Theorem metcl 24470

Description: Closure of the distance function of a metric space. Part of Property M1 of [Kreyszig] p. 3. (Contributed by NM, 30-Aug-2006.)

Assertion

Ref	Expression
metcl	⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem metcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metf 24468	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
2		fovcdm 7582	. 2 ⊢ ((𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl3an1 1181	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2143   × cxp 5661  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  ℝcr 11100  Metcmet 21489

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-fv 6546  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-map 8827  df-met 21497

This theorem is referenced by:  mettri2  24479  metrtri  24495  prdsmet  24508  imasf1omet  24514  blpnf  24535  bl2in  24538  mscl  24599  metss2lem  24649  methaus  24658  nmf2  24731  metdsre  24992  iscmet3lem1  25431  minveclem2  25566  minveclem3b  25568  minveclem3  25569  minveclem4  25572  minveclem7  25575  dvlog2lem  26795  vacn  31024  nmcvcn  31025  smcnlem  31027  blocni  31135  minvecolem2  31205  minvecolem3  31206  minvecolem4  31210  minvecolem7  31213  metf1o  38384  mettrifi  38386  lmclim2  38387  geomcau  38388  isbnd3  38413  isbnd3b  38414  ssbnd  38417  totbndbnd  38418  equivbnd  38419  prdsbnd  38422  heibor1lem  38438  heiborlem6  38445  bfplem1  38451  bfplem2  38452  bfp  38453  rrncmslem  38461  rrnequiv  38464  rrntotbnd  38465  ioorrnopnlem  46998