Theorem isngp3 24658

Description: The property of being a normed group. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isngp.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
isngp.z	⊢ − = (-g‘𝐺)
isngp.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝐺)
isngp2.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
isngp3	⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝑥 − 𝑦))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐷   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥, − ,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦

Proof of Theorem isngp3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isngp.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
2		isngp.z	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝐺)
3		isngp.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝐺)
4		isngp2.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
5		eqid 2762	. . 3 ⊢ (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) = (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))
6	1, 2, 3, 4, 5	isngp2 24657	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ (𝑁 ∘ − ) = (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))))
7	4, 3	msmet2 24520	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ MetSp → (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) ∈ (Met‘𝑋))
8	1, 4, 3, 5	nmf2 24653	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) ∈ (Met‘𝑋)) → 𝑁:𝑋⟶ℝ)
9	7, 8	sylan2 602	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) → 𝑁:𝑋⟶ℝ)
10	4, 2	grpsubf 19061	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → − :(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
11	10	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) → − :(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
12		fco 6716	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁:𝑋⟶ℝ ∧ − :(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋) → (𝑁 ∘ − ):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
13	9, 11, 12	syl2anc 593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) → (𝑁 ∘ − ):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
14	13	ffnd 6692	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) → (𝑁 ∘ − ) Fn (𝑋 × 𝑋))
15	7	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) → (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) ∈ (Met‘𝑋))
16		metf 24390	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) ∈ (Met‘𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
17		ffn 6691	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ → (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) Fn (𝑋 × 𝑋))
18	15, 16, 17	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) → (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) Fn (𝑋 × 𝑋))
19		eqfnov2 7526	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∘ − ) Fn (𝑋 × 𝑋) ∧ (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) Fn (𝑋 × 𝑋)) → ((𝑁 ∘ − ) = (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥(𝑁 ∘ − )𝑦) = (𝑥(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑦)))
20	14, 18, 19	syl2anc 593	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) → ((𝑁 ∘ − ) = (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥(𝑁 ∘ − )𝑦) = (𝑥(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑦)))
21		opelxpi 5684	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋))
22		fvco3 6967	. . . . . . . . . 10 ⊢ (( − :(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋 ∧ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋)) → ((𝑁 ∘ − )‘⟨𝑥, 𝑦⟩) = (𝑁‘( − ‘⟨𝑥, 𝑦⟩)))
23	11, 21, 22	syl2an 605	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((𝑁 ∘ − )‘⟨𝑥, 𝑦⟩) = (𝑁‘( − ‘⟨𝑥, 𝑦⟩)))
24		df-ov 7399	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥(𝑁 ∘ − )𝑦) = ((𝑁 ∘ − )‘⟨𝑥, 𝑦⟩)
25		df-ov 7399	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 − 𝑦) = ( − ‘⟨𝑥, 𝑦⟩)
26	25	fveq2i 6870	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁‘(𝑥 − 𝑦)) = (𝑁‘( − ‘⟨𝑥, 𝑦⟩))
27	23, 24, 26	3eqtr4g 2822	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥(𝑁 ∘ − )𝑦) = (𝑁‘(𝑥 − 𝑦)))
28		ovres 7562	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑦) = (𝑥𝐷𝑦))
29	28	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑦) = (𝑥𝐷𝑦))
30	27, 29	eqeq12d 2778	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((𝑥(𝑁 ∘ − )𝑦) = (𝑥(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑦) ↔ (𝑁‘(𝑥 − 𝑦)) = (𝑥𝐷𝑦)))
31		eqcom 2769	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁‘(𝑥 − 𝑦)) = (𝑥𝐷𝑦) ↔ (𝑥𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝑥 − 𝑦)))
32	30, 31	bitrdi 289	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((𝑥(𝑁 ∘ − )𝑦) = (𝑥(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑦) ↔ (𝑥𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝑥 − 𝑦))))
33	32	2ralbidva 3224	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥(𝑁 ∘ − )𝑦) = (𝑥(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝑥 − 𝑦))))
34	20, 33	bitrd 281	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) → ((𝑁 ∘ − ) = (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝑥 − 𝑦))))
35	34	pm5.32i 582	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ∘ − ) = (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))) ↔ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝑥 − 𝑦))))
36		df-3an 1100	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ (𝑁 ∘ − ) = (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))) ↔ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ∘ − ) = (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))))
37		df-3an 1100	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝑥 − 𝑦))) ↔ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝑥 − 𝑦))))
38	35, 36, 37	3bitr4i 305	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ (𝑁 ∘ − ) = (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝑥 − 𝑦))))
39	6, 38	bitri 277	1 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝑥 − 𝑦))))

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1098   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  ∀wral 3076  ⟨cop 4588   × cxp 5645   ↾ cres 5649   ∘ ccom 5651   Fn wfn 6516  ⟶wf 6517  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  ℝcr 11072  Basecbs 17245  distcds 17295  Grpcgrp 18975  -_gcsg 18977  Metcmet 21410  MetSpcms 24378  normcnm 24636  NrmGrpcngp 24637

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-pre-sup 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-er 8678  df-map 8810  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-sup 9388  df-inf 9389  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845  df-nn 12211  df-2 12280  df-n0 12482  df-z 12569  df-uz 12840  df-q 12950  df-rp 12994  df-xneg 13114  df-xadd 13115  df-xmul 13116  df-0g 17470  df-topgen 17472  df-mgm 18674  df-sgrp 18753  df-mnd 18769  df-grp 18978  df-minusg 18979  df-sbg 18980  df-psmet 21416  df-xmet 21417  df-met 21418  df-bl 21419  df-mopn 21420  df-top 22954  df-topon 22971  df-topsp 22993  df-bases 23006  df-xms 24380  df-ms 24381  df-nm 24642  df-ngp 24643

This theorem is referenced by:  isngp4  24672  subgngp  24695