Theorem metcl 24297

Description: Closure of the distance function of a metric space. Part of Property M1 of [Kreyszig] p. 3. (Contributed by NM, 30-Aug-2006.)

Assertion

Ref	Expression
metcl	⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem metcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metf 24295	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
2		fovcdm 7537	. 2 ⊢ ((𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl3an1 1164	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114   × cxp 5629  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℝcr 11037  Metcmet 21338

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-fv 6506  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-map 8775  df-met 21346

This theorem is referenced by:  mettri2  24306  metrtri  24322  prdsmet  24335  imasf1omet  24341  blpnf  24362  bl2in  24365  mscl  24426  metss2lem  24476  methaus  24485  nmf2  24558  metdsre  24819  iscmet3lem1  25258  minveclem2  25393  minveclem3b  25395  minveclem3  25396  minveclem4  25399  minveclem7  25402  dvlog2lem  26616  vacn  30765  nmcvcn  30766  smcnlem  30768  blocni  30876  minvecolem2  30946  minvecolem3  30947  minvecolem4  30951  minvecolem7  30954  metf1o  38076  mettrifi  38078  lmclim2  38079  geomcau  38080  isbnd3  38105  isbnd3b  38106  ssbnd  38109  totbndbnd  38110  equivbnd  38111  prdsbnd  38114  heibor1lem  38130  heiborlem6  38137  bfplem1  38143  bfplem2  38144  bfp  38145  rrncmslem  38153  rrnequiv  38156  rrntotbnd  38157  ioorrnopnlem  46732