neii2  21688  neiss  21689  neips  21693  opnneissb  21694  opnssneib  21695  ssnei2  21696  innei  21705  neitr  21760  neitx  22187  neifg  33723  islptre  42048
  Copyright terms: Public domain W3C validator