Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ogrpsub Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ogrpsub 32234
Description: In an ordered group, the ordering is compatible with group subtraction. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ogrpsub.0 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
ogrpsub.1 ≀ = (leβ€˜πΊ)
ogrpsub.2 βˆ’ = (-gβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
ogrpsub ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ (𝑋 βˆ’ 𝑍) ≀ (π‘Œ βˆ’ 𝑍))
Proof of Theorem ogrpsub
StepHypRef Expression
1 isogrp 32220 . . . . 5 (𝐺 ∈ oGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ oMnd))
21simprbi 498 . . . 4 (𝐺 ∈ oGrp β†’ 𝐺 ∈ oMnd)
323ad2ant1 1134 . . 3 ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ 𝐺 ∈ oMnd)
4 simp21 1207 . . 3 ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
5 simp22 1208 . . 3 ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
6 ogrpgrp 32221 . . . . 5 (𝐺 ∈ oGrp β†’ 𝐺 ∈ Grp)
763ad2ant1 1134 . . . 4 ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ 𝐺 ∈ Grp)
8 simp23 1209 . . . 4 ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
9 ogrpsub.0 . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
10 eqid 2733 . . . . 5 (invgβ€˜πΊ) = (invgβ€˜πΊ)
119, 10grpinvcl 18872 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘) ∈ 𝐡)
127, 8, 11syl2anc 585 . . 3 ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘) ∈ 𝐡)
13 simp3 1139 . . 3 ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ 𝑋 ≀ π‘Œ)
14 ogrpsub.1 . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΊ)
15 eqid 2733 . . . 4 (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜πΊ)
169, 14, 15omndadd 32224 . . 3 ((𝐺 ∈ oMnd ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘) ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ (𝑋(+gβ€˜πΊ)((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘)) ≀ (π‘Œ(+gβ€˜πΊ)((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘)))
173, 4, 5, 12, 13, 16syl131anc 1384 . 2 ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ (𝑋(+gβ€˜πΊ)((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘)) ≀ (π‘Œ(+gβ€˜πΊ)((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘)))
18 ogrpsub.2 . . . 4 βˆ’ = (-gβ€˜πΊ)
199, 15, 10, 18grpsubval 18870 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 βˆ’ 𝑍) = (𝑋(+gβ€˜πΊ)((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘)))
204, 8, 19syl2anc 585 . 2 ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ (𝑋 βˆ’ 𝑍) = (𝑋(+gβ€˜πΊ)((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘)))
219, 15, 10, 18grpsubval 18870 . . 3 ((π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ βˆ’ 𝑍) = (π‘Œ(+gβ€˜πΊ)((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘)))
225, 8, 21syl2anc 585 . 2 ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ (π‘Œ βˆ’ 𝑍) = (π‘Œ(+gβ€˜πΊ)((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘)))
2317, 20, 223brtr4d 5181 1 ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ (𝑋 βˆ’ 𝑍) ≀ (π‘Œ βˆ’ 𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  +gcplusg 17197  lecple 17204  Grpcgrp 18819  invgcminusg 18820  -gcsg 18821  oMndcomnd 32215  oGrpcogrp 32216
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-omnd 32217  df-ogrp 32218
This theorem is referenced by:  ogrpsublt  32239  archiabllem1a  32337  archiabllem2c  32341  ornglmulle  32423  orngrmulle  32424
  Copyright terms: Public domain W3C validator