Theorem metcl 24365

Description: Closure of the distance function of a metric space. Part of Property M1 of [Kreyszig] p. 3. (Contributed by NM, 30-Aug-2006.)

Assertion

Ref	Expression
metcl	⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem metcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metf 24363	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
2		fovcdm 7622	. 2 ⊢ ((𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl3an1 1163	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2108   × cxp 5698  ⟶wf 6571  ‘cfv 6575  (class class class)co 7450  ℝcr 11185  Metcmet 21375

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7772  ax-cnex 11242  ax-resscn 11243

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-iota 6527  df-fun 6577  df-fn 6578  df-f 6579  df-fv 6583  df-ov 7453  df-oprab 7454  df-mpo 7455  df-map 8888  df-met 21383

This theorem is referenced by:  mettri2  24374  metrtri  24390  prdsmet  24403  imasf1omet  24409  blpnf  24430  bl2in  24433  mscl  24494  metss2lem  24547  methaus  24556  nmf2  24629  metdsre  24896  iscmet3lem1  25346  minveclem2  25481  minveclem3b  25483  minveclem3  25484  minveclem4  25487  minveclem7  25490  dvlog2lem  26714  vacn  30728  nmcvcn  30729  smcnlem  30731  blocni  30839  minvecolem2  30909  minvecolem3  30910  minvecolem4  30914  minvecolem7  30917  metf1o  37717  mettrifi  37719  lmclim2  37720  geomcau  37721  isbnd3  37746  isbnd3b  37747  ssbnd  37750  totbndbnd  37751  equivbnd  37752  prdsbnd  37755  heibor1lem  37771  heiborlem6  37778  bfplem1  37784  bfplem2  37785  bfp  37786  rrncmslem  37794  rrnequiv  37797  rrntotbnd  37798  ioorrnopnlem  46227