Theorem nmf 24446

Description: The norm on a normed group is a function into the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmf.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
nmf.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
nmf	⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝑁:𝑋⟶ℝ)

Proof of Theorem nmf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ngpgrp 24430	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ Grp)
2		nmf.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
3		eqid 2724	. . 3 ⊢ ((dist‘𝐺) ↾ (𝑋 × 𝑋)) = ((dist‘𝐺) ↾ (𝑋 × 𝑋))
4	2, 3	ngpmet 24434	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → ((dist‘𝐺) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ∈ (Met‘𝑋))
5		nmf.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
6		eqid 2724	. . 3 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
7	5, 2, 6, 3	nmf2 24424	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((dist‘𝐺) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ∈ (Met‘𝑋)) → 𝑁:𝑋⟶ℝ)
8	1, 4, 7	syl2anc 583	1 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝑁:𝑋⟶ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   × cxp 5664   ↾ cres 5668  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  ℝcr 11105  Basecbs 17143  distcds 17205  Grpcgrp 18853  Metcmet 21214  normcnm 24407  NrmGrpcngp 24408

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-0g 17386  df-topgen 17388  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-grp 18856  df-psmet 21220  df-xmet 21221  df-met 21222  df-bl 21223  df-mopn 21224  df-top 22718  df-topon 22735  df-topsp 22757  df-bases 22771  df-xms 24148  df-ms 24149  df-nm 24413  df-ngp 24414

This theorem is referenced by:  nmcl  24447  ngpi  24459  nrmtngnrm  24497  tngngpim  24498  ncvsi  25001