Theorem nmf 24517

Description: The norm on a normed group is a function into the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmf.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
nmf.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
nmf	⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝑁:𝑋⟶ℝ)

Proof of Theorem nmf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ngpgrp 24501	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ Grp)
2		nmf.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
3		eqid 2727	. . 3 ⊢ ((dist‘𝐺) ↾ (𝑋 × 𝑋)) = ((dist‘𝐺) ↾ (𝑋 × 𝑋))
4	2, 3	ngpmet 24505	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → ((dist‘𝐺) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ∈ (Met‘𝑋))
5		nmf.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
6		eqid 2727	. . 3 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
7	5, 2, 6, 3	nmf2 24495	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((dist‘𝐺) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ∈ (Met‘𝑋)) → 𝑁:𝑋⟶ℝ)
8	1, 4, 7	syl2anc 583	1 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝑁:𝑋⟶ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   × cxp 5670   ↾ cres 5674  ⟶wf 6538  ‘cfv 6542  ℝcr 11131  Basecbs 17173  distcds 17235  Grpcgrp 18883  Metcmet 21258  normcnm 24478  NrmGrpcngp 24479

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209  ax-pre-sup 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-sup 9459  df-inf 9460  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896  df-nn 12237  df-2 12299  df-n0 12497  df-z 12583  df-uz 12847  df-q 12957  df-rp 13001  df-xneg 13118  df-xadd 13119  df-xmul 13120  df-0g 17416  df-topgen 17418  df-mgm 18593  df-sgrp 18672  df-mnd 18688  df-grp 18886  df-psmet 21264  df-xmet 21265  df-met 21266  df-bl 21267  df-mopn 21268  df-top 22789  df-topon 22806  df-topsp 22828  df-bases 22842  df-xms 24219  df-ms 24220  df-nm 24484  df-ngp 24485

This theorem is referenced by:  nmcl  24518  ngpi  24530  nrmtngnrm  24568  tngngpim  24569  ncvsi  25072