Theorem onelon 6375

Description: An element of an ordinal number is an ordinal number. Theorem 2.2(iii) of [BellMachover] p. 469. Lemma 1.3 of [Schloeder] p. 1. (Contributed by NM, 26-Oct-2003.)

Assertion

Ref	Expression
onelon	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ On)

Proof of Theorem onelon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eloni 6360	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
2		ordelon 6374	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ On)
3	1, 2	sylan 591	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ On)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2145  Ord word 6349  Oncon0 6350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-pr 5395

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-sb 2094  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rab 3418  df-v 3459  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-br 5106  df-opab 5168  df-tr 5213  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-ord 6353  df-on 6354

This theorem is referenced by:  oneli  6465  ssorduni  7766  unon  7815  tfindsg2  7846  dfom2  7852  trom  7859  onfununi  8316  onnseq  8319  dfrecs3  8347  tz7.48-2  8417  tz7.49  8420  oalim  8505  omlim  8506  oelim  8507  oaordi  8519  oalimcl  8533  oaass  8534  omordi  8539  omlimcl  8551  odi  8552  omass  8553  omeulem1  8555  omeulem2  8556  omopth2  8557  oewordri  8566  oeordsuc  8568  oelimcl  8574  oeeui  8576  oaabs2  8623  omabs  8625  naddssim  8660  naddel12  8675  naddsuc2  8676  omxpenlem  9054  hartogs  9494  card2on  9504  cantnfle  9628  cantnflt  9629  cantnfp1lem3  9637  cantnfp1  9638  oemapvali  9641  cantnflem1b  9643  cantnflem1c  9644  cantnflem1d  9645  cantnflem1  9646  cantnflem2  9647  cantnflem3  9648  cantnflem4  9649  cantnf  9650  cnfcomlem  9656  cnfcom3lem  9660  cnfcom3  9661  r1ordg  9738  r1val3  9798  tskwe  9924  iscard  9949  cardmin2  9973  infxpenlem  9985  infxpenc2lem2  9992  alephordi  10046  alephord2i  10049  alephle  10060  cardaleph  10061  cfub  10220  cfsmolem  10242  zorn2lem5  10472  zorn2lem6  10473  ttukeylem6  10486  ttukeylem7  10487  ondomon  10535  cardmin  10536  alephval2  10545  alephreg  10555  smobeth  10559  winainflem  10666  inar1  10748  inatsk  10751  ltsval2  27778  ltsres  27784  nosepeq  27807  nosupno  27825  nosupres  27829  nosupbnd1lem1  27830  nosupbnd2lem1  27837  nosupbnd2  27838  noinfno  27840  noinfres  27844  noinfbnd1lem1  27845  noinfbnd2lem1  27852  noinfbnd2  27853  oldlim  28038  oldbday  28052  fineqvnttrclselem2  35430  dfrdg2  36156  dfrdg4  36314  nmulcom  36557  ontopbas  36801  onpsstopbas  36803  onint1  36822  onelord  43840  cantnfresb  43913  oawordex2  43915  oacl2g  43919  omabs2  43921  omcl2  43922  tfsconcatfv2  43929  tfsconcatfv  43930  tfsconcatrn  43931  tfsconcat0i  43934  ofoafg  43943  ofoaass  43949  oaun3lem1  43963  oaun3lem2  43964  oadif1lem  43968  oadif1  43969  nadd2rabtr  43973  nadd1suc  43981  naddgeoa  43983  naddwordnexlem0  43985  naddwordnexlem1  43986  naddwordnexlem3  43988  oawordex3  43989  naddwordnexlem4  43990  omssrncard  44128