Theorem metcl 24322

Description: Closure of the distance function of a metric space. Part of Property M1 of [Kreyszig] p. 3. (Contributed by NM, 30-Aug-2006.)

Assertion

Ref	Expression
metcl	⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem metcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metf 24320	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
2		fovcdm 7533	. 2 ⊢ ((𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl3an1 1169	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1092   ∈ wcel 2119   × cxp 5623  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  ℝcr 11035  Metcmet 21340

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-fv 6500  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-map 8772  df-met 21348

This theorem is referenced by:  mettri2  24331  metrtri  24347  prdsmet  24360  imasf1omet  24366  blpnf  24387  bl2in  24390  mscl  24451  metss2lem  24501  methaus  24510  nmf2  24583  metdsre  24844  iscmet3lem1  25283  minveclem2  25418  minveclem3b  25420  minveclem3  25421  minveclem4  25424  minveclem7  25427  dvlog2lem  26641  vacn  30790  nmcvcn  30791  smcnlem  30793  blocni  30901  minvecolem2  30971  minvecolem3  30972  minvecolem4  30976  minvecolem7  30979  metf1o  38129  mettrifi  38131  lmclim2  38132  geomcau  38133  isbnd3  38158  isbnd3b  38159  ssbnd  38162  totbndbnd  38163  equivbnd  38164  prdsbnd  38167  heibor1lem  38183  heiborlem6  38190  bfplem1  38196  bfplem2  38197  bfp  38198  rrncmslem  38206  rrnequiv  38209  rrntotbnd  38210  ioorrnopnlem  46754