MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ocvcss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ocvcss 21569
Description: The orthocomplement of any set is a closed subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cssss.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
cssss.c 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)
ocvcss.o = (ocv‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
ocvcss ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) → ( 𝑆) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem ocvcss
StepHypRef Expression
1 cssss.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 ocvcss.o . . . 4 = (ocv‘𝑊)
31, 2ocvocv 21553 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) → 𝑆 ⊆ ( ‘( 𝑆)))
42ocv2ss 21555 . . 3 (𝑆 ⊆ ( ‘( 𝑆)) → ( ‘( ‘( 𝑆))) ⊆ ( 𝑆))
53, 4syl 17 . 2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) → ( ‘( ‘( 𝑆))) ⊆ ( 𝑆))
61, 2ocvss 21552 . . . 4 ( 𝑆) ⊆ 𝑉
76a1i 11 . . 3 (𝑆𝑉 → ( 𝑆) ⊆ 𝑉)
8 cssss.c . . . 4 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)
91, 8, 2iscss2 21568 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ ( 𝑆) ⊆ 𝑉) → (( 𝑆) ∈ 𝐶 ↔ ( ‘( ‘( 𝑆))) ⊆ ( 𝑆)))
107, 9sylan2 592 . 2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) → (( 𝑆) ∈ 𝐶 ↔ ( ‘( ‘( 𝑆))) ⊆ ( 𝑆)))
115, 10mpbird 257 1 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) → ( 𝑆) ∈ 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  wss 3941  cfv 6534  Basecbs 17149  PreHilcphl 21506  ocvcocv 21542  ClSubSpccss 21543
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-2nd 7970  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-0g 17392  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-mhm 18709  df-grp 18862  df-ghm 19135  df-mgp 20036  df-ur 20083  df-ring 20136  df-oppr 20232  df-rhm 20370  df-staf 20684  df-srng 20685  df-lmod 20704  df-lmhm 20866  df-lvec 20947  df-sra 21017  df-rgmod 21018  df-phl 21508  df-ocv 21545  df-css 21546
This theorem is referenced by:  cssincl  21570  css0  21571  css1  21572  mrccss  21576
  Copyright terms: Public domain W3C validator