MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pjcss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pjcss 21600
Description: A projection subspace is an (algebraically) closed subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pjcss.k 𝐾 = (projβ€˜π‘Š)
pjcss.c 𝐢 = (ClSubSpβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
pjcss (π‘Š ∈ PreHil β†’ dom 𝐾 βŠ† 𝐢)

Proof of Theorem pjcss
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pjcss.c . . . 4 𝐢 = (ClSubSpβ€˜π‘Š)
2 eqid 2724 . . . 4 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
3 eqid 2724 . . . 4 (ocvβ€˜π‘Š) = (ocvβ€˜π‘Š)
4 eqid 2724 . . . 4 (LSSumβ€˜π‘Š) = (LSSumβ€˜π‘Š)
5 simpl 482 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐾) β†’ π‘Š ∈ PreHil)
6 eqid 2724 . . . . . . 7 (LSubSpβ€˜π‘Š) = (LSubSpβ€˜π‘Š)
7 pjcss.k . . . . . . 7 𝐾 = (projβ€˜π‘Š)
82, 6, 3, 4, 7pjdm2 21595 . . . . . 6 (π‘Š ∈ PreHil β†’ (π‘₯ ∈ dom 𝐾 ↔ (π‘₯ ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š) ∧ (π‘₯(LSSumβ€˜π‘Š)((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯)) = (Baseβ€˜π‘Š))))
98simprbda 498 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐾) β†’ π‘₯ ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
102, 6lssss 20779 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š) β†’ π‘₯ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
119, 10syl 17 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐾) β†’ π‘₯ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
122, 3ocvss 21552 . . . . 5 ((ocvβ€˜π‘Š)β€˜((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯)) βŠ† (Baseβ€˜π‘Š)
138simplbda 499 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐾) β†’ (π‘₯(LSSumβ€˜π‘Š)((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯)) = (Baseβ€˜π‘Š))
1412, 13sseqtrrid 4028 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐾) β†’ ((ocvβ€˜π‘Š)β€˜((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯)) βŠ† (π‘₯(LSSumβ€˜π‘Š)((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯)))
151, 2, 3, 4, 5, 11, 14lsmcss 21574 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐾) β†’ π‘₯ ∈ 𝐢)
1615ex 412 . 2 (π‘Š ∈ PreHil β†’ (π‘₯ ∈ dom 𝐾 β†’ π‘₯ ∈ 𝐢))
1716ssrdv 3981 1 (π‘Š ∈ PreHil β†’ dom 𝐾 βŠ† 𝐢)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3941  dom cdm 5667  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  Basecbs 17149  LSSumclsm 19550  LSubSpclss 20774  PreHilcphl 21506  ocvcocv 21542  ClSubSpccss 21543  projcpj 21584
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-0g 17392  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-mhm 18709  df-grp 18862  df-minusg 18863  df-sbg 18864  df-subg 19046  df-ghm 19135  df-cntz 19229  df-lsm 19552  df-pj1 19553  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-rng 20054  df-ur 20083  df-ring 20136  df-oppr 20232  df-rhm 20370  df-staf 20684  df-srng 20685  df-lmod 20704  df-lss 20775  df-lmhm 20866  df-lvec 20947  df-sra 21017  df-rgmod 21018  df-phl 21508  df-ocv 21545  df-css 21546  df-pj 21587
This theorem is referenced by:  ocvpj  21601  ishil2  21603  cldcss  25313  hlhil  25315
  Copyright terms: Public domain W3C validator