Theorem isngp2 24631

Description: The property of being a normed group. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isngp.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
isngp.z	⊢ − = (-g‘𝐺)
isngp.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝐺)
isngp2.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
isngp2.e	⊢ 𝐸 = (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))

Assertion

Ref	Expression
isngp2	⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ (𝑁 ∘ − ) = 𝐸))

Proof of Theorem isngp2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isngp.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
2		isngp.z	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝐺)
3		isngp.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝐺)
4	1, 2, 3	isngp 24630	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ (𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐷))
5		isngp2.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))
6		resss 6031	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) ⊆ 𝐷
7	5, 6	eqsstri 4043	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 ⊆ 𝐷
8		sseq1 4034	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∘ − ) = 𝐸 → ((𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐷 ↔ 𝐸 ⊆ 𝐷))
9	7, 8	mpbiri 258	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∘ − ) = 𝐸 → (𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐷)
10		isngp2.x	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
11	3	reseq1i 6005	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) = ((dist‘𝐺) ↾ (𝑋 × 𝑋))
12	5, 11	eqtri 2768	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐸 = ((dist‘𝐺) ↾ (𝑋 × 𝑋))
13	10, 12	msmet 24488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ MetSp → 𝐸 ∈ (Met‘𝑋))
14	1, 10, 3, 5	nmf2 24627	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∈ (Met‘𝑋)) → 𝑁:𝑋⟶ℝ)
15	13, 14	sylan2 592	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) → 𝑁:𝑋⟶ℝ)
16	10, 2	grpsubf 19059	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → − :(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
17	16	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐷) → − :(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
18		fco 6771	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁:𝑋⟶ℝ ∧ − :(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋) → (𝑁 ∘ − ):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
19	15, 17, 18	syl2an2r 684	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐷) → (𝑁 ∘ − ):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
20	19	fdmd 6757	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐷) → dom (𝑁 ∘ − ) = (𝑋 × 𝑋))
21	20	reseq2d 6009	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐷) → (𝐸 ↾ dom (𝑁 ∘ − )) = (𝐸 ↾ (𝑋 × 𝑋)))
22	10, 12	msf 24489	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ MetSp → 𝐸:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
23	22	ad2antlr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐷) → 𝐸:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
24	23	ffund 6751	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐷) → Fun 𝐸)
25		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐷) → (𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐷)
26		ssv 4033	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℝ ⊆ V
27		fss 6763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∘ − ):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ V) → (𝑁 ∘ − ):(𝑋 × 𝑋)⟶V)
28	19, 26, 27	sylancl 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐷) → (𝑁 ∘ − ):(𝑋 × 𝑋)⟶V)
29		fssxp 6775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∘ − ):(𝑋 × 𝑋)⟶V → (𝑁 ∘ − ) ⊆ ((𝑋 × 𝑋) × V))
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐷) → (𝑁 ∘ − ) ⊆ ((𝑋 × 𝑋) × V))
31	25, 30	ssind 4262	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐷) → (𝑁 ∘ − ) ⊆ (𝐷 ∩ ((𝑋 × 𝑋) × V)))
32		df-res 5712	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) = (𝐷 ∩ ((𝑋 × 𝑋) × V))
33	5, 32	eqtri 2768	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐸 = (𝐷 ∩ ((𝑋 × 𝑋) × V))
34	31, 33	sseqtrrdi 4060	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐷) → (𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐸)
35		funssres 6622	. . . . . . . 8 ⊢ ((Fun 𝐸 ∧ (𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐸) → (𝐸 ↾ dom (𝑁 ∘ − )) = (𝑁 ∘ − ))
36	24, 34, 35	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐷) → (𝐸 ↾ dom (𝑁 ∘ − )) = (𝑁 ∘ − ))
37		ffn 6747	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ → 𝐸 Fn (𝑋 × 𝑋))
38		fnresdm 6699	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸 Fn (𝑋 × 𝑋) → (𝐸 ↾ (𝑋 × 𝑋)) = 𝐸)
39	23, 37, 38	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐷) → (𝐸 ↾ (𝑋 × 𝑋)) = 𝐸)
40	21, 36, 39	3eqtr3d 2788	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐷) → (𝑁 ∘ − ) = 𝐸)
41	40	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) → ((𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐷 → (𝑁 ∘ − ) = 𝐸))
42	9, 41	impbid2 226	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) → ((𝑁 ∘ − ) = 𝐸 ↔ (𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐷))
43	42	pm5.32i 574	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ∘ − ) = 𝐸) ↔ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐷))
44		df-3an 1089	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ (𝑁 ∘ − ) = 𝐸) ↔ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ∘ − ) = 𝐸))
45		df-3an 1089	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ (𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐷) ↔ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐷))
46	43, 44, 45	3bitr4i 303	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ (𝑁 ∘ − ) = 𝐸) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ (𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐷))
47	4, 46	bitr4i 278	1 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ (𝑁 ∘ − ) = 𝐸))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488   ∩ cin 3975   ⊆ wss 3976   × cxp 5698  dom cdm 5700   ↾ cres 5702   ∘ ccom 5704  Fun wfun 6567   Fn wfn 6568  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  ℝcr 11183  Basecbs 17258  distcds 17320  Grpcgrp 18973  -_gcsg 18975  Metcmet 21373  MetSpcms 24349  normcnm 24610  NrmGrpcngp 24611

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-sup 9511  df-inf 9512  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-xneg 13175  df-xadd 13176  df-xmul 13177  df-0g 17501  df-topgen 17503  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-psmet 21379  df-xmet 21380  df-met 21381  df-bl 21382  df-mopn 21383  df-top 22921  df-topon 22938  df-topsp 22960  df-bases 22974  df-xms 24351  df-ms 24352  df-nm 24616  df-ngp 24617

This theorem is referenced by:  isngp3  24632  ngpds  24638  ngppropd  24671  nrmtngdist  24699