MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  off Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem off 7715
Description: The function operation produces a function. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
off.1 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑇)) → (𝑥𝑅𝑦) ∈ 𝑈)
off.2 (𝜑𝐹:𝐴𝑆)
off.3 (𝜑𝐺:𝐵𝑇)
off.4 (𝜑𝐴𝑉)
off.5 (𝜑𝐵𝑊)
off.6 (𝐴𝐵) = 𝐶
Assertion
Ref Expression
off (𝜑 → (𝐹f 𝑅𝐺):𝐶𝑈)
Distinct variable groups:   𝑦,𝐺   𝑥,𝑦,𝜑   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑊(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem off
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 off.2 . . . 4 (𝜑𝐹:𝐴𝑆)
21ffnd 6737 . . 3 (𝜑𝐹 Fn 𝐴)
3 off.3 . . . 4 (𝜑𝐺:𝐵𝑇)
43ffnd 6737 . . 3 (𝜑𝐺 Fn 𝐵)
5 off.4 . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
6 off.5 . . 3 (𝜑𝐵𝑊)
7 off.6 . . 3 (𝐴𝐵) = 𝐶
8 eqidd 2738 . . 3 ((𝜑𝑧𝐴) → (𝐹𝑧) = (𝐹𝑧))
9 eqidd 2738 . . 3 ((𝜑𝑧𝐵) → (𝐺𝑧) = (𝐺𝑧))
102, 4, 5, 6, 7, 8, 9offval 7706 . 2 (𝜑 → (𝐹f 𝑅𝐺) = (𝑧𝐶 ↦ ((𝐹𝑧)𝑅(𝐺𝑧))))
11 inss1 4237 . . . . . 6 (𝐴𝐵) ⊆ 𝐴
127, 11eqsstrri 4031 . . . . 5 𝐶𝐴
1312sseli 3979 . . . 4 (𝑧𝐶𝑧𝐴)
14 ffvelcdm 7101 . . . 4 ((𝐹:𝐴𝑆𝑧𝐴) → (𝐹𝑧) ∈ 𝑆)
151, 13, 14syl2an 596 . . 3 ((𝜑𝑧𝐶) → (𝐹𝑧) ∈ 𝑆)
16 inss2 4238 . . . . . 6 (𝐴𝐵) ⊆ 𝐵
177, 16eqsstrri 4031 . . . . 5 𝐶𝐵
1817sseli 3979 . . . 4 (𝑧𝐶𝑧𝐵)
19 ffvelcdm 7101 . . . 4 ((𝐺:𝐵𝑇𝑧𝐵) → (𝐺𝑧) ∈ 𝑇)
203, 18, 19syl2an 596 . . 3 ((𝜑𝑧𝐶) → (𝐺𝑧) ∈ 𝑇)
21 off.1 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑇)) → (𝑥𝑅𝑦) ∈ 𝑈)
2221ralrimivva 3202 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥𝑆𝑦𝑇 (𝑥𝑅𝑦) ∈ 𝑈)
2322adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑧𝐶) → ∀𝑥𝑆𝑦𝑇 (𝑥𝑅𝑦) ∈ 𝑈)
24 ovrspc2v 7457 . . 3 ((((𝐹𝑧) ∈ 𝑆 ∧ (𝐺𝑧) ∈ 𝑇) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑇 (𝑥𝑅𝑦) ∈ 𝑈) → ((𝐹𝑧)𝑅(𝐺𝑧)) ∈ 𝑈)
2515, 20, 23, 24syl21anc 838 . 2 ((𝜑𝑧𝐶) → ((𝐹𝑧)𝑅(𝐺𝑧)) ∈ 𝑈)
2610, 25fmpt3d 7136 1 (𝜑 → (𝐹f 𝑅𝐺):𝐶𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  cin 3950  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  f cof 7695
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697
This theorem is referenced by:  suppofssd  8228  o1of2  15649  mndvcl  18810  ghmplusg  19864  gsumzaddlem  19939  gsumzadd  19940  lcomf  20899  frlmup1  21818  psrbagaddcl  21944  psraddcl  21958  psraddclOLD  21959  psrvscacl  21971  psrbagev1  22101  evlslem3  22104  tsmsadd  24155  mbfmulc2lem  25682  mbfaddlem  25695  i1fadd  25730  i1fmul  25731  itg1addlem4  25734  i1fmulclem  25737  i1fmulc  25738  mbfi1flimlem  25757  itg2mulclem  25781  itg2mulc  25782  itg2monolem1  25785  itg2addlem  25793  dvaddbr  25974  dvmulbr  25975  dvmulbrOLD  25976  dvaddf  25979  dvmulf  25980  dv11cn  26040  plyaddlem  26254  coeeulem  26263  coeaddlem  26288  plydivlem4  26338  jensenlem2  27031  jensen  27032  basellem7  27130  basellem9  27132  dchrmulcl  27293  ofrn  32649  offinsupp1  32738  elrgspnlem1  33246  1arithidomlem2  33564  1arithidom  33565  ply1degltdimlem  33673  fedgmullem1  33680  sibfof  34342  signshf  34603  circlemethhgt  34658  poimirlem23  37650  poimirlem24  37651  poimirlem25  37652  poimirlem29  37656  poimirlem30  37657  poimirlem31  37658  poimirlem32  37659  itg2addnc  37681  ftc1anclem3  37702  ftc1anclem6  37705  ftc1anclem8  37707  lfladdcl  39072  lflvscl  39078  fsuppssind  42603  mhphf  42607  mzpclall  42738  mzpindd  42757  expgrowth  44354  binomcxplemnotnn0  44375  dvdivcncf  45942  ofaddmndmap  48259  amgmwlem  49321
  Copyright terms: Public domain W3C validator