Theorem off 7638

Description: The function operation produces a function. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
off.1	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇)) → (𝑥𝑅𝑦) ∈ 𝑈)
off.2	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑆)
off.3	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐵⟶𝑇)
off.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
off.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
off.6	⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐶

Assertion

Ref	Expression
off	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f 𝑅𝐺):𝐶⟶𝑈)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐺   𝑥,𝑦,𝜑   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑊(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem off

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		off.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑆)
2	1	ffnd 6656	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
3		off.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐵⟶𝑇)
4	3	ffnd 6656	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝐵)
5		off.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
6		off.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
7		off.6	. . 3 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐶
8		eqidd 2740	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
9		eqidd 2740	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝐺‘𝑧) = (𝐺‘𝑧))
10	2, 4, 5, 6, 7, 8, 9	offval 7629	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f 𝑅𝐺) = (𝑧 ∈ 𝐶 ↦ ((𝐹‘𝑧)𝑅(𝐺‘𝑧))))
11		inss1 4165	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴
12	7, 11	eqsstrri 3962	. . . . 5 ⊢ 𝐶 ⊆ 𝐴
13	12	sseli 3911	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐶 → 𝑧 ∈ 𝐴)
14		ffvelcdm 7022	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑧) ∈ 𝑆)
15	1, 13, 14	syl2an 602	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑧) ∈ 𝑆)
16		inss2 4166	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵
17	7, 16	eqsstrri 3962	. . . . 5 ⊢ 𝐶 ⊆ 𝐵
18	17	sseli 3911	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐶 → 𝑧 ∈ 𝐵)
19		ffvelcdm 7022	. . . 4 ⊢ ((𝐺:𝐵⟶𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝐺‘𝑧) ∈ 𝑇)
20	3, 18, 19	syl2an 602	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → (𝐺‘𝑧) ∈ 𝑇)
21		off.1	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇)) → (𝑥𝑅𝑦) ∈ 𝑈)
22	21	ralrimivva 3182	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑇 (𝑥𝑅𝑦) ∈ 𝑈)
23	22	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑇 (𝑥𝑅𝑦) ∈ 𝑈)
24		ovrspc2v 7382	. . 3 ⊢ ((((𝐹‘𝑧) ∈ 𝑆 ∧ (𝐺‘𝑧) ∈ 𝑇) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑇 (𝑥𝑅𝑦) ∈ 𝑈) → ((𝐹‘𝑧)𝑅(𝐺‘𝑧)) ∈ 𝑈)
25	15, 20, 23, 24	syl21anc 843	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → ((𝐹‘𝑧)𝑅(𝐺‘𝑧)) ∈ 𝑈)
26	10, 25	fmpt3d 7057	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f 𝑅𝐺):𝐶⟶𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∀wral 3053   ∩ cin 3882  ⟶wf 6481  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356   ∘_f cof 7618

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pr 5362

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620

This theorem is referenced by:  suppofssd  8143  o1of2  15566  mndvcl  18756  ghmplusg  19812  gsumzaddlem  19887  gsumzadd  19888  lcomf  20891  frlmup1  21773  psrbagaddcl  21899  psraddcl  21914  psrvscacl  21926  psrbagev1  22053  evlslem3  22056  tsmsadd  24130  mbfmulc2lem  25632  mbfaddlem  25645  i1fadd  25680  i1fmul  25681  itg1addlem4  25684  i1fmulclem  25687  i1fmulc  25688  mbfi1flimlem  25707  itg2mulclem  25731  itg2mulc  25732  itg2monolem1  25735  itg2addlem  25743  dvaddbr  25923  dvmulbr  25924  dvaddf  25927  dvmulf  25928  dv11cn  25986  plyaddlem  26198  coeeulem  26207  coeaddlem  26232  plydivlem4  26280  jensenlem2  26969  jensen  26970  basellem7  27068  basellem9  27070  dchrmulcl  27230  ofrn  32731  offinsupp1  32818  elrgspnlem1  33323  1arithidomlem2  33619  1arithidom  33620  selvply1rhmlemb  33703  ply1degltdimlem  33806  fedgmullem1  33813  sibfof  34524  signshf  34772  circlemethhgt  34827  poimirlem23  38010  poimirlem24  38011  poimirlem25  38012  poimirlem29  38016  poimirlem30  38017  poimirlem31  38018  poimirlem32  38019  itg2addnc  38041  ftc1anclem3  38062  ftc1anclem6  38065  ftc1anclem8  38067  lfladdcl  39563  lflvscl  39569  fsuppssind  43043  mhphf  43047  mzpclall  43176  mzpindd  43195  expgrowth  44779  binomcxplemnotnn0  44800  dvdivcncf  46370  ofaddmndmap  48834  amgmwlem  50292