Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ntrneix3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ntrneix3 42461
Description: The closure of the union of any pair is a subset of the union of closures if and only if the union of any pair belonging to the convergents of a point implies at least one of the pair belongs to the the convergents of that point. (Contributed by RP, 19-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ntrnei.o 𝑂 = (𝑖 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝑗 ↑m 𝑖) ↦ (𝑙 ∈ 𝑗 ↦ {π‘š ∈ 𝑖 ∣ 𝑙 ∈ (π‘˜β€˜π‘š)})))
ntrnei.f 𝐹 = (𝒫 𝐡𝑂𝐡)
ntrnei.r (πœ‘ β†’ 𝐼𝐹𝑁)
Assertion
Ref Expression
ntrneix3 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘  ∈ 𝒫 π΅βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝐡(πΌβ€˜(𝑠 βˆͺ 𝑑)) βŠ† ((πΌβ€˜π‘ ) βˆͺ (πΌβ€˜π‘‘)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝒫 π΅βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝐡((𝑠 βˆͺ 𝑑) ∈ (π‘β€˜π‘₯) β†’ (𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘₯) ∨ 𝑑 ∈ (π‘β€˜π‘₯)))))
Distinct variable groups:   𝐡,𝑖,𝑗,π‘˜,𝑙,π‘š,𝑠,𝑑,π‘₯   π‘˜,𝐼,𝑙,π‘š,π‘₯   πœ‘,𝑖,𝑗,π‘˜,𝑙,𝑠,𝑑,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘š)   𝐹(π‘₯,𝑑,𝑖,𝑗,π‘˜,π‘š,𝑠,𝑙)   𝐼(𝑑,𝑖,𝑗,𝑠)   𝑁(π‘₯,𝑑,𝑖,𝑗,π‘˜,π‘š,𝑠,𝑙)   𝑂(π‘₯,𝑑,𝑖,𝑗,π‘˜,π‘š,𝑠,𝑙)

Proof of Theorem ntrneix3
StepHypRef Expression
1 dfss3 3936 . . . . . 6 ((πΌβ€˜(𝑠 βˆͺ 𝑑)) βŠ† ((πΌβ€˜π‘ ) βˆͺ (πΌβ€˜π‘‘)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (πΌβ€˜(𝑠 βˆͺ 𝑑))π‘₯ ∈ ((πΌβ€˜π‘ ) βˆͺ (πΌβ€˜π‘‘)))
2 ntrnei.o . . . . . . . . . . . . 13 𝑂 = (𝑖 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝑗 ↑m 𝑖) ↦ (𝑙 ∈ 𝑗 ↦ {π‘š ∈ 𝑖 ∣ 𝑙 ∈ (π‘˜β€˜π‘š)})))
3 ntrnei.f . . . . . . . . . . . . 13 𝐹 = (𝒫 𝐡𝑂𝐡)
4 ntrnei.r . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐼𝐹𝑁)
52, 3, 4ntrneiiex 42440 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝒫 𝐡))
65ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ 𝐼 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝒫 𝐡))
7 elmapi 8793 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝒫 𝐡) β†’ 𝐼:𝒫 π΅βŸΆπ’« 𝐡)
86, 7syl 17 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ 𝐼:𝒫 π΅βŸΆπ’« 𝐡)
92, 3, 4ntrneibex 42437 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ V)
109ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ V)
11 simplr 768 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡)
1211elpwid 4573 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ 𝑠 βŠ† 𝐡)
13 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡)
1413elpwid 4573 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ 𝑑 βŠ† 𝐡)
1512, 14unssd 4150 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (𝑠 βˆͺ 𝑑) βŠ† 𝐡)
1610, 15sselpwd 5287 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (𝑠 βˆͺ 𝑑) ∈ 𝒫 𝐡)
178, 16ffvelcdmd 7040 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (πΌβ€˜(𝑠 βˆͺ 𝑑)) ∈ 𝒫 𝐡)
1817elpwid 4573 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (πΌβ€˜(𝑠 βˆͺ 𝑑)) βŠ† 𝐡)
19 ralss 4018 . . . . . . . 8 ((πΌβ€˜(𝑠 βˆͺ 𝑑)) βŠ† 𝐡 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (πΌβ€˜(𝑠 βˆͺ 𝑑))π‘₯ ∈ ((πΌβ€˜π‘ ) βˆͺ (πΌβ€˜π‘‘)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ (πΌβ€˜(𝑠 βˆͺ 𝑑)) β†’ π‘₯ ∈ ((πΌβ€˜π‘ ) βˆͺ (πΌβ€˜π‘‘)))))
2018, 19syl 17 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (πΌβ€˜(𝑠 βˆͺ 𝑑))π‘₯ ∈ ((πΌβ€˜π‘ ) βˆͺ (πΌβ€˜π‘‘)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ (πΌβ€˜(𝑠 βˆͺ 𝑑)) β†’ π‘₯ ∈ ((πΌβ€˜π‘ ) βˆͺ (πΌβ€˜π‘‘)))))
214ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝐼𝐹𝑁)
22 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
239ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ V)
24 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡)
2524elpwid 4573 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝑠 βŠ† 𝐡)
26 simplr 768 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡)
2726elpwid 4573 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝑑 βŠ† 𝐡)
2825, 27unssd 4150 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (𝑠 βˆͺ 𝑑) βŠ† 𝐡)
2923, 28sselpwd 5287 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (𝑠 βˆͺ 𝑑) ∈ 𝒫 𝐡)
302, 3, 21, 22, 29ntrneiel 42445 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ (πΌβ€˜(𝑠 βˆͺ 𝑑)) ↔ (𝑠 βˆͺ 𝑑) ∈ (π‘β€˜π‘₯)))
31 elun 4112 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ ((πΌβ€˜π‘ ) βˆͺ (πΌβ€˜π‘‘)) ↔ (π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) ∨ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘‘)))
