MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrltletr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrltletr 13190
Description: Transitive law for ordering on extended reals. (Contributed by NM, 19-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
xrltletr ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) → 𝐴 < 𝐶))

Proof of Theorem xrltletr
StepHypRef Expression
1 xrleloe 13177 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵𝐶 ↔ (𝐵 < 𝐶𝐵 = 𝐶)))
213adant1 1127 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵𝐶 ↔ (𝐵 < 𝐶𝐵 = 𝐶)))
3 xrlttr 13173 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
43expcomd 415 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵 < 𝐶 → (𝐴 < 𝐵𝐴 < 𝐶)))
5 breq2 5157 . . . . . 6 (𝐵 = 𝐶 → (𝐴 < 𝐵𝐴 < 𝐶))
65biimpd 228 . . . . 5 (𝐵 = 𝐶 → (𝐴 < 𝐵𝐴 < 𝐶))
76a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵 = 𝐶 → (𝐴 < 𝐵𝐴 < 𝐶)))
84, 7jaod 857 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐵 < 𝐶𝐵 = 𝐶) → (𝐴 < 𝐵𝐴 < 𝐶)))
92, 8sylbid 239 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵𝐶 → (𝐴 < 𝐵𝐴 < 𝐶)))
109impcomd 410 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  wo 845  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099   class class class wbr 5153  *cxr 11297   < clt 11298  cle 11299
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304
This theorem is referenced by:  xrltletrd  13194  xrre2  13203  xrre3  13204  ge0gtmnf  13205  xrltmin  13215  supxrunb1  13352  iooss2  13414  ioc0  13425  iccssioo  13447  icossico  13448  icossioo  13471  ioossioo  13472  icoun  13506  ioounsn  13508  ioojoin  13514  lecldbas  23214  mnfnei  23216  icopnfcld  24775  ovolicopnf  25544  voliunlem3  25572  volsup  25576  ioombl  25585  volivth  25627  itg2seq  25763  itg2monolem2  25772  dvfsumrlimge0  26056  dvfsumrlim2  26058  itgsubst  26075  abelth  26471  tanord1  26564  rlimcnp  26993  rlimcnp2  26994  dchrisum0lem2a  27546  pnt  27643  joiniooico  32676  esumfsup  33903  lfuhgr2  34946  relowlssretop  37070  heicant  37356  itg2gt0cn  37376  asindmre  37404  nltle2tri  46926  i0oii  48253
  Copyright terms: Public domain W3C validator