MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isngp2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isngp2 23495
Description: The property of being a normed group. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isngp.n 𝑁 = (norm‘𝐺)
isngp.z = (-g𝐺)
isngp.d 𝐷 = (dist‘𝐺)
isngp2.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
isngp2.e 𝐸 = (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))
Assertion
Ref Expression
isngp2 (𝐺 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ (𝑁 ) = 𝐸))

Proof of Theorem isngp2
StepHypRef Expression
1 isngp.n . . 3 𝑁 = (norm‘𝐺)
2 isngp.z . . 3 = (-g𝐺)
3 isngp.d . . 3 𝐷 = (dist‘𝐺)
41, 2, 3isngp 23494 . 2 (𝐺 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ (𝑁 ) ⊆ 𝐷))
5 isngp2.e . . . . . . 7 𝐸 = (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))
6 resss 5876 . . . . . . 7 (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) ⊆ 𝐷
75, 6eqsstri 3935 . . . . . 6 𝐸𝐷
8 sseq1 3926 . . . . . 6 ((𝑁 ) = 𝐸 → ((𝑁 ) ⊆ 𝐷𝐸𝐷))
97, 8mpbiri 261 . . . . 5 ((𝑁 ) = 𝐸 → (𝑁 ) ⊆ 𝐷)
10 isngp2.x . . . . . . . . . . . 12 𝑋 = (Base‘𝐺)
113reseq1i 5847 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) = ((dist‘𝐺) ↾ (𝑋 × 𝑋))
125, 11eqtri 2765 . . . . . . . . . . . 12 𝐸 = ((dist‘𝐺) ↾ (𝑋 × 𝑋))
1310, 12msmet 23355 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ MetSp → 𝐸 ∈ (Met‘𝑋))
141, 10, 3, 5nmf2 23491 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∈ (Met‘𝑋)) → 𝑁:𝑋⟶ℝ)
1513, 14sylan2 596 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) → 𝑁:𝑋⟶ℝ)
1610, 2grpsubf 18442 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ Grp → :(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
1716ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ) ⊆ 𝐷) → :(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
18 fco 6569 . . . . . . . . . 10 ((𝑁:𝑋⟶ℝ ∧ :(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋) → (𝑁 ):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
1915, 17, 18syl2an2r 685 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ) ⊆ 𝐷) → (𝑁 ):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
2019fdmd 6556 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ) ⊆ 𝐷) → dom (𝑁 ) = (𝑋 × 𝑋))
2120reseq2d 5851 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ) ⊆ 𝐷) → (𝐸 ↾ dom (𝑁 )) = (𝐸 ↾ (𝑋 × 𝑋)))
2210, 12msf 23356 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ MetSp → 𝐸:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
2322ad2antlr 727 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ) ⊆ 𝐷) → 𝐸:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
2423ffund 6549 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ) ⊆ 𝐷) → Fun 𝐸)
25 simpr 488 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ) ⊆ 𝐷) → (𝑁 ) ⊆ 𝐷)
26 ssv 3925 . . . . . . . . . . . 12 ℝ ⊆ V
27 fss 6562 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ V) → (𝑁 ):(𝑋 × 𝑋)⟶V)
2819, 26, 27sylancl 589 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ) ⊆ 𝐷) → (𝑁 ):(𝑋 × 𝑋)⟶V)
29 fssxp 6573 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ):(𝑋 × 𝑋)⟶V → (𝑁 ) ⊆ ((𝑋 × 𝑋) × V))
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ) ⊆ 𝐷) → (𝑁 ) ⊆ ((𝑋 × 𝑋) × V))
3125, 30ssind 4147 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ) ⊆ 𝐷) → (𝑁 ) ⊆ (𝐷 ∩ ((𝑋 × 𝑋) × V)))
32 df-res 5563 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) = (𝐷 ∩ ((𝑋 × 𝑋) × V))
335, 32eqtri 2765 . . . . . . . . 9 𝐸 = (𝐷 ∩ ((𝑋 × 𝑋) × V))
3431, 33sseqtrrdi 3952 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ) ⊆ 𝐷) → (𝑁 ) ⊆ 𝐸)
35 funssres 6424 . . . . . . . 8 ((Fun 𝐸 ∧ (𝑁 ) ⊆ 𝐸) → (𝐸 ↾ dom (𝑁 )) = (𝑁 ))
3624, 34, 35syl2anc 587 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ) ⊆ 𝐷) → (𝐸 ↾ dom (𝑁 )) = (𝑁 ))
37 ffn 6545 . . . . . . . 8 (𝐸:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ → 𝐸 Fn (𝑋 × 𝑋))
38 fnresdm 6496 . . . . . . . 8 (𝐸 Fn (𝑋 × 𝑋) → (𝐸 ↾ (𝑋 × 𝑋)) = 𝐸)
3923, 37, 383syl 18 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ) ⊆ 𝐷) → (𝐸 ↾ (𝑋 × 𝑋)) = 𝐸)
4021, 36, 393eqtr3d 2785 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ) ⊆ 𝐷) → (𝑁 ) = 𝐸)
4140ex 416 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) → ((𝑁 ) ⊆ 𝐷 → (𝑁 ) = 𝐸))
429, 41impbid2 229 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) → ((𝑁 ) = 𝐸 ↔ (𝑁 ) ⊆ 𝐷))
4342pm5.32i 578 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ) = 𝐸) ↔ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ) ⊆ 𝐷))
44 df-3an 1091 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ (𝑁 ) = 𝐸) ↔ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ) = 𝐸))
45 df-3an 1091 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ (𝑁 ) ⊆ 𝐷) ↔ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ) ⊆ 𝐷))
4643, 44, 453bitr4i 306 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ (𝑁 ) = 𝐸) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ (𝑁 ) ⊆ 𝐷))
474, 46bitr4i 281 1 (𝐺 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ (𝑁 ) = 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 209  wa 399  w3a 1089   = wceq 1543  wcel 2110  Vcvv 3408  cin 3865  wss 3866   × cxp 5549  dom cdm 5551  cres 5553  ccom 5555  Fun wfun 6374   Fn wfn 6375  wf 6376  cfv 6380  cr 10728  Basecbs 16760  distcds 16811  Grpcgrp 18365  -gcsg 18367  Metcmet 20349  MetSpcms 23216  normcnm 23474  NrmGrpcngp 23475
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-er 8391  df-map 8510  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-sup 9058  df-inf 9059  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-q 12545  df-rp 12587  df-xneg 12704  df-xadd 12705  df-xmul 12706  df-0g 16946  df-topgen 16948  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-grp 18368  df-minusg 18369  df-sbg 18370  df-psmet 20355  df-xmet 20356  df-met 20357  df-bl 20358  df-mopn 20359  df-top 21791  df-topon 21808  df-topsp 21830  df-bases 21843  df-xms 23218  df-ms 23219  df-nm 23480  df-ngp 23481
This theorem is referenced by:  isngp3  23496  ngpds  23502  ngppropd  23535  nrmtngdist  23555
  Copyright terms: Public domain W3C validator