Theorem ssfz12 43521

Description: Subset relationship for finite sets of sequential integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ssfz12	⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → ((𝐾...𝐿) ⊆ (𝑀...𝑁) → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)))

Proof of Theorem ssfz12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz 12260	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ↔ 𝐾 ≤ 𝐿))
2	1	biimp3ar 1466	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
3		eluzfz1 12917	. . 3 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝐾 ∈ (𝐾...𝐿))
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → 𝐾 ∈ (𝐾...𝐿))
5		eluzfz2 12918	. . . 4 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝐿 ∈ (𝐾...𝐿))
6	2, 5	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → 𝐿 ∈ (𝐾...𝐿))
7		ssel2 3965	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾...𝐿) ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝐾...𝐿)) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
8		ssel2 3965	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾...𝐿) ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...𝐿)) → 𝐿 ∈ (𝑀...𝑁))
9		elfzuz3 12908	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐿 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐿))
10		eluz2 12252	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾))
11		eluz2 12252	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐿) ↔ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁))
12		pm3.21 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐿 ≤ 𝑁 → (𝑀 ≤ 𝐾 → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)))
13	12	3ad2ant3 1131	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → (𝑀 ≤ 𝐾 → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)))
14	11, 13	sylbi 219	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐿) → (𝑀 ≤ 𝐾 → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)))
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐿) → (𝑀 ≤ 𝐾 → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁))))
16	15	com13 88	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ≤ 𝐾 → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐿) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁))))
17	16	3ad2ant3 1131	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐿) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁))))
18	10, 17	sylbi 219	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐿) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁))))
19		elfzuz 12907	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
20	18, 19	syl11 33	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐿) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁))))
21	8, 9, 20	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾...𝐿) ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...𝐿)) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁))))
22	21	ex 415	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾...𝐿) ⊆ (𝑀...𝑁) → (𝐿 ∈ (𝐾...𝐿) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)))))
23	22	com4t 93	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → ((𝐾...𝐿) ⊆ (𝑀...𝑁) → (𝐿 ∈ (𝐾...𝐿) → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)))))
24	7, 23	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾...𝐿) ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝐾...𝐿)) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → ((𝐾...𝐿) ⊆ (𝑀...𝑁) → (𝐿 ∈ (𝐾...𝐿) → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)))))
25	24	ex 415	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾...𝐿) ⊆ (𝑀...𝑁) → (𝐾 ∈ (𝐾...𝐿) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → ((𝐾...𝐿) ⊆ (𝑀...𝑁) → (𝐿 ∈ (𝐾...𝐿) → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁))))))
26	25	com24 95	. . . . 5 ⊢ ((𝐾...𝐿) ⊆ (𝑀...𝑁) → ((𝐾...𝐿) ⊆ (𝑀...𝑁) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → (𝐾 ∈ (𝐾...𝐿) → (𝐿 ∈ (𝐾...𝐿) → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁))))))
27	26	pm2.43i 52	. . . 4 ⊢ ((𝐾...𝐿) ⊆ (𝑀...𝑁) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → (𝐾 ∈ (𝐾...𝐿) → (𝐿 ∈ (𝐾...𝐿) → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)))))
28	27	com14 96	. . 3 ⊢ (𝐿 ∈ (𝐾...𝐿) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → (𝐾 ∈ (𝐾...𝐿) → ((𝐾...𝐿) ⊆ (𝑀...𝑁) → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)))))
29	6, 28	mpcom 38	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → (𝐾 ∈ (𝐾...𝐿) → ((𝐾...𝐿) ⊆ (𝑀...𝑁) → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁))))
30	4, 29	mpd 15	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → ((𝐾...𝐿) ⊆ (𝑀...𝑁) → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3939   class class class wbr 5069  ‘cfv 6358  (class class class)co 7159   ≤ cle 10679  ℤcz 11984  ℤ_≥cuz 12246  ...cfz 12895

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-pre-lttri 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-op 4577  df-uni 4842  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-id 5463  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-neg 10876  df-z 11985  df-uz 12247  df-fz 12896

This theorem is referenced by: (None)