MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isngp2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isngp2 23976
Description: The property of being a normed group. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isngp.n 𝑁 = (normβ€˜πΊ)
isngp.z βˆ’ = (-gβ€˜πΊ)
isngp.d 𝐷 = (distβ€˜πΊ)
isngp2.x 𝑋 = (Baseβ€˜πΊ)
isngp2.e 𝐸 = (𝐷 β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))
Assertion
Ref Expression
isngp2 (𝐺 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ (𝑁 ∘ βˆ’ ) = 𝐸))

Proof of Theorem isngp2
StepHypRef Expression
1 isngp.n . . 3 𝑁 = (normβ€˜πΊ)
2 isngp.z . . 3 βˆ’ = (-gβ€˜πΊ)
3 isngp.d . . 3 𝐷 = (distβ€˜πΊ)
41, 2, 3isngp 23975 . 2 (𝐺 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ (𝑁 ∘ βˆ’ ) βŠ† 𝐷))
5 isngp2.e . . . . . . 7 𝐸 = (𝐷 β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))
6 resss 5966 . . . . . . 7 (𝐷 β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)) βŠ† 𝐷
75, 6eqsstri 3982 . . . . . 6 𝐸 βŠ† 𝐷
8 sseq1 3973 . . . . . 6 ((𝑁 ∘ βˆ’ ) = 𝐸 β†’ ((𝑁 ∘ βˆ’ ) βŠ† 𝐷 ↔ 𝐸 βŠ† 𝐷))
97, 8mpbiri 258 . . . . 5 ((𝑁 ∘ βˆ’ ) = 𝐸 β†’ (𝑁 ∘ βˆ’ ) βŠ† 𝐷)
10 isngp2.x . . . . . . . . . . . 12 𝑋 = (Baseβ€˜πΊ)
113reseq1i 5937 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐷 β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)) = ((distβ€˜πΊ) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))
125, 11eqtri 2761 . . . . . . . . . . . 12 𝐸 = ((distβ€˜πΊ) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))
1310, 12msmet 23833 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ MetSp β†’ 𝐸 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
141, 10, 3, 5nmf2 23972 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∈ (Metβ€˜π‘‹)) β†’ 𝑁:π‘‹βŸΆβ„)
1513, 14sylan2 594 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) β†’ 𝑁:π‘‹βŸΆβ„)
1610, 2grpsubf 18834 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ Grp β†’ βˆ’ :(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆπ‘‹)
1716ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ∘ βˆ’ ) βŠ† 𝐷) β†’ βˆ’ :(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆπ‘‹)
18 fco 6696 . . . . . . . . . 10 ((𝑁:π‘‹βŸΆβ„ ∧ βˆ’ :(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆπ‘‹) β†’ (𝑁 ∘ βˆ’ ):(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„)
1915, 17, 18syl2an2r 684 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ∘ βˆ’ ) βŠ† 𝐷) β†’ (𝑁 ∘ βˆ’ ):(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„)
2019fdmd 6683 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ∘ βˆ’ ) βŠ† 𝐷) β†’ dom (𝑁 ∘ βˆ’ ) = (𝑋 Γ— 𝑋))
2120reseq2d 5941 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ∘ βˆ’ ) βŠ† 𝐷) β†’ (𝐸 β†Ύ dom (𝑁 ∘ βˆ’ )) = (𝐸 β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)))
2210, 12msf 23834 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ MetSp β†’ 𝐸:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„)
2322ad2antlr 726 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ∘ βˆ’ ) βŠ† 𝐷) β†’ 𝐸:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„)
2423ffund 6676 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ∘ βˆ’ ) βŠ† 𝐷) β†’ Fun 𝐸)
25 simpr 486 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ∘ βˆ’ ) βŠ† 𝐷) β†’ (𝑁 ∘ βˆ’ ) βŠ† 𝐷)
26 ssv 3972 . . . . . . . . . . . 12 ℝ βŠ† V
27 fss 6689 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∘ βˆ’ ):(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„ ∧ ℝ βŠ† V) β†’ (𝑁 ∘ βˆ’ ):(𝑋 Γ— 𝑋)⟢V)
