Theorem ocvcss 20603

Description: The orthocomplement of any set is a closed subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cssss.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
cssss.c	⊢ 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)
ocvcss.o	⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ocvcss	⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘𝑆) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem ocvcss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cssss.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		ocvcss.o	. . . 4 ⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)
3	1, 2	ocvocv 20587	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → 𝑆 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)))
4	2	ocv2ss 20589	. . 3 ⊢ (𝑆 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆))) ⊆ ( ⊥ ‘𝑆))
5	3, 4	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆))) ⊆ ( ⊥ ‘𝑆))
6	1, 2	ocvss 20586	. . . 4 ⊢ ( ⊥ ‘𝑆) ⊆ 𝑉
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝑉 → ( ⊥ ‘𝑆) ⊆ 𝑉)
8		cssss.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)
9	1, 8, 2	iscss2 20602	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ ( ⊥ ‘𝑆) ⊆ 𝑉) → (( ⊥ ‘𝑆) ∈ 𝐶 ↔ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆))) ⊆ ( ⊥ ‘𝑆)))
10	7, 9	sylan2 596	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → (( ⊥ ‘𝑆) ∈ 𝐶 ↔ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆))) ⊆ ( ⊥ ‘𝑆)))
11	5, 10	mpbird 260	1 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘𝑆) ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2112   ⊆ wss 3853  ‘cfv 6358  Basecbs 16666  PreHilcphl 20540  ocvcocv 20576  ClSubSpccss 20577

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-cnex 10750  ax-resscn 10751  ax-1cn 10752  ax-icn 10753  ax-addcl 10754  ax-addrcl 10755  ax-mulcl 10756  ax-mulrcl 10757  ax-mulcom 10758  ax-addass 10759  ax-mulass 10760  ax-distr 10761  ax-i2m1 10762  ax-1ne0 10763  ax-1rid 10764  ax-rnegex 10765  ax-rrecex 10766  ax-cnre 10767  ax-pre-lttri 10768  ax-pre-lttrn 10769  ax-pre-ltadd 10770  ax-pre-mulgt0 10771

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4806  df-iun 4892  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5440  df-eprel 5445  df-po 5453  df-so 5454  df-fr 5494  df-we 5496  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6140  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7148  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-om 7623  df-tpos 7946  df-wrecs 8025  df-recs 8086  df-rdg 8124  df-er 8369  df-map 8488  df-en 8605  df-dom 8606  df-sdom 8607  df-pnf 10834  df-mnf 10835  df-xr 10836  df-ltxr 10837  df-le 10838  df-sub 11029  df-neg 11030  df-nn 11796  df-2 11858  df-3 11859  df-4 11860  df-5 11861  df-6 11862  df-7 11863  df-8 11864  df-ndx 16669  df-slot 16670  df-base 16672  df-sets 16673  df-plusg 16762  df-mulr 16763  df-sca 16765  df-vsca 16766  df-ip 16767  df-0g 16900  df-mgm 18068  df-sgrp 18117  df-mnd 18128  df-mhm 18172  df-grp 18322  df-ghm 18574  df-mgp 19459  df-ur 19471  df-ring 19518  df-oppr 19595  df-rnghom 19689  df-staf 19835  df-srng 19836  df-lmod 19855  df-lmhm 20013  df-lvec 20094  df-sra 20163  df-rgmod 20164  df-phl 20542  df-ocv 20579  df-css 20580

This theorem is referenced by:  cssincl  20604  css0  20605  css1  20606  mrccss  20610