Theorem ogrpaddltrd 20235

Description: In a right ordered group, strict ordering is compatible with group addition. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ogrpaddlt.0	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ogrpaddlt.1	⊢ < = (lt‘𝐺)
ogrpaddlt.2	⊢ + = (+g‘𝐺)
ogrpaddltrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
ogrpaddltrd.2	⊢ (𝜑 → (oppg‘𝐺) ∈ oGrp)
ogrpaddltrd.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
ogrpaddltrd.4	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
ogrpaddltrd.5	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
ogrpaddltrd.6	⊢ (𝜑 → 𝑋 < 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
ogrpaddltrd	⊢ (𝜑 → (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌))

Proof of Theorem ogrpaddltrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ogrpaddltrd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (oppg‘𝐺) ∈ oGrp)
2		ogrpaddltrd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		ogrpaddltrd.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		ogrpaddltrd.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
5		ogrpaddltrd.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 < 𝑌)
6		ogrpaddltrd.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
7		eqid 2766	. . . . . . . 8 ⊢ (oppg‘𝐺) = (oppg‘𝐺)
8		ogrpaddlt.1	. . . . . . . 8 ⊢ < = (lt‘𝐺)
9	7, 8	oppglt 19463	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → < = (lt‘(oppg‘𝐺)))
10	6, 9	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → < = (lt‘(oppg‘𝐺)))
11	10	breqd 5125	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 < 𝑌 ↔ 𝑋(lt‘(oppg‘𝐺))𝑌))
12	5, 11	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋(lt‘(oppg‘𝐺))𝑌)
13		ogrpaddlt.0	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
14	7, 13	oppgbas 19446	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘(oppg‘𝐺))
15		eqid 2766	. . . . 5 ⊢ (lt‘(oppg‘𝐺)) = (lt‘(oppg‘𝐺))
16		eqid 2766	. . . . 5 ⊢ (+g‘(oppg‘𝐺)) = (+g‘(oppg‘𝐺))
17	14, 15, 16	ogrpaddlt 20233	. . . 4 ⊢ (((oppg‘𝐺) ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋(lt‘(oppg‘𝐺))𝑌) → (𝑋(+g‘(oppg‘𝐺))𝑍)(lt‘(oppg‘𝐺))(𝑌(+g‘(oppg‘𝐺))𝑍))
18	1, 2, 3, 4, 12, 17	syl131anc 1410	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋(+g‘(oppg‘𝐺))𝑍)(lt‘(oppg‘𝐺))(𝑌(+g‘(oppg‘𝐺))𝑍))
19		ogrpaddlt.2	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐺)
20	19, 7, 16	oppgplus 19444	. . 3 ⊢ (𝑋(+g‘(oppg‘𝐺))𝑍) = (𝑍 + 𝑋)
21	19, 7, 16	oppgplus 19444	. . 3 ⊢ (𝑌(+g‘(oppg‘𝐺))𝑍) = (𝑍 + 𝑌)
22	18, 20, 21	3brtr3g 5149	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑍 + 𝑋)(lt‘(oppg‘𝐺))(𝑍 + 𝑌))
23	10	breqd 5125	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌) ↔ (𝑍 + 𝑋)(lt‘(oppg‘𝐺))(𝑍 + 𝑌)))
24	22, 23	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5114  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  Basecbs 17294  +_gcplusg 17335  ltcplt 18389  opp_gcoppg 19440  oGrpcogrp 20215

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-2nd 7996  df-tpos 8231  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12523  df-z 12610  df-dec 12730  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-plusg 17348  df-ple 17355  df-0g 17519  df-plt 18409  df-mgm 18723  df-sgrp 18802  df-mnd 18818  df-grp 19028  df-oppg 19441  df-omnd 20216  df-ogrp 20217

This theorem is used by:  ogrpaddltrbid  20236  archiabllem2a  33538  archiabllem2c  33539