Theorem metcl 23838

Description: Closure of the distance function of a metric space. Part of Property M1 of [Kreyszig] p. 3. (Contributed by NM, 30-Aug-2006.)

Assertion

Ref	Expression
metcl	⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem metcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metf 23836	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
2		fovcdm 7577	. 2 ⊢ ((𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl3an1 1164	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1088   ∈ wcel 2107   × cxp 5675  ⟶wf 6540  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  ℝcr 11109  Metcmet 20930

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-map 8822  df-met 20938

This theorem is referenced by:  mettri2  23847  metrtri  23863  prdsmet  23876  imasf1omet  23882  blpnf  23903  bl2in  23906  mscl  23967  metss2lem  24020  methaus  24029  nmf2  24102  metdsre  24369  iscmet3lem1  24808  minveclem2  24943  minveclem3b  24945  minveclem3  24946  minveclem4  24949  minveclem7  24952  dvlog2lem  26160  vacn  29947  nmcvcn  29948  smcnlem  29950  blocni  30058  minvecolem2  30128  minvecolem3  30129  minvecolem4  30133  minvecolem7  30136  metf1o  36623  mettrifi  36625  lmclim2  36626  geomcau  36627  isbnd3  36652  isbnd3b  36653  ssbnd  36656  totbndbnd  36657  equivbnd  36658  prdsbnd  36661  heibor1lem  36677  heiborlem6  36684  bfplem1  36690  bfplem2  36691  bfp  36692  rrncmslem  36700  rrnequiv  36703  rrntotbnd  36704  ioorrnopnlem  45020