Theorem onelon 6276

Description: An element of an ordinal number is an ordinal number. Theorem 2.2(iii) of [BellMachover] p. 469. (Contributed by NM, 26-Oct-2003.)

Assertion

Ref	Expression
onelon	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ On)

Proof of Theorem onelon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eloni 6261	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
2		ordelon 6275	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ On)
3	1, 2	sylan 579	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ On)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  Ord word 6250  Oncon0 6251

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-11 2156  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-tr 5188  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-ord 6254  df-on 6255

This theorem is referenced by:  oneli  6359  ssorduni  7606  unon  7653  tfindsg2  7683  dfom2  7689  trom  7696  onfununi  8143  onnseq  8146  dfrecs3  8174  dfrecs3OLD  8175  tz7.48-2  8243  tz7.49  8246  oalim  8324  omlim  8325  oelim  8326  oaordi  8339  oalimcl  8353  oaass  8354  omordi  8359  omlimcl  8371  odi  8372  omass  8373  omeulem1  8375  omeulem2  8376  omopth2  8377  oewordri  8385  oeordsuc  8387  oelimcl  8393  oeeui  8395  oaabs2  8439  omabs  8441  omxpenlem  8813  hartogs  9233  card2on  9243  cantnfle  9359  cantnflt  9360  cantnfp1lem3  9368  cantnfp1  9369  oemapvali  9372  cantnflem1b  9374  cantnflem1c  9375  cantnflem1d  9376  cantnflem1  9377  cantnflem2  9378  cantnflem3  9379  cantnflem4  9380  cantnf  9381  cnfcomlem  9387  cnfcom3lem  9391  cnfcom3  9392  r1ordg  9467  r1val3  9527  tskwe  9639  iscard  9664  cardmin2  9688  infxpenlem  9700  infxpenc2lem2  9707  alephordi  9761  alephord2i  9764  alephle  9775  cardaleph  9776  cfub  9936  cfsmolem  9957  zorn2lem5  10187  zorn2lem6  10188  ttukeylem6  10201  ttukeylem7  10202  ondomon  10250  cardmin  10251  alephval2  10259  alephreg  10269  smobeth  10273  winainflem  10380  inar1  10462  inatsk  10465  dfrdg2  33677  naddssim  33764  sltval2  33786  sltres  33792  nosepeq  33815  nosupno  33833  nosupres  33837  nosupbnd1lem1  33838  nosupbnd2lem1  33845  nosupbnd2  33846  noinfno  33848  noinfres  33852  noinfbnd1lem1  33853  noinfbnd2lem1  33860  noinfbnd2  33861  oldlim  33996  oldbday  34008  dfrdg4  34180  ontopbas  34544  onpsstopbas  34546  onint1  34565