Theorem metcl 24220

Description: Closure of the distance function of a metric space. Part of Property M1 of [Kreyszig] p. 3. (Contributed by NM, 30-Aug-2006.)

Assertion

Ref	Expression
metcl	⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem metcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metf 24218	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
2		fovcdm 7559	. 2 ⊢ ((𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl3an1 1163	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109   × cxp 5636  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℝcr 11067  Metcmet 21250

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-fv 6519  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-map 8801  df-met 21258

This theorem is referenced by:  mettri2  24229  metrtri  24245  prdsmet  24258  imasf1omet  24264  blpnf  24285  bl2in  24288  mscl  24349  metss2lem  24399  methaus  24408  nmf2  24481  metdsre  24742  iscmet3lem1  25191  minveclem2  25326  minveclem3b  25328  minveclem3  25329  minveclem4  25332  minveclem7  25335  dvlog2lem  26561  vacn  30623  nmcvcn  30624  smcnlem  30626  blocni  30734  minvecolem2  30804  minvecolem3  30805  minvecolem4  30809  minvecolem7  30812  metf1o  37749  mettrifi  37751  lmclim2  37752  geomcau  37753  isbnd3  37778  isbnd3b  37779  ssbnd  37782  totbndbnd  37783  equivbnd  37784  prdsbnd  37787  heibor1lem  37803  heiborlem6  37810  bfplem1  37816  bfplem2  37817  bfp  37818  rrncmslem  37826  rrnequiv  37829  rrntotbnd  37830  ioorrnopnlem  46302