Theorem metcl 23393

Description: Closure of the distance function of a metric space. Part of Property M1 of [Kreyszig] p. 3. (Contributed by NM, 30-Aug-2006.)

Assertion

Ref	Expression
metcl	⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem metcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metf 23391	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
2		fovrn 7420	. 2 ⊢ ((𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl3an1 1161	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1085   ∈ wcel 2108   × cxp 5578  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℝcr 10801  Metcmet 20496

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-map 8575  df-met 20504

This theorem is referenced by:  mettri2  23402  metrtri  23418  prdsmet  23431  imasf1omet  23437  blpnf  23458  bl2in  23461  mscl  23522  metss2lem  23573  methaus  23582  nmf2  23655  metdsre  23922  iscmet3lem1  24360  minveclem2  24495  minveclem3b  24497  minveclem3  24498  minveclem4  24501  minveclem7  24504  dvlog2lem  25712  vacn  28957  nmcvcn  28958  smcnlem  28960  blocni  29068  minvecolem2  29138  minvecolem3  29139  minvecolem4  29143  minvecolem7  29146  metf1o  35840  mettrifi  35842  lmclim2  35843  geomcau  35844  isbnd3  35869  isbnd3b  35870  ssbnd  35873  totbndbnd  35874  equivbnd  35875  prdsbnd  35878  heibor1lem  35894  heiborlem6  35901  bfplem1  35907  bfplem2  35908  bfp  35909  rrncmslem  35917  rrnequiv  35920  rrntotbnd  35921  ioorrnopnlem  43735