MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrltletr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrltletr 12545
Description: Transitive law for ordering on extended reals. (Contributed by NM, 19-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
xrltletr ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) → 𝐴 < 𝐶))

Proof of Theorem xrltletr
StepHypRef Expression
1 xrleloe 12532 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵𝐶 ↔ (𝐵 < 𝐶𝐵 = 𝐶)))
213adant1 1127 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵𝐶 ↔ (𝐵 < 𝐶𝐵 = 𝐶)))
3 xrlttr 12528 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
43expcomd 420 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵 < 𝐶 → (𝐴 < 𝐵𝐴 < 𝐶)))
5 breq2 5057 . . . . . 6 (𝐵 = 𝐶 → (𝐴 < 𝐵𝐴 < 𝐶))
65biimpd 232 . . . . 5 (𝐵 = 𝐶 → (𝐴 < 𝐵𝐴 < 𝐶))
76a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵 = 𝐶 → (𝐴 < 𝐵𝐴 < 𝐶)))
84, 7jaod 856 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐵 < 𝐶𝐵 = 𝐶) → (𝐴 < 𝐵𝐴 < 𝐶)))
92, 8sylbid 243 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵𝐶 → (𝐴 < 𝐵𝐴 < 𝐶)))
109impcomd 415 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  wo 844  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115   class class class wbr 5053  *cxr 10668   < clt 10669  cle 10670
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7452  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-uni 4826  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-id 5448  df-po 5462  df-so 5463  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675
This theorem is referenced by:  xrltletrd  12549  xrre2  12558  xrre3  12559  ge0gtmnf  12560  xrltmin  12570  supxrunb1  12707  iooss2  12769  ioc0  12780  iccssioo  12801  icossico  12802  icossioo  12825  ioossioo  12826  icoun  12860  ioounsn  12862  ioojoin  12868  lecldbas  21822  mnfnei  21824  icopnfcld  23371  ovolicopnf  24126  voliunlem3  24154  volsup  24158  ioombl  24167  volivth  24209  itg2seq  24344  itg2monolem2  24353  dvfsumrlimge0  24631  dvfsumrlim2  24633  itgsubst  24650  abelth  25034  tanord1  25127  rlimcnp  25549  rlimcnp2  25550  dchrisum0lem2a  26099  pnt  26196  joiniooico  30503  esumfsup  31356  lfuhgr2  32392  relowlssretop  34694  heicant  35004  itg2gt0cn  35024  asindmre  35052  nltle2tri  43736
  Copyright terms: Public domain W3C validator