Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nltle2tri Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nltle2tri 42369
Description: Negated extended trichotomy law for 'less than' and 'less than or equal to'. (Contributed by AV, 18-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
nltle2tri ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ¬ (𝐴 < 𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴))

Proof of Theorem nltle2tri
StepHypRef Expression
1 xrltletr 12305 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
2 id 22 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) → 𝐴 < 𝐶) → ((𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
32impcom 398 . . . . . . . . 9 (((𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) ∧ ((𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) → 𝐴 < 𝐶)) → 𝐴 < 𝐶)
4 xrltnle 10446 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐶 ↔ ¬ 𝐶𝐴))
543adant2 1122 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐶 ↔ ¬ 𝐶𝐴))
65biimpd 221 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐶 → ¬ 𝐶𝐴))
76imp 397 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐶) → ¬ 𝐶𝐴)
87olcd 863 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐶) → (¬ (𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) ∨ ¬ 𝐶𝐴))
98expcom 404 . . . . . . . . 9 (𝐴 < 𝐶 → ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (¬ (𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) ∨ ¬ 𝐶𝐴)))
103, 9syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) ∧ ((𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) → 𝐴 < 𝐶)) → ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (¬ (𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) ∨ ¬ 𝐶𝐴)))
1110ex 403 . . . . . . 7 ((𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) → (((𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) → 𝐴 < 𝐶) → ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (¬ (𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) ∨ ¬ 𝐶𝐴))))
1211com23 86 . . . . . 6 ((𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) → ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (((𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) → 𝐴 < 𝐶) → (¬ (𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) ∨ ¬ 𝐶𝐴))))
1312impd 400 . . . . 5 ((𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) → (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ ((𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) → 𝐴 < 𝐶)) → (¬ (𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) ∨ ¬ 𝐶𝐴)))
14 id 22 . . . . . . 7 (¬ (𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) → ¬ (𝐴 < 𝐵𝐵𝐶))
1514orcd 862 . . . . . 6 (¬ (𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) → (¬ (𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) ∨ ¬ 𝐶𝐴))
1615a1d 25 . . . . 5 (¬ (𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) → (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ ((𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) → 𝐴 < 𝐶)) → (¬ (𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) ∨ ¬ 𝐶𝐴)))
1713, 16pm2.61i 177 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ ((𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) → 𝐴 < 𝐶)) → (¬ (𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) ∨ ¬ 𝐶𝐴))
18 df-3an 1073 . . . . . 6 ((𝐴 < 𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴) ↔ ((𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) ∧ 𝐶𝐴))
1918notbii 312 . . . . 5 (¬ (𝐴 < 𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴) ↔ ¬ ((𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) ∧ 𝐶𝐴))
20 ianor 967 . . . . 5 (¬ ((𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) ∧ 𝐶𝐴) ↔ (¬ (𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) ∨ ¬ 𝐶𝐴))
2119, 20bitri 267 . . . 4 (¬ (𝐴 < 𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴) ↔ (¬ (𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) ∨ ¬ 𝐶𝐴))
2217, 21sylibr 226 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ ((𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) → 𝐴 < 𝐶)) → ¬ (𝐴 < 𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴))
2322ex 403 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (((𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) → 𝐴 < 𝐶) → ¬ (𝐴 < 𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴)))
241, 23mpd 15 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ¬ (𝐴 < 𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 386  wo 836  w3a 1071  wcel 2107   class class class wbr 4888  *cxr 10412   < clt 10413  cle 10414
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4674  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-id 5263  df-po 5276  df-so 5277  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-er 8028  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419
This theorem is referenced by:  icceuelpart  42418
  Copyright terms: Public domain W3C validator