Theorem metcl 24236

Description: Closure of the distance function of a metric space. Part of Property M1 of [Kreyszig] p. 3. (Contributed by NM, 30-Aug-2006.)

Assertion

Ref	Expression
metcl	⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem metcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metf 24234	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
2		fovcdm 7523	. 2 ⊢ ((𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl3an1 1163	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109   × cxp 5621  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  ℝcr 11027  Metcmet 21265

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-fv 6494  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-map 8762  df-met 21273

This theorem is referenced by:  mettri2  24245  metrtri  24261  prdsmet  24274  imasf1omet  24280  blpnf  24301  bl2in  24304  mscl  24365  metss2lem  24415  methaus  24424  nmf2  24497  metdsre  24758  iscmet3lem1  25207  minveclem2  25342  minveclem3b  25344  minveclem3  25345  minveclem4  25348  minveclem7  25351  dvlog2lem  26577  vacn  30656  nmcvcn  30657  smcnlem  30659  blocni  30767  minvecolem2  30837  minvecolem3  30838  minvecolem4  30842  minvecolem7  30845  metf1o  37734  mettrifi  37736  lmclim2  37737  geomcau  37738  isbnd3  37763  isbnd3b  37764  ssbnd  37767  totbndbnd  37768  equivbnd  37769  prdsbnd  37772  heibor1lem  37788  heiborlem6  37795  bfplem1  37801  bfplem2  37802  bfp  37803  rrncmslem  37811  rrnequiv  37814  rrntotbnd  37815  ioorrnopnlem  46286