Theorem nltle2tri 47259

Description: Negated extended trichotomy law for 'less than' and 'less than or equal to'. (Contributed by AV, 18-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nltle2tri	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ¬ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem nltle2tri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltletr 13180	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
2		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 < 𝐶) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
3	2	impcom 407	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ∧ ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)) → 𝐴 < 𝐶)
4		xrltnle 11309	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐶 ↔ ¬ 𝐶 ≤ 𝐴))
5	4	3adant2 1131	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐶 ↔ ¬ 𝐶 ≤ 𝐴))
6	5	biimpd 229	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐶 → ¬ 𝐶 ≤ 𝐴))
7	6	imp 406	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐶) → ¬ 𝐶 ≤ 𝐴)
8	7	olcd 874	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐶) → (¬ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ∨ ¬ 𝐶 ≤ 𝐴))
9	8	expcom 413	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 < 𝐶 → ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (¬ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ∨ ¬ 𝐶 ≤ 𝐴)))
10	3, 9	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ∧ ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)) → ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (¬ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ∨ ¬ 𝐶 ≤ 𝐴)))
11	10	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → (((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 < 𝐶) → ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (¬ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ∨ ¬ 𝐶 ≤ 𝐴))))
12	11	com23 86	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 < 𝐶) → (¬ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ∨ ¬ 𝐶 ≤ 𝐴))))
13	12	impd 410	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)) → (¬ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ∨ ¬ 𝐶 ≤ 𝐴)))
14		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → ¬ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))
15	14	orcd 873	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → (¬ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ∨ ¬ 𝐶 ≤ 𝐴))
16	15	a1d 25	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)) → (¬ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ∨ ¬ 𝐶 ≤ 𝐴)))
17	13, 16	pm2.61i 182	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)) → (¬ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ∨ ¬ 𝐶 ≤ 𝐴))
18		df-3an 1088	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) ↔ ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ∧ 𝐶 ≤ 𝐴))
19	18	notbii 320	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) ↔ ¬ ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ∧ 𝐶 ≤ 𝐴))
20		ianor 983	. . . . 5 ⊢ (¬ ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) ↔ (¬ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ∨ ¬ 𝐶 ≤ 𝐴))
21	19, 20	bitri 275	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) ↔ (¬ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ∨ ¬ 𝐶 ≤ 𝐴))
22	17, 21	sylibr 234	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)) → ¬ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐴))
23	22	ex 412	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 < 𝐶) → ¬ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐴)))
24	1, 23	mpd 15	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ¬ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5123  ℝ^*cxr 11275   < clt 11276   ≤ cle 11277

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7736  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-id 5558  df-po 5572  df-so 5573  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-iota 6493  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-er 8726  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282

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