Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ogrpsub Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ogrpsub 32504
Description: In an ordered group, the ordering is compatible with group subtraction. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ogrpsub.0 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
ogrpsub.1 ≀ = (leβ€˜πΊ)
ogrpsub.2 βˆ’ = (-gβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
ogrpsub ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ (𝑋 βˆ’ 𝑍) ≀ (π‘Œ βˆ’ 𝑍))
Proof of Theorem ogrpsub
StepHypRef Expression
1 isogrp 32490 . . . . 5 (𝐺 ∈ oGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ oMnd))
21simprbi 495 . . . 4 (𝐺 ∈ oGrp β†’ 𝐺 ∈ oMnd)
323ad2ant1 1131 . . 3 ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ 𝐺 ∈ oMnd)
4 simp21 1204 . . 3 ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
5 simp22 1205 . . 3 ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
6 ogrpgrp 32491 . . . . 5 (𝐺 ∈ oGrp β†’ 𝐺 ∈ Grp)
763ad2ant1 1131 . . . 4 ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ 𝐺 ∈ Grp)
8 simp23 1206 . . . 4 ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
9 ogrpsub.0 . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
10 eqid 2730 . . . . 5 (invgβ€˜πΊ) = (invgβ€˜πΊ)
119, 10grpinvcl 18908 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘) ∈ 𝐡)
127, 8, 11syl2anc 582 . . 3 ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘) ∈ 𝐡)
13 simp3 1136 . . 3 ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ 𝑋 ≀ π‘Œ)
14 ogrpsub.1 . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΊ)
15 eqid 2730 . . . 4 (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜πΊ)
169, 14, 15omndadd 32494 . . 3 ((𝐺 ∈ oMnd ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘) ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ (𝑋(+gβ€˜πΊ)((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘)) ≀ (π‘Œ(+gβ€˜πΊ)((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘)))
173, 4, 5, 12, 13, 16syl131anc 1381 . 2 ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ (𝑋(+gβ€˜πΊ)((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘)) ≀ (π‘Œ(+gβ€˜πΊ)((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘)))
18 ogrpsub.2 . . . 4 βˆ’ = (-gβ€˜πΊ)
199, 15, 10, 18grpsubval 18906 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 βˆ’ 𝑍) = (𝑋(+gβ€˜πΊ)((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘)))
204, 8, 19syl2anc 582 . 2 ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ (𝑋 βˆ’ 𝑍) = (𝑋(+gβ€˜πΊ)((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘)))
219, 15, 10, 18grpsubval 18906 . . 3 ((π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ βˆ’ 𝑍) = (π‘Œ(+gβ€˜πΊ)((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘)))
225, 8, 21syl2anc 582 . 2 ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ (π‘Œ βˆ’ 𝑍) = (π‘Œ(+gβ€˜πΊ)((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘)))
2317, 20, 223brtr4d 5179 1 ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ (𝑋 βˆ’ 𝑍) ≀ (π‘Œ βˆ’ 𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  Basecbs 17148  +gcplusg 17201  lecple 17208  Grpcgrp 18855  invgcminusg 18856  -gcsg 18857  oMndcomnd 32485  oGrpcogrp 32486
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-0g 17391  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-omnd 32487  df-ogrp 32488
This theorem is referenced by:  ogrpsublt  32509  archiabllem1a  32607  archiabllem2c  32611  ornglmulle  32693  orngrmulle  32694
  Copyright terms: Public domain W3C validator