Theorem metcl 24564

Description: Closure of the distance function of a metric space. Part of Property M1 of [Kreyszig] p. 3. (Contributed by NM, 30-Aug-2006.)

Assertion

Ref	Expression
metcl	⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem metcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metf 24562	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
2		fovcdm 7588	. 2 ⊢ ((𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl3an1 1181	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2145   × cxp 5657  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  ℝcr 11127  Metcmet 21577

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-fv 6545  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-map 8832  df-met 21585

This theorem is used by:  mettri2  24573  metrtri  24589  prdsmet  24602  imasf1omet  24608  blpnf  24629  bl2in  24632  mscl  24693  metss2lem  24743  methaus  24752  nmf2  24825  metdsre  25086  iscmet3lem1  25525  minveclem2  25660  minveclem3b  25662  minveclem3  25663  minveclem4  25666  minveclem7  25669  dvlog2lem  26897  vacn  31183  nmcvcn  31184  smcnlem  31186  blocni  31294  minvecolem2  31364  minvecolem3  31365  minvecolem4  31369  minvecolem7  31372  metf1o  38513  mettrifi  38515  lmclim2  38516  geomcau  38517  isbnd3  38542  isbnd3b  38543  ssbnd  38546  totbndbnd  38547  equivbnd  38548  prdsbnd  38551  heibor1lem  38567  heiborlem6  38574  bfplem1  38580  bfplem2  38581  bfp  38582  rrncmslem  38590  rrnequiv  38593  rrntotbnd  38594  ioorrnopnlem  47140