Theorem nmf2 24927

Description: The norm on a metric group is a function from the base set into the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmf2.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
nmf2.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑊)
nmf2.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝑊)
nmf2.e	⊢ 𝐸 = (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))

Assertion

Ref	Expression
nmf2	⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∈ (Met‘𝑋)) → 𝑁:𝑋⟶ℝ)

Proof of Theorem nmf2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmf2.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
2		nmf2.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑊)
3		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
4		nmf2.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝑊)
5		nmf2.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))
6	1, 2, 3, 4, 5	nmfval2 24925	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → 𝑁 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑥𝐸(0g‘𝑊))))
7	6	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∈ (Met‘𝑋)) → 𝑁 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑥𝐸(0g‘𝑊))))
8	2, 3	grpidcl 19191	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → (0g‘𝑊) ∈ 𝑋)
9		metcl 24666	. . . . 5 ⊢ ((𝐸 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (0g‘𝑊) ∈ 𝑋) → (𝑥𝐸(0g‘𝑊)) ∈ ℝ)
10	9	3comr 1143	. . . 4 ⊢ (((0g‘𝑊) ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥𝐸(0g‘𝑊)) ∈ ℝ)
11	8, 10	syl3an1 1181	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥𝐸(0g‘𝑊)) ∈ ℝ)
12	11	3expa 1136	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∈ (Met‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥𝐸(0g‘𝑊)) ∈ ℝ)
13	7, 12	fmpt3d 7127	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∈ (Met‘𝑋)) → 𝑁:𝑋⟶ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   ↦ cmpt 5189   × cxp 5653   ↾ cres 5657  ⟶wf 6543  ‘cfv 6547  (class class class)co 7430  ℝcr 11212  Basecbs 17402  distcds 17452  0_gc0g 17625  Grpcgrp 19159  Metcmet 21679  normcnm 24910

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-fv 6555  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-map 8863  df-0g 17627  df-mgm 18831  df-sgrp 18923  df-mnd 18939  df-grp 19162  df-met 21687  df-nm 24916

This theorem is used by:  isngp2  24931  isngp3  24932  nmf  24949