MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  off Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem off 7402
Description: The function operation produces a function. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
off.1 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑇)) → (𝑥𝑅𝑦) ∈ 𝑈)
off.2 (𝜑𝐹:𝐴𝑆)
off.3 (𝜑𝐺:𝐵𝑇)
off.4 (𝜑𝐴𝑉)
off.5 (𝜑𝐵𝑊)
off.6 (𝐴𝐵) = 𝐶
Assertion
Ref Expression
off (𝜑 → (𝐹f 𝑅𝐺):𝐶𝑈)
Distinct variable groups:   𝑦,𝐺   𝑥,𝑦,𝜑   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑊(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem off
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 off.2 . . . 4 (𝜑𝐹:𝐴𝑆)
21ffnd 6491 . . 3 (𝜑𝐹 Fn 𝐴)
3 off.3 . . . 4 (𝜑𝐺:𝐵𝑇)
43ffnd 6491 . . 3 (𝜑𝐺 Fn 𝐵)
5 off.4 . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
6 off.5 . . 3 (𝜑𝐵𝑊)
7 off.6 . . 3 (𝐴𝐵) = 𝐶
8 eqidd 2821 . . 3 ((𝜑𝑧𝐴) → (𝐹𝑧) = (𝐹𝑧))
9 eqidd 2821 . . 3 ((𝜑𝑧𝐵) → (𝐺𝑧) = (𝐺𝑧))
102, 4, 5, 6, 7, 8, 9offval 7394 . 2 (𝜑 → (𝐹f 𝑅𝐺) = (𝑧𝐶 ↦ ((𝐹𝑧)𝑅(𝐺𝑧))))
11 inss1 4183 . . . . . 6 (𝐴𝐵) ⊆ 𝐴
127, 11eqsstrri 3981 . . . . 5 𝐶𝐴
1312sseli 3942 . . . 4 (𝑧𝐶𝑧𝐴)
14 ffvelrn 6825 . . . 4 ((𝐹:𝐴𝑆𝑧𝐴) → (𝐹𝑧) ∈ 𝑆)
151, 13, 14syl2an 597 . . 3 ((𝜑𝑧𝐶) → (𝐹𝑧) ∈ 𝑆)
16 inss2 4184 . . . . . 6 (𝐴𝐵) ⊆ 𝐵
177, 16eqsstrri 3981 . . . . 5 𝐶𝐵
1817sseli 3942 . . . 4 (𝑧𝐶𝑧𝐵)
19 ffvelrn 6825 . . . 4 ((𝐺:𝐵𝑇𝑧𝐵) → (𝐺𝑧) ∈ 𝑇)
203, 18, 19syl2an 597 . . 3 ((𝜑𝑧𝐶) → (𝐺𝑧) ∈ 𝑇)
21 off.1 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑇)) → (𝑥𝑅𝑦) ∈ 𝑈)
2221ralrimivva 3178 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥𝑆𝑦𝑇 (𝑥𝑅𝑦) ∈ 𝑈)
2322adantr 483 . . 3 ((𝜑𝑧𝐶) → ∀𝑥𝑆𝑦𝑇 (𝑥𝑅𝑦) ∈ 𝑈)
24 ovrspc2v 7159 . . 3 ((((𝐹𝑧) ∈ 𝑆 ∧ (𝐺𝑧) ∈ 𝑇) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑇 (𝑥𝑅𝑦) ∈ 𝑈) → ((𝐹𝑧)𝑅(𝐺𝑧)) ∈ 𝑈)
2515, 20, 23, 24syl21anc 835 . 2 ((𝜑𝑧𝐶) → ((𝐹𝑧)𝑅(𝐺𝑧)) ∈ 𝑈)
2610, 25fmpt3d 6856 1 (𝜑 → (𝐹f 𝑅𝐺):𝐶𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398   = wceq 1537  wcel 2114  wral 3125  cin 3912  wf 6327  cfv 6331  (class class class)co 7133  f cof 7385
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pr 5306
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4270  df-if 4444  df-sn 4544  df-pr 4546  df-op 4550  df-uni 4815  df-iun 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-id 5436  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-of 7387
This theorem is referenced by:  suppofssd  7845  o1of2  14949  ghmplusg  18945  gsumzaddlem  19020  gsumzadd  19021  lcomf  19649  psrbagaddcl  20126  psraddcl  20139  psrvscacl  20149  psrbagev1  20266  evlslem3  20269  frlmup1  20918  mndvcl  20978  tsmsadd  22731  mbfmulc2lem  24230  mbfaddlem  24243  i1fadd  24278  i1fmul  24279  itg1addlem4  24282  i1fmulclem  24285  i1fmulc  24286  mbfi1flimlem  24305  itg2mulclem  24329  itg2mulc  24330  itg2monolem1  24333  itg2addlem  24341  dvaddbr  24520  dvmulbr  24521  dvaddf  24524  dvmulf  24525  dv11cn  24583  plyaddlem  24791  coeeulem  24800  coeaddlem  24825  plydivlem4  24871  jensenlem2  25552  jensen  25553  basellem7  25651  basellem9  25653  dchrmulcl  25812  ofrn  30373  offinsupp1  30450  fedgmullem1  31036  sibfof  31606  signshf  31866  circlemethhgt  31922  poimirlem23  34956  poimirlem24  34957  poimirlem25  34958  poimirlem29  34962  poimirlem30  34963  poimirlem31  34964  poimirlem32  34965  itg2addnc  34987  ftc1anclem3  35008  ftc1anclem6  35011  ftc1anclem8  35013  lfladdcl  36243  lflvscl  36249  mzpclall  39461  mzpindd  39480  expgrowth  40822  binomcxplemnotnn0  40843  dvdivcncf  42360  ofaddmndmap  44537  amgmwlem  45090
  Copyright terms: Public domain W3C validator