Theorem metcl 24656

Description: Closure of the distance function of a metric space. Part of Property M1 of [Kreyszig] p. 3. (Contributed by NM, 30-Aug-2006.)

Assertion

Ref	Expression
metcl	⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem metcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metf 24654	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
2		fovcdm 7591	. 2 ⊢ ((𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl3an1 1181	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2144   × cxp 5648  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℝcr 11202  Metcmet 21669

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-map 8852  df-met 21677

This theorem is used by:  mettri2  24665  metrtri  24681  prdsmet  24694  imasf1omet  24700  blpnf  24721  bl2in  24724  mscl  24785  metss2lem  24835  methaus  24844  nmf2  24917  metdsre  25178  iscmet3lem1  25617  minveclem2  25752  minveclem3b  25754  minveclem3  25755  minveclem4  25758  minveclem7  25761  dvlog2lem  26985  vacn  31301  nmcvcn  31302  smcnlem  31304  blocni  31412  minvecolem2  31482  minvecolem3  31483  minvecolem4  31487  minvecolem7  31490  metf1o  38782  mettrifi  38784  lmclim2  38785  geomcau  38786  isbnd3  38811  isbnd3b  38812  ssbnd  38815  totbndbnd  38816  equivbnd  38817  prdsbnd  38820  heibor1lem  38836  heiborlem6  38843  bfplem1  38849  bfplem2  38850  bfp  38851  rrncmslem  38859  rrnequiv  38862  rrntotbnd  38863  ioorrnopnlem  47407