Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nltle2tri Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nltle2tri 43661
Description: Negated extended trichotomy law for 'less than' and 'less than or equal to'. (Contributed by AV, 18-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
nltle2tri ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ¬ (𝐴 < 𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴))

Proof of Theorem nltle2tri
StepHypRef Expression
1 xrltletr 12528 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
2 id 22 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) → 𝐴 < 𝐶) → ((𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
32impcom 411 . . . . . . . . 9 (((𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) ∧ ((𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) → 𝐴 < 𝐶)) → 𝐴 < 𝐶)
4 xrltnle 10685 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐶 ↔ ¬ 𝐶𝐴))
543adant2 1128 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐶 ↔ ¬ 𝐶𝐴))
65biimpd 232 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐶 → ¬ 𝐶𝐴))
76imp 410 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐶) → ¬ 𝐶𝐴)
87olcd 871 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐶) → (¬ (𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) ∨ ¬ 𝐶𝐴))
98expcom 417 . . . . . . . . 9 (𝐴 < 𝐶 → ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (¬ (𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) ∨ ¬ 𝐶𝐴)))
103, 9syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) ∧ ((𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) → 𝐴 < 𝐶)) → ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (¬ (𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) ∨ ¬ 𝐶𝐴)))
1110ex 416 . . . . . . 7 ((𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) → (((𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) → 𝐴 < 𝐶) → ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (¬ (𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) ∨ ¬ 𝐶𝐴))))
1211com23 86 . . . . . 6 ((𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) → ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (((𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) → 𝐴 < 𝐶) → (¬ (𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) ∨ ¬ 𝐶𝐴))))
1312impd 414 . . . . 5 ((𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) → (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ ((𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) → 𝐴 < 𝐶)) → (¬ (𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) ∨ ¬ 𝐶𝐴)))
14 id 22 . . . . . . 7 (¬ (𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) → ¬ (𝐴 < 𝐵𝐵𝐶))
1514orcd 870 . . . . . 6 (¬ (𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) → (¬ (𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) ∨ ¬ 𝐶𝐴))
1615a1d 25 . . . . 5 (¬ (𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) → (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ ((𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) → 𝐴 < 𝐶)) → (¬ (𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) ∨ ¬ 𝐶𝐴)))
1713, 16pm2.61i 185 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ ((𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) → 𝐴 < 𝐶)) → (¬ (𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) ∨ ¬ 𝐶𝐴))
18 df-3an 1086 . . . . . 6 ((𝐴 < 𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴) ↔ ((𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) ∧ 𝐶𝐴))
1918notbii 323 . . . . 5 (¬ (𝐴 < 𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴) ↔ ¬ ((𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) ∧ 𝐶𝐴))
20 ianor 979 . . . . 5 (¬ ((𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) ∧ 𝐶𝐴) ↔ (¬ (𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) ∨ ¬ 𝐶𝐴))
2119, 20bitri 278 . . . 4 (¬ (𝐴 < 𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴) ↔ (¬ (𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) ∨ ¬ 𝐶𝐴))
2217, 21sylibr 237 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ ((𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) → 𝐴 < 𝐶)) → ¬ (𝐴 < 𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴))
2322ex 416 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (((𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) → 𝐴 < 𝐶) → ¬ (𝐴 < 𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴)))
241, 23mpd 15 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ¬ (𝐴 < 𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  wo 844  w3a 1084  wcel 2115   class class class wbr 5039  *cxr 10651   < clt 10652  cle 10653
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-op 4547  df-uni 4812  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-id 5433  df-po 5447  df-so 5448  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-er 8264  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658
This theorem is referenced by:  icceuelpart  43744
  Copyright terms: Public domain W3C validator