MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isngp2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isngp2 23121
Description: The property of being a normed group. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isngp.n 𝑁 = (norm‘𝐺)
isngp.z = (-g𝐺)
isngp.d 𝐷 = (dist‘𝐺)
isngp2.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
isngp2.e 𝐸 = (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))
Assertion
Ref Expression
isngp2 (𝐺 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ (𝑁 ) = 𝐸))

Proof of Theorem isngp2
StepHypRef Expression
1 isngp.n . . 3 𝑁 = (norm‘𝐺)
2 isngp.z . . 3 = (-g𝐺)
3 isngp.d . . 3 𝐷 = (dist‘𝐺)
41, 2, 3isngp 23120 . 2 (𝐺 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ (𝑁 ) ⊆ 𝐷))
5 isngp2.e . . . . . . 7 𝐸 = (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))
6 resss 5876 . . . . . . 7 (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) ⊆ 𝐷
75, 6eqsstri 4004 . . . . . 6 𝐸𝐷
8 sseq1 3995 . . . . . 6 ((𝑁 ) = 𝐸 → ((𝑁 ) ⊆ 𝐷𝐸𝐷))
97, 8mpbiri 259 . . . . 5 ((𝑁 ) = 𝐸 → (𝑁 ) ⊆ 𝐷)
10 isngp2.x . . . . . . . . . . . 12 𝑋 = (Base‘𝐺)
113reseq1i 5847 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) = ((dist‘𝐺) ↾ (𝑋 × 𝑋))
125, 11eqtri 2848 . . . . . . . . . . . 12 𝐸 = ((dist‘𝐺) ↾ (𝑋 × 𝑋))
1310, 12msmet 22982 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ MetSp → 𝐸 ∈ (Met‘𝑋))
141, 10, 3, 5nmf2 23117 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∈ (Met‘𝑋)) → 𝑁:𝑋⟶ℝ)
1513, 14sylan2 592 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) → 𝑁:𝑋⟶ℝ)
1610, 2grpsubf 18110 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ Grp → :(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
1716ad2antrr 722 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ) ⊆ 𝐷) → :(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
18 fco 6527 . . . . . . . . . 10 ((𝑁:𝑋⟶ℝ ∧ :(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋) → (𝑁 ):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
1915, 17, 18syl2an2r 681 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ) ⊆ 𝐷) → (𝑁 ):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
2019fdmd 6519 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ) ⊆ 𝐷) → dom (𝑁 ) = (𝑋 × 𝑋))
2120reseq2d 5851 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ) ⊆ 𝐷) → (𝐸 ↾ dom (𝑁 )) = (𝐸 ↾ (𝑋 × 𝑋)))
2210, 12msf 22983 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ MetSp → 𝐸:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
2322ad2antlr 723 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ) ⊆ 𝐷) → 𝐸:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
2423ffund 6514 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ) ⊆ 𝐷) → Fun 𝐸)
25 simpr 485 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ) ⊆ 𝐷) → (𝑁 ) ⊆ 𝐷)
26 ssv 3994 . . . . . . . . . . . 12 ℝ ⊆ V
27 fss 6523 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ V) → (𝑁 ):(𝑋 × 𝑋)⟶V)
2819, 26, 27sylancl 586 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ) ⊆ 𝐷) → (𝑁 ):(𝑋 × 𝑋)⟶V)
29 fssxp 6530 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ):(𝑋 × 𝑋)⟶V → (𝑁 ) ⊆ ((𝑋 × 𝑋) × V))
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ) ⊆ 𝐷) → (𝑁 ) ⊆ ((𝑋 × 𝑋) × V))
3125, 30ssind 4212 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ) ⊆ 𝐷) → (𝑁 ) ⊆ (𝐷 ∩ ((𝑋 × 𝑋) × V)))
32 df-res 5565 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) = (𝐷 ∩ ((𝑋 × 𝑋) × V))
335, 32eqtri 2848 . . . . . . . . 9 𝐸 = (𝐷 ∩ ((𝑋 × 𝑋) × V))
3431, 33sseqtrrdi 4021 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ) ⊆ 𝐷) → (𝑁 ) ⊆ 𝐸)
35 funssres 6394 . . . . . . . 8 ((Fun 𝐸 ∧ (𝑁 ) ⊆ 𝐸) → (𝐸 ↾ dom (𝑁 )) = (𝑁 ))
3624, 34, 35syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ) ⊆ 𝐷) → (𝐸 ↾ dom (𝑁 )) = (𝑁 ))
37 ffn 6510 . . . . . . . 8 (𝐸:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ → 𝐸 Fn (𝑋 × 𝑋))
38 fnresdm 6462 . . . . . . . 8 (𝐸 Fn (𝑋 × 𝑋) → (𝐸 ↾ (𝑋 × 𝑋)) = 𝐸)
3923, 37, 383syl 18 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ) ⊆ 𝐷) → (𝐸 ↾ (𝑋 × 𝑋)) = 𝐸)
4021, 36, 393eqtr3d 2868 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ) ⊆ 𝐷) → (𝑁 ) = 𝐸)
4140ex 413 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) → ((𝑁 ) ⊆ 𝐷 → (𝑁 ) = 𝐸))
429, 41impbid2 227 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) → ((𝑁 ) = 𝐸 ↔ (𝑁 ) ⊆ 𝐷))
4342pm5.32i 575 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ) = 𝐸) ↔ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ) ⊆ 𝐷))
44 df-3an 1083 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ (𝑁 ) = 𝐸) ↔ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ) = 𝐸))
45 df-3an 1083 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ (𝑁 ) ⊆ 𝐷) ↔ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ) ⊆ 𝐷))
4643, 44, 453bitr4i 304 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ (𝑁 ) = 𝐸) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ (𝑁 ) ⊆ 𝐷))
474, 46bitr4i 279 1 (𝐺 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ (𝑁 ) = 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 207  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2106  Vcvv 3499  cin 3938  wss 3939   × cxp 5551  dom cdm 5553  cres 5555  ccom 5557  Fun wfun 6345   Fn wfn 6346  wf 6347  cfv 6351  cr 10528  Basecbs 16475  distcds 16566  Grpcgrp 18035  -gcsg 18037  Metcmet 20447  MetSpcms 22843  normcnm 23101  NrmGrpcngp 23102
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2152  ax-12 2167  ax-ext 2796  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2615  df-eu 2649  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8282  df-map 8401  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-sup 8898  df-inf 8899  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12383  df-xneg 12500  df-xadd 12501  df-xmul 12502  df-0g 16707  df-topgen 16709  df-mgm 17844  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-grp 18038  df-minusg 18039  df-sbg 18040  df-psmet 20453  df-xmet 20454  df-met 20455  df-bl 20456  df-mopn 20457  df-top 21418  df-topon 21435  df-topsp 21457  df-bases 21470  df-xms 22845  df-ms 22846  df-nm 23107  df-ngp 23108
This theorem is referenced by:  isngp3  23122  ngpds  23128  ngppropd  23161  nrmtngdist  23181
  Copyright terms: Public domain W3C validator