2819, 26, 27sylancl 587 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ∘ βˆ’ ) βŠ† 𝐷) β†’ (𝑁 ∘ βˆ’ ):(𝑋 Γ— 𝑋)⟢V)
29 fssxp 6700 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∘ βˆ’ ):(𝑋 Γ— 𝑋)⟢V β†’ (𝑁 ∘ βˆ’ ) βŠ† ((𝑋 Γ— 𝑋) Γ— V))
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ∘ βˆ’ ) βŠ† 𝐷) β†’ (𝑁 ∘ βˆ’ ) βŠ† ((𝑋 Γ— 𝑋) Γ— V))
3125, 30ssind 4196 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ∘ βˆ’ ) βŠ† 𝐷) β†’ (𝑁 ∘ βˆ’ ) βŠ† (𝐷 ∩ ((𝑋 Γ— 𝑋) Γ— V)))
32 df-res 5649 . . . . . . . . . 10 (𝐷 β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)) = (𝐷 ∩ ((𝑋 Γ— 𝑋) Γ— V))
335, 32eqtri 2761 . . . . . . . . 9 𝐸 = (𝐷 ∩ ((𝑋 Γ— 𝑋) Γ— V))
3431, 33sseqtrrdi 3999 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ∘ βˆ’ ) βŠ† 𝐷) β†’ (𝑁 ∘ βˆ’ ) βŠ† 𝐸)
35 funssres 6549 . . . . . . . 8 ((Fun 𝐸 ∧ (𝑁 ∘ βˆ’ ) βŠ† 𝐸) β†’ (𝐸 β†Ύ dom (𝑁 ∘ βˆ’ )) = (𝑁 ∘ βˆ’ ))
3624, 34, 35syl2anc 585 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ∘ βˆ’ ) βŠ† 𝐷) β†’ (𝐸 β†Ύ dom (𝑁 ∘ βˆ’ )) = (𝑁 ∘ βˆ’ ))
37 ffn 6672 . . . . . . . 8 (𝐸:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„ β†’ 𝐸 Fn (𝑋 Γ— 𝑋))
38 fnresdm 6624 . . . . . . . 8 (𝐸 Fn (𝑋 Γ— 𝑋) β†’ (𝐸 β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)) = 𝐸)
3923, 37, 383syl 18 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ∘ βˆ’ ) βŠ† 𝐷) β†’ (𝐸 β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)) = 𝐸)
4021, 36, 393eqtr3d 2781 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ∘ βˆ’ ) βŠ† 𝐷) β†’ (𝑁 ∘ βˆ’ ) = 𝐸)
4140ex 414 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) β†’ ((𝑁 ∘ βˆ’ ) βŠ† 𝐷 β†’ (𝑁 ∘ βˆ’ ) = 𝐸))
429, 41impbid2 225 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) β†’ ((𝑁 ∘ βˆ’ ) = 𝐸 ↔ (𝑁 ∘ βˆ’ ) βŠ† 𝐷))
4342pm5.32i 576 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ∘ βˆ’ ) = 𝐸) ↔ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ∘ βˆ’ ) βŠ† 𝐷))
44 df-3an 1090 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ (𝑁 ∘ βˆ’ ) = 𝐸) ↔ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ∘ βˆ’ ) = 𝐸))
45 df-3an 1090 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ (𝑁 ∘ βˆ’ ) βŠ† 𝐷) ↔ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ∘ βˆ’ ) βŠ† 𝐷))
4643, 44, 453bitr4i 303 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ (𝑁 ∘ βˆ’ ) = 𝐸) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ (𝑁 ∘ βˆ’ ) βŠ† 𝐷))
474, 46bitr4i 278 1 (𝐺 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ (𝑁 ∘ βˆ’ ) = 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3447   ∩ cin 3913   βŠ† wss 3914   Γ— cxp 5635  dom cdm 5637   β†Ύ cres 5639   ∘ ccom 5641  Fun wfun 6494   Fn wfn 6495  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  β„cr 11058  Basecbs 17091  distcds 17150  Grpcgrp 18756  -gcsg 18758  Metcmet 20805  MetSpcms 23694  normcnm 23955  NrmGrpcngp 23956
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-sup 9386  df-inf 9387  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-xmul 13043  df-0g 17331  df-topgen 17333  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-sbg 18761  df-psmet 20811  df-xmet 20812  df-met 20813  df-bl 20814  df-mopn 20815  df-top 22266  df-topon 22283  df-topsp 22305  df-bases 22319  df-xms 23696  df-ms 23697  df-nm 23961  df-ngp 23962
This theorem is referenced by:  isngp3  23977  ngpds  23983  ngppropd  24016  nrmtngdist  24044
  Copyright terms: Public domain W3C validator