Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ntrneik3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ntrneik3 43405
Description: The intersection of interiors of any pair is a subset of the interior of the intersection if and only if the intersection of any two neighborhoods of a point is also a neighborhood. (Contributed by RP, 19-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ntrnei.o 𝑂 = (𝑖 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝑗 ↑m 𝑖) ↦ (𝑙 ∈ 𝑗 ↦ {π‘š ∈ 𝑖 ∣ 𝑙 ∈ (π‘˜β€˜π‘š)})))
ntrnei.f 𝐹 = (𝒫 𝐡𝑂𝐡)
ntrnei.r (πœ‘ β†’ 𝐼𝐹𝑁)
Assertion
Ref Expression
ntrneik3 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘  ∈ 𝒫 π΅βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝐡((πΌβ€˜π‘ ) ∩ (πΌβ€˜π‘‘)) βŠ† (πΌβ€˜(𝑠 ∩ 𝑑)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝒫 π΅βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝐡((𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘₯) ∧ 𝑑 ∈ (π‘β€˜π‘₯)) β†’ (𝑠 ∩ 𝑑) ∈ (π‘β€˜π‘₯))))
Distinct variable groups:   𝐡,𝑖,𝑗,π‘˜,𝑙,π‘š,𝑠,𝑑,π‘₯   π‘˜,𝐼,𝑙,π‘š,π‘₯   πœ‘,𝑖,𝑗,π‘˜,𝑙,𝑠,𝑑,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘š)   𝐹(π‘₯,𝑑,𝑖,𝑗,π‘˜,π‘š,𝑠,𝑙)   𝐼(𝑑,𝑖,𝑗,𝑠)   𝑁(π‘₯,𝑑,𝑖,𝑗,π‘˜,π‘š,𝑠,𝑙)   𝑂(π‘₯,𝑑,𝑖,𝑗,π‘˜,π‘š,𝑠,𝑙)

Proof of Theorem ntrneik3
StepHypRef Expression
1 dfss3 3965 . . . . . 6 (((πΌβ€˜π‘ ) ∩ (πΌβ€˜π‘‘)) βŠ† (πΌβ€˜(𝑠 ∩ 𝑑)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ((πΌβ€˜π‘ ) ∩ (πΌβ€˜π‘‘))π‘₯ ∈ (πΌβ€˜(𝑠 ∩ 𝑑)))
2 ntrnei.o . . . . . . . . . . . . . 14 𝑂 = (𝑖 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝑗 ↑m 𝑖) ↦ (𝑙 ∈ 𝑗 ↦ {π‘š ∈ 𝑖 ∣ 𝑙 ∈ (π‘˜β€˜π‘š)})))
3 ntrnei.f . . . . . . . . . . . . . 14 𝐹 = (𝒫 𝐡𝑂𝐡)
4 ntrnei.r . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐼𝐹𝑁)
52, 3, 4ntrneiiex 43385 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝒫 𝐡))
6 elmapi 8842 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝒫 𝐡) β†’ 𝐼:𝒫 π΅βŸΆπ’« 𝐡)
75, 6syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐼:𝒫 π΅βŸΆπ’« 𝐡)
87ffvelcdmda 7079 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (πΌβ€˜π‘ ) ∈ 𝒫 𝐡)
98elpwid 4606 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (πΌβ€˜π‘ ) βŠ† 𝐡)
10 ssinss1 4232 . . . . . . . . . 10 ((πΌβ€˜π‘ ) βŠ† 𝐡 β†’ ((πΌβ€˜π‘ ) ∩ (πΌβ€˜π‘‘)) βŠ† 𝐡)
119, 10syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ ((πΌβ€˜π‘ ) ∩ (πΌβ€˜π‘‘)) βŠ† 𝐡)
1211adantr 480 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ ((πΌβ€˜π‘ ) ∩ (πΌβ€˜π‘‘)) βŠ† 𝐡)
13 ralss 4049 . . . . . . . 8 (((πΌβ€˜π‘ ) ∩ (πΌβ€˜π‘‘)) βŠ† 𝐡 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ((πΌβ€˜π‘ ) ∩ (πΌβ€˜π‘‘))π‘₯ ∈ (πΌβ€˜(𝑠 ∩ 𝑑)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ ((πΌβ€˜π‘ ) ∩ (πΌβ€˜π‘‘)) β†’ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜(𝑠 ∩ 𝑑)))))
1412, 13syl 17 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ((πΌβ€˜π‘ ) ∩ (πΌβ€˜π‘‘))π‘₯ ∈ (πΌβ€˜(𝑠 ∩ 𝑑)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ ((πΌβ€˜π‘ ) ∩ (πΌβ€˜π‘‘)) β†’ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜(𝑠 ∩ 𝑑)))))
15 elin 3959 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ ((πΌβ€˜π‘ ) ∩ (πΌβ€˜π‘‘)) ↔ (π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) ∧ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘‘)))
164ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝐼𝐹𝑁)
17 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
18 simpllr 773 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡)
192, 3, 16, 17, 18ntrneiel 43390 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) ↔ 𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘₯)))
20 simplr 766 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡)
212, 3, 16, 17, 20ntrneiel 43390 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘‘) ↔ 𝑑 ∈ (π‘β€˜π‘₯)))
2219, 21anbi12d 630 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ((π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) ∧ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘‘)) ↔ (𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘₯) ∧ 𝑑 ∈ (π‘β€˜π‘₯))))
2315, 22bitrid 283 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ ((πΌβ€˜π‘ ) ∩ (πΌβ€˜π‘‘)) ↔ (𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘₯) ∧ 𝑑 ∈ (π‘β€˜π‘₯))))
242, 3, 4ntrneibex 43382 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ V)
