Theorem isngp3 23209

Description: The property of being a normed group. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isngp.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
isngp.z	⊢ − = (-g‘𝐺)
isngp.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝐺)
isngp2.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
isngp3	⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝑥 − 𝑦))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐷   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥, − ,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦

Proof of Theorem isngp3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isngp.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
2		isngp.z	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝐺)
3		isngp.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝐺)
4		isngp2.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
5		eqid 2823	. . 3 ⊢ (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) = (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))
6	1, 2, 3, 4, 5	isngp2 23208	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ (𝑁 ∘ − ) = (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))))
7	4, 3	msmet2 23072	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ MetSp → (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) ∈ (Met‘𝑋))
8	1, 4, 3, 5	nmf2 23204	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) ∈ (Met‘𝑋)) → 𝑁:𝑋⟶ℝ)
9	7, 8	sylan2 594	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) → 𝑁:𝑋⟶ℝ)
10	4, 2	grpsubf 18180	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → − :(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
11	10	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) → − :(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
12		fco 6533	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁:𝑋⟶ℝ ∧ − :(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋) → (𝑁 ∘ − ):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
13	9, 11, 12	syl2anc 586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) → (𝑁 ∘ − ):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
14	13	ffnd 6517	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) → (𝑁 ∘ − ) Fn (𝑋 × 𝑋))
15	7	adantl 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) → (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) ∈ (Met‘𝑋))
16		metf 22942	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) ∈ (Met‘𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
17		ffn 6516	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ → (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) Fn (𝑋 × 𝑋))
18	15, 16, 17	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) → (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) Fn (𝑋 × 𝑋))
19		eqfnov2 7283	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∘ − ) Fn (𝑋 × 𝑋) ∧ (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) Fn (𝑋 × 𝑋)) → ((𝑁 ∘ − ) = (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥(𝑁 ∘ − )𝑦) = (𝑥(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑦)))
20	14, 18, 19	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) → ((𝑁 ∘ − ) = (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥(𝑁 ∘ − )𝑦) = (𝑥(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑦)))
21		opelxpi 5594	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋))
22		fvco3 6762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (( − :(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋 ∧ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋)) → ((𝑁 ∘ − )‘⟨𝑥, 𝑦⟩) = (𝑁‘( − ‘⟨𝑥, 𝑦⟩)))
23	11, 21, 22	syl2an 597	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((𝑁 ∘ − )‘⟨𝑥, 𝑦⟩) = (𝑁‘( − ‘⟨𝑥, 𝑦⟩)))
24		df-ov 7161	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥(𝑁 ∘ − )𝑦) = ((𝑁 ∘ − )‘⟨𝑥, 𝑦⟩)
25		df-ov 7161	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 − 𝑦) = ( − ‘⟨𝑥, 𝑦⟩)
26	25	fveq2i 6675	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁‘(𝑥 − 𝑦)) = (𝑁‘( − ‘⟨𝑥, 𝑦⟩))
27	23, 24, 26	3eqtr4g 2883	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥(𝑁 ∘ − )𝑦) = (𝑁‘(𝑥 − 𝑦)))
28		ovres 7316	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑦) = (𝑥𝐷𝑦))
29	28	adantl 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑦) = (𝑥𝐷𝑦))
30	27, 29	eqeq12d 2839	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((𝑥(𝑁 ∘ − )𝑦) = (𝑥(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑦) ↔ (𝑁‘(𝑥 − 𝑦)) = (𝑥𝐷𝑦)))
31		eqcom 2830	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁‘(𝑥 − 𝑦)) = (𝑥𝐷𝑦) ↔ (𝑥𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝑥 − 𝑦)))
32	30, 31	syl6bb 289	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((𝑥(𝑁 ∘ − )𝑦) = (𝑥(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑦) ↔ (𝑥𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝑥 − 𝑦))))
33	32	2ralbidva 3200	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥(𝑁 ∘ − )𝑦) = (𝑥(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝑥 − 𝑦))))
34	20, 33	bitrd 281	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) → ((𝑁 ∘ − ) = (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝑥 − 𝑦))))
35	34	pm5.32i 577	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ∘ − ) = (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))) ↔ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝑥 − 𝑦))))
36		df-3an 1085	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ (𝑁 ∘ − ) = (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))) ↔ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ∘ − ) = (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))))
37		df-3an 1085	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝑥 − 𝑦))) ↔ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝑥 − 𝑦))))
38	35, 36, 37	3bitr4i 305	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ (𝑁 ∘ − ) = (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝑥 − 𝑦))))
39	6, 38	bitri 277	1 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝑥 − 𝑦))))

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∀wral 3140  ⟨cop 4575   × cxp 5555   ↾ cres 5559   ∘ ccom 5561   Fn wfn 6352  ⟶wf 6353  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  ℝcr 10538  Basecbs 16485  distcds 16576  Grpcgrp 18105  -_gcsg 18107  Metcmet 20533  MetSpcms 22930  normcnm 23188  NrmGrpcngp 23189

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-er 8291  df-map 8410  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-sup 8908  df-inf 8909  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-q 12352  df-rp 12393  df-xneg 12510  df-xadd 12511  df-xmul 12512  df-0g 16717  df-topgen 16719  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-grp 18108  df-minusg 18109  df-sbg 18110  df-psmet 20539  df-xmet 20540  df-met 20541  df-bl 20542  df-mopn 20543  df-top 21504  df-topon 21521  df-topsp 21543  df-bases 21556  df-xms 22932  df-ms 22933  df-nm 23194  df-ngp 23195

This theorem is referenced by:  isngp4  23223  subgngp  23246