Theorem nltle2tri 47284

Description: Negated extended trichotomy law for 'less than' and 'less than or equal to'. (Contributed by AV, 18-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nltle2tri	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ¬ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem nltle2tri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltletr 13130	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
2		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 < 𝐶) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
3	2	impcom 407	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ∧ ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)) → 𝐴 < 𝐶)
4		xrltnle 11259	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐶 ↔ ¬ 𝐶 ≤ 𝐴))
5	4	3adant2 1131	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐶 ↔ ¬ 𝐶 ≤ 𝐴))
6	5	biimpd 229	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐶 → ¬ 𝐶 ≤ 𝐴))
7	6	imp 406	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐶) → ¬ 𝐶 ≤ 𝐴)
8	7	olcd 874	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐶) → (¬ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ∨ ¬ 𝐶 ≤ 𝐴))
9	8	expcom 413	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 < 𝐶 → ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (¬ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ∨ ¬ 𝐶 ≤ 𝐴)))
10	3, 9	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ∧ ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)) → ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (¬ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ∨ ¬ 𝐶 ≤ 𝐴)))
11	10	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → (((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 < 𝐶) → ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (¬ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ∨ ¬ 𝐶 ≤ 𝐴))))
12	11	com23 86	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 < 𝐶) → (¬ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ∨ ¬ 𝐶 ≤ 𝐴))))
13	12	impd 410	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)) → (¬ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ∨ ¬ 𝐶 ≤ 𝐴)))
14		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → ¬ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))
15	14	orcd 873	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → (¬ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ∨ ¬ 𝐶 ≤ 𝐴))
16	15	a1d 25	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)) → (¬ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ∨ ¬ 𝐶 ≤ 𝐴)))
17	13, 16	pm2.61i 182	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)) → (¬ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ∨ ¬ 𝐶 ≤ 𝐴))
18		df-3an 1088	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) ↔ ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ∧ 𝐶 ≤ 𝐴))
19	18	notbii 320	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) ↔ ¬ ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ∧ 𝐶 ≤ 𝐴))
20		ianor 983	. . . . 5 ⊢ (¬ ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) ↔ (¬ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ∨ ¬ 𝐶 ≤ 𝐴))
21	19, 20	bitri 275	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐴) ↔ (¬ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ∨ ¬ 𝐶 ≤ 𝐴))
22	17, 21	sylibr 234	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)) → ¬ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐴))
23	22	ex 412	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 < 𝐶) → ¬ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐴)))
24	1, 23	mpd 15	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ¬ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5115  ℝ^*cxr 11225   < clt 11226   ≤ cle 11227

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5259  ax-nul 5269  ax-pow 5328  ax-pr 5395  ax-un 7718  ax-cnex 11142  ax-resscn 11143  ax-pre-lttri 11160  ax-pre-lttrn 11161

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2880  df-ne 2928  df-nel 3032  df-ral 3047  df-rex 3056  df-rab 3412  df-v 3457  df-sbc 3762  df-csb 3871  df-dif 3925  df-un 3927  df-in 3929  df-ss 3939  df-nul 4305  df-if 4497  df-pw 4573  df-sn 4598  df-pr 4600  df-op 4604  df-uni 4880  df-br 5116  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5541  df-po 5554  df-so 5555  df-xp 5652  df-rel 5653  df-cnv 5654  df-co 5655  df-dm 5656  df-rn 5657  df-res 5658  df-ima 5659  df-iota 6472  df-fun 6521  df-fn 6522  df-f 6523  df-f1 6524  df-fo 6525  df-f1o 6526  df-fv 6527  df-er 8682  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-pnf 11228  df-mnf 11229  df-xr 11230  df-ltxr 11231  df-le 11232

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