Theorem metcl 24526

Description: Closure of the distance function of a metric space. Part of Property M1 of [Kreyszig] p. 3. (Contributed by NM, 30-Aug-2006.)

Assertion

Ref	Expression
metcl	⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem metcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metf 24524	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
2		fovcdm 7593	. 2 ⊢ ((𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl3an1 1181	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2146   × cxp 5664  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  ℝcr 11117  Metcmet 21545

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-fv 6551  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-map 8835  df-met 21553

This theorem is used by:  mettri2  24535  metrtri  24551  prdsmet  24564  imasf1omet  24570  blpnf  24591  bl2in  24594  mscl  24655  metss2lem  24705  methaus  24714  nmf2  24787  metdsre  25048  iscmet3lem1  25487  minveclem2  25622  minveclem3b  25624  minveclem3  25625  minveclem4  25628  minveclem7  25631  dvlog2lem  26854  vacn  31083  nmcvcn  31084  smcnlem  31086  blocni  31194  minvecolem2  31264  minvecolem3  31265  minvecolem4  31269  minvecolem7  31272  metf1o  38447  mettrifi  38449  lmclim2  38450  geomcau  38451  isbnd3  38476  isbnd3b  38477  ssbnd  38480  totbndbnd  38481  equivbnd  38482  prdsbnd  38485  heibor1lem  38501  heiborlem6  38508  bfplem1  38514  bfplem2  38515  bfp  38516  rrncmslem  38524  rrnequiv  38527  rrntotbnd  38528  ioorrnopnlem  47059