Theorem off 7696

Description: The function operation produces a function. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
off.1	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇)) → (𝑥𝑅𝑦) ∈ 𝑈)
off.2	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑆)
off.3	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐵⟶𝑇)
off.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
off.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
off.6	⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐶

Assertion

Ref	Expression
off	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f 𝑅𝐺):𝐶⟶𝑈)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐺   𝑥,𝑦,𝜑   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥, 𝑦)   𝐵(𝑥, 𝑦)   𝐶(𝑥, 𝑦)   𝐺(𝑥)   𝑉(𝑥, 𝑦)   𝑊(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem off

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		off.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑆)
2	1	ffnd 6703	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
3		off.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐵⟶𝑇)
4	3	ffnd 6703	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝐵)
5		off.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
6		off.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
7		off.6	. . 3 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐶
8		eqidd 2761	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
9		eqidd 2761	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝐺‘𝑧) = (𝐺‘𝑧))
10	2, 4, 5, 6, 7, 8, 9	offval 7687	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f 𝑅𝐺) = (𝑧 ∈ 𝐶 ↦ ((𝐹‘𝑧)𝑅(𝐺‘𝑧))))
11		inss1 4182	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴
12	7, 11	eqsstrri 3978	. . . . 5 ⊢ 𝐶 ⊆ 𝐴
13	12	sseli 3927	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐶 → 𝑧 ∈ 𝐴)
14		ffvelcdm 7074	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑧) ∈ 𝑆)
15	1, 13, 14	syl2an 608	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑧) ∈ 𝑆)
16		inss2 4183	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵
17	7, 16	eqsstrri 3978	. . . . 5 ⊢ 𝐶 ⊆ 𝐵
18	17	sseli 3927	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐶 → 𝑧 ∈ 𝐵)
19		ffvelcdm 7074	. . . 4 ⊢ ((𝐺:𝐵⟶𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝐺‘𝑧) ∈ 𝑇)
20	3, 18, 19	syl2an 608	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → (𝐺‘𝑧) ∈ 𝑇)
21		off.1	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇)) → (𝑥𝑅𝑦) ∈ 𝑈)
22	21	ralrimivva 3205	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑇 (𝑥𝑅𝑦) ∈ 𝑈)
23	22	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑇 (𝑥𝑅𝑦) ∈ 𝑈)
24		ovrspc2v 7439	. . 3 ⊢ ((((𝐹‘𝑧) ∈ 𝑆 ∧ (𝐺‘𝑧) ∈ 𝑇) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑇 (𝑥𝑅𝑦) ∈ 𝑈) → ((𝐹‘𝑧)𝑅(𝐺‘𝑧)) ∈ 𝑈)
25	15, 20, 23, 24	syl21anc 851	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → ((𝐹‘𝑧)𝑅(𝐺‘𝑧)) ∈ 𝑈)
26	10, 25	fmpt3d 7109	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f 𝑅𝐺):𝐶⟶𝑈)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076   ∩ cin 3898  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413   ∘_f cof 7676

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7678

This theorem is used by:  suppofssd  8201  o1of2  15700  mndvcl  18905  ghmplusg  19973  gsumzaddlem  20048  gsumzadd  20049  lcomf  21085  frlmup1  22011  psrbagaddcl  22139  psraddcl  22154  psrvscacl  22166  psrbagev1  22293  evlslem3  22296  tsmsadd  24373  mbfmulc2lem  25875  mbfaddlem  25888  i1fadd  25923  i1fmul  25924  itg1addlem4  25927  i1fmulclem  25930  i1fmulc  25931  mbfi1flimlem  25950  itg2mulclem  25974  itg2mulc  25975  itg2monolem1  25978  itg2addlem  25986  dvaddbr  26165  dvmulbr  26166  dvaddf  26169  dvmulf  26170  dv11cn  26228  plyaddlem  26441  coeeulem  26450  coeaddlem  26475  plydivlem4  26526  jensenlem2  27224  jensen  27225  basellem7  27323  basellem9  27325  dchrmulcl  27485  ofrn  33112  offinsupp1  33197  elrgspnlem1  33682  1arithidomlem2  33946  1arithidom  33947  selvply1rhmlemb  34029  ply1degltdimlem  34132  fedgmullem1  34139  sibfof  34851  signshf  35096  circlemethhgt  35151  poimirlem23  38392  poimirlem24  38393  poimirlem25  38394  poimirlem29  38398  poimirlem30  38399  poimirlem31  38400  poimirlem32  38401  itg2addnc  38423  ftc1anclem3  38444  ftc1anclem6  38447  ftc1anclem8  38449  lfladdcl  39944  lflvscl  39950  fsuppssind  43439  mhphf  43443  mzpclall  43572  mzpindd  43591  expgrowth  45159  binomcxplemnotnn0  45180  dvdivcncf  46755  ofaddmndmap  49273  amgmwlem  50820