2524ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ V)
2618elpwid 4606 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝑠 βŠ† 𝐡)
27 ssinss1 4232 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 βŠ† 𝐡 β†’ (𝑠 ∩ 𝑑) βŠ† 𝐡)
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (𝑠 ∩ 𝑑) βŠ† 𝐡)
2925, 28sselpwd 5319 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (𝑠 ∩ 𝑑) ∈ 𝒫 𝐡)
302, 3, 16, 17, 29ntrneiel 43390 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ (πΌβ€˜(𝑠 ∩ 𝑑)) ↔ (𝑠 ∩ 𝑑) ∈ (π‘β€˜π‘₯)))
3123, 30imbi12d 344 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ((π‘₯ ∈ ((πΌβ€˜π‘ ) ∩ (πΌβ€˜π‘‘)) β†’ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜(𝑠 ∩ 𝑑))) ↔ ((𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘₯) ∧ 𝑑 ∈ (π‘β€˜π‘₯)) β†’ (𝑠 ∩ 𝑑) ∈ (π‘β€˜π‘₯))))
3231ralbidva 3169 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ ((πΌβ€˜π‘ ) ∩ (πΌβ€˜π‘‘)) β†’ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜(𝑠 ∩ 𝑑))) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 ((𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘₯) ∧ 𝑑 ∈ (π‘β€˜π‘₯)) β†’ (𝑠 ∩ 𝑑) ∈ (π‘β€˜π‘₯))))
3314, 32bitrd 279 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ((πΌβ€˜π‘ ) ∩ (πΌβ€˜π‘‘))π‘₯ ∈ (πΌβ€˜(𝑠 ∩ 𝑑)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 ((𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘₯) ∧ 𝑑 ∈ (π‘β€˜π‘₯)) β†’ (𝑠 ∩ 𝑑) ∈ (π‘β€˜π‘₯))))
341, 33bitrid 283 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (((πΌβ€˜π‘ ) ∩ (πΌβ€˜π‘‘)) βŠ† (πΌβ€˜(𝑠 ∩ 𝑑)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 ((𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘₯) ∧ 𝑑 ∈ (π‘β€˜π‘₯)) β†’ (𝑠 ∩ 𝑑) ∈ (π‘β€˜π‘₯))))
3534ralbidva 3169 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝐡((πΌβ€˜π‘ ) ∩ (πΌβ€˜π‘‘)) βŠ† (πΌβ€˜(𝑠 ∩ 𝑑)) ↔ βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 π΅βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 ((𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘₯) ∧ 𝑑 ∈ (π‘β€˜π‘₯)) β†’ (𝑠 ∩ 𝑑) ∈ (π‘β€˜π‘₯))))
36 ralcom 3280 . . . 4 (βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 π΅βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 ((𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘₯) ∧ 𝑑 ∈ (π‘β€˜π‘₯)) β†’ (𝑠 ∩ 𝑑) ∈ (π‘β€˜π‘₯)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝐡((𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘₯) ∧ 𝑑 ∈ (π‘β€˜π‘₯)) β†’ (𝑠 ∩ 𝑑) ∈ (π‘β€˜π‘₯)))
3735, 36bitrdi 287 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝐡((πΌβ€˜π‘ ) ∩ (πΌβ€˜π‘‘)) βŠ† (πΌβ€˜(𝑠 ∩ 𝑑)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝐡((𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘₯) ∧ 𝑑 ∈ (π‘β€˜π‘₯)) β†’ (𝑠 ∩ 𝑑) ∈ (π‘β€˜π‘₯))))
3837ralbidva 3169 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘  ∈ 𝒫 π΅βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝐡((πΌβ€˜π‘ ) ∩ (πΌβ€˜π‘‘)) βŠ† (πΌβ€˜(𝑠 ∩ 𝑑)) ↔ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 π΅βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝐡((𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘₯) ∧ 𝑑 ∈ (π‘β€˜π‘₯)) β†’ (𝑠 ∩ 𝑑) ∈ (π‘β€˜π‘₯))))
39 ralcom 3280 . 2 (βˆ€π‘  ∈ 𝒫 π΅βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝐡((𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘₯) ∧ 𝑑 ∈ (π‘β€˜π‘₯)) β†’ (𝑠 ∩ 𝑑) ∈ (π‘β€˜π‘₯)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝒫 π΅βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝐡((𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘₯) ∧ 𝑑 ∈ (π‘β€˜π‘₯)) β†’ (𝑠 ∩ 𝑑) ∈ (π‘β€˜π‘₯)))
4038, 39bitrdi 287 1 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘  ∈ 𝒫 π΅βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝐡((πΌβ€˜π‘ ) ∩ (πΌβ€˜π‘‘)) βŠ† (πΌβ€˜(𝑠 ∩ 𝑑)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝒫 π΅βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝐡((𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘₯) ∧ 𝑑 ∈ (π‘β€˜π‘₯)) β†’ (𝑠 ∩ 𝑑) ∈ (π‘β€˜π‘₯))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  {crab 3426  Vcvv 3468   ∩ cin 3942   βŠ† wss 3943  π’« cpw 4597   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  βŸΆwf 6532  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404   ∈ cmpo 7406   ↑m cmap 8819
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-map 8821
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator