MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ocvcss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ocvcss 21723
Description: The orthocomplement of any set is a closed subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cssss.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
cssss.c 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)
ocvcss.o = (ocv‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
ocvcss ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) → ( 𝑆) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem ocvcss
StepHypRef Expression
1 cssss.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 ocvcss.o . . . 4 = (ocv‘𝑊)
31, 2ocvocv 21707 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) → 𝑆 ⊆ ( ‘( 𝑆)))
42ocv2ss 21709 . . 3 (𝑆 ⊆ ( ‘( 𝑆)) → ( ‘( ‘( 𝑆))) ⊆ ( 𝑆))
53, 4syl 17 . 2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) → ( ‘( ‘( 𝑆))) ⊆ ( 𝑆))
61, 2ocvss 21706 . . . 4 ( 𝑆) ⊆ 𝑉
76a1i 11 . . 3 (𝑆𝑉 → ( 𝑆) ⊆ 𝑉)
8 cssss.c . . . 4 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)
91, 8, 2iscss2 21722 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ ( 𝑆) ⊆ 𝑉) → (( 𝑆) ∈ 𝐶 ↔ ( ‘( ‘( 𝑆))) ⊆ ( 𝑆)))
107, 9sylan2 592 . 2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) → (( 𝑆) ∈ 𝐶 ↔ ( ‘( ‘( 𝑆))) ⊆ ( 𝑆)))
115, 10mpbird 257 1 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) → ( 𝑆) ∈ 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2103  wss 3970  cfv 6572  Basecbs 17253  PreHilcphl 21660  ocvcocv 21696  ClSubSpccss 21697
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-rep 5306  ax-sep 5320  ax-nul 5327  ax-pow 5386  ax-pr 5450  ax-un 7766  ax-cnex 11236  ax-resscn 11237  ax-1cn 11238  ax-icn 11239  ax-addcl 11240  ax-addrcl 11241  ax-mulcl 11242  ax-mulrcl 11243  ax-mulcom 11244  ax-addass 11245  ax-mulass 11246  ax-distr 11247  ax-i2m1 11248  ax-1ne0 11249  ax-1rid 11250  ax-rnegex 11251  ax-rrecex 11252  ax-cnre 11253  ax-pre-lttri 11254  ax-pre-lttrn 11255  ax-pre-ltadd 11256  ax-pre-mulgt0 11257
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3383  df-reu 3384  df-rab 3439  df-v 3484  df-sbc 3799  df-csb 3916  df-dif 3973  df-un 3975  df-in 3977  df-ss 3987  df-pss 3990  df-nul 4348  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5021  df-br 5170  df-opab 5232  df-mpt 5253  df-tr 5287  df-id 5597  df-eprel 5603  df-po 5611  df-so 5612  df-fr 5654  df-we 5656  df-xp 5705  df-rel 5706  df-cnv 5707  df-co 5708  df-dm 5709  df-rn 5710  df-res 5711  df-ima 5712  df-pred 6331  df-ord 6397  df-on 6398  df-lim 6399  df-suc 6400  df-iota 6524  df-fun 6574  df-fn 6575  df-f 6576  df-f1 6577  df-fo 6578  df-f1o 6579  df-fv 6580  df-riota 7401  df-ov 7448  df-oprab 7449  df-mpo 7450  df-om 7900  df-1st 8026  df-2nd 8027  df-tpos 8263  df-frecs 8318  df-wrecs 8349  df-recs 8423  df-rdg 8462  df-er 8759  df-map 8882  df-en 9000  df-dom 9001  df-sdom 9002  df-pnf 11322  df-mnf 11323  df-xr 11324  df-ltxr 11325  df-le 11326  df-sub 11518  df-neg 11519  df-nn 12290  df-2 12352  df-3 12353  df-4 12354  df-5 12355  df-6 12356  df-7 12357  df-8 12358  df-sets 17206  df-slot 17224  df-ndx 17236  df-base 17254  df-plusg 17319  df-mulr 17320  df-sca 17322  df-vsca 17323  df-ip 17324  df-0g 17496  df-mgm 18673  df-sgrp 18752  df-mnd 18768  df-mhm 18813  df-grp 18971  df-ghm 19248  df-mgp 20157  df-ur 20204  df-ring 20257  df-oppr 20355  df-rhm 20493  df-staf 20857  df-srng 20858  df-lmod 20877  df-lmhm 21039  df-lvec 21120  df-sra 21190  df-rgmod 21191  df-phl 21662  df-ocv 21699  df-css 21700
This theorem is referenced by:  cssincl  21724  css0  21725  css1  21726  mrccss  21730
  Copyright terms: Public domain W3C validator