Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  icceuelpart Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem icceuelpart 45718
Description: An element of a partitioned half-open interval of extended reals is an element of exactly one part of the partition. (Contributed by AV, 19-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iccpartiun.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
iccpartiun.p (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€))
Assertion
Ref Expression
icceuelpart ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜0)[,)(π‘ƒβ€˜π‘€))) β†’ βˆƒ!𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑀   𝑃,𝑖   𝑖,𝑋   πœ‘,𝑖

Proof of Theorem icceuelpart
Dummy variables 𝑗 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccpartiun.p . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€))
21adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜0)[,)(π‘ƒβ€˜π‘€))) β†’ 𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€))
3 iccpartiun.m . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
4 iccelpart 45715 . . . . 5 (𝑀 ∈ β„• β†’ βˆ€π‘ ∈ (RePartβ€˜π‘€)(𝑋 ∈ ((π‘β€˜0)[,)(π‘β€˜π‘€)) β†’ βˆƒπ‘– ∈ (0..^𝑀)𝑋 ∈ ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘β€˜(𝑖 + 1)))))
53, 4syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘ ∈ (RePartβ€˜π‘€)(𝑋 ∈ ((π‘β€˜0)[,)(π‘β€˜π‘€)) β†’ βˆƒπ‘– ∈ (0..^𝑀)𝑋 ∈ ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘β€˜(𝑖 + 1)))))
65adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜0)[,)(π‘ƒβ€˜π‘€))) β†’ βˆ€π‘ ∈ (RePartβ€˜π‘€)(𝑋 ∈ ((π‘β€˜0)[,)(π‘β€˜π‘€)) β†’ βˆƒπ‘– ∈ (0..^𝑀)𝑋 ∈ ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘β€˜(𝑖 + 1)))))
7 fveq1 6845 . . . . . . . . 9 (𝑝 = 𝑃 β†’ (π‘β€˜0) = (π‘ƒβ€˜0))
8 fveq1 6845 . . . . . . . . 9 (𝑝 = 𝑃 β†’ (π‘β€˜π‘€) = (π‘ƒβ€˜π‘€))
97, 8oveq12d 7379 . . . . . . . 8 (𝑝 = 𝑃 β†’ ((π‘β€˜0)[,)(π‘β€˜π‘€)) = ((π‘ƒβ€˜0)[,)(π‘ƒβ€˜π‘€)))
109eleq2d 2820 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑃 β†’ (𝑋 ∈ ((π‘β€˜0)[,)(π‘β€˜π‘€)) ↔ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜0)[,)(π‘ƒβ€˜π‘€))))
11 fveq1 6845 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = 𝑃 β†’ (π‘β€˜π‘–) = (π‘ƒβ€˜π‘–))
12 fveq1 6845 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = 𝑃 β†’ (π‘β€˜(𝑖 + 1)) = (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)))
1311, 12oveq12d 7379 . . . . . . . . 9 (𝑝 = 𝑃 β†’ ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘β€˜(𝑖 + 1))) = ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))))
1413eleq2d 2820 . . . . . . . 8 (𝑝 = 𝑃 β†’ (𝑋 ∈ ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘β€˜(𝑖 + 1))) ↔ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)))))
1514rexbidv 3172 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑃 β†’ (βˆƒπ‘– ∈ (0..^𝑀)𝑋 ∈ ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘β€˜(𝑖 + 1))) ↔ βˆƒπ‘– ∈ (0..^𝑀)𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)))))
1610, 15imbi12d 345 . . . . . 6 (𝑝 = 𝑃 β†’ ((𝑋 ∈ ((π‘β€˜0)[,)(π‘β€˜π‘€)) β†’ βˆƒπ‘– ∈ (0..^𝑀)𝑋 ∈ ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘β€˜(𝑖 + 1)))) ↔ (𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜0)[,)(π‘ƒβ€˜π‘€)) β†’ βˆƒπ‘– ∈ (0..^𝑀)𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))))))
1716rspcva 3581 . . . . 5 ((𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘ ∈ (RePartβ€˜π‘€)(𝑋 ∈ ((π‘β€˜0)[,)(π‘β€˜π‘€)) β†’ βˆƒπ‘– ∈ (0..^𝑀)𝑋 ∈ ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘β€˜(𝑖 + 1))))) β†’ (𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜0)[,)(π‘ƒβ€˜π‘€)) β†’ βˆƒπ‘– ∈ (0..^𝑀)𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)))))
1817adantld 492 . . . 4 ((𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘ ∈ (RePartβ€˜π‘€)(𝑋 ∈ ((π‘β€˜0)[,)(π‘β€˜π‘€)) β†’ βˆƒπ‘– ∈ (0..^𝑀)𝑋 ∈ ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘β€˜(𝑖 + 1))))) β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜0)[,)(π‘ƒβ€˜π‘€))) β†’ βˆƒπ‘– ∈ (0..^𝑀)𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)))))
1918com12 32 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜0)[,)(π‘ƒβ€˜π‘€))) β†’ ((𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘ ∈ (RePartβ€˜π‘€)(𝑋 ∈ ((π‘β€˜0)[,)(π‘β€˜π‘€)) β†’ βˆƒπ‘– ∈ (0..^𝑀)𝑋 ∈ ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘β€˜(𝑖 + 1))))) β†’ βˆƒπ‘– ∈ (0..^𝑀)𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)))))
202, 6, 19mp2and 698 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜0)[,)(π‘ƒβ€˜π‘€))) β†’ βˆƒπ‘– ∈ (0..^𝑀)𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))))
213adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑀 ∈ β„•)
221adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€))
23 elfzofz 13597 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) β†’ 𝑖 ∈ (0...𝑀))
2423adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑖 ∈ (0...𝑀))
2521, 22, 24iccpartxr 45701 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) ∈ ℝ*)
26 fzofzp1 13678 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) β†’ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
