Theorem ogrpaddltrd 20071

Description: In a right ordered group, strict ordering is compatible with group addition. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ogrpaddlt.0	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ogrpaddlt.1	⊢ < = (lt‘𝐺)
ogrpaddlt.2	⊢ + = (+g‘𝐺)
ogrpaddltrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
ogrpaddltrd.2	⊢ (𝜑 → (oppg‘𝐺) ∈ oGrp)
ogrpaddltrd.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
ogrpaddltrd.4	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
ogrpaddltrd.5	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
ogrpaddltrd.6	⊢ (𝜑 → 𝑋 < 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
ogrpaddltrd	⊢ (𝜑 → (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌))

Proof of Theorem ogrpaddltrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ogrpaddltrd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (oppg‘𝐺) ∈ oGrp)
2		ogrpaddltrd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		ogrpaddltrd.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		ogrpaddltrd.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
5		ogrpaddltrd.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 < 𝑌)
6		ogrpaddltrd.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
7		eqid 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (oppg‘𝐺) = (oppg‘𝐺)
8		ogrpaddlt.1	. . . . . . . 8 ⊢ < = (lt‘𝐺)
9	7, 8	oppglt 19299	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → < = (lt‘(oppg‘𝐺)))
10	6, 9	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → < = (lt‘(oppg‘𝐺)))
11	10	breqd 5108	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 < 𝑌 ↔ 𝑋(lt‘(oppg‘𝐺))𝑌))
12	5, 11	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋(lt‘(oppg‘𝐺))𝑌)
13		ogrpaddlt.0	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
14	7, 13	oppgbas 19282	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘(oppg‘𝐺))
15		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (lt‘(oppg‘𝐺)) = (lt‘(oppg‘𝐺))
16		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (+g‘(oppg‘𝐺)) = (+g‘(oppg‘𝐺))
17	14, 15, 16	ogrpaddlt 20069	. . . 4 ⊢ (((oppg‘𝐺) ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋(lt‘(oppg‘𝐺))𝑌) → (𝑋(+g‘(oppg‘𝐺))𝑍)(lt‘(oppg‘𝐺))(𝑌(+g‘(oppg‘𝐺))𝑍))
18	1, 2, 3, 4, 12, 17	syl131anc 1386	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋(+g‘(oppg‘𝐺))𝑍)(lt‘(oppg‘𝐺))(𝑌(+g‘(oppg‘𝐺))𝑍))
19		ogrpaddlt.2	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐺)
20	19, 7, 16	oppgplus 19280	. . 3 ⊢ (𝑋(+g‘(oppg‘𝐺))𝑍) = (𝑍 + 𝑋)
21	19, 7, 16	oppgplus 19280	. . 3 ⊢ (𝑌(+g‘(oppg‘𝐺))𝑍) = (𝑍 + 𝑌)
22	18, 20, 21	3brtr3g 5130	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑍 + 𝑋)(lt‘(oppg‘𝐺))(𝑍 + 𝑌))
23	10	breqd 5108	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌) ↔ (𝑍 + 𝑋)(lt‘(oppg‘𝐺))(𝑍 + 𝑌)))
24	22, 23	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5097  ‘cfv 6491  (class class class)co 7358  Basecbs 17138  +_gcplusg 17179  ltcplt 18233  opp_gcoppg 19276  oGrpcogrp 20051

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4947  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6258  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-tpos 8168  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-5 12213  df-6 12214  df-7 12215  df-8 12216  df-9 12217  df-dec 12610  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-plusg 17192  df-ple 17199  df-0g 17363  df-plt 18253  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-grp 18868  df-oppg 19277  df-omnd 20052  df-ogrp 20053

This theorem is referenced by:  ogrpaddltrbid  20072  archiabllem2a  33255  archiabllem2c  33256