Theorem metcl 24245

Description: Closure of the distance function of a metric space. Part of Property M1 of [Kreyszig] p. 3. (Contributed by NM, 30-Aug-2006.)

Assertion

Ref	Expression
metcl	⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem metcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metf 24243	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
2		fovcdm 7516	. 2 ⊢ ((𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl3an1 1163	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2111   × cxp 5614  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℝcr 11002  Metcmet 21275

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-fv 6489  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-map 8752  df-met 21283

This theorem is referenced by:  mettri2  24254  metrtri  24270  prdsmet  24283  imasf1omet  24289  blpnf  24310  bl2in  24313  mscl  24374  metss2lem  24424  methaus  24433  nmf2  24506  metdsre  24767  iscmet3lem1  25216  minveclem2  25351  minveclem3b  25353  minveclem3  25354  minveclem4  25357  minveclem7  25360  dvlog2lem  26586  vacn  30669  nmcvcn  30670  smcnlem  30672  blocni  30780  minvecolem2  30850  minvecolem3  30851  minvecolem4  30855  minvecolem7  30858  metf1o  37794  mettrifi  37796  lmclim2  37797  geomcau  37798  isbnd3  37823  isbnd3b  37824  ssbnd  37827  totbndbnd  37828  equivbnd  37829  prdsbnd  37832  heibor1lem  37848  heiborlem6  37855  bfplem1  37861  bfplem2  37862  bfp  37863  rrncmslem  37871  rrnequiv  37874  rrntotbnd  37875  ioorrnopnlem  46341