2726adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
2821, 22, 27iccpartxr 45701 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
2925, 28jca 513 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘–) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*))
3029adantrr 716 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀))) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘–) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*))
31 elico1 13316 . . . . . . 7 (((π‘ƒβ€˜π‘–) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*) β†’ (𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))) ↔ (𝑋 ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜π‘–) ≀ 𝑋 ∧ 𝑋 < (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)))))
3230, 31syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀))) β†’ (𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))) ↔ (𝑋 ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜π‘–) ≀ 𝑋 ∧ 𝑋 < (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)))))
333adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑀 ∈ β„•)
341adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€))
35 elfzofz 13597 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (0..^𝑀) β†’ 𝑗 ∈ (0...𝑀))
3635adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑗 ∈ (0...𝑀))
3733, 34, 36iccpartxr 45701 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘—) ∈ ℝ*)
38 fzofzp1 13678 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (0..^𝑀) β†’ (𝑗 + 1) ∈ (0...𝑀))
3938adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑗 + 1) ∈ (0...𝑀))
4033, 34, 39iccpartxr 45701 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘ƒβ€˜(𝑗 + 1)) ∈ ℝ*)
4137, 40jca 513 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘—) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝑗 + 1)) ∈ ℝ*))
4241adantrl 715 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀))) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘—) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝑗 + 1)) ∈ ℝ*))
43 elico1 13316 . . . . . . 7 (((π‘ƒβ€˜π‘—) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝑗 + 1)) ∈ ℝ*) β†’ (𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘—)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑗 + 1))) ↔ (𝑋 ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜π‘—) ≀ 𝑋 ∧ 𝑋 < (π‘ƒβ€˜(𝑗 + 1)))))
4442, 43syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀))) β†’ (𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘—)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑗 + 1))) ↔ (𝑋 ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜π‘—) ≀ 𝑋 ∧ 𝑋 < (π‘ƒβ€˜(𝑗 + 1)))))
4532, 44anbi12d 632 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀))) β†’ ((𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))) ∧ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘—)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑗 + 1)))) ↔ ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜π‘–) ≀ 𝑋 ∧ 𝑋 < (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))) ∧ (𝑋 ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜π‘—) ≀ 𝑋 ∧ 𝑋 < (π‘ƒβ€˜(𝑗 + 1))))))
46 elfzoelz 13581 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) β†’ 𝑖 ∈ β„€)
4746zred 12615 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) β†’ 𝑖 ∈ ℝ)
48 elfzoelz 13581 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (0..^𝑀) β†’ 𝑗 ∈ β„€)
4948zred 12615 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ (0..^𝑀) β†’ 𝑗 ∈ ℝ)
5047, 49anim12i 614 . . . . . . . 8 ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ))
5150adantl 483 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀))) β†’ (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ))
52 lttri4 11247 . . . . . . 7 ((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) β†’ (𝑖 < 𝑗 ∨ 𝑖 = 𝑗 ∨ 𝑗 < 𝑖))
5351, 52syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀))) β†’ (𝑖 < 𝑗 ∨ 𝑖 = 𝑗 ∨ 𝑗 < 𝑖))
543, 1icceuelpartlem 45717 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑖 < 𝑗 β†’ (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘—))))
5554imp31 419 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀))) ∧ 𝑖 < 𝑗) β†’ (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘—))
56 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ (πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)))) β†’ 𝑋 ∈ ℝ*)
5728adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀))) β†’ (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
5857adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ (πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)))) β†’ (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
5937adantrl 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀))) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘—) ∈ ℝ*)
6059adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ (πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)))) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘—) ∈ ℝ*)
