MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isngp3 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem isngp3 24327
Description: The property of being a normed group. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isngp.n 𝑁 = (normβ€˜πΊ)
isngp.z βˆ’ = (-gβ€˜πΊ)
isngp.d 𝐷 = (distβ€˜πΊ)
isngp2.x 𝑋 = (Baseβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
isngp3 (𝐺 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝐷𝑦) = (π‘β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐷   π‘₯,𝐺,𝑦   π‘₯, βˆ’ ,𝑦   π‘₯,𝑁,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦
Proof of Theorem isngp3
StepHypRef Expression
1 isngp.n . . 3 𝑁 = (normβ€˜πΊ)
2 isngp.z . . 3 βˆ’ = (-gβ€˜πΊ)
3 isngp.d . . 3 𝐷 = (distβ€˜πΊ)
4 isngp2.x . . 3 𝑋 = (Baseβ€˜πΊ)
5 eqid 2730 . . 3 (𝐷 β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)) = (𝐷 β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))
61, 2, 3, 4, 5isngp2 24326 . 2 (𝐺 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ (𝑁 ∘ βˆ’ ) = (𝐷 β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))))
74, 3msmet2 24186 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ MetSp β†’ (𝐷 β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)) ∈ (Metβ€˜π‘‹))
81, 4, 3, 5nmf2 24322 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝐷 β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)) ∈ (Metβ€˜π‘‹)) β†’ 𝑁:π‘‹βŸΆβ„)
97, 8sylan2 591 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) β†’ 𝑁:π‘‹βŸΆβ„)
104, 2grpsubf 18938 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ Grp β†’ βˆ’ :(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆπ‘‹)
1110adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) β†’ βˆ’ :(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆπ‘‹)
12 fco 6740 . . . . . . . 8 ((𝑁:π‘‹βŸΆβ„ ∧ βˆ’ :(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆπ‘‹) β†’ (𝑁 ∘ βˆ’ ):(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„)
139, 11, 12syl2anc 582 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) β†’ (𝑁 ∘ βˆ’ ):(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„)
1413ffnd 6717 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) β†’ (𝑁 ∘ βˆ’ ) Fn (𝑋 Γ— 𝑋))
157adantl 480 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) β†’ (𝐷 β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)) ∈ (Metβ€˜π‘‹))
16 metf 24056 . . . . . . 7 ((𝐷 β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)) ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝐷 β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)):(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„)
17 ffn 6716 . . . . . . 7 ((𝐷 β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)):(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„ β†’ (𝐷 β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)) Fn (𝑋 Γ— 𝑋))
1815, 16, 173syl 18 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) β†’ (𝐷 β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)) Fn (𝑋 Γ— 𝑋))
19 eqfnov2 7541 . . . . . 6 (((𝑁 ∘ βˆ’ ) Fn (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ (𝐷 β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)) Fn (𝑋 Γ— 𝑋)) β†’ ((𝑁 ∘ βˆ’ ) = (𝐷 β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯(𝑁 ∘ βˆ’ )𝑦) = (π‘₯(𝐷 β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))𝑦)))
2014, 18, 19syl2anc 582 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) β†’ ((𝑁 ∘ βˆ’ ) = (𝐷 β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯(𝑁 ∘ βˆ’ )𝑦) = (π‘₯(𝐷 β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))𝑦)))
21 opelxpi 5712 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ (𝑋 Γ— 𝑋))
22 fvco3 6989 . . . . . . . . . 10 (( βˆ’ :(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆπ‘‹ ∧ ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ (𝑋 Γ— 𝑋)) β†’ ((𝑁 ∘ βˆ’ )β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) = (π‘β€˜( βˆ’ β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©)))
2311, 21, 22syl2an 594 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝑁 ∘ βˆ’ )β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) = (π‘β€˜( βˆ’ β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©)))
24 df-ov 7414 . . . . . . . . 9 (π‘₯(𝑁 ∘ βˆ’ )𝑦) = ((𝑁 ∘ βˆ’ )β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©)
25 df-ov 7414 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ βˆ’ 𝑦) = ( βˆ’ β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©)
2625fveq2i 6893 . . . . . . . . 9 (π‘β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) = (π‘β€˜( βˆ’ β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©))
2723, 24, 263eqtr4g 2795 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯(𝑁 ∘ βˆ’ )𝑦) = (π‘β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)))
28 ovres 7575 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯(𝐷 β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))𝑦) = (π‘₯𝐷𝑦))
2928adantl 480 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯(𝐷 β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))𝑦) = (π‘₯𝐷𝑦))
3027, 29eqeq12d 2746 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘₯(𝑁 ∘ βˆ’ )𝑦) = (π‘₯(𝐷 β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))𝑦) ↔ (π‘β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) = (π‘₯𝐷𝑦)))
31 eqcom 2737 . . . . . . 7 ((π‘β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) = (π‘₯𝐷𝑦) ↔ (π‘₯𝐷𝑦) = (π‘β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)))
3230, 31bitrdi 286 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘₯(𝑁 ∘ βˆ’ )𝑦) = (π‘₯(𝐷 β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))𝑦) ↔ (π‘₯𝐷𝑦) = (π‘β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦))))
33322ralbidva 3214 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯(𝑁 ∘ βˆ’ )𝑦) = (π‘₯(𝐷 β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))𝑦) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝐷𝑦) = (π‘β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦))))
3420, 33bitrd 278 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) β†’ ((𝑁 ∘ βˆ’ ) = (𝐷 β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝐷𝑦) = (π‘β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦))))
3534pm5.32i 573 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ∘ βˆ’ ) = (𝐷 β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))) ↔ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝐷𝑦) = (π‘β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦))))
36 df-3an 1087 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ (𝑁 ∘ βˆ’ ) = (𝐷 β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))) ↔ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ∘ βˆ’ ) = (𝐷 β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))))
37 df-3an 1087 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝐷𝑦) = (π‘β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦))) ↔ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝐷𝑦) = (π‘β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦))))
3835, 36, 373bitr4i 302 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ (𝑁 ∘ βˆ’ ) = (𝐷 β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝐷𝑦) = (π‘β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦))))
396, 38bitri 274 1 (𝐺 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝐷𝑦) = (π‘β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  βŸ¨cop 4633   Γ— cxp 5673   β†Ύ cres 5677   ∘ ccom 5679   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  β„cr 11111  Basecbs 17148  distcds 17210  Grpcgrp 18855  -gcsg 18857  Metcmet 21130  MetSpcms 24044  normcnm 24305  NrmGrpcngp 24306
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-0g 17391  df-topgen 17393  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-xms 24046  df-ms 24047  df-nm 24311  df-ngp 24312
This theorem is referenced by:  isngp4  24341  subgngp  24364
  Copyright terms: Public domain W3C validator