Theorem metcl 24372

Description: Closure of the distance function of a metric space. Part of Property M1 of [Kreyszig] p. 3. (Contributed by NM, 30-Aug-2006.)

Assertion

Ref	Expression
metcl	⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem metcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metf 24370	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
2		fovcdm 7562	. 2 ⊢ ((𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl3an1 1175	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1097   ∈ wcel 2141   × cxp 5643  ⟶wf 6513  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  ℝcr 11069  Metcmet 21390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5540  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-fv 6525  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-map 8805  df-met 21398

This theorem is referenced by:  mettri2  24381  metrtri  24397  prdsmet  24410  imasf1omet  24416  blpnf  24437  bl2in  24440  mscl  24501  metss2lem  24551  methaus  24560  nmf2  24633  metdsre  24894  iscmet3lem1  25333  minveclem2  25468  minveclem3b  25470  minveclem3  25471  minveclem4  25474  minveclem7  25477  dvlog2lem  26694  vacn  30843  nmcvcn  30844  smcnlem  30846  blocni  30954  minvecolem2  31024  minvecolem3  31025  minvecolem4  31029  minvecolem7  31032  metf1o  38218  mettrifi  38220  lmclim2  38221  geomcau  38222  isbnd3  38247  isbnd3b  38248  ssbnd  38251  totbndbnd  38252  equivbnd  38253  prdsbnd  38256  heibor1lem  38272  heiborlem6  38279  bfplem1  38285  bfplem2  38286  bfp  38287  rrncmslem  38295  rrnequiv  38298  rrntotbnd  38299  ioorrnopnlem  46842