Theorem nmf2 24803

Description: The norm on a metric group is a function from the base set into the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmf2.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
nmf2.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑊)
nmf2.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝑊)
nmf2.e	⊢ 𝐸 = (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))

Assertion

Ref	Expression
nmf2	⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∈ (Met‘𝑋)) → 𝑁:𝑋⟶ℝ)

Proof of Theorem nmf2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmf2.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
2		nmf2.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑊)
3		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
4		nmf2.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝑊)
5		nmf2.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))
6	1, 2, 3, 4, 5	nmfval2 24801	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → 𝑁 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑥𝐸(0g‘𝑊))))
7	6	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∈ (Met‘𝑋)) → 𝑁 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑥𝐸(0g‘𝑊))))
8	2, 3	grpidcl 19078	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → (0g‘𝑊) ∈ 𝑋)
9		metcl 24542	. . . . 5 ⊢ ((𝐸 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (0g‘𝑊) ∈ 𝑋) → (𝑥𝐸(0g‘𝑊)) ∈ ℝ)
10	9	3comr 1143	. . . 4 ⊢ (((0g‘𝑊) ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥𝐸(0g‘𝑊)) ∈ ℝ)
11	8, 10	syl3an1 1181	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥𝐸(0g‘𝑊)) ∈ ℝ)
12	11	3expa 1136	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∈ (Met‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥𝐸(0g‘𝑊)) ∈ ℝ)
13	7, 12	fmpt3d 7115	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∈ (Met‘𝑋)) → 𝑁:𝑋⟶ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ↦ cmpt 5194   × cxp 5661   ↾ cres 5665  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  ℝcr 11116  Basecbs 17293  distcds 17343  0_gc0g 17516  Grpcgrp 19046  Metcmet 21560  normcnm 24786

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-map 8832  df-0g 17518  df-mgm 18722  df-sgrp 18811  df-mnd 18827  df-grp 19049  df-met 21568  df-nm 24792

This theorem is used by:  isngp2  24807  isngp3  24808  nmf  24825