Theorem ssfz12 44694

Description: Subset relationship for finite sets of sequential integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ssfz12	⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → ((𝐾...𝐿) ⊆ (𝑀...𝑁) → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)))

Proof of Theorem ssfz12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz 12525	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ↔ 𝐾 ≤ 𝐿))
2	1	biimp3ar 1468	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
3		eluzfz1 13192	. . 3 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝐾 ∈ (𝐾...𝐿))
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → 𝐾 ∈ (𝐾...𝐿))
5		eluzfz2 13193	. . . 4 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝐿 ∈ (𝐾...𝐿))
6	2, 5	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → 𝐿 ∈ (𝐾...𝐿))
7		ssel2 3912	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾...𝐿) ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝐾...𝐿)) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
8		ssel2 3912	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾...𝐿) ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...𝐿)) → 𝐿 ∈ (𝑀...𝑁))
9		elfzuz3 13182	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐿 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐿))
10		eluz2 12517	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾))
11		eluz2 12517	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐿) ↔ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁))
12		pm3.21 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐿 ≤ 𝑁 → (𝑀 ≤ 𝐾 → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)))
13	12	3ad2ant3 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → (𝑀 ≤ 𝐾 → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)))
14	11, 13	sylbi 216	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐿) → (𝑀 ≤ 𝐾 → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)))
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐿) → (𝑀 ≤ 𝐾 → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁))))
16	15	com13 88	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ≤ 𝐾 → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐿) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁))))
17	16	3ad2ant3 1133	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐿) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁))))
18	10, 17	sylbi 216	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐿) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁))))
19		elfzuz 13181	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
20	18, 19	syl11 33	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐿) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁))))
21	8, 9, 20	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾...𝐿) ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...𝐿)) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁))))
22	21	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾...𝐿) ⊆ (𝑀...𝑁) → (𝐿 ∈ (𝐾...𝐿) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)))))
23	22	com4t 93	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → ((𝐾...𝐿) ⊆ (𝑀...𝑁) → (𝐿 ∈ (𝐾...𝐿) → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)))))
24	7, 23	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾...𝐿) ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝐾...𝐿)) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → ((𝐾...𝐿) ⊆ (𝑀...𝑁) → (𝐿 ∈ (𝐾...𝐿) → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)))))
25	24	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾...𝐿) ⊆ (𝑀...𝑁) → (𝐾 ∈ (𝐾...𝐿) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → ((𝐾...𝐿) ⊆ (𝑀...𝑁) → (𝐿 ∈ (𝐾...𝐿) → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁))))))
26	25	com24 95	. . . . 5 ⊢ ((𝐾...𝐿) ⊆ (𝑀...𝑁) → ((𝐾...𝐿) ⊆ (𝑀...𝑁) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → (𝐾 ∈ (𝐾...𝐿) → (𝐿 ∈ (𝐾...𝐿) → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁))))))
27	26	pm2.43i 52	. . . 4 ⊢ ((𝐾...𝐿) ⊆ (𝑀...𝑁) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → (𝐾 ∈ (𝐾...𝐿) → (𝐿 ∈ (𝐾...𝐿) → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)))))
28	27	com14 96	. . 3 ⊢ (𝐿 ∈ (𝐾...𝐿) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → (𝐾 ∈ (𝐾...𝐿) → ((𝐾...𝐿) ⊆ (𝑀...𝑁) → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)))))
29	6, 28	mpcom 38	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → (𝐾 ∈ (𝐾...𝐿) → ((𝐾...𝐿) ⊆ (𝑀...𝑁) → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁))))
30	4, 29	mpd 15	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → ((𝐾...𝐿) ⊆ (𝑀...𝑁) → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3883   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ≤ cle 10941  ℤcz 12249  ℤ_≥cuz 12511  ...cfz 13168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-pre-lttri 10876

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-neg 11138  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169

This theorem is referenced by: (None)