MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ocvcss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ocvcss 21619
Description: The orthocomplement of any set is a closed subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cssss.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
cssss.c 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)
ocvcss.o = (ocv‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
ocvcss ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) → ( 𝑆) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem ocvcss
StepHypRef Expression
1 cssss.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 ocvcss.o . . . 4 = (ocv‘𝑊)
31, 2ocvocv 21603 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) → 𝑆 ⊆ ( ‘( 𝑆)))
42ocv2ss 21605 . . 3 (𝑆 ⊆ ( ‘( 𝑆)) → ( ‘( ‘( 𝑆))) ⊆ ( 𝑆))
53, 4syl 17 . 2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) → ( ‘( ‘( 𝑆))) ⊆ ( 𝑆))
61, 2ocvss 21602 . . . 4 ( 𝑆) ⊆ 𝑉
76a1i 11 . . 3 (𝑆𝑉 → ( 𝑆) ⊆ 𝑉)
8 cssss.c . . . 4 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)
91, 8, 2iscss2 21618 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ ( 𝑆) ⊆ 𝑉) → (( 𝑆) ∈ 𝐶 ↔ ( ‘( ‘( 𝑆))) ⊆ ( 𝑆)))
107, 9sylan2 592 . 2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) → (( 𝑆) ∈ 𝐶 ↔ ( ‘( ‘( 𝑆))) ⊆ ( 𝑆)))
115, 10mpbird 257 1 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) → ( 𝑆) ∈ 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  wss 3947  cfv 6548  Basecbs 17180  PreHilcphl 21556  ocvcocv 21592  ClSubSpccss 21593
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-2nd 7994  df-tpos 8232  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-plusg 17246  df-mulr 17247  df-sca 17249  df-vsca 17250  df-ip 17251  df-0g 17423  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-mhm 18740  df-grp 18893  df-ghm 19168  df-mgp 20075  df-ur 20122  df-ring 20175  df-oppr 20273  df-rhm 20411  df-staf 20725  df-srng 20726  df-lmod 20745  df-lmhm 20907  df-lvec 20988  df-sra 21058  df-rgmod 21059  df-phl 21558  df-ocv 21595  df-css 21596
This theorem is referenced by:  cssincl  21620  css0  21621  css1  21622  mrccss  21626
  Copyright terms: Public domain W3C validator