MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  off Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem off 7551
Description: The function operation produces a function. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
off.1 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑇)) → (𝑥𝑅𝑦) ∈ 𝑈)
off.2 (𝜑𝐹:𝐴𝑆)
off.3 (𝜑𝐺:𝐵𝑇)
off.4 (𝜑𝐴𝑉)
off.5 (𝜑𝐵𝑊)
off.6 (𝐴𝐵) = 𝐶
Assertion
Ref Expression
off (𝜑 → (𝐹f 𝑅𝐺):𝐶𝑈)
Distinct variable groups:   𝑦,𝐺   𝑥,𝑦,𝜑   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑊(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem off
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 off.2 . . . 4 (𝜑𝐹:𝐴𝑆)
21ffnd 6601 . . 3 (𝜑𝐹 Fn 𝐴)
3 off.3 . . . 4 (𝜑𝐺:𝐵𝑇)
43ffnd 6601 . . 3 (𝜑𝐺 Fn 𝐵)
5 off.4 . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
6 off.5 . . 3 (𝜑𝐵𝑊)
7 off.6 . . 3 (𝐴𝐵) = 𝐶
8 eqidd 2739 . . 3 ((𝜑𝑧𝐴) → (𝐹𝑧) = (𝐹𝑧))
9 eqidd 2739 . . 3 ((𝜑𝑧𝐵) → (𝐺𝑧) = (𝐺𝑧))
102, 4, 5, 6, 7, 8, 9offval 7542 . 2 (𝜑 → (𝐹f 𝑅𝐺) = (𝑧𝐶 ↦ ((𝐹𝑧)𝑅(𝐺𝑧))))
11 inss1 4162 . . . . . 6 (𝐴𝐵) ⊆ 𝐴
127, 11eqsstrri 3956 . . . . 5 𝐶𝐴
1312sseli 3917 . . . 4 (𝑧𝐶𝑧𝐴)
14 ffvelrn 6959 . . . 4 ((𝐹:𝐴𝑆𝑧𝐴) → (𝐹𝑧) ∈ 𝑆)
151, 13, 14syl2an 596 . . 3 ((𝜑𝑧𝐶) → (𝐹𝑧) ∈ 𝑆)
16 inss2 4163 . . . . . 6 (𝐴𝐵) ⊆ 𝐵
177, 16eqsstrri 3956 . . . . 5 𝐶𝐵
1817sseli 3917 . . . 4 (𝑧𝐶𝑧𝐵)
19 ffvelrn 6959 . . . 4 ((𝐺:𝐵𝑇𝑧𝐵) → (𝐺𝑧) ∈ 𝑇)
203, 18, 19syl2an 596 . . 3 ((𝜑𝑧𝐶) → (𝐺𝑧) ∈ 𝑇)
21 off.1 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑇)) → (𝑥𝑅𝑦) ∈ 𝑈)
2221ralrimivva 3123 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥𝑆𝑦𝑇 (𝑥𝑅𝑦) ∈ 𝑈)
2322adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑧𝐶) → ∀𝑥𝑆𝑦𝑇 (𝑥𝑅𝑦) ∈ 𝑈)
24 ovrspc2v 7301 . . 3 ((((𝐹𝑧) ∈ 𝑆 ∧ (𝐺𝑧) ∈ 𝑇) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑇 (𝑥𝑅𝑦) ∈ 𝑈) → ((𝐹𝑧)𝑅(𝐺𝑧)) ∈ 𝑈)
2515, 20, 23, 24syl21anc 835 . 2 ((𝜑𝑧𝐶) → ((𝐹𝑧)𝑅(𝐺𝑧)) ∈ 𝑈)
2610, 25fmpt3d 6990 1 (𝜑 → (𝐹f 𝑅𝐺):𝐶𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1539  wcel 2106  wral 3064  cin 3886  wf 6429  cfv 6433  (class class class)co 7275  f cof 7531
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533
This theorem is referenced by:  suppofssd  8019  o1of2  15322  ghmplusg  19447  gsumzaddlem  19522  gsumzadd  19523  lcomf  20162  frlmup1  21005  psrbagaddcl  21131  psrbagaddclOLD  21132  psraddcl  21152  psrvscacl  21162  psrbagev1  21285  psrbagev1OLD  21286  evlslem3  21290  mndvcl  21540  tsmsadd  23298  mbfmulc2lem  24811  mbfaddlem  24824  i1fadd  24859  i1fmul  24860  itg1addlem4  24863  itg1addlem4OLD  24864  i1fmulclem  24867  i1fmulc  24868  mbfi1flimlem  24887  itg2mulclem  24911  itg2mulc  24912  itg2monolem1  24915  itg2addlem  24923  dvaddbr  25102  dvmulbr  25103  dvaddf  25106  dvmulf  25107  dv11cn  25165  plyaddlem  25376  coeeulem  25385  coeaddlem  25410  plydivlem4  25456  jensenlem2  26137  jensen  26138  basellem7  26236  basellem9  26238  dchrmulcl  26397  ofrn  30976  offinsupp1  31062  fedgmullem1  31710  sibfof  32307  signshf  32567  circlemethhgt  32623  poimirlem23  35800  poimirlem24  35801  poimirlem25  35802  poimirlem29  35806  poimirlem30  35807  poimirlem31  35808  poimirlem32  35809  itg2addnc  35831  ftc1anclem3  35852  ftc1anclem6  35855  ftc1anclem8  35857  lfladdcl  37085  lflvscl  37091  fsuppssind  40282  mhphf  40285  mzpclall  40549  mzpindd  40568  expgrowth  41953  binomcxplemnotnn0  41974  dvdivcncf  43468  ofaddmndmap  45679  amgmwlem  46506
  Copyright terms: Public domain W3C validator