Theorem metcl 22939

Description: Closure of the distance function of a metric space. Part of Property M1 of [Kreyszig] p. 3. (Contributed by NM, 30-Aug-2006.)

Assertion

Ref	Expression
metcl	⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem metcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metf 22937	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
2		fovrn 7298	. 2 ⊢ ((𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl3an1 1160	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084   ∈ wcel 2111   × cxp 5517  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℝcr 10525  Metcmet 20077

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-fv 6332  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-map 8391  df-met 20085

This theorem is referenced by:  mettri2  22948  metrtri  22964  prdsmet  22977  imasf1omet  22983  blpnf  23004  bl2in  23007  mscl  23068  metss2lem  23118  methaus  23127  nmf2  23199  metdsre  23458  iscmet3lem1  23895  minveclem2  24030  minveclem3b  24032  minveclem3  24033  minveclem4  24036  minveclem7  24039  dvlog2lem  25243  vacn  28477  nmcvcn  28478  smcnlem  28480  blocni  28588  minvecolem2  28658  minvecolem3  28659  minvecolem4  28663  minvecolem7  28666  metf1o  35193  mettrifi  35195  lmclim2  35196  geomcau  35197  isbnd3  35222  isbnd3b  35223  ssbnd  35226  totbndbnd  35227  equivbnd  35228  prdsbnd  35231  heibor1lem  35247  heiborlem6  35254  bfplem1  35260  bfplem2  35261  bfp  35262  rrncmslem  35270  rrnequiv  35273  rrntotbnd  35274  ioorrnopnlem  42946