Theorem nmf 24530

Description: The norm on a normed group is a function into the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmf.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
nmf.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
nmf	⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝑁:𝑋⟶ℝ)

Proof of Theorem nmf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ngpgrp 24514	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ Grp)
2		nmf.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
3		eqid 2731	. . 3 ⊢ ((dist‘𝐺) ↾ (𝑋 × 𝑋)) = ((dist‘𝐺) ↾ (𝑋 × 𝑋))
4	2, 3	ngpmet 24518	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → ((dist‘𝐺) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ∈ (Met‘𝑋))
5		nmf.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
6		eqid 2731	. . 3 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
7	5, 2, 6, 3	nmf2 24508	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((dist‘𝐺) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ∈ (Met‘𝑋)) → 𝑁:𝑋⟶ℝ)
8	1, 4, 7	syl2anc 584	1 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝑁:𝑋⟶ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   × cxp 5612   ↾ cres 5616  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  ℝcr 11005  Basecbs 17120  distcds 17170  Grpcgrp 18846  Metcmet 21277  normcnm 24491  NrmGrpcngp 24492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-sup 9326  df-inf 9327  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-q 12847  df-rp 12891  df-xneg 13011  df-xadd 13012  df-xmul 13013  df-0g 17345  df-topgen 17347  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-grp 18849  df-psmet 21283  df-xmet 21284  df-met 21285  df-bl 21286  df-mopn 21287  df-top 22809  df-topon 22826  df-topsp 22848  df-bases 22861  df-xms 24235  df-ms 24236  df-nm 24497  df-ngp 24498

This theorem is referenced by:  nmcl  24531  ngpi  24543  nrmtngnrm  24573  tngngpim  24574  ncvsi  25078