MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metcl 22942
Description: Closure of the distance function of a metric space. Part of Property M1 of [Kreyszig] p. 3. (Contributed by NM, 30-Aug-2006.)
Assertion
Ref Expression
metcl ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem metcl
StepHypRef Expression
1 metf 22940 . 2 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
2 fovrn 7312 . 2 ((𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ)
31, 2syl3an1 1160 1 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1084  wcel 2115   × cxp 5540  wf 6339  cfv 6343  (class class class)co 7149  cr 10534  Metcmet 20531
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ral 3138  df-rex 3139  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-uni 4825  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-id 5447  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-fv 6351  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-map 8404  df-met 20539
This theorem is referenced by:  mettri2  22951  metrtri  22967  prdsmet  22980  imasf1omet  22986  blpnf  23007  bl2in  23010  mscl  23071  metss2lem  23121  methaus  23130  nmf2  23202  metdsre  23461  iscmet3lem1  23898  minveclem2  24033  minveclem3b  24035  minveclem3  24036  minveclem4  24039  minveclem7  24042  dvlog2lem  25246  vacn  28480  nmcvcn  28481  smcnlem  28483  blocni  28591  minvecolem2  28661  minvecolem3  28662  minvecolem4  28666  minvecolem7  28669  metf1o  35138  mettrifi  35140  lmclim2  35141  geomcau  35142  isbnd3  35167  isbnd3b  35168  ssbnd  35171  totbndbnd  35172  equivbnd  35173  prdsbnd  35176  heibor1lem  35192  heiborlem6  35199  bfplem1  35205  bfplem2  35206  bfp  35207  rrncmslem  35215  rrnequiv  35218  rrntotbnd  35219  ioorrnopnlem  42872
  Copyright terms: Public domain W3C validator