Theorem ogrpaddltrd 20104

Description: In a right ordered group, strict ordering is compatible with group addition. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ogrpaddlt.0	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ogrpaddlt.1	⊢ < = (lt‘𝐺)
ogrpaddlt.2	⊢ + = (+g‘𝐺)
ogrpaddltrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
ogrpaddltrd.2	⊢ (𝜑 → (oppg‘𝐺) ∈ oGrp)
ogrpaddltrd.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
ogrpaddltrd.4	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
ogrpaddltrd.5	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
ogrpaddltrd.6	⊢ (𝜑 → 𝑋 < 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
ogrpaddltrd	⊢ (𝜑 → (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌))

Proof of Theorem ogrpaddltrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ogrpaddltrd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (oppg‘𝐺) ∈ oGrp)
2		ogrpaddltrd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		ogrpaddltrd.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		ogrpaddltrd.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
5		ogrpaddltrd.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 < 𝑌)
6		ogrpaddltrd.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
7		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (oppg‘𝐺) = (oppg‘𝐺)
8		ogrpaddlt.1	. . . . . . . 8 ⊢ < = (lt‘𝐺)
9	7, 8	oppglt 19332	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → < = (lt‘(oppg‘𝐺)))
10	6, 9	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → < = (lt‘(oppg‘𝐺)))
11	10	breqd 5097	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 < 𝑌 ↔ 𝑋(lt‘(oppg‘𝐺))𝑌))
12	5, 11	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋(lt‘(oppg‘𝐺))𝑌)
13		ogrpaddlt.0	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
14	7, 13	oppgbas 19315	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘(oppg‘𝐺))
15		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (lt‘(oppg‘𝐺)) = (lt‘(oppg‘𝐺))
16		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (+g‘(oppg‘𝐺)) = (+g‘(oppg‘𝐺))
17	14, 15, 16	ogrpaddlt 20102	. . . 4 ⊢ (((oppg‘𝐺) ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋(lt‘(oppg‘𝐺))𝑌) → (𝑋(+g‘(oppg‘𝐺))𝑍)(lt‘(oppg‘𝐺))(𝑌(+g‘(oppg‘𝐺))𝑍))
18	1, 2, 3, 4, 12, 17	syl131anc 1386	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋(+g‘(oppg‘𝐺))𝑍)(lt‘(oppg‘𝐺))(𝑌(+g‘(oppg‘𝐺))𝑍))
19		ogrpaddlt.2	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐺)
20	19, 7, 16	oppgplus 19313	. . 3 ⊢ (𝑋(+g‘(oppg‘𝐺))𝑍) = (𝑍 + 𝑋)
21	19, 7, 16	oppgplus 19313	. . 3 ⊢ (𝑌(+g‘(oppg‘𝐺))𝑍) = (𝑍 + 𝑌)
22	18, 20, 21	3brtr3g 5119	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑍 + 𝑋)(lt‘(oppg‘𝐺))(𝑍 + 𝑌))
23	10	breqd 5097	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌) ↔ (𝑍 + 𝑋)(lt‘(oppg‘𝐺))(𝑍 + 𝑌)))
24	22, 23	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  Basecbs 17168  +_gcplusg 17209  ltcplt 18263  opp_gcoppg 19309  oGrpcogrp 20084

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-tpos 8167  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-4 12235  df-5 12236  df-6 12237  df-7 12238  df-8 12239  df-9 12240  df-dec 12634  df-sets 17123  df-slot 17141  df-ndx 17153  df-base 17169  df-plusg 17222  df-ple 17229  df-0g 17393  df-plt 18283  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-grp 18901  df-oppg 19310  df-omnd 20085  df-ogrp 20086

This theorem is referenced by:  ogrpaddltrbid  20105  archiabllem2a  33275  archiabllem2c  33276