Theorem off 7732

Description: The function operation produces a function. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
off.1	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇)) → (𝑥𝑅𝑦) ∈ 𝑈)
off.2	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑆)
off.3	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐵⟶𝑇)
off.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
off.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
off.6	⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐶

Assertion

Ref	Expression
off	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f 𝑅𝐺):𝐶⟶𝑈)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐺   𝑥,𝑦,𝜑   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑊(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem off

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		off.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑆)
2	1	ffnd 6748	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
3		off.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐵⟶𝑇)
4	3	ffnd 6748	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝐵)
5		off.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
6		off.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
7		off.6	. . 3 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐶
8		eqidd 2741	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
9		eqidd 2741	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝐺‘𝑧) = (𝐺‘𝑧))
10	2, 4, 5, 6, 7, 8, 9	offval 7723	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f 𝑅𝐺) = (𝑧 ∈ 𝐶 ↦ ((𝐹‘𝑧)𝑅(𝐺‘𝑧))))
11		inss1 4258	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴
12	7, 11	eqsstrri 4044	. . . . 5 ⊢ 𝐶 ⊆ 𝐴
13	12	sseli 4004	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐶 → 𝑧 ∈ 𝐴)
14		ffvelcdm 7115	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑧) ∈ 𝑆)
15	1, 13, 14	syl2an 595	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑧) ∈ 𝑆)
16		inss2 4259	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵
17	7, 16	eqsstrri 4044	. . . . 5 ⊢ 𝐶 ⊆ 𝐵
18	17	sseli 4004	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐶 → 𝑧 ∈ 𝐵)
19		ffvelcdm 7115	. . . 4 ⊢ ((𝐺:𝐵⟶𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝐺‘𝑧) ∈ 𝑇)
20	3, 18, 19	syl2an 595	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → (𝐺‘𝑧) ∈ 𝑇)
21		off.1	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇)) → (𝑥𝑅𝑦) ∈ 𝑈)
22	21	ralrimivva 3208	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑇 (𝑥𝑅𝑦) ∈ 𝑈)
23	22	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑇 (𝑥𝑅𝑦) ∈ 𝑈)
24		ovrspc2v 7474	. . 3 ⊢ ((((𝐹‘𝑧) ∈ 𝑆 ∧ (𝐺‘𝑧) ∈ 𝑇) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑇 (𝑥𝑅𝑦) ∈ 𝑈) → ((𝐹‘𝑧)𝑅(𝐺‘𝑧)) ∈ 𝑈)
25	15, 20, 23, 24	syl21anc 837	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → ((𝐹‘𝑧)𝑅(𝐺‘𝑧)) ∈ 𝑈)
26	10, 25	fmpt3d 7150	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f 𝑅𝐺):𝐶⟶𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067   ∩ cin 3975  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ∘_f cof 7712

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714

This theorem is referenced by:  suppofssd  8244  o1of2  15659  mndvcl  18832  ghmplusg  19888  gsumzaddlem  19963  gsumzadd  19964  lcomf  20921  frlmup1  21841  psrbagaddcl  21967  psraddcl  21981  psraddclOLD  21982  psrvscacl  21994  psrbagev1  22124  evlslem3  22127  tsmsadd  24176  mbfmulc2lem  25701  mbfaddlem  25714  i1fadd  25749  i1fmul  25750  itg1addlem4  25753  itg1addlem4OLD  25754  i1fmulclem  25757  i1fmulc  25758  mbfi1flimlem  25777  itg2mulclem  25801  itg2mulc  25802  itg2monolem1  25805  itg2addlem  25813  dvaddbr  25994  dvmulbr  25995  dvmulbrOLD  25996  dvaddf  25999  dvmulf  26000  dv11cn  26060  plyaddlem  26274  coeeulem  26283  coeaddlem  26308  plydivlem4  26356  jensenlem2  27049  jensen  27050  basellem7  27148  basellem9  27150  dchrmulcl  27311  ofrn  32658  offinsupp1  32741  1arithidomlem2  33529  1arithidom  33530  ply1degltdimlem  33635  fedgmullem1  33642  sibfof  34305  signshf  34565  circlemethhgt  34620  poimirlem23  37603  poimirlem24  37604  poimirlem25  37605  poimirlem29  37609  poimirlem30  37610  poimirlem31  37611  poimirlem32  37612  itg2addnc  37634  ftc1anclem3  37655  ftc1anclem6  37658  ftc1anclem8  37660  lfladdcl  39027  lflvscl  39033  fsuppssind  42548  mhphf  42552  mzpclall  42683  mzpindd  42702  expgrowth  44304  binomcxplemnotnn0  44325  dvdivcncf  45848  ofaddmndmap  48068  amgmwlem  48896