Theorem metcl 22645

Description: Closure of the distance function of a metric space. Part of Property M1 of [Kreyszig] p. 3. (Contributed by NM, 30-Aug-2006.)

Assertion

Ref	Expression
metcl	⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem metcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metf 22643	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
2		fovrn 7134	. 2 ⊢ ((𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl3an1 1143	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1068   ∈ wcel 2050   × cxp 5405  ⟶wf 6184  ‘cfv 6188  (class class class)co 6976  ℝcr 10334  Metcmet 20233

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ral 3093  df-rex 3094  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-op 4448  df-uni 4713  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-id 5312  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-fv 6196  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-map 8208  df-met 20241

This theorem is referenced by:  mettri2  22654  metrtri  22670  prdsmet  22683  imasf1omet  22689  blpnf  22710  bl2in  22713  mscl  22774  metss2lem  22824  methaus  22833  nmf2  22905  metdsre  23164  iscmet3lem1  23597  minveclem2  23732  minveclem3b  23734  minveclem3  23735  minveclem4  23738  minveclem7  23741  dvlog2lem  24936  vacn  28248  nmcvcn  28249  smcnlem  28251  blocni  28359  minvecolem2  28430  minvecolem3  28431  minvecolem4  28435  minvecolem7  28438  metf1o  34478  mettrifi  34480  lmclim2  34481  geomcau  34482  isbnd3  34510  isbnd3b  34511  ssbnd  34514  totbndbnd  34515  equivbnd  34516  prdsbnd  34519  heibor1lem  34535  heiborlem6  34542  bfplem1  34548  bfplem2  34549  bfp  34550  rrncmslem  34558  rrnequiv  34561  rrntotbnd  34562  ioorrnopnlem  42026