MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  neindisj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem neindisj 23125
Description: Any neighborhood of an element in the closure of a subset intersects the subset. Part of proof of Theorem 6.6 of [Munkres] p. 97. (Contributed by NM, 26-Feb-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
neips.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
neindisj (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}))) → (𝑁𝑆) ≠ ∅)

Proof of Theorem neindisj
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 neips.1 . . . . . . . 8 𝑋 = 𝐽
21clsss3 23067 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝑋)
32sseld 3982 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) → 𝑃𝑋))
43impr 454 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆𝑋𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))) → 𝑃𝑋)
51isneip 23113 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ↔ (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑃𝑔𝑔𝑁))))
64, 5syldan 591 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆𝑋𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ↔ (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑃𝑔𝑔𝑁))))
7 3anass 1095 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆𝑋𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))))
81clsndisj 23083 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) ∧ (𝑔𝐽𝑃𝑔)) → (𝑔𝑆) ≠ ∅)
97, 8sylanbr 582 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆𝑋𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))) ∧ (𝑔𝐽𝑃𝑔)) → (𝑔𝑆) ≠ ∅)
109anassrs 467 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆𝑋𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))) ∧ 𝑔𝐽) ∧ 𝑃𝑔) → (𝑔𝑆) ≠ ∅)
1110adantllr 719 . . . . . . . 8 (((((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆𝑋𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))) ∧ 𝑁𝑋) ∧ 𝑔𝐽) ∧ 𝑃𝑔) → (𝑔𝑆) ≠ ∅)
1211adantrr 717 . . . . . . 7 (((((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆𝑋𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))) ∧ 𝑁𝑋) ∧ 𝑔𝐽) ∧ (𝑃𝑔𝑔𝑁)) → (𝑔𝑆) ≠ ∅)
13 ssdisj 4460 . . . . . . . . . 10 ((𝑔𝑁 ∧ (𝑁𝑆) = ∅) → (𝑔𝑆) = ∅)
1413ex 412 . . . . . . . . 9 (𝑔𝑁 → ((𝑁𝑆) = ∅ → (𝑔𝑆) = ∅))
1514necon3d 2961 . . . . . . . 8 (𝑔𝑁 → ((𝑔𝑆) ≠ ∅ → (𝑁𝑆) ≠ ∅))
1615ad2antll 729 . . . . . . 7 (((((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆𝑋𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))) ∧ 𝑁𝑋) ∧ 𝑔𝐽) ∧ (𝑃𝑔𝑔𝑁)) → ((𝑔𝑆) ≠ ∅ → (𝑁𝑆) ≠ ∅))
1712, 16mpd 15 . . . . . 6 (((((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆𝑋𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))) ∧ 𝑁𝑋) ∧ 𝑔𝐽) ∧ (𝑃𝑔𝑔𝑁)) → (𝑁𝑆) ≠ ∅)
1817rexlimdva2 3157 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆𝑋𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))) ∧ 𝑁𝑋) → (∃𝑔𝐽 (𝑃𝑔𝑔𝑁) → (𝑁𝑆) ≠ ∅))
1918expimpd 453 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆𝑋𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))) → ((𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑃𝑔𝑔𝑁)) → (𝑁𝑆) ≠ ∅))
206, 19sylbid 240 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆𝑋𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) → (𝑁𝑆) ≠ ∅))
2120exp32 420 . 2 (𝐽 ∈ Top → (𝑆𝑋 → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) → (𝑁𝑆) ≠ ∅))))
2221imp43 427 1 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}))) → (𝑁𝑆) ≠ ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wrex 3070  cin 3950  wss 3951  c0 4333  {csn 4626   cuni 4907  cfv 6561  Topctop 22899  clsccl 23026  neicnei 23105
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-top 22900  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106
This theorem is referenced by:  clslp  23156  flimclslem  23992  utop3cls  24260
  Copyright terms: Public domain W3C validator