Theorem metcl 22936

Description: Closure of the distance function of a metric space. Part of Property M1 of [Kreyszig] p. 3. (Contributed by NM, 30-Aug-2006.)

Assertion

Ref	Expression
metcl	⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem metcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metf 22934	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
2		fovrn 7312	. 2 ⊢ ((𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl3an1 1159	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1083   ∈ wcel 2110   × cxp 5548  ⟶wf 6346  ‘cfv 6350  (class class class)co 7150  ℝcr 10530  Metcmet 20525

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4833  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-id 5455  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-fv 6358  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-map 8402  df-met 20533

This theorem is referenced by:  mettri2  22945  metrtri  22961  prdsmet  22974  imasf1omet  22980  blpnf  23001  bl2in  23004  mscl  23065  metss2lem  23115  methaus  23124  nmf2  23196  metdsre  23455  iscmet3lem1  23888  minveclem2  24023  minveclem3b  24025  minveclem3  24026  minveclem4  24029  minveclem7  24032  dvlog2lem  25229  vacn  28465  nmcvcn  28466  smcnlem  28468  blocni  28576  minvecolem2  28646  minvecolem3  28647  minvecolem4  28651  minvecolem7  28654  metf1o  35024  mettrifi  35026  lmclim2  35027  geomcau  35028  isbnd3  35056  isbnd3b  35057  ssbnd  35060  totbndbnd  35061  equivbnd  35062  prdsbnd  35065  heibor1lem  35081  heiborlem6  35088  bfplem1  35094  bfplem2  35095  bfp  35096  rrncmslem  35104  rrnequiv  35107  rrntotbnd  35108  ioorrnopnlem  42582