MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  off Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem off 7697
Description: The function operation produces a function. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
off.1 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑇)) → (𝑥𝑅𝑦) ∈ 𝑈)
off.2 (𝜑𝐹:𝐴𝑆)
off.3 (𝜑𝐺:𝐵𝑇)
off.4 (𝜑𝐴𝑉)
off.5 (𝜑𝐵𝑊)
off.6 (𝐴𝐵) = 𝐶
Assertion
Ref Expression
off (𝜑 → (𝐹f 𝑅𝐺):𝐶𝑈)
Distinct variable groups:   𝑦,𝐺   𝑥,𝑦,𝜑   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑊(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem off
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 off.2 . . . 4 (𝜑𝐹:𝐴𝑆)
21ffnd 6717 . . 3 (𝜑𝐹 Fn 𝐴)
3 off.3 . . . 4 (𝜑𝐺:𝐵𝑇)
43ffnd 6717 . . 3 (𝜑𝐺 Fn 𝐵)
5 off.4 . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
6 off.5 . . 3 (𝜑𝐵𝑊)
7 off.6 . . 3 (𝐴𝐵) = 𝐶
8 eqidd 2728 . . 3 ((𝜑𝑧𝐴) → (𝐹𝑧) = (𝐹𝑧))
9 eqidd 2728 . . 3 ((𝜑𝑧𝐵) → (𝐺𝑧) = (𝐺𝑧))
102, 4, 5, 6, 7, 8, 9offval 7688 . 2 (𝜑 → (𝐹f 𝑅𝐺) = (𝑧𝐶 ↦ ((𝐹𝑧)𝑅(𝐺𝑧))))
11 inss1 4224 . . . . . 6 (𝐴𝐵) ⊆ 𝐴
127, 11eqsstrri 4013 . . . . 5 𝐶𝐴
1312sseli 3974 . . . 4 (𝑧𝐶𝑧𝐴)
14 ffvelcdm 7085 . . . 4 ((𝐹:𝐴𝑆𝑧𝐴) → (𝐹𝑧) ∈ 𝑆)
151, 13, 14syl2an 595 . . 3 ((𝜑𝑧𝐶) → (𝐹𝑧) ∈ 𝑆)
16 inss2 4225 . . . . . 6 (𝐴𝐵) ⊆ 𝐵
177, 16eqsstrri 4013 . . . . 5 𝐶𝐵
1817sseli 3974 . . . 4 (𝑧𝐶𝑧𝐵)
19 ffvelcdm 7085 . . . 4 ((𝐺:𝐵𝑇𝑧𝐵) → (𝐺𝑧) ∈ 𝑇)
203, 18, 19syl2an 595 . . 3 ((𝜑𝑧𝐶) → (𝐺𝑧) ∈ 𝑇)
21 off.1 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑇)) → (𝑥𝑅𝑦) ∈ 𝑈)
2221ralrimivva 3195 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥𝑆𝑦𝑇 (𝑥𝑅𝑦) ∈ 𝑈)
2322adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑧𝐶) → ∀𝑥𝑆𝑦𝑇 (𝑥𝑅𝑦) ∈ 𝑈)
24 ovrspc2v 7440 . . 3 ((((𝐹𝑧) ∈ 𝑆 ∧ (𝐺𝑧) ∈ 𝑇) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑇 (𝑥𝑅𝑦) ∈ 𝑈) → ((𝐹𝑧)𝑅(𝐺𝑧)) ∈ 𝑈)
2515, 20, 23, 24syl21anc 837 . 2 ((𝜑𝑧𝐶) → ((𝐹𝑧)𝑅(𝐺𝑧)) ∈ 𝑈)
2610, 25fmpt3d 7120 1 (𝜑 → (𝐹f 𝑅𝐺):𝐶𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3056  cin 3943  wf 6538  cfv 6542  (class class class)co 7414  f cof 7677
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pr 5423
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679
This theorem is referenced by:  suppofssd  8202  o1of2  15581  ghmplusg  19792  gsumzaddlem  19867  gsumzadd  19868  lcomf  20773  frlmup1  21719  psrbagaddcl  21848  psrbagaddclOLD  21849  psraddcl  21870  psraddclOLD  21871  psrvscacl  21881  psrbagev1  22008  psrbagev1OLD  22009  evlslem3  22013  mndvcl  22280  tsmsadd  24038  mbfmulc2lem  25563  mbfaddlem  25576  i1fadd  25611  i1fmul  25612  itg1addlem4  25615  itg1addlem4OLD  25616  i1fmulclem  25619  i1fmulc  25620  mbfi1flimlem  25639  itg2mulclem  25663  itg2mulc  25664  itg2monolem1  25667  itg2addlem  25675  dvaddbr  25855  dvmulbr  25856  dvmulbrOLD  25857  dvaddf  25860  dvmulf  25861  dv11cn  25921  plyaddlem  26136  coeeulem  26145  coeaddlem  26170  plydivlem4  26218  jensenlem2  26907  jensen  26908  basellem7  27006  basellem9  27008  dchrmulcl  27169  ofrn  32408  offinsupp1  32493  ply1degltdimlem  33252  fedgmullem1  33259  sibfof  33896  signshf  34156  circlemethhgt  34211  poimirlem23  37051  poimirlem24  37052  poimirlem25  37053  poimirlem29  37057  poimirlem30  37058  poimirlem31  37059  poimirlem32  37060  itg2addnc  37082  ftc1anclem3  37103  ftc1anclem6  37106  ftc1anclem8  37108  lfladdcl  38480  lflvscl  38486  fsuppssind  41748  mhphf  41752  mzpclall  42069  mzpindd  42088  expgrowth  43695  binomcxplemnotnn0  43716  dvdivcncf  45238  ofaddmndmap  47330  amgmwlem  48158
  Copyright terms: Public domain W3C validator