Theorem nmf2 24552

Description: The norm on a metric group is a function from the base set into the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmf2.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
nmf2.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑊)
nmf2.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝑊)
nmf2.e	⊢ 𝐸 = (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))

Assertion

Ref	Expression
nmf2	⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∈ (Met‘𝑋)) → 𝑁:𝑋⟶ℝ)

Proof of Theorem nmf2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmf2.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
2		nmf2.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑊)
3		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
4		nmf2.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝑊)
5		nmf2.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))
6	1, 2, 3, 4, 5	nmfval2 24550	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → 𝑁 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑥𝐸(0g‘𝑊))))
7	6	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∈ (Met‘𝑋)) → 𝑁 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑥𝐸(0g‘𝑊))))
8	2, 3	grpidcl 18910	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → (0g‘𝑊) ∈ 𝑋)
9		metcl 24291	. . . . 5 ⊢ ((𝐸 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (0g‘𝑊) ∈ 𝑋) → (𝑥𝐸(0g‘𝑊)) ∈ ℝ)
10	9	3comr 1126	. . . 4 ⊢ (((0g‘𝑊) ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥𝐸(0g‘𝑊)) ∈ ℝ)
11	8, 10	syl3an1 1164	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥𝐸(0g‘𝑊)) ∈ ℝ)
12	11	3expa 1119	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∈ (Met‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥𝐸(0g‘𝑊)) ∈ ℝ)
13	7, 12	fmpt3d 7070	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∈ (Met‘𝑋)) → 𝑁:𝑋⟶ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ↦ cmpt 5181   × cxp 5630   ↾ cres 5634  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ℝcr 11037  Basecbs 17148  distcds 17198  0_gc0g 17371  Grpcgrp 18878  Metcmet 21310  normcnm 24535

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-map 8777  df-0g 17373  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-grp 18881  df-met 21318  df-nm 24541

This theorem is referenced by:  isngp2  24556  isngp3  24557  nmf  24574