Theorem ssfz12 42984

Description: Subset relationship for finite sets of sequential integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ssfz12	⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → ((𝐾...𝐿) ⊆ (𝑀...𝑁) → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)))

Proof of Theorem ssfz12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz 12096	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ↔ 𝐾 ≤ 𝐿))
2	1	biimp3ar 1460	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
3		eluzfz1 12753	. . 3 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝐾 ∈ (𝐾...𝐿))
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → 𝐾 ∈ (𝐾...𝐿))
5		eluzfz2 12754	. . . 4 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝐿 ∈ (𝐾...𝐿))
6	2, 5	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → 𝐿 ∈ (𝐾...𝐿))
7		ssel2 3879	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾...𝐿) ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝐾...𝐿)) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
8		ssel2 3879	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾...𝐿) ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...𝐿)) → 𝐿 ∈ (𝑀...𝑁))
9		elfzuz3 12744	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐿 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐿))
10		eluz2 12088	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾))
11		eluz2 12088	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐿) ↔ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁))
12		pm3.21 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐿 ≤ 𝑁 → (𝑀 ≤ 𝐾 → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)))
13	12	3ad2ant3 1126	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → (𝑀 ≤ 𝐾 → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)))
14	11, 13	sylbi 218	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐿) → (𝑀 ≤ 𝐾 → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)))
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐿) → (𝑀 ≤ 𝐾 → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁))))
16	15	com13 88	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ≤ 𝐾 → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐿) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁))))
17	16	3ad2ant3 1126	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐿) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁))))
18	10, 17	sylbi 218	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐿) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁))))
19		elfzuz 12743	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
20	18, 19	syl11 33	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐿) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁))))
21	8, 9, 20	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾...𝐿) ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...𝐿)) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁))))
22	21	ex 413	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾...𝐿) ⊆ (𝑀...𝑁) → (𝐿 ∈ (𝐾...𝐿) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)))))
23	22	com4t 93	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → ((𝐾...𝐿) ⊆ (𝑀...𝑁) → (𝐿 ∈ (𝐾...𝐿) → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)))))
24	7, 23	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾...𝐿) ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝐾...𝐿)) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → ((𝐾...𝐿) ⊆ (𝑀...𝑁) → (𝐿 ∈ (𝐾...𝐿) → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)))))
25	24	ex 413	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾...𝐿) ⊆ (𝑀...𝑁) → (𝐾 ∈ (𝐾...𝐿) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → ((𝐾...𝐿) ⊆ (𝑀...𝑁) → (𝐿 ∈ (𝐾...𝐿) → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁))))))
26	25	com24 95	. . . . 5 ⊢ ((𝐾...𝐿) ⊆ (𝑀...𝑁) → ((𝐾...𝐿) ⊆ (𝑀...𝑁) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → (𝐾 ∈ (𝐾...𝐿) → (𝐿 ∈ (𝐾...𝐿) → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁))))))
27	26	pm2.43i 52	. . . 4 ⊢ ((𝐾...𝐿) ⊆ (𝑀...𝑁) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → (𝐾 ∈ (𝐾...𝐿) → (𝐿 ∈ (𝐾...𝐿) → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)))))
28	27	com14 96	. . 3 ⊢ (𝐿 ∈ (𝐾...𝐿) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → (𝐾 ∈ (𝐾...𝐿) → ((𝐾...𝐿) ⊆ (𝑀...𝑁) → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)))))
29	6, 28	mpcom 38	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → (𝐾 ∈ (𝐾...𝐿) → ((𝐾...𝐿) ⊆ (𝑀...𝑁) → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁))))
30	4, 29	mpd 15	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → ((𝐾...𝐿) ⊆ (𝑀...𝑁) → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1078   ∈ wcel 2079   ⊆ wss 3854   class class class wbr 4956  ‘cfv 6217  (class class class)co 7007   ≤ cle 10511  ℤcz 11818  ℤ_≥cuz 12082  ...cfz 12731

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1775  ax-4 1789  ax-5 1886  ax-6 1945  ax-7 1990  ax-8 2081  ax-9 2089  ax-10 2110  ax-11 2124  ax-12 2139  ax-13 2342  ax-ext 2767  ax-sep 5088  ax-nul 5095  ax-pow 5150  ax-pr 5214  ax-un 7310  ax-cnex 10428  ax-resscn 10429  ax-pre-lttri 10446

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1079  df-3an 1080  df-tru 1523  df-ex 1760  df-nf 1764  df-sb 2041  df-mo 2574  df-eu 2610  df-clab 2774  df-cleq 2786  df-clel 2861  df-nfc 2933  df-ne 2983  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-rab 3112  df-v 3434  df-sbc 3702  df-csb 3807  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3869  df-nul 4207  df-if 4376  df-pw 4449  df-sn 4467  df-pr 4469  df-op 4473  df-uni 4740  df-iun 4821  df-br 4957  df-opab 5019  df-mpt 5036  df-id 5340  df-xp 5441  df-rel 5442  df-cnv 5443  df-co 5444  df-dm 5445  df-rn 5446  df-res 5447  df-ima 5448  df-iota 6181  df-fun 6219  df-fn 6220  df-f 6221  df-f1 6222  df-fo 6223  df-f1o 6224  df-fv 6225  df-ov 7010  df-oprab 7011  df-mpo 7012  df-1st 7536  df-2nd 7537  df-er 8130  df-en 8348  df-dom 8349  df-sdom 8350  df-pnf 10512  df-mnf 10513  df-xr 10514  df-ltxr 10515  df-le 10516  df-neg 10709  df-z 11819  df-uz 12083  df-fz 12732

This theorem is referenced by: (None)