MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pjcss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pjcss 21650
Description: A projection subspace is an (algebraically) closed subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pjcss.k 𝐾 = (projβ€˜π‘Š)
pjcss.c 𝐢 = (ClSubSpβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
pjcss (π‘Š ∈ PreHil β†’ dom 𝐾 βŠ† 𝐢)

Proof of Theorem pjcss
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pjcss.c . . . 4 𝐢 = (ClSubSpβ€˜π‘Š)
2 eqid 2728 . . . 4 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
3 eqid 2728 . . . 4 (ocvβ€˜π‘Š) = (ocvβ€˜π‘Š)
4 eqid 2728 . . . 4 (LSSumβ€˜π‘Š) = (LSSumβ€˜π‘Š)
5 simpl 482 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐾) β†’ π‘Š ∈ PreHil)
6 eqid 2728 . . . . . . 7 (LSubSpβ€˜π‘Š) = (LSubSpβ€˜π‘Š)
7 pjcss.k . . . . . . 7 𝐾 = (projβ€˜π‘Š)
82, 6, 3, 4, 7pjdm2 21645 . . . . . 6 (π‘Š ∈ PreHil β†’ (π‘₯ ∈ dom 𝐾 ↔ (π‘₯ ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š) ∧ (π‘₯(LSSumβ€˜π‘Š)((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯)) = (Baseβ€˜π‘Š))))
98simprbda 498 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐾) β†’ π‘₯ ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
102, 6lssss 20820 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š) β†’ π‘₯ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
119, 10syl 17 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐾) β†’ π‘₯ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
122, 3ocvss 21602 . . . . 5 ((ocvβ€˜π‘Š)β€˜((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯)) βŠ† (Baseβ€˜π‘Š)
138simplbda 499 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐾) β†’ (π‘₯(LSSumβ€˜π‘Š)((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯)) = (Baseβ€˜π‘Š))
1412, 13sseqtrrid 4033 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐾) β†’ ((ocvβ€˜π‘Š)β€˜((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯)) βŠ† (π‘₯(LSSumβ€˜π‘Š)((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯)))
151, 2, 3, 4, 5, 11, 14lsmcss 21624 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐾) β†’ π‘₯ ∈ 𝐢)
1615ex 412 . 2 (π‘Š ∈ PreHil β†’ (π‘₯ ∈ dom 𝐾 β†’ π‘₯ ∈ 𝐢))
1716ssrdv 3986 1 (π‘Š ∈ PreHil β†’ dom 𝐾 βŠ† 𝐢)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   βŠ† wss 3947  dom cdm 5678  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  Basecbs 17180  LSSumclsm 19589  LSubSpclss 20815  PreHilcphl 21556  ocvcocv 21592  ClSubSpccss 21593  projcpj 21634
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-tpos 8232  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ress 17210  df-plusg 17246  df-mulr 17247  df-sca 17249  df-vsca 17250  df-ip 17251  df-0g 17423  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-mhm 18740  df-grp 18893  df-minusg 18894  df-sbg 18895  df-subg 19078  df-ghm 19168  df-cntz 19268  df-lsm 19591  df-pj1 19592  df-cmn 19737  df-abl 19738  df-mgp 20075  df-rng 20093  df-ur 20122  df-ring 20175  df-oppr 20273  df-rhm 20411  df-staf 20725  df-srng 20726  df-lmod 20745  df-lss 20816  df-lmhm 20907  df-lvec 20988  df-sra 21058  df-rgmod 21059  df-phl 21558  df-ocv 21595  df-css 21596  df-pj 21637
This theorem is referenced by:  ocvpj  21651  ishil2  21653  cldcss  25382  hlhil  25384
  Copyright terms: Public domain W3C validator