Theorem isngp3 23660

Description: The property of being a normed group. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isngp.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
isngp.z	⊢ − = (-g‘𝐺)
isngp.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝐺)
isngp2.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
isngp3	⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝑥 − 𝑦))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐷   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥, − ,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦

Proof of Theorem isngp3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isngp.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
2		isngp.z	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝐺)
3		isngp.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝐺)
4		isngp2.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
5		eqid 2738	. . 3 ⊢ (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) = (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))
6	1, 2, 3, 4, 5	isngp2 23659	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ (𝑁 ∘ − ) = (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))))
7	4, 3	msmet2 23521	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ MetSp → (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) ∈ (Met‘𝑋))
8	1, 4, 3, 5	nmf2 23655	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) ∈ (Met‘𝑋)) → 𝑁:𝑋⟶ℝ)
9	7, 8	sylan2 592	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) → 𝑁:𝑋⟶ℝ)
10	4, 2	grpsubf 18569	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → − :(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
11	10	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) → − :(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
12		fco 6608	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁:𝑋⟶ℝ ∧ − :(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋) → (𝑁 ∘ − ):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
13	9, 11, 12	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) → (𝑁 ∘ − ):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
14	13	ffnd 6585	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) → (𝑁 ∘ − ) Fn (𝑋 × 𝑋))
15	7	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) → (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) ∈ (Met‘𝑋))
16		metf 23391	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) ∈ (Met‘𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
17		ffn 6584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ → (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) Fn (𝑋 × 𝑋))
18	15, 16, 17	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) → (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) Fn (𝑋 × 𝑋))
19		eqfnov2 7382	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∘ − ) Fn (𝑋 × 𝑋) ∧ (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) Fn (𝑋 × 𝑋)) → ((𝑁 ∘ − ) = (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥(𝑁 ∘ − )𝑦) = (𝑥(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑦)))
20	14, 18, 19	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) → ((𝑁 ∘ − ) = (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥(𝑁 ∘ − )𝑦) = (𝑥(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑦)))
21		opelxpi 5617	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋))
22		fvco3 6849	. . . . . . . . . 10 ⊢ (( − :(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋 ∧ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋)) → ((𝑁 ∘ − )‘⟨𝑥, 𝑦⟩) = (𝑁‘( − ‘⟨𝑥, 𝑦⟩)))
23	11, 21, 22	syl2an 595	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((𝑁 ∘ − )‘⟨𝑥, 𝑦⟩) = (𝑁‘( − ‘⟨𝑥, 𝑦⟩)))
24		df-ov 7258	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥(𝑁 ∘ − )𝑦) = ((𝑁 ∘ − )‘⟨𝑥, 𝑦⟩)
25		df-ov 7258	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 − 𝑦) = ( − ‘⟨𝑥, 𝑦⟩)
26	25	fveq2i 6759	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁‘(𝑥 − 𝑦)) = (𝑁‘( − ‘⟨𝑥, 𝑦⟩))
27	23, 24, 26	3eqtr4g 2804	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥(𝑁 ∘ − )𝑦) = (𝑁‘(𝑥 − 𝑦)))
28		ovres 7416	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑦) = (𝑥𝐷𝑦))
29	28	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑦) = (𝑥𝐷𝑦))
30	27, 29	eqeq12d 2754	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((𝑥(𝑁 ∘ − )𝑦) = (𝑥(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑦) ↔ (𝑁‘(𝑥 − 𝑦)) = (𝑥𝐷𝑦)))
31		eqcom 2745	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁‘(𝑥 − 𝑦)) = (𝑥𝐷𝑦) ↔ (𝑥𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝑥 − 𝑦)))
32	30, 31	bitrdi 286	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((𝑥(𝑁 ∘ − )𝑦) = (𝑥(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑦) ↔ (𝑥𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝑥 − 𝑦))))
33	32	2ralbidva 3121	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥(𝑁 ∘ − )𝑦) = (𝑥(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝑥 − 𝑦))))
34	20, 33	bitrd 278	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) → ((𝑁 ∘ − ) = (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝑥 − 𝑦))))
35	34	pm5.32i 574	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ∘ − ) = (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))) ↔ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝑥 − 𝑦))))
36		df-3an 1087	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ (𝑁 ∘ − ) = (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))) ↔ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ∘ − ) = (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))))
37		df-3an 1087	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝑥 − 𝑦))) ↔ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝑥 − 𝑦))))
38	35, 36, 37	3bitr4i 302	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ (𝑁 ∘ − ) = (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝑥 − 𝑦))))
39	6, 38	bitri 274	1 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝑥 − 𝑦))))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  ⟨cop 4564   × cxp 5578   ↾ cres 5582   ∘ ccom 5584   Fn wfn 6413  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℝcr 10801  Basecbs 16840  distcds 16897  Grpcgrp 18492  -_gcsg 18494  Metcmet 20496  MetSpcms 23379  normcnm 23638  NrmGrpcngp 23639

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-sup 9131  df-inf 9132  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-0g 17069  df-topgen 17071  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-met 20504  df-bl 20505  df-mopn 20506  df-top 21951  df-topon 21968  df-topsp 21990  df-bases 22004  df-xms 23381  df-ms 23382  df-nm 23644  df-ngp 23645

This theorem is referenced by:  isngp4  23674  subgngp  23697