Theorem metcl 24450

Description: Closure of the distance function of a metric space. Part of Property M1 of [Kreyszig] p. 3. (Contributed by NM, 30-Aug-2006.)

Assertion

Ref	Expression
metcl	⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem metcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metf 24448	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
2		fovcdm 7570	. 2 ⊢ ((𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl3an1 1179	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1101   ∈ wcel 2145   × cxp 5650  ⟶wf 6521  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  ℝcr 11087  Metcmet 21468

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5547  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-fv 6533  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-map 8814  df-met 21476

This theorem is referenced by:  mettri2  24459  metrtri  24475  prdsmet  24488  imasf1omet  24494  blpnf  24515  bl2in  24518  mscl  24579  metss2lem  24629  methaus  24638  nmf2  24711  metdsre  24972  iscmet3lem1  25411  minveclem2  25546  minveclem3b  25548  minveclem3  25549  minveclem4  25552  minveclem7  25555  dvlog2lem  26775  vacn  30955  nmcvcn  30956  smcnlem  30958  blocni  31066  minvecolem2  31136  minvecolem3  31137  minvecolem4  31141  minvecolem7  31144  metf1o  38266  mettrifi  38268  lmclim2  38269  geomcau  38270  isbnd3  38295  isbnd3b  38296  ssbnd  38299  totbndbnd  38300  equivbnd  38301  prdsbnd  38304  heibor1lem  38320  heiborlem6  38327  bfplem1  38333  bfplem2  38334  bfp  38335  rrncmslem  38343  rrnequiv  38346  rrntotbnd  38347  ioorrnopnlem  46876