Theorem isngp2 24550

Description: The property of being a normed group. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isngp.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
isngp.z	⊢ − = (-g‘𝐺)
isngp.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝐺)
isngp2.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
isngp2.e	⊢ 𝐸 = (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))

Assertion

Ref	Expression
isngp2	⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ (𝑁 ∘ − ) = 𝐸))

Proof of Theorem isngp2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isngp.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
2		isngp.z	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝐺)
3		isngp.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝐺)
4	1, 2, 3	isngp 24549	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ (𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐷))
5		isngp2.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))
6		resss 6007	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) ⊆ 𝐷
7	5, 6	eqsstri 4011	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 ⊆ 𝐷
8		sseq1 4002	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∘ − ) = 𝐸 → ((𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐷 ↔ 𝐸 ⊆ 𝐷))
9	7, 8	mpbiri 257	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∘ − ) = 𝐸 → (𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐷)
10		isngp2.x	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
11	3	reseq1i 5981	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) = ((dist‘𝐺) ↾ (𝑋 × 𝑋))
12	5, 11	eqtri 2753	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐸 = ((dist‘𝐺) ↾ (𝑋 × 𝑋))
13	10, 12	msmet 24407	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ MetSp → 𝐸 ∈ (Met‘𝑋))
14	1, 10, 3, 5	nmf2 24546	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∈ (Met‘𝑋)) → 𝑁:𝑋⟶ℝ)
15	13, 14	sylan2 591	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) → 𝑁:𝑋⟶ℝ)
16	10, 2	grpsubf 18983	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → − :(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
17	16	ad2antrr 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐷) → − :(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
18		fco 6747	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁:𝑋⟶ℝ ∧ − :(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋) → (𝑁 ∘ − ):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
19	15, 17, 18	syl2an2r 683	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐷) → (𝑁 ∘ − ):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
20	19	fdmd 6733	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐷) → dom (𝑁 ∘ − ) = (𝑋 × 𝑋))
21	20	reseq2d 5985	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐷) → (𝐸 ↾ dom (𝑁 ∘ − )) = (𝐸 ↾ (𝑋 × 𝑋)))
22	10, 12	msf 24408	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ MetSp → 𝐸:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
23	22	ad2antlr 725	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐷) → 𝐸:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
24	23	ffund 6727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐷) → Fun 𝐸)
25		simpr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐷) → (𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐷)
26		ssv 4001	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℝ ⊆ V
27		fss 6739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∘ − ):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ V) → (𝑁 ∘ − ):(𝑋 × 𝑋)⟶V)
28	19, 26, 27	sylancl 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐷) → (𝑁 ∘ − ):(𝑋 × 𝑋)⟶V)
29		fssxp 6751	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∘ − ):(𝑋 × 𝑋)⟶V → (𝑁 ∘ − ) ⊆ ((𝑋 × 𝑋) × V))
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐷) → (𝑁 ∘ − ) ⊆ ((𝑋 × 𝑋) × V))
31	25, 30	ssind 4231	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐷) → (𝑁 ∘ − ) ⊆ (𝐷 ∩ ((𝑋 × 𝑋) × V)))
32		df-res 5690	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) = (𝐷 ∩ ((𝑋 × 𝑋) × V))
33	5, 32	eqtri 2753	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐸 = (𝐷 ∩ ((𝑋 × 𝑋) × V))
34	31, 33	sseqtrrdi 4028	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐷) → (𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐸)
35		funssres 6598	. . . . . . . 8 ⊢ ((Fun 𝐸 ∧ (𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐸) → (𝐸 ↾ dom (𝑁 ∘ − )) = (𝑁 ∘ − ))
36	24, 34, 35	syl2anc 582	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐷) → (𝐸 ↾ dom (𝑁 ∘ − )) = (𝑁 ∘ − ))
37		ffn 6723	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ → 𝐸 Fn (𝑋 × 𝑋))
38		fnresdm 6675	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸 Fn (𝑋 × 𝑋) → (𝐸 ↾ (𝑋 × 𝑋)) = 𝐸)
39	23, 37, 38	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐷) → (𝐸 ↾ (𝑋 × 𝑋)) = 𝐸)
40	21, 36, 39	3eqtr3d 2773	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐷) → (𝑁 ∘ − ) = 𝐸)
41	40	ex 411	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) → ((𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐷 → (𝑁 ∘ − ) = 𝐸))
42	9, 41	impbid2 225	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) → ((𝑁 ∘ − ) = 𝐸 ↔ (𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐷))
43	42	pm5.32i 573	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ∘ − ) = 𝐸) ↔ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐷))
44		df-3an 1086	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ (𝑁 ∘ − ) = 𝐸) ↔ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ∘ − ) = 𝐸))
45		df-3an 1086	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ (𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐷) ↔ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐷))
46	43, 44, 45	3bitr4i 302	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ (𝑁 ∘ − ) = 𝐸) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ (𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐷))
47	4, 46	bitr4i 277	1 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ (𝑁 ∘ − ) = 𝐸))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3461   ∩ cin 3943   ⊆ wss 3944   × cxp 5676  dom cdm 5678   ↾ cres 5680   ∘ ccom 5682  Fun wfun 6543   Fn wfn 6544  ⟶wf 6545  ‘cfv 6549  ℝcr 11139  Basecbs 17183  distcds 17245  Grpcgrp 18898  -_gcsg 18900  Metcmet 21282  MetSpcms 24268  normcnm 24529  NrmGrpcngp 24530

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9467  df-inf 9468  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-q 12966  df-rp 13010  df-xneg 13127  df-xadd 13128  df-xmul 13129  df-0g 17426  df-topgen 17428  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-sbg 18903  df-psmet 21288  df-xmet 21289  df-met 21290  df-bl 21291  df-mopn 21292  df-top 22840  df-topon 22857  df-topsp 22879  df-bases 22893  df-xms 24270  df-ms 24271  df-nm 24535  df-ngp 24536

This theorem is referenced by:  isngp3  24551  ngpds  24557  ngppropd  24590  nrmtngdist  24618