MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pjcss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pjcss 21138
Description: A projection subspace is an (algebraically) closed subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pjcss.k 𝐾 = (projβ€˜π‘Š)
pjcss.c 𝐢 = (ClSubSpβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
pjcss (π‘Š ∈ PreHil β†’ dom 𝐾 βŠ† 𝐢)

Proof of Theorem pjcss
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pjcss.c . . . 4 𝐢 = (ClSubSpβ€˜π‘Š)
2 eqid 2737 . . . 4 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
3 eqid 2737 . . . 4 (ocvβ€˜π‘Š) = (ocvβ€˜π‘Š)
4 eqid 2737 . . . 4 (LSSumβ€˜π‘Š) = (LSSumβ€˜π‘Š)
5 simpl 484 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐾) β†’ π‘Š ∈ PreHil)
6 eqid 2737 . . . . . . 7 (LSubSpβ€˜π‘Š) = (LSubSpβ€˜π‘Š)
7 pjcss.k . . . . . . 7 𝐾 = (projβ€˜π‘Š)
82, 6, 3, 4, 7pjdm2 21133 . . . . . 6 (π‘Š ∈ PreHil β†’ (π‘₯ ∈ dom 𝐾 ↔ (π‘₯ ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š) ∧ (π‘₯(LSSumβ€˜π‘Š)((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯)) = (Baseβ€˜π‘Š))))
98simprbda 500 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐾) β†’ π‘₯ ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
102, 6lssss 20413 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š) β†’ π‘₯ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
119, 10syl 17 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐾) β†’ π‘₯ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
122, 3ocvss 21090 . . . . 5 ((ocvβ€˜π‘Š)β€˜((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯)) βŠ† (Baseβ€˜π‘Š)
138simplbda 501 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐾) β†’ (π‘₯(LSSumβ€˜π‘Š)((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯)) = (Baseβ€˜π‘Š))
1412, 13sseqtrrid 4002 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐾) β†’ ((ocvβ€˜π‘Š)β€˜((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯)) βŠ† (π‘₯(LSSumβ€˜π‘Š)((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯)))
151, 2, 3, 4, 5, 11, 14lsmcss 21112 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐾) β†’ π‘₯ ∈ 𝐢)
1615ex 414 . 2 (π‘Š ∈ PreHil β†’ (π‘₯ ∈ dom 𝐾 β†’ π‘₯ ∈ 𝐢))
1716ssrdv 3955 1 (π‘Š ∈ PreHil β†’ dom 𝐾 βŠ† 𝐢)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βŠ† wss 3915  dom cdm 5638  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Basecbs 17090  LSSumclsm 19423  LSubSpclss 20408  PreHilcphl 21044  ocvcocv 21080  ClSubSpccss 21081  projcpj 21122
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-tpos 8162  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-0g 17330  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-mhm 18608  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-sbg 18760  df-subg 18932  df-ghm 19013  df-cntz 19104  df-lsm 19425  df-pj1 19426  df-cmn 19571  df-abl 19572  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-ring 19973  df-oppr 20056  df-rnghom 20155  df-staf 20320  df-srng 20321  df-lmod 20340  df-lss 20409  df-lmhm 20499  df-lvec 20580  df-sra 20649  df-rgmod 20650  df-phl 21046  df-ocv 21083  df-css 21084  df-pj 21125
This theorem is referenced by:  ocvpj  21139  ishil2  21141  cldcss  24821  hlhil  24823
  Copyright terms: Public domain W3C validator