61 nltle2tri 45635 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜π‘—) ∈ ℝ*) β†’ Β¬ (𝑋 < (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) ∧ (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘—) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘—) ≀ 𝑋))
6256, 58, 60, 61syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ (πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)))) β†’ Β¬ (𝑋 < (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) ∧ (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘—) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘—) ≀ 𝑋))
6362pm2.21d 121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ (πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)))) β†’ ((𝑋 < (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) ∧ (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘—) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘—) ≀ 𝑋) β†’ 𝑖 = 𝑗))
64633expd 1354 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ (πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)))) β†’ (𝑋 < (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) β†’ ((π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘—) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘—) ≀ 𝑋 β†’ 𝑖 = 𝑗))))
6564ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑋 ∈ ℝ* β†’ ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀))) β†’ (𝑋 < (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) β†’ ((π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘—) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘—) ≀ 𝑋 β†’ 𝑖 = 𝑗)))))
6665com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑋 ∈ ℝ* β†’ (𝑋 < (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) β†’ ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀))) β†’ ((π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘—) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘—) ≀ 𝑋 β†’ 𝑖 = 𝑗)))))
6766com25 99 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑋 ∈ ℝ* β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘—) ≀ 𝑋 β†’ ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀))) β†’ ((π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘—) β†’ (𝑋 < (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) β†’ 𝑖 = 𝑗)))))
6867imp4b 423 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜π‘—) ≀ 𝑋) β†’ (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀))) ∧ (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘—)) β†’ (𝑋 < (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) β†’ 𝑖 = 𝑗)))
6968com23 86 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜π‘—) ≀ 𝑋) β†’ (𝑋 < (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) β†’ (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀))) ∧ (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘—)) β†’ 𝑖 = 𝑗)))
70693adant3 1133 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜π‘—) ≀ 𝑋 ∧ 𝑋 < (π‘ƒβ€˜(𝑗 + 1))) β†’ (𝑋 < (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) β†’ (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀))) ∧ (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘—)) β†’ 𝑖 = 𝑗)))
7170com12 32 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 < (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) β†’ ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜π‘—) ≀ 𝑋 ∧ 𝑋 < (π‘ƒβ€˜(𝑗 + 1))) β†’ (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀))) ∧ (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘—)) β†’ 𝑖 = 𝑗)))
72713ad2ant3 1136 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜π‘–) ≀ 𝑋 ∧ 𝑋 < (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))) β†’ ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜π‘—) ≀ 𝑋 ∧ 𝑋 < (π‘ƒβ€˜(𝑗 + 1))) β†’ (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀))) ∧ (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘—)) β†’ 𝑖 = 𝑗)))
7372imp 408 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜π‘–) ≀ 𝑋 ∧ 𝑋 < (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))) ∧ (𝑋 ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜π‘—) ≀ 𝑋 ∧ 𝑋 < (π‘ƒβ€˜(𝑗 + 1)))) β†’ (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀))) ∧ (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘—)) β†’ 𝑖 = 𝑗))
7473com12 32 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀))) ∧ (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘—)) β†’ (((𝑋 ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜π‘–) ≀ 𝑋 ∧ 𝑋 < (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))) ∧ (𝑋 ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜π‘—) ≀ 𝑋 ∧ 𝑋 < (π‘ƒβ€˜(𝑗 + 1)))) β†’ 𝑖 = 𝑗))
7555, 74syldan 592 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀))) ∧ 𝑖 < 𝑗) β†’ (((𝑋 ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜π‘–) ≀ 𝑋 ∧ 𝑋 < (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))) ∧ (𝑋 ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜π‘—) ≀ 𝑋 ∧ 𝑋 < (π‘ƒβ€˜(𝑗 + 1)))) β†’ 𝑖 = 𝑗))
