Theorem off 7651

Description: The function operation produces a function. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
off.1	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇)) → (𝑥𝑅𝑦) ∈ 𝑈)
off.2	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑆)
off.3	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐵⟶𝑇)
off.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
off.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
off.6	⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐶

Assertion

Ref	Expression
off	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f 𝑅𝐺):𝐶⟶𝑈)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐺   𝑥,𝑦,𝜑   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑊(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem off

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		off.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑆)
2	1	ffnd 6671	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
3		off.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐵⟶𝑇)
4	3	ffnd 6671	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝐵)
5		off.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
6		off.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
7		off.6	. . 3 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐶
8		eqidd 2730	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
9		eqidd 2730	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝐺‘𝑧) = (𝐺‘𝑧))
10	2, 4, 5, 6, 7, 8, 9	offval 7642	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f 𝑅𝐺) = (𝑧 ∈ 𝐶 ↦ ((𝐹‘𝑧)𝑅(𝐺‘𝑧))))
11		inss1 4196	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴
12	7, 11	eqsstrri 3991	. . . . 5 ⊢ 𝐶 ⊆ 𝐴
13	12	sseli 3939	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐶 → 𝑧 ∈ 𝐴)
14		ffvelcdm 7035	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑧) ∈ 𝑆)
15	1, 13, 14	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑧) ∈ 𝑆)
16		inss2 4197	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵
17	7, 16	eqsstrri 3991	. . . . 5 ⊢ 𝐶 ⊆ 𝐵
18	17	sseli 3939	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐶 → 𝑧 ∈ 𝐵)
19		ffvelcdm 7035	. . . 4 ⊢ ((𝐺:𝐵⟶𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝐺‘𝑧) ∈ 𝑇)
20	3, 18, 19	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → (𝐺‘𝑧) ∈ 𝑇)
21		off.1	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇)) → (𝑥𝑅𝑦) ∈ 𝑈)
22	21	ralrimivva 3178	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑇 (𝑥𝑅𝑦) ∈ 𝑈)
23	22	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑇 (𝑥𝑅𝑦) ∈ 𝑈)
24		ovrspc2v 7395	. . 3 ⊢ ((((𝐹‘𝑧) ∈ 𝑆 ∧ (𝐺‘𝑧) ∈ 𝑇) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑇 (𝑥𝑅𝑦) ∈ 𝑈) → ((𝐹‘𝑧)𝑅(𝐺‘𝑧)) ∈ 𝑈)
25	15, 20, 23, 24	syl21anc 837	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → ((𝐹‘𝑧)𝑅(𝐺‘𝑧)) ∈ 𝑈)
26	10, 25	fmpt3d 7070	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f 𝑅𝐺):𝐶⟶𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044   ∩ cin 3910  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369   ∘_f cof 7631

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5382

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-of 7633

This theorem is referenced by:  suppofssd  8159  o1of2  15555  mndvcl  18700  ghmplusg  19752  gsumzaddlem  19827  gsumzadd  19828  lcomf  20783  frlmup1  21683  psrbagaddcl  21809  psraddcl  21823  psraddclOLD  21824  psrvscacl  21836  psrbagev1  21960  evlslem3  21963  tsmsadd  24010  mbfmulc2lem  25524  mbfaddlem  25537  i1fadd  25572  i1fmul  25573  itg1addlem4  25576  i1fmulclem  25579  i1fmulc  25580  mbfi1flimlem  25599  itg2mulclem  25623  itg2mulc  25624  itg2monolem1  25627  itg2addlem  25635  dvaddbr  25816  dvmulbr  25817  dvmulbrOLD  25818  dvaddf  25821  dvmulf  25822  dv11cn  25882  plyaddlem  26096  coeeulem  26105  coeaddlem  26130  plydivlem4  26180  jensenlem2  26874  jensen  26875  basellem7  26973  basellem9  26975  dchrmulcl  27136  ofrn  32536  offinsupp1  32623  elrgspnlem1  33166  1arithidomlem2  33480  1arithidom  33481  ply1degltdimlem  33591  fedgmullem1  33598  sibfof  34304  signshf  34552  circlemethhgt  34607  poimirlem23  37610  poimirlem24  37611  poimirlem25  37612  poimirlem29  37616  poimirlem30  37617  poimirlem31  37618  poimirlem32  37619  itg2addnc  37641  ftc1anclem3  37662  ftc1anclem6  37665  ftc1anclem8  37667  lfladdcl  39037  lflvscl  39043  fsuppssind  42554  mhphf  42558  mzpclall  42688  mzpindd  42707  expgrowth  44297  binomcxplemnotnn0  44318  dvdivcncf  45898  ofaddmndmap  48304  amgmwlem  49764