Theorem ogrpaddltrd 31247

Description: In a right ordered group, strict ordering is compatible with group addition. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ogrpaddlt.0	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ogrpaddlt.1	⊢ < = (lt‘𝐺)
ogrpaddlt.2	⊢ + = (+g‘𝐺)
ogrpaddltrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
ogrpaddltrd.2	⊢ (𝜑 → (oppg‘𝐺) ∈ oGrp)
ogrpaddltrd.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
ogrpaddltrd.4	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
ogrpaddltrd.5	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
ogrpaddltrd.6	⊢ (𝜑 → 𝑋 < 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
ogrpaddltrd	⊢ (𝜑 → (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌))

Proof of Theorem ogrpaddltrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ogrpaddltrd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (oppg‘𝐺) ∈ oGrp)
2		ogrpaddltrd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		ogrpaddltrd.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		ogrpaddltrd.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
5		ogrpaddltrd.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 < 𝑌)
6		ogrpaddltrd.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
7		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (oppg‘𝐺) = (oppg‘𝐺)
8		ogrpaddlt.1	. . . . . . . 8 ⊢ < = (lt‘𝐺)
9	7, 8	oppglt 31142	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → < = (lt‘(oppg‘𝐺)))
10	6, 9	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → < = (lt‘(oppg‘𝐺)))
11	10	breqd 5081	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 < 𝑌 ↔ 𝑋(lt‘(oppg‘𝐺))𝑌))
12	5, 11	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋(lt‘(oppg‘𝐺))𝑌)
13		ogrpaddlt.0	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
14	7, 13	oppgbas 18871	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘(oppg‘𝐺))
15		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (lt‘(oppg‘𝐺)) = (lt‘(oppg‘𝐺))
16		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (+g‘(oppg‘𝐺)) = (+g‘(oppg‘𝐺))
17	14, 15, 16	ogrpaddlt 31245	. . . 4 ⊢ (((oppg‘𝐺) ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋(lt‘(oppg‘𝐺))𝑌) → (𝑋(+g‘(oppg‘𝐺))𝑍)(lt‘(oppg‘𝐺))(𝑌(+g‘(oppg‘𝐺))𝑍))
18	1, 2, 3, 4, 12, 17	syl131anc 1381	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋(+g‘(oppg‘𝐺))𝑍)(lt‘(oppg‘𝐺))(𝑌(+g‘(oppg‘𝐺))𝑍))
19		ogrpaddlt.2	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐺)
20	19, 7, 16	oppgplus 18868	. . 3 ⊢ (𝑋(+g‘(oppg‘𝐺))𝑍) = (𝑍 + 𝑋)
21	19, 7, 16	oppgplus 18868	. . 3 ⊢ (𝑌(+g‘(oppg‘𝐺))𝑍) = (𝑍 + 𝑌)
22	18, 20, 21	3brtr3g 5103	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑍 + 𝑋)(lt‘(oppg‘𝐺))(𝑍 + 𝑌))
23	10	breqd 5081	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌) ↔ (𝑍 + 𝑋)(lt‘(oppg‘𝐺))(𝑍 + 𝑌)))
24	22, 23	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840  +_gcplusg 16888  ltcplt 17941  opp_gcoppg 18864  oGrpcogrp 31226

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-tpos 8013  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-dec 12367  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-plusg 16901  df-ple 16908  df-0g 17069  df-plt 17963  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-grp 18495  df-oppg 18865  df-omnd 31227  df-ogrp 31228

This theorem is referenced by:  ogrpaddltrbid  31248  archiabllem2a  31350  archiabllem2c  31351