Theorem nltle2tri 44805

Description: Negated extended trichotomy law for 'less than' and 'less than or equal to'. (Contributed by AV, 18-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nltle2tri	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ¬ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem nltle2tri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltletr 12891	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
2		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 < 𝐶) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
3	2	impcom 408	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ∧ ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)) → 𝐴 < 𝐶)
4		xrltnle 11042	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐶 ↔ ¬ 𝐶 ≤ 𝐴))
5	4	3adant2 1130	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐶 ↔ ¬ 𝐶 ≤ 𝐴))
6	5	biimpd 228	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐶 → ¬ 𝐶 ≤ 𝐴))
7	6	imp 407	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐶) → ¬ 𝐶 ≤ 𝐴)
8	7	olcd 871	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐶) → (¬ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ∨ ¬ 𝐶 ≤ 𝐴))
9	8	expcom 414	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 < 𝐶 → ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (¬ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ∨ ¬ 𝐶 ≤ 𝐴)))
10	3, 9	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ∧ ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)) → ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (¬ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ∨ ¬ 𝐶 ≤ 𝐴)))
11	10	ex 413	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → (((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 < 𝐶) → ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (¬ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ∨ ¬ 𝐶 ≤ 𝐴))))
12	11	com23 86	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 < 𝐶) → (¬ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ∨ ¬ 𝐶 ≤ 𝐴))))
13	12	impd 411	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)) → (¬ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ∨ ¬ 𝐶 ≤ 𝐴)))
14		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → ¬ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))
15	14	orcd 870	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → (¬ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ∨ ¬ 𝐶 ≤ 𝐴))
16	15	a1d 25	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)) → (¬ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ∨ ¬ 𝐶 ≤ 𝐴)))
17	13, 16	pm2.61i 182	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)) → (¬ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ∨ ¬ 𝐶 ≤ 𝐴))
18		df-3an 1088	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) ↔ ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ∧ 𝐶 ≤ 𝐴))
19	18	notbii 320	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) ↔ ¬ ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ∧ 𝐶 ≤ 𝐴))
20		ianor 979	. . . . 5 ⊢ (¬ ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) ↔ (¬ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ∨ ¬ 𝐶 ≤ 𝐴))
21	19, 20	bitri 274	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) ↔ (¬ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ∨ ¬ 𝐶 ≤ 𝐴))
22	17, 21	sylibr 233	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)) → ¬ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐴))
23	22	ex 413	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 < 𝐶) → ¬ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐴)))
24	1, 23	mpd 15	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ¬ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 844   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5074  ℝ^*cxr 11008   < clt 11009   ≤ cle 11010

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015

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