Theorem metcl 24248

Description: Closure of the distance function of a metric space. Part of Property M1 of [Kreyszig] p. 3. (Contributed by NM, 30-Aug-2006.)

Assertion

Ref	Expression
metcl	⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem metcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metf 24246	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
2		fovcdm 7522	. 2 ⊢ ((𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl3an1 1163	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2113   × cxp 5617  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  ℝcr 11012  Metcmet 21279

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-fv 6494  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-map 8758  df-met 21287

This theorem is referenced by:  mettri2  24257  metrtri  24273  prdsmet  24286  imasf1omet  24292  blpnf  24313  bl2in  24316  mscl  24377  metss2lem  24427  methaus  24436  nmf2  24509  metdsre  24770  iscmet3lem1  25219  minveclem2  25354  minveclem3b  25356  minveclem3  25357  minveclem4  25360  minveclem7  25363  dvlog2lem  26589  vacn  30676  nmcvcn  30677  smcnlem  30679  blocni  30787  minvecolem2  30857  minvecolem3  30858  minvecolem4  30862  minvecolem7  30865  metf1o  37815  mettrifi  37817  lmclim2  37818  geomcau  37819  isbnd3  37844  isbnd3b  37845  ssbnd  37848  totbndbnd  37849  equivbnd  37850  prdsbnd  37853  heibor1lem  37869  heiborlem6  37876  bfplem1  37882  bfplem2  37883  bfp  37884  rrncmslem  37892  rrnequiv  37895  rrntotbnd  37896  ioorrnopnlem  46426