Theorem ssfz12 47424

Description: Subset relationship for finite sets of sequential integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ssfz12	⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → ((𝐾...𝐿) ⊆ (𝑀...𝑁) → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)))

Proof of Theorem ssfz12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz 12746	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ↔ 𝐾 ≤ 𝐿))
2	1	biimp3ar 1472	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
3		eluzfz1 13431	. . 3 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝐾 ∈ (𝐾...𝐿))
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → 𝐾 ∈ (𝐾...𝐿))
5		eluzfz2 13432	. . . 4 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝐿 ∈ (𝐾...𝐿))
6	2, 5	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → 𝐿 ∈ (𝐾...𝐿))
7		ssel2 3924	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾...𝐿) ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝐾...𝐿)) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
8		ssel2 3924	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾...𝐿) ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...𝐿)) → 𝐿 ∈ (𝑀...𝑁))
9		elfzuz3 13421	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐿 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐿))
10		eluz2 12738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾))
11		eluz2 12738	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐿) ↔ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁))
12		pm3.21 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐿 ≤ 𝑁 → (𝑀 ≤ 𝐾 → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)))
13	12	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → (𝑀 ≤ 𝐾 → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)))
14	11, 13	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐿) → (𝑀 ≤ 𝐾 → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)))
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐿) → (𝑀 ≤ 𝐾 → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁))))
16	15	com13 88	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ≤ 𝐾 → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐿) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁))))
17	16	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐿) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁))))
18	10, 17	sylbi 217	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐿) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁))))
19		elfzuz 13420	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
20	18, 19	syl11 33	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐿) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁))))
21	8, 9, 20	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾...𝐿) ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...𝐿)) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁))))
22	21	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾...𝐿) ⊆ (𝑀...𝑁) → (𝐿 ∈ (𝐾...𝐿) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)))))
23	22	com4t 93	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → ((𝐾...𝐿) ⊆ (𝑀...𝑁) → (𝐿 ∈ (𝐾...𝐿) → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)))))
24	7, 23	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾...𝐿) ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝐾...𝐿)) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → ((𝐾...𝐿) ⊆ (𝑀...𝑁) → (𝐿 ∈ (𝐾...𝐿) → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)))))
25	24	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾...𝐿) ⊆ (𝑀...𝑁) → (𝐾 ∈ (𝐾...𝐿) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → ((𝐾...𝐿) ⊆ (𝑀...𝑁) → (𝐿 ∈ (𝐾...𝐿) → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁))))))
26	25	com24 95	. . . . 5 ⊢ ((𝐾...𝐿) ⊆ (𝑀...𝑁) → ((𝐾...𝐿) ⊆ (𝑀...𝑁) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → (𝐾 ∈ (𝐾...𝐿) → (𝐿 ∈ (𝐾...𝐿) → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁))))))
27	26	pm2.43i 52	. . . 4 ⊢ ((𝐾...𝐿) ⊆ (𝑀...𝑁) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → (𝐾 ∈ (𝐾...𝐿) → (𝐿 ∈ (𝐾...𝐿) → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)))))
28	27	com14 96	. . 3 ⊢ (𝐿 ∈ (𝐾...𝐿) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → (𝐾 ∈ (𝐾...𝐿) → ((𝐾...𝐿) ⊆ (𝑀...𝑁) → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)))))
29	6, 28	mpcom 38	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → (𝐾 ∈ (𝐾...𝐿) → ((𝐾...𝐿) ⊆ (𝑀...𝑁) → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁))))
30	4, 29	mpd 15	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → ((𝐾...𝐿) ⊆ (𝑀...𝑁) → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3897   class class class wbr 5089  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   ≤ cle 11147  ℤcz 12468  ℤ_≥cuz 12732  ...cfz 13407

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-pre-lttri 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-neg 11347  df-z 12469  df-uz 12733  df-fz 13408

This theorem is referenced by: (None)