MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isngp3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isngp3 24627
Description: The property of being a normed group. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isngp.n 𝑁 = (norm‘𝐺)
isngp.z = (-g𝐺)
isngp.d 𝐷 = (dist‘𝐺)
isngp2.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
isngp3 (𝐺 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝑥 𝑦))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐷   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥, ,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦

Proof of Theorem isngp3
StepHypRef Expression
1 isngp.n . . 3 𝑁 = (norm‘𝐺)
2 isngp.z . . 3 = (-g𝐺)
3 isngp.d . . 3 𝐷 = (dist‘𝐺)
4 isngp2.x . . 3 𝑋 = (Base‘𝐺)
5 eqid 2735 . . 3 (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) = (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))
61, 2, 3, 4, 5isngp2 24626 . 2 (𝐺 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ (𝑁 ) = (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))))
74, 3msmet2 24486 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ MetSp → (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) ∈ (Met‘𝑋))
81, 4, 3, 5nmf2 24622 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) ∈ (Met‘𝑋)) → 𝑁:𝑋⟶ℝ)
97, 8sylan2 593 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) → 𝑁:𝑋⟶ℝ)
104, 2grpsubf 19050 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ Grp → :(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
1110adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) → :(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
12 fco 6761 . . . . . . . 8 ((𝑁:𝑋⟶ℝ ∧ :(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋) → (𝑁 ):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
139, 11, 12syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) → (𝑁 ):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
1413ffnd 6738 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) → (𝑁 ) Fn (𝑋 × 𝑋))
157adantl 481 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) → (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) ∈ (Met‘𝑋))
16 metf 24356 . . . . . . 7 ((𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) ∈ (Met‘𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
17 ffn 6737 . . . . . . 7 ((𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ → (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) Fn (𝑋 × 𝑋))
1815, 16, 173syl 18 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) → (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) Fn (𝑋 × 𝑋))
19 eqfnov2 7563 . . . . . 6 (((𝑁 ) Fn (𝑋 × 𝑋) ∧ (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) Fn (𝑋 × 𝑋)) → ((𝑁 ) = (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) ↔ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥(𝑁 )𝑦) = (𝑥(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑦)))
2014, 18, 19syl2anc 584 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) → ((𝑁 ) = (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) ↔ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥(𝑁 )𝑦) = (𝑥(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑦)))
21 opelxpi 5726 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝑋𝑦𝑋) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋))
22 fvco3 7008 . . . . . . . . . 10 (( :(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋 ∧ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋)) → ((𝑁 )‘⟨𝑥, 𝑦⟩) = (𝑁‘( ‘⟨𝑥, 𝑦⟩)))
2311, 21, 22syl2an 596 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝑁 )‘⟨𝑥, 𝑦⟩) = (𝑁‘( ‘⟨𝑥, 𝑦⟩)))
24 df-ov 7434 . . . . . . . . 9 (𝑥(𝑁 )𝑦) = ((𝑁 )‘⟨𝑥, 𝑦⟩)
25 df-ov 7434 . . . . . . . . . 10 (𝑥 𝑦) = ( ‘⟨𝑥, 𝑦⟩)
2625fveq2i 6910 . . . . . . . . 9 (𝑁‘(𝑥 𝑦)) = (𝑁‘( ‘⟨𝑥, 𝑦⟩))
2723, 24, 263eqtr4g 2800 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥(𝑁 )𝑦) = (𝑁‘(𝑥 𝑦)))
28 ovres 7599 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑦) = (𝑥𝐷𝑦))
2928adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑦) = (𝑥𝐷𝑦))
3027, 29eqeq12d 2751 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝑥(𝑁 )𝑦) = (𝑥(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑦) ↔ (𝑁‘(𝑥 𝑦)) = (𝑥𝐷𝑦)))
31 eqcom 2742 . . . . . . 7 ((𝑁‘(𝑥 𝑦)) = (𝑥𝐷𝑦) ↔ (𝑥𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝑥 𝑦)))
3230, 31bitrdi 287 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝑥(𝑁 )𝑦) = (𝑥(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑦) ↔ (𝑥𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝑥 𝑦))))
33322ralbidva 3217 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) → (∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥(𝑁 )𝑦) = (𝑥(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑦) ↔ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝑥 𝑦))))
3420, 33bitrd 279 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) → ((𝑁 ) = (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) ↔ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝑥 𝑦))))
3534pm5.32i 574 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ) = (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))) ↔ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝑥 𝑦))))
36 df-3an 1088 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ (𝑁 ) = (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))) ↔ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ) = (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))))
37 df-3an 1088 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝑥 𝑦))) ↔ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝑥 𝑦))))
3835, 36, 373bitr4i 303 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ (𝑁 ) = (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝑥 𝑦))))
396, 38bitri 275 1 (𝐺 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝑥 𝑦))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  cop 4637   × cxp 5687  cres 5691  ccom 5693   Fn wfn 6558  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  cr 11152  Basecbs 17245  distcds 17307  Grpcgrp 18964  -gcsg 18966  Metcmet 21368  MetSpcms 24344  normcnm 24605  NrmGrpcngp 24606
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-0g 17488  df-topgen 17490  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-xms 24346  df-ms 24347  df-nm 24611  df-ngp 24612
This theorem is referenced by:  isngp4  24641  subgngp  24664
  Copyright terms: Public domain W3C validator