Theorem metcl 24287

Description: Closure of the distance function of a metric space. Part of Property M1 of [Kreyszig] p. 3. (Contributed by NM, 30-Aug-2006.)

Assertion

Ref	Expression
metcl	⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem metcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metf 24285	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
2		fovcdm 7585	. 2 ⊢ ((𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl3an1 1163	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2107   × cxp 5663  ⟶wf 6537  ‘cfv 6541  (class class class)co 7413  ℝcr 11136  Metcmet 21312

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-id 5558  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-fv 6549  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-map 8850  df-met 21320

This theorem is referenced by:  mettri2  24296  metrtri  24312  prdsmet  24325  imasf1omet  24331  blpnf  24352  bl2in  24355  mscl  24416  metss2lem  24468  methaus  24477  nmf2  24550  metdsre  24811  iscmet3lem1  25261  minveclem2  25396  minveclem3b  25398  minveclem3  25399  minveclem4  25402  minveclem7  25405  dvlog2lem  26630  vacn  30641  nmcvcn  30642  smcnlem  30644  blocni  30752  minvecolem2  30822  minvecolem3  30823  minvecolem4  30827  minvecolem7  30830  metf1o  37721  mettrifi  37723  lmclim2  37724  geomcau  37725  isbnd3  37750  isbnd3b  37751  ssbnd  37754  totbndbnd  37755  equivbnd  37756  prdsbnd  37759  heibor1lem  37775  heiborlem6  37782  bfplem1  37788  bfplem2  37789  bfp  37790  rrncmslem  37798  rrnequiv  37801  rrntotbnd  37802  ioorrnopnlem  46276