Theorem metcl 24681

Description: Closure of the distance function of a metric space. Part of Property M1 of [Kreyszig] p. 3. (Contributed by NM, 30-Aug-2006.)

Assertion

Ref	Expression
metcl	⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem metcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metf 24679	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
2		fovcdm 7615	. 2 ⊢ ((𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl3an1 1181	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2147   × cxp 5653  ⟶wf 6554  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  ℝcr 11226  Metcmet 21694

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-fv 6566  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-map 8877  df-met 21702

This theorem is used by:  mettri2  24690  metrtri  24706  prdsmet  24719  imasf1omet  24725  blpnf  24746  bl2in  24749  mscl  24810  metss2lem  24860  methaus  24869  nmf2  24942  metdsre  25203  iscmet3lem1  25642  minveclem2  25777  minveclem3b  25779  minveclem3  25780  minveclem4  25783  minveclem7  25786  dvlog2lem  27010  vacn  31326  nmcvcn  31327  smcnlem  31329  blocni  31437  minvecolem2  31507  minvecolem3  31508  minvecolem4  31512  minvecolem7  31515  metf1o  38881  mettrifi  38883  lmclim2  38884  geomcau  38885  isbnd3  38910  isbnd3b  38911  ssbnd  38914  totbndbnd  38915  equivbnd  38916  prdsbnd  38919  heibor1lem  38935  heiborlem6  38942  bfplem1  38948  bfplem2  38949  bfp  38950  rrncmslem  38958  rrnequiv  38961  rrntotbnd  38962  ioorrnopnlem  47519