MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrltletr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrltletr 13085
Description: Transitive law for ordering on extended reals. (Contributed by NM, 19-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
xrltletr ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) → 𝐴 < 𝐶))

Proof of Theorem xrltletr
StepHypRef Expression
1 xrleloe 13072 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵𝐶 ↔ (𝐵 < 𝐶𝐵 = 𝐶)))
213adant1 1131 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵𝐶 ↔ (𝐵 < 𝐶𝐵 = 𝐶)))
3 xrlttr 13068 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
43expcomd 418 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵 < 𝐶 → (𝐴 < 𝐵𝐴 < 𝐶)))
5 breq2 5113 . . . . . 6 (𝐵 = 𝐶 → (𝐴 < 𝐵𝐴 < 𝐶))
65biimpd 228 . . . . 5 (𝐵 = 𝐶 → (𝐴 < 𝐵𝐴 < 𝐶))
76a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵 = 𝐶 → (𝐴 < 𝐵𝐴 < 𝐶)))
84, 7jaod 858 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐵 < 𝐶𝐵 = 𝐶) → (𝐴 < 𝐵𝐴 < 𝐶)))
92, 8sylbid 239 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵𝐶 → (𝐴 < 𝐵𝐴 < 𝐶)))
109impcomd 413 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  wo 846  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107   class class class wbr 5109  *cxr 11196   < clt 11197  cle 11198
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203
This theorem is referenced by:  xrltletrd  13089  xrre2  13098  xrre3  13099  ge0gtmnf  13100  xrltmin  13110  supxrunb1  13247  iooss2  13309  ioc0  13320  iccssioo  13342  icossico  13343  icossioo  13366  ioossioo  13367  icoun  13401  ioounsn  13403  ioojoin  13409  lecldbas  22593  mnfnei  22595  icopnfcld  24154  ovolicopnf  24911  voliunlem3  24939  volsup  24943  ioombl  24952  volivth  24994  itg2seq  25130  itg2monolem2  25139  dvfsumrlimge0  25417  dvfsumrlim2  25419  itgsubst  25436  abelth  25823  tanord1  25916  rlimcnp  26338  rlimcnp2  26339  dchrisum0lem2a  26888  pnt  26985  joiniooico  31731  esumfsup  32733  lfuhgr2  33776  relowlssretop  35884  heicant  36163  itg2gt0cn  36183  asindmre  36211  nltle2tri  45635  i0oii  47042
  Copyright terms: Public domain W3C validator