Theorem metcl 24472

Description: Closure of the distance function of a metric space. Part of Property M1 of [Kreyszig] p. 3. (Contributed by NM, 30-Aug-2006.)

Assertion

Ref	Expression
metcl	⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem metcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metf 24470	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
2		fovcdm 7584	. 2 ⊢ ((𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl3an1 1179	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1101   ∈ wcel 2150   × cxp 5663  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7414  ℝcr 11102  Metcmet 21491

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2152  ax-9 2160  ax-10 2183  ax-11 2199  ax-12 2220  ax-ext 2742  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5340  ax-pr 5408  ax-un 7736  ax-cnex 11159  ax-resscn 11160

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2099  df-mo 2574  df-eu 2604  df-clab 2749  df-cleq 2762  df-clel 2845  df-nfc 2919  df-ne 2966  df-ral 3087  df-rex 3097  df-rab 3424  df-v 3464  df-sbc 3753  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5560  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-fv 6548  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-map 8829  df-met 21499

This theorem is referenced by:  mettri2  24481  metrtri  24497  prdsmet  24510  imasf1omet  24516  blpnf  24537  bl2in  24540  mscl  24601  metss2lem  24651  methaus  24660  nmf2  24733  metdsre  24994  iscmet3lem1  25433  minveclem2  25568  minveclem3b  25570  minveclem3  25571  minveclem4  25574  minveclem7  25577  dvlog2lem  26797  vacn  31016  nmcvcn  31017  smcnlem  31019  blocni  31127  minvecolem2  31197  minvecolem3  31198  minvecolem4  31202  minvecolem7  31205  metf1o  38354  mettrifi  38356  lmclim2  38357  geomcau  38358  isbnd3  38383  isbnd3b  38384  ssbnd  38387  totbndbnd  38388  equivbnd  38389  prdsbnd  38392  heibor1lem  38408  heiborlem6  38415  bfplem1  38421  bfplem2  38422  bfp  38423  rrncmslem  38431  rrnequiv  38434  rrntotbnd  38435  ioorrnopnlem  46970