7675expcom 415 . . . . . . 7 (𝑖 < 𝑗 β†’ ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀))) β†’ (((𝑋 ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜π‘–) ≀ 𝑋 ∧ 𝑋 < (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))) ∧ (𝑋 ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜π‘—) ≀ 𝑋 ∧ 𝑋 < (π‘ƒβ€˜(𝑗 + 1)))) β†’ 𝑖 = 𝑗)))
77 2a1 28 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑗 β†’ ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀))) β†’ (((𝑋 ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜π‘–) ≀ 𝑋 ∧ 𝑋 < (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))) ∧ (𝑋 ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜π‘—) ≀ 𝑋 ∧ 𝑋 < (π‘ƒβ€˜(𝑗 + 1)))) β†’ 𝑖 = 𝑗)))
783, 1icceuelpartlem 45717 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑗 < 𝑖 β†’ (π‘ƒβ€˜(𝑗 + 1)) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘–))))
7978ancomsd 467 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑗 < 𝑖 β†’ (π‘ƒβ€˜(𝑗 + 1)) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘–))))
8079imp31 419 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀))) ∧ 𝑗 < 𝑖) β†’ (π‘ƒβ€˜(𝑗 + 1)) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘–))
8140adantrl 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀))) β†’ (π‘ƒβ€˜(𝑗 + 1)) ∈ ℝ*)
8281adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ (πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)))) β†’ (π‘ƒβ€˜(𝑗 + 1)) ∈ ℝ*)
8325adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀))) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) ∈ ℝ*)
8483adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ (πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)))) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) ∈ ℝ*)
85 nltle2tri 45635 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜(𝑗 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜π‘–) ∈ ℝ*) β†’ Β¬ (𝑋 < (π‘ƒβ€˜(𝑗 + 1)) ∧ (π‘ƒβ€˜(𝑗 + 1)) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘–) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘–) ≀ 𝑋))
8656, 82, 84, 85syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ (πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)))) β†’ Β¬ (𝑋 < (π‘ƒβ€˜(𝑗 + 1)) ∧ (π‘ƒβ€˜(𝑗 + 1)) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘–) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘–) ≀ 𝑋))
8786pm2.21d 121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ (πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)))) β†’ ((𝑋 < (π‘ƒβ€˜(𝑗 + 1)) ∧ (π‘ƒβ€˜(𝑗 + 1)) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘–) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘–) ≀ 𝑋) β†’ 𝑖 = 𝑗))
88873expd 1354 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ (πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)))) β†’ (𝑋 < (π‘ƒβ€˜(𝑗 + 1)) β†’ ((π‘ƒβ€˜(𝑗 + 1)) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘–) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘–) ≀ 𝑋 β†’ 𝑖 = 𝑗))))
8988ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑋 ∈ ℝ* β†’ ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀))) β†’ (𝑋 < (π‘ƒβ€˜(𝑗 + 1)) β†’ ((π‘ƒβ€˜(𝑗 + 1)) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘–) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘–) ≀ 𝑋 β†’ 𝑖 = 𝑗)))))
9089com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑋 ∈ ℝ* β†’ (𝑋 < (π‘ƒβ€˜(𝑗 + 1)) β†’ ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀))) β†’ ((π‘ƒβ€˜(𝑗 + 1)) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘–) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘–) ≀ 𝑋 β†’ 𝑖 = 𝑗)))))
9190imp4b 423 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ 𝑋 < (π‘ƒβ€˜(𝑗 + 1))) β†’ (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀))) ∧ (π‘ƒβ€˜(𝑗 + 1)) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘–)) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘–) ≀ 𝑋 β†’ 𝑖 = 𝑗)))
9291com23 86 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ 𝑋 < (π‘ƒβ€˜(𝑗 + 1))) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘–) ≀ 𝑋 β†’ (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀))) ∧ (π‘ƒβ€˜(𝑗 + 1)) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘–)) β†’ 𝑖 = 𝑗)))
93923adant2 1132 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜π‘—) ≀ 𝑋 ∧ 𝑋 < (π‘ƒβ€˜(𝑗 + 1))) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘–) ≀ 𝑋 β†’ (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀))) ∧ (π‘ƒβ€˜(𝑗 + 1)) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘–)) β†’ 𝑖 = 𝑗)))
9493com12 32 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘ƒβ€˜π‘–) ≀ 𝑋 β†’ ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜π‘—) ≀ 𝑋 ∧ 𝑋 < (π‘ƒβ€˜(𝑗 + 1))) β†’ (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀))) ∧ (π‘ƒβ€˜(𝑗 + 1)) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘–)) β†’ 𝑖 = 𝑗)))
95943ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜π‘–) ≀ 𝑋 ∧ 𝑋 < (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))) β†’ ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜π‘—) ≀ 𝑋 ∧ 𝑋 < (π‘ƒβ€˜(𝑗 + 1))) β†’ (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀))) ∧ (π‘ƒβ€˜(𝑗 + 1)) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘–)) β†’ 𝑖 = 𝑗)))
