Theorem ogrpaddltrd 20074

Description: In a right ordered group, strict ordering is compatible with group addition. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ogrpaddlt.0	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ogrpaddlt.1	⊢ < = (lt‘𝐺)
ogrpaddlt.2	⊢ + = (+g‘𝐺)
ogrpaddltrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
ogrpaddltrd.2	⊢ (𝜑 → (oppg‘𝐺) ∈ oGrp)
ogrpaddltrd.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
ogrpaddltrd.4	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
ogrpaddltrd.5	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
ogrpaddltrd.6	⊢ (𝜑 → 𝑋 < 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
ogrpaddltrd	⊢ (𝜑 → (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌))

Proof of Theorem ogrpaddltrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ogrpaddltrd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (oppg‘𝐺) ∈ oGrp)
2		ogrpaddltrd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		ogrpaddltrd.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		ogrpaddltrd.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
5		ogrpaddltrd.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 < 𝑌)
6		ogrpaddltrd.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
7		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (oppg‘𝐺) = (oppg‘𝐺)
8		ogrpaddlt.1	. . . . . . . 8 ⊢ < = (lt‘𝐺)
9	7, 8	oppglt 19302	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → < = (lt‘(oppg‘𝐺)))
10	6, 9	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → < = (lt‘(oppg‘𝐺)))
11	10	breqd 5110	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 < 𝑌 ↔ 𝑋(lt‘(oppg‘𝐺))𝑌))
12	5, 11	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋(lt‘(oppg‘𝐺))𝑌)
13		ogrpaddlt.0	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
14	7, 13	oppgbas 19285	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘(oppg‘𝐺))
15		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (lt‘(oppg‘𝐺)) = (lt‘(oppg‘𝐺))
16		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (+g‘(oppg‘𝐺)) = (+g‘(oppg‘𝐺))
17	14, 15, 16	ogrpaddlt 20072	. . . 4 ⊢ (((oppg‘𝐺) ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋(lt‘(oppg‘𝐺))𝑌) → (𝑋(+g‘(oppg‘𝐺))𝑍)(lt‘(oppg‘𝐺))(𝑌(+g‘(oppg‘𝐺))𝑍))
18	1, 2, 3, 4, 12, 17	syl131anc 1386	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋(+g‘(oppg‘𝐺))𝑍)(lt‘(oppg‘𝐺))(𝑌(+g‘(oppg‘𝐺))𝑍))
19		ogrpaddlt.2	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐺)
20	19, 7, 16	oppgplus 19283	. . 3 ⊢ (𝑋(+g‘(oppg‘𝐺))𝑍) = (𝑍 + 𝑋)
21	19, 7, 16	oppgplus 19283	. . 3 ⊢ (𝑌(+g‘(oppg‘𝐺))𝑍) = (𝑍 + 𝑌)
22	18, 20, 21	3brtr3g 5132	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑍 + 𝑋)(lt‘(oppg‘𝐺))(𝑍 + 𝑌))
23	10	breqd 5110	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌) ↔ (𝑍 + 𝑋)(lt‘(oppg‘𝐺))(𝑍 + 𝑌)))
24	22, 23	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5099  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  Basecbs 17141  +_gcplusg 17182  ltcplt 18236  opp_gcoppg 19279  oGrpcogrp 20054

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7683  ax-cnex 11087  ax-resscn 11088  ax-1cn 11089  ax-icn 11090  ax-addcl 11091  ax-addrcl 11092  ax-mulcl 11093  ax-mulrcl 11094  ax-mulcom 11095  ax-addass 11096  ax-mulass 11097  ax-distr 11098  ax-i2m1 11099  ax-1ne0 11100  ax-1rid 11101  ax-rnegex 11102  ax-rrecex 11103  ax-cnre 11104  ax-pre-lttri 11105  ax-pre-lttrn 11106  ax-pre-ltadd 11107  ax-pre-mulgt0 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-2nd 7937  df-tpos 8171  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-nn 12151  df-2 12213  df-3 12214  df-4 12215  df-5 12216  df-6 12217  df-7 12218  df-8 12219  df-9 12220  df-dec 12613  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17142  df-plusg 17195  df-ple 17202  df-0g 17366  df-plt 18256  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-grp 18871  df-oppg 19280  df-omnd 20055  df-ogrp 20056

This theorem is referenced by:  ogrpaddltrbid  20075  archiabllem2a  33280  archiabllem2c  33281