Theorem isngp2 24466

Description: The property of being a normed group. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isngp.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
isngp.z	⊢ − = (-g‘𝐺)
isngp.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝐺)
isngp2.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
isngp2.e	⊢ 𝐸 = (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))

Assertion

Ref	Expression
isngp2	⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ (𝑁 ∘ − ) = 𝐸))

Proof of Theorem isngp2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isngp.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
2		isngp.z	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝐺)
3		isngp.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝐺)
4	1, 2, 3	isngp 24465	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ (𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐷))
5		isngp2.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))
6		resss 5946	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) ⊆ 𝐷
7	5, 6	eqsstri 3978	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 ⊆ 𝐷
8		sseq1 3957	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∘ − ) = 𝐸 → ((𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐷 ↔ 𝐸 ⊆ 𝐷))
9	7, 8	mpbiri 258	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∘ − ) = 𝐸 → (𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐷)
10		isngp2.x	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
11	3	reseq1i 5920	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) = ((dist‘𝐺) ↾ (𝑋 × 𝑋))
12	5, 11	eqtri 2752	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐸 = ((dist‘𝐺) ↾ (𝑋 × 𝑋))
13	10, 12	msmet 24326	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ MetSp → 𝐸 ∈ (Met‘𝑋))
14	1, 10, 3, 5	nmf2 24462	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∈ (Met‘𝑋)) → 𝑁:𝑋⟶ℝ)
15	13, 14	sylan2 593	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) → 𝑁:𝑋⟶ℝ)
16	10, 2	grpsubf 18885	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → − :(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
17	16	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐷) → − :(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
18		fco 6670	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁:𝑋⟶ℝ ∧ − :(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋) → (𝑁 ∘ − ):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
19	15, 17, 18	syl2an2r 685	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐷) → (𝑁 ∘ − ):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
20	19	fdmd 6656	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐷) → dom (𝑁 ∘ − ) = (𝑋 × 𝑋))
21	20	reseq2d 5924	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐷) → (𝐸 ↾ dom (𝑁 ∘ − )) = (𝐸 ↾ (𝑋 × 𝑋)))
22	10, 12	msf 24327	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ MetSp → 𝐸:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
23	22	ad2antlr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐷) → 𝐸:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
24	23	ffund 6650	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐷) → Fun 𝐸)
25		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐷) → (𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐷)
26		ssv 3956	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℝ ⊆ V
27		fss 6662	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∘ − ):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ V) → (𝑁 ∘ − ):(𝑋 × 𝑋)⟶V)
28	19, 26, 27	sylancl 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐷) → (𝑁 ∘ − ):(𝑋 × 𝑋)⟶V)
29		fssxp 6673	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∘ − ):(𝑋 × 𝑋)⟶V → (𝑁 ∘ − ) ⊆ ((𝑋 × 𝑋) × V))
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐷) → (𝑁 ∘ − ) ⊆ ((𝑋 × 𝑋) × V))
31	25, 30	ssind 4188	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐷) → (𝑁 ∘ − ) ⊆ (𝐷 ∩ ((𝑋 × 𝑋) × V)))
32		df-res 5625	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) = (𝐷 ∩ ((𝑋 × 𝑋) × V))
33	5, 32	eqtri 2752	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐸 = (𝐷 ∩ ((𝑋 × 𝑋) × V))
34	31, 33	sseqtrrdi 3973	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐷) → (𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐸)
35		funssres 6520	. . . . . . . 8 ⊢ ((Fun 𝐸 ∧ (𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐸) → (𝐸 ↾ dom (𝑁 ∘ − )) = (𝑁 ∘ − ))
36	24, 34, 35	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐷) → (𝐸 ↾ dom (𝑁 ∘ − )) = (𝑁 ∘ − ))
37		ffn 6646	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ → 𝐸 Fn (𝑋 × 𝑋))
38		fnresdm 6595	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸 Fn (𝑋 × 𝑋) → (𝐸 ↾ (𝑋 × 𝑋)) = 𝐸)
39	23, 37, 38	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐷) → (𝐸 ↾ (𝑋 × 𝑋)) = 𝐸)
40	21, 36, 39	3eqtr3d 2772	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐷) → (𝑁 ∘ − ) = 𝐸)
41	40	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) → ((𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐷 → (𝑁 ∘ − ) = 𝐸))
42	9, 41	impbid2 226	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) → ((𝑁 ∘ − ) = 𝐸 ↔ (𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐷))
43	42	pm5.32i 574	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ∘ − ) = 𝐸) ↔ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐷))
44		df-3an 1088	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ (𝑁 ∘ − ) = 𝐸) ↔ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ∘ − ) = 𝐸))
45		df-3an 1088	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ (𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐷) ↔ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐷))
46	43, 44, 45	3bitr4i 303	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ (𝑁 ∘ − ) = 𝐸) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ (𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐷))
47	4, 46	bitr4i 278	1 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ (𝑁 ∘ − ) = 𝐸))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3433   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899   × cxp 5611  dom cdm 5613   ↾ cres 5615   ∘ ccom 5617  Fun wfun 6470   Fn wfn 6471  ⟶wf 6472  ‘cfv 6476  ℝcr 10996  Basecbs 17107  distcds 17157  Grpcgrp 18799  -_gcsg 18801  Metcmet 21231  MetSpcms 24187  normcnm 24445  NrmGrpcngp 24446

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5367  ax-un 7662  ax-cnex 11053  ax-resscn 11054  ax-1cn 11055  ax-icn 11056  ax-addcl 11057  ax-addrcl 11058  ax-mulcl 11059  ax-mulrcl 11060  ax-mulcom 11061  ax-addass 11062  ax-mulass 11063  ax-distr 11064  ax-i2m1 11065  ax-1ne0 11066  ax-1rid 11067  ax-rnegex 11068  ax-rrecex 11069  ax-cnre 11070  ax-pre-lttri 11071  ax-pre-lttrn 11072  ax-pre-ltadd 11073  ax-pre-mulgt0 11074  ax-pre-sup 11075

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3393  df-v 3435  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4940  df-br 5089  df-opab 5151  df-mpt 5170  df-tr 5196  df-id 5508  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5566  df-we 5568  df-xp 5619  df-rel 5620  df-cnv 5621  df-co 5622  df-dm 5623  df-rn 5624  df-res 5625  df-ima 5626  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7297  df-ov 7343  df-oprab 7344  df-mpo 7345  df-om 7791  df-1st 7915  df-2nd 7916  df-frecs 8205  df-wrecs 8236  df-recs 8285  df-rdg 8323  df-er 8616  df-map 8746  df-en 8864  df-dom 8865  df-sdom 8866  df-sup 9320  df-inf 9321  df-pnf 11139  df-mnf 11140  df-xr 11141  df-ltxr 11142  df-le 11143  df-sub 11337  df-neg 11338  df-div 11766  df-nn 12117  df-2 12179  df-n0 12373  df-z 12460  df-uz 12724  df-q 12838  df-rp 12882  df-xneg 13002  df-xadd 13003  df-xmul 13004  df-0g 17332  df-topgen 17334  df-mgm 18501  df-sgrp 18580  df-mnd 18596  df-grp 18802  df-minusg 18803  df-sbg 18804  df-psmet 21237  df-xmet 21238  df-met 21239  df-bl 21240  df-mopn 21241  df-top 22763  df-topon 22780  df-topsp 22802  df-bases 22815  df-xms 24189  df-ms 24190  df-nm 24451  df-ngp 24452

This theorem is referenced by:  isngp3  24467  ngpds  24473  ngppropd  24506  nrmtngdist  24526