MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isnei Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isnei 23126
Description: The predicate "the class 𝑁 is a neighborhood of 𝑆". (Contributed by FL, 25-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
neifval.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
isnei ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ↔ (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑁))))
Distinct variable groups:   𝑔,𝐽   𝑔,𝑁   𝑆,𝑔   𝑔,𝑋

Proof of Theorem isnei
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 neifval.1 . . . 4 𝑋 = 𝐽
21neival 23125 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → ((nei‘𝐽)‘𝑆) = {𝑣 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑣)})
32eleq2d 2824 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ↔ 𝑁 ∈ {𝑣 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑣)}))
4 sseq2 4021 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝑁 → (𝑔𝑣𝑔𝑁))
54anbi2d 630 . . . . . 6 (𝑣 = 𝑁 → ((𝑆𝑔𝑔𝑣) ↔ (𝑆𝑔𝑔𝑁)))
65rexbidv 3176 . . . . 5 (𝑣 = 𝑁 → (∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑣) ↔ ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑁)))
76elrab 3694 . . . 4 (𝑁 ∈ {𝑣 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑣)} ↔ (𝑁 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑁)))
81topopn 22927 . . . . . 6 (𝐽 ∈ Top → 𝑋𝐽)
9 elpw2g 5338 . . . . . 6 (𝑋𝐽 → (𝑁 ∈ 𝒫 𝑋𝑁𝑋))
108, 9syl 17 . . . . 5 (𝐽 ∈ Top → (𝑁 ∈ 𝒫 𝑋𝑁𝑋))
1110anbi1d 631 . . . 4 (𝐽 ∈ Top → ((𝑁 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑁)) ↔ (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑁))))
127, 11bitrid 283 . . 3 (𝐽 ∈ Top → (𝑁 ∈ {𝑣 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑣)} ↔ (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑁))))
1312adantr 480 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (𝑁 ∈ {𝑣 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑣)} ↔ (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑁))))
143, 13bitrd 279 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ↔ (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑁))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  wrex 3067  {crab 3432  wss 3962  𝒫 cpw 4604   cuni 4911  cfv 6562  Topctop 22914  neicnei 23120
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-top 22915  df-nei 23121
This theorem is referenced by:  neiint  23127  isneip  23128  neii1  23129  neii2  23131  neiss  23132  neips  23136  opnneissb  23137  opnssneib  23138  ssnei2  23139  innei  23148  neitr  23203  neitx  23630  neifg  36353  islptre  45574  sepfsepc  48723
  Copyright terms: Public domain W3C validator