MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isngp3 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem isngp3 24107
Description: The property of being a normed group. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isngp.n 𝑁 = (normβ€˜πΊ)
isngp.z βˆ’ = (-gβ€˜πΊ)
isngp.d 𝐷 = (distβ€˜πΊ)
isngp2.x 𝑋 = (Baseβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
isngp3 (𝐺 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝐷𝑦) = (π‘β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐷   π‘₯,𝐺,𝑦   π‘₯, βˆ’ ,𝑦   π‘₯,𝑁,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦
Proof of Theorem isngp3
StepHypRef Expression
1 isngp.n . . 3 𝑁 = (normβ€˜πΊ)
2 isngp.z . . 3 βˆ’ = (-gβ€˜πΊ)
3 isngp.d . . 3 𝐷 = (distβ€˜πΊ)
4 isngp2.x . . 3 𝑋 = (Baseβ€˜πΊ)
5 eqid 2733 . . 3 (𝐷 β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)) = (𝐷 β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))
61, 2, 3, 4, 5isngp2 24106 . 2 (𝐺 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ (𝑁 ∘ βˆ’ ) = (𝐷 β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))))
74, 3msmet2 23966 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ MetSp β†’ (𝐷 β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)) ∈ (Metβ€˜π‘‹))
81, 4, 3, 5nmf2 24102 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝐷 β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)) ∈ (Metβ€˜π‘‹)) β†’ 𝑁:π‘‹βŸΆβ„)
97, 8sylan2 594 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) β†’ 𝑁:π‘‹βŸΆβ„)
104, 2grpsubf 18902 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ Grp β†’ βˆ’ :(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆπ‘‹)
1110adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) β†’ βˆ’ :(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆπ‘‹)
12 fco 6742 . . . . . . . 8 ((𝑁:π‘‹βŸΆβ„ ∧ βˆ’ :(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆπ‘‹) β†’ (𝑁 ∘ βˆ’ ):(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„)
139, 11, 12syl2anc 585 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) β†’ (𝑁 ∘ βˆ’ ):(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„)
1413ffnd 6719 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) β†’ (𝑁 ∘ βˆ’ ) Fn (𝑋 Γ— 𝑋))
157adantl 483 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) β†’ (𝐷 β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)) ∈ (Metβ€˜π‘‹))
16 metf 23836 . . . . . . 7 ((𝐷 β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)) ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝐷 β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)):(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„)
17 ffn 6718 . . . . . . 7 ((𝐷 β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)):(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„ β†’ (𝐷 β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)) Fn (𝑋 Γ— 𝑋))
1815, 16, 173syl 18 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) β†’ (𝐷 β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)) Fn (𝑋 Γ— 𝑋))
19 eqfnov2 7539 . . . . . 6 (((𝑁 ∘ βˆ’ ) Fn (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ (𝐷 β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)) Fn (𝑋 Γ— 𝑋)) β†’ ((𝑁 ∘ βˆ’ ) = (𝐷 β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯(𝑁 ∘ βˆ’ )𝑦) = (π‘₯(𝐷 β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))𝑦)))
2014, 18, 19syl2anc 585 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) β†’ ((𝑁 ∘ βˆ’ ) = (𝐷 β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯(𝑁 ∘ βˆ’ )𝑦) = (π‘₯(𝐷 β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))𝑦)))
21 opelxpi 5714 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ (𝑋 Γ— 𝑋))
22 fvco3 6991 . . . . . . . . . 10 (( βˆ’ :(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆπ‘‹ ∧ ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ (𝑋 Γ— 𝑋)) β†’ ((𝑁 ∘ βˆ’ )β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) = (π‘β€˜( βˆ’ β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©)))
2311, 21, 22syl2an 597 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝑁 ∘ βˆ’ )β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) = (π‘β€˜( βˆ’ β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©)))
24 df-ov 7412 . . . . . . . . 9 (π‘₯(𝑁 ∘ βˆ’ )𝑦) = ((𝑁 ∘ βˆ’ )β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©)
25 df-ov 7412 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ βˆ’ 𝑦) = ( βˆ’ β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©)
2625fveq2i 6895 . . . . . . . . 9 (π‘β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) = (π‘β€˜( βˆ’ β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©))
2723, 24, 263eqtr4g 2798 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯(𝑁 ∘ βˆ’ )𝑦) = (π‘β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)))
28 ovres 7573 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯(𝐷 β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))𝑦) = (π‘₯𝐷𝑦))
2928adantl 483 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯(𝐷 β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))𝑦) = (π‘₯𝐷𝑦))
3027, 29eqeq12d 2749 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘₯(𝑁 ∘ βˆ’ )𝑦) = (π‘₯(𝐷 β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))𝑦) ↔ (π‘β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) = (π‘₯𝐷𝑦)))
31 eqcom 2740 . . . . . . 7 ((π‘β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) = (π‘₯𝐷𝑦) ↔ (π‘₯𝐷𝑦) = (π‘β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)))
3230, 31bitrdi 287 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘₯(𝑁 ∘ βˆ’ )𝑦) = (π‘₯(𝐷 β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))𝑦) ↔ (π‘₯𝐷𝑦) = (π‘β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦))))
33322ralbidva 3217 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯(𝑁 ∘ βˆ’ )𝑦) = (π‘₯(𝐷 β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))𝑦) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝐷𝑦) = (π‘β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦))))
3420, 33bitrd 279 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) β†’ ((𝑁 ∘ βˆ’ ) = (𝐷 β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝐷𝑦) = (π‘β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦))))
3534pm5.32i 576 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ∘ βˆ’ ) = (𝐷 β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))) ↔ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝐷𝑦) = (π‘β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦))))
36 df-3an 1090 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ (𝑁 ∘ βˆ’ ) = (𝐷 β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))) ↔ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ∘ βˆ’ ) = (𝐷 β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))))
37 df-3an 1090 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝐷𝑦) = (π‘β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦))) ↔ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝐷𝑦) = (π‘β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦))))
3835, 36, 373bitr4i 303 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ (𝑁 ∘ βˆ’ ) = (𝐷 β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝐷𝑦) = (π‘β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦))))
396, 38bitri 275 1 (𝐺 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝐷𝑦) = (π‘β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βŸ¨cop 4635   Γ— cxp 5675   β†Ύ cres 5679   ∘ ccom 5681   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„cr 11109  Basecbs 17144  distcds 17206  Grpcgrp 18819  -gcsg 18821  Metcmet 20930  MetSpcms 23824  normcnm 24085  NrmGrpcngp 24086
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-0g 17387  df-topgen 17389  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-xms 23826  df-ms 23827  df-nm 24091  df-ngp 24092
This theorem is referenced by:  isngp4  24121  subgngp  24144
  Copyright terms: Public domain W3C validator