Theorem metcl 24631

Description: Closure of the distance function of a metric space. Part of Property M1 of [Kreyszig] p. 3. (Contributed by NM, 30-Aug-2006.)

Assertion

Ref	Expression
metcl	⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem metcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metf 24629	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
2		fovcdm 7583	. 2 ⊢ ((𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl3an1 1181	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2145   × cxp 5649  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  ℝcr 11180  Metcmet 21644

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-fv 6539  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-map 8833  df-met 21652

This theorem is used by:  mettri2  24640  metrtri  24656  prdsmet  24669  imasf1omet  24675  blpnf  24696  bl2in  24699  mscl  24760  metss2lem  24810  methaus  24819  nmf2  24892  metdsre  25153  iscmet3lem1  25592  minveclem2  25727  minveclem3b  25729  minveclem3  25730  minveclem4  25733  minveclem7  25736  dvlog2lem  26962  vacn  31278  nmcvcn  31279  smcnlem  31281  blocni  31389  minvecolem2  31459  minvecolem3  31460  minvecolem4  31464  minvecolem7  31467  metf1o  38657  mettrifi  38659  lmclim2  38660  geomcau  38661  isbnd3  38686  isbnd3b  38687  ssbnd  38690  totbndbnd  38691  equivbnd  38692  prdsbnd  38695  heibor1lem  38711  heiborlem6  38718  bfplem1  38724  bfplem2  38725  bfp  38726  rrncmslem  38734  rrnequiv  38737  rrntotbnd  38738  ioorrnopnlem  47258