MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  neindisj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem neindisj 23140
Description: Any neighborhood of an element in the closure of a subset intersects the subset. Part of proof of Theorem 6.6 of [Munkres] p. 97. (Contributed by NM, 26-Feb-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
neips.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
neindisj (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}))) → (𝑁𝑆) ≠ ∅)

Proof of Theorem neindisj
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 neips.1 . . . . . . . 8 𝑋 = 𝐽
21clsss3 23082 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝑋)
32sseld 3993 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) → 𝑃𝑋))
43impr 454 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆𝑋𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))) → 𝑃𝑋)
51isneip 23128 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ↔ (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑃𝑔𝑔𝑁))))
64, 5syldan 591 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆𝑋𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ↔ (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑃𝑔𝑔𝑁))))
7 3anass 1094 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆𝑋𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))))
81clsndisj 23098 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) ∧ (𝑔𝐽𝑃𝑔)) → (𝑔𝑆) ≠ ∅)
97, 8sylanbr 582 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆𝑋𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))) ∧ (𝑔𝐽𝑃𝑔)) → (𝑔𝑆) ≠ ∅)
109anassrs 467 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆𝑋𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))) ∧ 𝑔𝐽) ∧ 𝑃𝑔) → (𝑔𝑆) ≠ ∅)
1110adantllr 719 . . . . . . . 8 (((((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆𝑋𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))) ∧ 𝑁𝑋) ∧ 𝑔𝐽) ∧ 𝑃𝑔) → (𝑔𝑆) ≠ ∅)
1211adantrr 717 . . . . . . 7 (((((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆𝑋𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))) ∧ 𝑁𝑋) ∧ 𝑔𝐽) ∧ (𝑃𝑔𝑔𝑁)) → (𝑔𝑆) ≠ ∅)
13 ssdisj 4465 . . . . . . . . . 10 ((𝑔𝑁 ∧ (𝑁𝑆) = ∅) → (𝑔𝑆) = ∅)
1413ex 412 . . . . . . . . 9 (𝑔𝑁 → ((𝑁𝑆) = ∅ → (𝑔𝑆) = ∅))
1514necon3d 2958 . . . . . . . 8 (𝑔𝑁 → ((𝑔𝑆) ≠ ∅ → (𝑁𝑆) ≠ ∅))
1615ad2antll 729 . . . . . . 7 (((((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆𝑋𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))) ∧ 𝑁𝑋) ∧ 𝑔𝐽) ∧ (𝑃𝑔𝑔𝑁)) → ((𝑔𝑆) ≠ ∅ → (𝑁𝑆) ≠ ∅))
1712, 16mpd 15 . . . . . 6 (((((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆𝑋𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))) ∧ 𝑁𝑋) ∧ 𝑔𝐽) ∧ (𝑃𝑔𝑔𝑁)) → (𝑁𝑆) ≠ ∅)
1817rexlimdva2 3154 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆𝑋𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))) ∧ 𝑁𝑋) → (∃𝑔𝐽 (𝑃𝑔𝑔𝑁) → (𝑁𝑆) ≠ ∅))
1918expimpd 453 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆𝑋𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))) → ((𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑃𝑔𝑔𝑁)) → (𝑁𝑆) ≠ ∅))
206, 19sylbid 240 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆𝑋𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) → (𝑁𝑆) ≠ ∅))
2120exp32 420 . 2 (𝐽 ∈ Top → (𝑆𝑋 → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) → (𝑁𝑆) ≠ ∅))))
2221imp43 427 1 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}))) → (𝑁𝑆) ≠ ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  wrex 3067  cin 3961  wss 3962  c0 4338  {csn 4630   cuni 4911  cfv 6562  Topctop 22914  clsccl 23041  neicnei 23120
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-top 22915  df-cld 23042  df-ntr 23043  df-cls 23044  df-nei 23121
This theorem is referenced by:  clslp  23171  flimclslem  24007  utop3cls  24275
  Copyright terms: Public domain W3C validator