9695imp 408 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜π‘–) ≀ 𝑋 ∧ 𝑋 < (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))) ∧ (𝑋 ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜π‘—) ≀ 𝑋 ∧ 𝑋 < (π‘ƒβ€˜(𝑗 + 1)))) β†’ (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀))) ∧ (π‘ƒβ€˜(𝑗 + 1)) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘–)) β†’ 𝑖 = 𝑗))
9796com12 32 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀))) ∧ (π‘ƒβ€˜(𝑗 + 1)) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘–)) β†’ (((𝑋 ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜π‘–) ≀ 𝑋 ∧ 𝑋 < (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))) ∧ (𝑋 ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜π‘—) ≀ 𝑋 ∧ 𝑋 < (π‘ƒβ€˜(𝑗 + 1)))) β†’ 𝑖 = 𝑗))
9880, 97syldan 592 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀))) ∧ 𝑗 < 𝑖) β†’ (((𝑋 ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜π‘–) ≀ 𝑋 ∧ 𝑋 < (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))) ∧ (𝑋 ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜π‘—) ≀ 𝑋 ∧ 𝑋 < (π‘ƒβ€˜(𝑗 + 1)))) β†’ 𝑖 = 𝑗))
9998expcom 415 . . . . . . 7 (𝑗 < 𝑖 β†’ ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀))) β†’ (((𝑋 ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜π‘–) ≀ 𝑋 ∧ 𝑋 < (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))) ∧ (𝑋 ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜π‘—) ≀ 𝑋 ∧ 𝑋 < (π‘ƒβ€˜(𝑗 + 1)))) β†’ 𝑖 = 𝑗)))
10076, 77, 993jaoi 1428 . . . . . 6 ((𝑖 < 𝑗 ∨ 𝑖 = 𝑗 ∨ 𝑗 < 𝑖) β†’ ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀))) β†’ (((𝑋 ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜π‘–) ≀ 𝑋 ∧ 𝑋 < (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))) ∧ (𝑋 ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜π‘—) ≀ 𝑋 ∧ 𝑋 < (π‘ƒβ€˜(𝑗 + 1)))) β†’ 𝑖 = 𝑗)))
10153, 100mpcom 38 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀))) β†’ (((𝑋 ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜π‘–) ≀ 𝑋 ∧ 𝑋 < (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))) ∧ (𝑋 ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜π‘—) ≀ 𝑋 ∧ 𝑋 < (π‘ƒβ€˜(𝑗 + 1)))) β†’ 𝑖 = 𝑗))
10245, 101sylbid 239 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀))) β†’ ((𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))) ∧ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘—)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑗 + 1)))) β†’ 𝑖 = 𝑗))
103102ralrimivva 3194 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)βˆ€π‘— ∈ (0..^𝑀)((𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))) ∧ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘—)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑗 + 1)))) β†’ 𝑖 = 𝑗))
104103adantr 482 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜0)[,)(π‘ƒβ€˜π‘€))) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)βˆ€π‘— ∈ (0..^𝑀)((𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))) ∧ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘—)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑗 + 1)))) β†’ 𝑖 = 𝑗))
105 fveq2 6846 . . . . 5 (𝑖 = 𝑗 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) = (π‘ƒβ€˜π‘—))
106 fvoveq1 7384 . . . . 5 (𝑖 = 𝑗 β†’ (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) = (π‘ƒβ€˜(𝑗 + 1)))
107105, 106oveq12d 7379 . . . 4 (𝑖 = 𝑗 β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))) = ((π‘ƒβ€˜π‘—)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑗 + 1))))
108107eleq2d 2820 . . 3 (𝑖 = 𝑗 β†’ (𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))) ↔ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘—)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑗 + 1)))))
109108reu4 3693 . 2 (βˆƒ!𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))) ↔ (βˆƒπ‘– ∈ (0..^𝑀)𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)βˆ€π‘— ∈ (0..^𝑀)((𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))) ∧ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘—)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑗 + 1)))) β†’ 𝑖 = 𝑗)))
11020, 104, 109sylanbrc 584 1 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜0)[,)(π‘ƒβ€˜π‘€))) β†’ βˆƒ!𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑋 ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘–)[,)(π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ w3o 1087   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  βˆƒ!wreu 3350   class class class wbr 5109  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  β„cr 11058  0cc0 11059  1c1 11060   + caddc 11062  β„*cxr 11196   < clt 11197   ≀ cle 11198  β„•cn 12161  [,)cico 13275  ...cfz 13433  ..^cfzo 13576  RePartciccp 45695
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-ico 13279  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-iccp 45696
This theorem is referenced by:  iccpartdisj  45719
  Copyright terms: Public domain W3C validator