Theorem nltle2tri 47905

Description: Negated extended trichotomy law for 'less than' and 'less than or equal to'. (Contributed by AV, 18-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nltle2tri	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ¬ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem nltle2tri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltletr 13173	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
2		id 23	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 < 𝐶) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
3	2	impcom 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ∧ ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)) → 𝐴 < 𝐶)
4		xrltnle 11264	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐶 ↔ ¬ 𝐶 ≤ 𝐴))
5	4	3adant2 1147	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐶 ↔ ¬ 𝐶 ≤ 𝐴))
6	5	biimpd 232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐶 → ¬ 𝐶 ≤ 𝐴))
7	6	imp 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐶) → ¬ 𝐶 ≤ 𝐴)
8	7	olcd 887	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐶) → (¬ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ∨ ¬ 𝐶 ≤ 𝐴))
9	8	expcom 418	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 < 𝐶 → ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (¬ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ∨ ¬ 𝐶 ≤ 𝐴)))
10	3, 9	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ∧ ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)) → ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (¬ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ∨ ¬ 𝐶 ≤ 𝐴)))
11	10	ex 417	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → (((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 < 𝐶) → ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (¬ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ∨ ¬ 𝐶 ≤ 𝐴))))
12	11	com23 87	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 < 𝐶) → (¬ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ∨ ¬ 𝐶 ≤ 𝐴))))
13	12	impd 415	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)) → (¬ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ∨ ¬ 𝐶 ≤ 𝐴)))
14		id 23	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → ¬ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))
15	14	orcd 886	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → (¬ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ∨ ¬ 𝐶 ≤ 𝐴))
16	15	a1d 26	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)) → (¬ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ∨ ¬ 𝐶 ≤ 𝐴)))
17	13, 16	pm2.61i 184	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)) → (¬ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ∨ ¬ 𝐶 ≤ 𝐴))
18		df-3an 1103	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) ↔ ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ∧ 𝐶 ≤ 𝐴))
19	18	notbii 323	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) ↔ ¬ ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ∧ 𝐶 ≤ 𝐴))
20		ianor 997	. . . . 5 ⊢ (¬ ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) ↔ (¬ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ∨ ¬ 𝐶 ≤ 𝐴))
21	19, 20	bitri 278	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) ↔ (¬ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ∨ ¬ 𝐶 ≤ 𝐴))
22	17, 21	sylibr 237	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)) → ¬ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐴))
23	22	ex 417	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 < 𝐶) → ¬ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐴)))
24	1, 23	mpd 16	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ¬ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∧ w3a 1101   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5105  ℝ^*cxr 11230   < clt 11231   ≤ cle 11232

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5547  df-po 5560  df-so 5561  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237

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