Theorem nmf2 24508

Description: The norm on a metric group is a function from the base set into the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmf2.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
nmf2.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑊)
nmf2.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝑊)
nmf2.e	⊢ 𝐸 = (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))

Assertion

Ref	Expression
nmf2	⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∈ (Met‘𝑋)) → 𝑁:𝑋⟶ℝ)

Proof of Theorem nmf2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmf2.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
2		nmf2.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑊)
3		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
4		nmf2.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝑊)
5		nmf2.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))
6	1, 2, 3, 4, 5	nmfval2 24506	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → 𝑁 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑥𝐸(0g‘𝑊))))
7	6	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∈ (Met‘𝑋)) → 𝑁 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑥𝐸(0g‘𝑊))))
8	2, 3	grpidcl 18878	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → (0g‘𝑊) ∈ 𝑋)
9		metcl 24247	. . . . 5 ⊢ ((𝐸 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (0g‘𝑊) ∈ 𝑋) → (𝑥𝐸(0g‘𝑊)) ∈ ℝ)
10	9	3comr 1125	. . . 4 ⊢ (((0g‘𝑊) ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥𝐸(0g‘𝑊)) ∈ ℝ)
11	8, 10	syl3an1 1163	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥𝐸(0g‘𝑊)) ∈ ℝ)
12	11	3expa 1118	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∈ (Met‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥𝐸(0g‘𝑊)) ∈ ℝ)
13	7, 12	fmpt3d 7049	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∈ (Met‘𝑋)) → 𝑁:𝑋⟶ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ↦ cmpt 5170   × cxp 5612   ↾ cres 5616  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℝcr 11005  Basecbs 17120  distcds 17170  0_gc0g 17343  Grpcgrp 18846  Metcmet 21277  normcnm 24491

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-map 8752  df-0g 17345  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-grp 18849  df-met 21285  df-nm 24497

This theorem is referenced by:  isngp2  24512  isngp3  24513  nmf  24530