Theorem isngp2 24931

Description: The property of being a normed group. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isngp.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
isngp.z	⊢ − = (-g‘𝐺)
isngp.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝐺)
isngp2.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
isngp2.e	⊢ 𝐸 = (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))

Assertion

Ref	Expression
isngp2	⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ (𝑁 ∘ − ) = 𝐸))

Proof of Theorem isngp2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isngp.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
2		isngp.z	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝐺)
3		isngp.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝐺)
4	1, 2, 3	isngp 24930	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ (𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐷))
5		isngp2.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))
6		resss 5997	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) ⊆ 𝐷
7	5, 6	eqsstri 3959	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 ⊆ 𝐷
8		sseq1 3938	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∘ − ) = 𝐸 → ((𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐷 ↔ 𝐸 ⊆ 𝐷))
9	7, 8	mpbiri 261	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∘ − ) = 𝐸 → (𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐷)
10		isngp2.x	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
11	3	reseq1i 5971	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) = ((dist‘𝐺) ↾ (𝑋 × 𝑋))
12	5, 11	eqtri 2786	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐸 = ((dist‘𝐺) ↾ (𝑋 × 𝑋))
13	10, 12	msmet 24791	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ MetSp → 𝐸 ∈ (Met‘𝑋))
14	1, 10, 3, 5	nmf2 24927	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∈ (Met‘𝑋)) → 𝑁:𝑋⟶ℝ)
15	13, 14	sylan2 605	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) → 𝑁:𝑋⟶ℝ)
16	10, 2	grpsubf 19244	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → − :(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
17	16	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐷) → − :(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
18		fco 6745	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁:𝑋⟶ℝ ∧ − :(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋) → (𝑁 ∘ − ):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
19	15, 17, 18	syl2an2r 698	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐷) → (𝑁 ∘ − ):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
20	19	fdmd 6731	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐷) → dom (𝑁 ∘ − ) = (𝑋 × 𝑋))
21	20	reseq2d 5975	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐷) → (𝐸 ↾ dom (𝑁 ∘ − )) = (𝐸 ↾ (𝑋 × 𝑋)))
22	10, 12	msf 24792	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ MetSp → 𝐸:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
23	22	ad2antlr 740	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐷) → 𝐸:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
24	23	ffund 6725	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐷) → Fun 𝐸)
25		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐷) → (𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐷)
26		ssv 3937	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℝ ⊆ V
27		fss 6737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∘ − ):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ V) → (𝑁 ∘ − ):(𝑋 × 𝑋)⟶V)
28	19, 26, 27	sylancl 598	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐷) → (𝑁 ∘ − ):(𝑋 × 𝑋)⟶V)
29		fssxp 6748	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∘ − ):(𝑋 × 𝑋)⟶V → (𝑁 ∘ − ) ⊆ ((𝑋 × 𝑋) × V))
30	28, 29	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐷) → (𝑁 ∘ − ) ⊆ ((𝑋 × 𝑋) × V))
31	25, 30	ssind 4140	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐷) → (𝑁 ∘ − ) ⊆ (𝐷 ∩ ((𝑋 × 𝑋) × V)))
32		df-res 5667	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) = (𝐷 ∩ ((𝑋 × 𝑋) × V))
33	5, 32	eqtri 2786	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐸 = (𝐷 ∩ ((𝑋 × 𝑋) × V))
34	31, 33	sseqtrrdi 3954	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐷) → (𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐸)
35		funssres 6593	. . . . . . . 8 ⊢ ((Fun 𝐸 ∧ (𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐸) → (𝐸 ↾ dom (𝑁 ∘ − )) = (𝑁 ∘ − ))
36	24, 34, 35	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐷) → (𝐸 ↾ dom (𝑁 ∘ − )) = (𝑁 ∘ − ))
37		ffn 6720	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ → 𝐸 Fn (𝑋 × 𝑋))
38		fnresdm 6669	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸 Fn (𝑋 × 𝑋) → (𝐸 ↾ (𝑋 × 𝑋)) = 𝐸)
39	23, 37, 38	3syl 19	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐷) → (𝐸 ↾ (𝑋 × 𝑋)) = 𝐸)
40	21, 36, 39	3eqtr3d 2806	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐷) → (𝑁 ∘ − ) = 𝐸)
41	40	ex 418	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) → ((𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐷 → (𝑁 ∘ − ) = 𝐸))
42	9, 41	impbid2 229	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) → ((𝑁 ∘ − ) = 𝐸 ↔ (𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐷))
43	42	pm5.32i 585	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ∘ − ) = 𝐸) ↔ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐷))
44		df-3an 1105	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ (𝑁 ∘ − ) = 𝐸) ↔ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ∘ − ) = 𝐸))
45		df-3an 1105	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ (𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐷) ↔ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐷))
46	43, 44, 45	3bitr4i 306	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ (𝑁 ∘ − ) = 𝐸) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ (𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐷))
47	4, 46	bitr4i 281	1 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ (𝑁 ∘ − ) = 𝐸))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   ∩ cin 4092   × cxp 5653  dom cdm 5655   ↾ cres 5657   ∘ ccom 5659  Fun wfun 6541   Fn wfn 6542  ⟶wf 6543  ‘cfv 6547  ℝcr 11212  Basecbs 17402  distcds 17452  Grpcgrp 19159  -_gcsg 19161  Metcmet 21679  MetSpcms 24652  normcnm 24910  NrmGrpcngp 24911

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290  ax-pre-sup 11291

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7888  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8731  df-map 8863  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-sup 9447  df-inf 9448  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-div 11987  df-nn 12349  df-2 12418  df-n0 12620  df-z 12707  df-uz 12979  df-q 13089  df-rp 13134  df-xneg 13254  df-xadd 13255  df-xmul 13256  df-0g 17627  df-topgen 17629  df-mgm 18831  df-sgrp 18923  df-mnd 18939  df-grp 19162  df-minusg 19163  df-sbg 19164  df-psmet 21685  df-xmet 21686  df-met 21687  df-bl 21688  df-mopn 21689  df-top 23227  df-topon 23244  df-topsp 23266  df-bases 23279  df-xms 24654  df-ms 24655  df-nm 24916  df-ngp 24917

This theorem is used by:  isngp3  24932  ngpds  24938  ngppropd  24971  nrmtngdist  24991