Theorem metcl 24288

Description: Closure of the distance function of a metric space. Part of Property M1 of [Kreyszig] p. 3. (Contributed by NM, 30-Aug-2006.)

Assertion

Ref	Expression
metcl	⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem metcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metf 24286	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
2		fovcdm 7538	. 2 ⊢ ((𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl3an1 1164	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114   × cxp 5630  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ℝcr 11037  Metcmet 21307

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-fv 6508  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-map 8777  df-met 21315

This theorem is referenced by:  mettri2  24297  metrtri  24313  prdsmet  24326  imasf1omet  24332  blpnf  24353  bl2in  24356  mscl  24417  metss2lem  24467  methaus  24476  nmf2  24549  metdsre  24810  iscmet3lem1  25259  minveclem2  25394  minveclem3b  25396  minveclem3  25397  minveclem4  25400  minveclem7  25403  dvlog2lem  26629  vacn  30781  nmcvcn  30782  smcnlem  30784  blocni  30892  minvecolem2  30962  minvecolem3  30963  minvecolem4  30967  minvecolem7  30970  metf1o  38000  mettrifi  38002  lmclim2  38003  geomcau  38004  isbnd3  38029  isbnd3b  38030  ssbnd  38033  totbndbnd  38034  equivbnd  38035  prdsbnd  38038  heibor1lem  38054  heiborlem6  38061  bfplem1  38067  bfplem2  38068  bfp  38069  rrncmslem  38077  rrnequiv  38080  rrntotbnd  38081  ioorrnopnlem  46656