MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isngp3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isngp3 23864
Description: The property of being a normed group. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isngp.n 𝑁 = (norm‘𝐺)
isngp.z = (-g𝐺)
isngp.d 𝐷 = (dist‘𝐺)
isngp2.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
isngp3 (𝐺 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝑥 𝑦))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐷   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥, ,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦

Proof of Theorem isngp3
StepHypRef Expression
1 isngp.n . . 3 𝑁 = (norm‘𝐺)
2 isngp.z . . 3 = (-g𝐺)
3 isngp.d . . 3 𝐷 = (dist‘𝐺)
4 isngp2.x . . 3 𝑋 = (Base‘𝐺)
5 eqid 2737 . . 3 (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) = (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))
61, 2, 3, 4, 5isngp2 23863 . 2 (𝐺 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ (𝑁 ) = (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))))
74, 3msmet2 23723 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ MetSp → (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) ∈ (Met‘𝑋))
81, 4, 3, 5nmf2 23859 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) ∈ (Met‘𝑋)) → 𝑁:𝑋⟶ℝ)
97, 8sylan2 594 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) → 𝑁:𝑋⟶ℝ)
104, 2grpsubf 18755 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ Grp → :(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
1110adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) → :(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
12 fco 6684 . . . . . . . 8 ((𝑁:𝑋⟶ℝ ∧ :(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋) → (𝑁 ):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
139, 11, 12syl2anc 585 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) → (𝑁 ):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
1413ffnd 6661 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) → (𝑁 ) Fn (𝑋 × 𝑋))
157adantl 483 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) → (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) ∈ (Met‘𝑋))
16 metf 23593 . . . . . . 7 ((𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) ∈ (Met‘𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
17 ffn 6660 . . . . . . 7 ((𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ → (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) Fn (𝑋 × 𝑋))
1815, 16, 173syl 18 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) → (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) Fn (𝑋 × 𝑋))
19 eqfnov2 7475 . . . . . 6 (((𝑁 ) Fn (𝑋 × 𝑋) ∧ (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) Fn (𝑋 × 𝑋)) → ((𝑁 ) = (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) ↔ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥(𝑁 )𝑦) = (𝑥(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑦)))
2014, 18, 19syl2anc 585 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) → ((𝑁 ) = (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) ↔ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥(𝑁 )𝑦) = (𝑥(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑦)))
21 opelxpi 5664 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝑋𝑦𝑋) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋))
22 fvco3 6932 . . . . . . . . . 10 (( :(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋 ∧ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋)) → ((𝑁 )‘⟨𝑥, 𝑦⟩) = (𝑁‘( ‘⟨𝑥, 𝑦⟩)))
2311, 21, 22syl2an 597 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝑁 )‘⟨𝑥, 𝑦⟩) = (𝑁‘( ‘⟨𝑥, 𝑦⟩)))
24 df-ov 7349 . . . . . . . . 9 (𝑥(𝑁 )𝑦) = ((𝑁 )‘⟨𝑥, 𝑦⟩)
25 df-ov 7349 . . . . . . . . . 10 (𝑥 𝑦) = ( ‘⟨𝑥, 𝑦⟩)
2625fveq2i 6837 . . . . . . . . 9 (𝑁‘(𝑥 𝑦)) = (𝑁‘( ‘⟨𝑥, 𝑦⟩))
2723, 24, 263eqtr4g 2802 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥(𝑁 )𝑦) = (𝑁‘(𝑥 𝑦)))
28 ovres 7509 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑦) = (𝑥𝐷𝑦))
2928adantl 483 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑦) = (𝑥𝐷𝑦))
3027, 29eqeq12d 2753 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝑥(𝑁 )𝑦) = (𝑥(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑦) ↔ (𝑁‘(𝑥 𝑦)) = (𝑥𝐷𝑦)))
31 eqcom 2744 . . . . . . 7 ((𝑁‘(𝑥 𝑦)) = (𝑥𝐷𝑦) ↔ (𝑥𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝑥 𝑦)))
3230, 31bitrdi 287 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝑥(𝑁 )𝑦) = (𝑥(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑦) ↔ (𝑥𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝑥 𝑦))))
33322ralbidva 3208 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) → (∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥(𝑁 )𝑦) = (𝑥(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑦) ↔ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝑥 𝑦))))
3420, 33bitrd 279 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) → ((𝑁 ) = (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) ↔ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝑥 𝑦))))
3534pm5.32i 576 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ) = (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))) ↔ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝑥 𝑦))))
36 df-3an 1089 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ (𝑁 ) = (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))) ↔ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ) = (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))))
37 df-3an 1089 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝑥 𝑦))) ↔ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝑥 𝑦))))
3835, 36, 373bitr4i 303 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ (𝑁 ) = (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝑥 𝑦))))
396, 38bitri 275 1 (𝐺 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝑥 𝑦))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 397  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3062  cop 4587   × cxp 5625  cres 5629  ccom 5631   Fn wfn 6483  wf 6484  cfv 6488  (class class class)co 7346  cr 10980  Basecbs 17014  distcds 17073  Grpcgrp 18678  -gcsg 18680  Metcmet 20693  MetSpcms 23581  normcnm 23842  NrmGrpcngp 23843
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5251  ax-nul 5258  ax-pow 5315  ax-pr 5379  ax-un 7659  ax-cnex 11037  ax-resscn 11038  ax-1cn 11039  ax-icn 11040  ax-addcl 11041  ax-addrcl 11042  ax-mulcl 11043  ax-mulrcl 11044  ax-mulcom 11045  ax-addass 11046  ax-mulass 11047  ax-distr 11048  ax-i2m1 11049  ax-1ne0 11050  ax-1rid 11051  ax-rnegex 11052  ax-rrecex 11053  ax-cnre 11054  ax-pre-lttri 11055  ax-pre-lttrn 11056  ax-pre-ltadd 11057  ax-pre-mulgt0 11058  ax-pre-sup 11059
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3735  df-csb 3851  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3924  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4861  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5184  df-tr 5218  df-id 5525  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5582  df-we 5584  df-xp 5633  df-rel 5634  df-cnv 5635  df-co 5636  df-dm 5637  df-rn 5638  df-res 5639  df-ima 5640  df-pred 6246  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6440  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7302  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7790  df-1st 7908  df-2nd 7909  df-frecs 8176  df-wrecs 8207  df-recs 8281  df-rdg 8320  df-er 8578  df-map 8697  df-en 8814  df-dom 8815  df-sdom 8816  df-sup 9308  df-inf 9309  df-pnf 11121  df-mnf 11122  df-xr 11123  df-ltxr 11124  df-le 11125  df-sub 11317  df-neg 11318  df-div 11743  df-nn 12084  df-2 12146  df-n0 12344  df-z 12430  df-uz 12693  df-q 12799  df-rp 12841  df-xneg 12958  df-xadd 12959  df-xmul 12960  df-0g 17254  df-topgen 17256  df-mgm 18428  df-sgrp 18477  df-mnd 18488  df-grp 18681  df-minusg 18682  df-sbg 18683  df-psmet 20699  df-xmet 20700  df-met 20701  df-bl 20702  df-mopn 20703  df-top 22153  df-topon 22170  df-topsp 22192  df-bases 22206  df-xms 23583  df-ms 23584  df-nm 23848  df-ngp 23849
This theorem is referenced by:  isngp4  23878  subgngp  23901
  Copyright terms: Public domain W3C validator