322, 3, 21, 22, 24ntrneiel 42445 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) ↔ 𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘₯)))
332, 3, 21, 22, 26ntrneiel 42445 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘‘) ↔ 𝑑 ∈ (π‘β€˜π‘₯)))
3432, 33orbi12d 918 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ((π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) ∨ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘‘)) ↔ (𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘₯) ∨ 𝑑 ∈ (π‘β€˜π‘₯))))
3531, 34bitrid 283 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ ((πΌβ€˜π‘ ) βˆͺ (πΌβ€˜π‘‘)) ↔ (𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘₯) ∨ 𝑑 ∈ (π‘β€˜π‘₯))))
3630, 35imbi12d 345 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ((π‘₯ ∈ (πΌβ€˜(𝑠 βˆͺ 𝑑)) β†’ π‘₯ ∈ ((πΌβ€˜π‘ ) βˆͺ (πΌβ€˜π‘‘))) ↔ ((𝑠 βˆͺ 𝑑) ∈ (π‘β€˜π‘₯) β†’ (𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘₯) ∨ 𝑑 ∈ (π‘β€˜π‘₯)))))
3736ralbidva 3169 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ (πΌβ€˜(𝑠 βˆͺ 𝑑)) β†’ π‘₯ ∈ ((πΌβ€˜π‘ ) βˆͺ (πΌβ€˜π‘‘))) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 ((𝑠 βˆͺ 𝑑) ∈ (π‘β€˜π‘₯) β†’ (𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘₯) ∨ 𝑑 ∈ (π‘β€˜π‘₯)))))
3820, 37bitrd 279 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (πΌβ€˜(𝑠 βˆͺ 𝑑))π‘₯ ∈ ((πΌβ€˜π‘ ) βˆͺ (πΌβ€˜π‘‘)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 ((𝑠 βˆͺ 𝑑) ∈ (π‘β€˜π‘₯) β†’ (𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘₯) ∨ 𝑑 ∈ (π‘β€˜π‘₯)))))
391, 38bitrid 283 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ ((πΌβ€˜(𝑠 βˆͺ 𝑑)) βŠ† ((πΌβ€˜π‘ ) βˆͺ (πΌβ€˜π‘‘)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 ((𝑠 βˆͺ 𝑑) ∈ (π‘β€˜π‘₯) β†’ (𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘₯) ∨ 𝑑 ∈ (π‘β€˜π‘₯)))))
4039ralbidva 3169 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝐡(πΌβ€˜(𝑠 βˆͺ 𝑑)) βŠ† ((πΌβ€˜π‘ ) βˆͺ (πΌβ€˜π‘‘)) ↔ βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 π΅βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 ((𝑠 βˆͺ 𝑑) ∈ (π‘β€˜π‘₯) β†’ (𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘₯) ∨ 𝑑 ∈ (π‘β€˜π‘₯)))))
41 ralcom 3271 . . . 4 (βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 π΅βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 ((𝑠 βˆͺ 𝑑) ∈ (π‘β€˜π‘₯) β†’ (𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘₯) ∨ 𝑑 ∈ (π‘β€˜π‘₯))) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝐡((𝑠 βˆͺ 𝑑) ∈ (π‘β€˜π‘₯) β†’ (𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘₯) ∨ 𝑑 ∈ (π‘β€˜π‘₯))))
4240, 41bitrdi 287 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝐡(πΌβ€˜(𝑠 βˆͺ 𝑑)) βŠ† ((πΌβ€˜π‘ ) βˆͺ (πΌβ€˜π‘‘)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝐡((𝑠 βˆͺ 𝑑) ∈ (π‘β€˜π‘₯) β†’ (𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘₯) ∨ 𝑑 ∈ (π‘β€˜π‘₯)))))
4342ralbidva 3169 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘  ∈ 𝒫 π΅βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝐡(πΌβ€˜(𝑠 βˆͺ 𝑑)) βŠ† ((πΌβ€˜π‘ ) βˆͺ (πΌβ€˜π‘‘)) ↔ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 π΅βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝐡((𝑠 βˆͺ 𝑑) ∈ (π‘β€˜π‘₯) β†’ (𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘₯) ∨ 𝑑 ∈ (π‘β€˜π‘₯)))))
44 ralcom 3271 . 2 (βˆ€π‘  ∈ 𝒫 π΅βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝐡((𝑠 βˆͺ 𝑑) ∈ (π‘β€˜π‘₯) β†’ (𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘₯) ∨ 𝑑 ∈ (π‘β€˜π‘₯))) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝒫 π΅βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝐡((𝑠 βˆͺ 𝑑) ∈ (π‘β€˜π‘₯) β†’ (𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘₯) ∨ 𝑑 ∈ (π‘β€˜π‘₯))))
4543, 44bitrdi 287 1 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘  ∈ 𝒫 π΅βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝐡(πΌβ€˜(𝑠 βˆͺ 𝑑)) βŠ† ((πΌβ€˜π‘ ) βˆͺ (πΌβ€˜π‘‘)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝒫 π΅βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝐡((𝑠 βˆͺ 𝑑) ∈ (π‘β€˜π‘₯) β†’ (𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘₯) ∨ 𝑑 ∈ (π‘β€˜π‘₯)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  {crab 3406  Vcvv 3447   βˆͺ cun 3912   βŠ† wss 3914  π’« cpw 4564   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   ∈ cmpo 7363   ↑m cmap 8771
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-map 8773
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator