MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isngp3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isngp3 23954
Description: The property of being a normed group. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isngp.n 𝑁 = (norm‘𝐺)
isngp.z = (-g𝐺)
isngp.d 𝐷 = (dist‘𝐺)
isngp2.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
isngp3 (𝐺 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝑥 𝑦))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐷   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥, ,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦

Proof of Theorem isngp3
StepHypRef Expression
1 isngp.n . . 3 𝑁 = (norm‘𝐺)
2 isngp.z . . 3 = (-g𝐺)
3 isngp.d . . 3 𝐷 = (dist‘𝐺)
4 isngp2.x . . 3 𝑋 = (Base‘𝐺)
5 eqid 2736 . . 3 (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) = (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))
61, 2, 3, 4, 5isngp2 23953 . 2 (𝐺 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ (𝑁 ) = (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))))
74, 3msmet2 23813 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ MetSp → (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) ∈ (Met‘𝑋))
81, 4, 3, 5nmf2 23949 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) ∈ (Met‘𝑋)) → 𝑁:𝑋⟶ℝ)
97, 8sylan2 593 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) → 𝑁:𝑋⟶ℝ)
104, 2grpsubf 18826 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ Grp → :(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
1110adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) → :(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
12 fco 6692 . . . . . . . 8 ((𝑁:𝑋⟶ℝ ∧ :(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋) → (𝑁 ):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
139, 11, 12syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) → (𝑁 ):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
1413ffnd 6669 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) → (𝑁 ) Fn (𝑋 × 𝑋))
157adantl 482 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) → (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) ∈ (Met‘𝑋))
16 metf 23683 . . . . . . 7 ((𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) ∈ (Met‘𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
17 ffn 6668 . . . . . . 7 ((𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ → (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) Fn (𝑋 × 𝑋))
1815, 16, 173syl 18 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) → (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) Fn (𝑋 × 𝑋))
19 eqfnov2 7486 . . . . . 6 (((𝑁 ) Fn (𝑋 × 𝑋) ∧ (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) Fn (𝑋 × 𝑋)) → ((𝑁 ) = (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) ↔ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥(𝑁 )𝑦) = (𝑥(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑦)))
2014, 18, 19syl2anc 584 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) → ((𝑁 ) = (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) ↔ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥(𝑁 )𝑦) = (𝑥(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑦)))
21 opelxpi 5670 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝑋𝑦𝑋) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋))
22 fvco3 6940 . . . . . . . . . 10 (( :(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋 ∧ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋)) → ((𝑁 )‘⟨𝑥, 𝑦⟩) = (𝑁‘( ‘⟨𝑥, 𝑦⟩)))
2311, 21, 22syl2an 596 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝑁 )‘⟨𝑥, 𝑦⟩) = (𝑁‘( ‘⟨𝑥, 𝑦⟩)))
24 df-ov 7360 . . . . . . . . 9 (𝑥(𝑁 )𝑦) = ((𝑁 )‘⟨𝑥, 𝑦⟩)
25 df-ov 7360 . . . . . . . . . 10 (𝑥 𝑦) = ( ‘⟨𝑥, 𝑦⟩)
2625fveq2i 6845 . . . . . . . . 9 (𝑁‘(𝑥 𝑦)) = (𝑁‘( ‘⟨𝑥, 𝑦⟩))
2723, 24, 263eqtr4g 2801 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥(𝑁 )𝑦) = (𝑁‘(𝑥 𝑦)))
28 ovres 7520 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑦) = (𝑥𝐷𝑦))
2928adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑦) = (𝑥𝐷𝑦))
3027, 29eqeq12d 2752 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝑥(𝑁 )𝑦) = (𝑥(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑦) ↔ (𝑁‘(𝑥 𝑦)) = (𝑥𝐷𝑦)))
31 eqcom 2743 . . . . . . 7 ((𝑁‘(𝑥 𝑦)) = (𝑥𝐷𝑦) ↔ (𝑥𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝑥 𝑦)))
3230, 31bitrdi 286 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝑥(𝑁 )𝑦) = (𝑥(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑦) ↔ (𝑥𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝑥 𝑦))))
33322ralbidva 3210 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) → (∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥(𝑁 )𝑦) = (𝑥(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑦) ↔ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝑥 𝑦))))
3420, 33bitrd 278 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) → ((𝑁 ) = (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) ↔ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝑥 𝑦))))
3534pm5.32i 575 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ) = (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))) ↔ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝑥 𝑦))))
36 df-3an 1089 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ (𝑁 ) = (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))) ↔ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ) = (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))))
37 df-3an 1089 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝑥 𝑦))) ↔ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝑥 𝑦))))
3835, 36, 373bitr4i 302 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ (𝑁 ) = (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝑥 𝑦))))
396, 38bitri 274 1 (𝐺 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝑥 𝑦))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  cop 4592   × cxp 5631  cres 5635  ccom 5637   Fn wfn 6491  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  cr 11050  Basecbs 17083  distcds 17142  Grpcgrp 18748  -gcsg 18750  Metcmet 20782  MetSpcms 23671  normcnm 23932  NrmGrpcngp 23933
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-0g 17323  df-topgen 17325  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-xms 23673  df-ms 23674  df-nm 23938  df-ngp 23939
This theorem is referenced by:  isngp4  23968  subgngp  23991
  Copyright terms: Public domain W3C validator