MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  neindisj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem neindisj 21156
Description: Any neighborhood of an element in the closure of a subset intersects the subset. Part of proof of Theorem 6.6 of [Munkres] p. 97. (Contributed by NM, 26-Feb-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
neips.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
neindisj (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}))) → (𝑁𝑆) ≠ ∅)

Proof of Theorem neindisj
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 neips.1 . . . . . . . 8 𝑋 = 𝐽
21clsss3 21098 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝑋)
32sseld 3808 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) → 𝑃𝑋))
43impr 444 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆𝑋𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))) → 𝑃𝑋)
51isneip 21144 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ↔ (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑃𝑔𝑔𝑁))))
64, 5syldan 581 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆𝑋𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ↔ (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑃𝑔𝑔𝑁))))
7 3anass 1109 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆𝑋𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))))
81clsndisj 21114 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) ∧ (𝑔𝐽𝑃𝑔)) → (𝑔𝑆) ≠ ∅)
97, 8sylanbr 573 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆𝑋𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))) ∧ (𝑔𝐽𝑃𝑔)) → (𝑔𝑆) ≠ ∅)
109anassrs 455 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆𝑋𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))) ∧ 𝑔𝐽) ∧ 𝑃𝑔) → (𝑔𝑆) ≠ ∅)
1110adantllr 701 . . . . . . . . 9 (((((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆𝑋𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))) ∧ 𝑁𝑋) ∧ 𝑔𝐽) ∧ 𝑃𝑔) → (𝑔𝑆) ≠ ∅)
1211adantrr 699 . . . . . . . 8 (((((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆𝑋𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))) ∧ 𝑁𝑋) ∧ 𝑔𝐽) ∧ (𝑃𝑔𝑔𝑁)) → (𝑔𝑆) ≠ ∅)
13 ssdisj 4235 . . . . . . . . . . 11 ((𝑔𝑁 ∧ (𝑁𝑆) = ∅) → (𝑔𝑆) = ∅)
1413ex 399 . . . . . . . . . 10 (𝑔𝑁 → ((𝑁𝑆) = ∅ → (𝑔𝑆) = ∅))
1514necon3d 3010 . . . . . . . . 9 (𝑔𝑁 → ((𝑔𝑆) ≠ ∅ → (𝑁𝑆) ≠ ∅))
1615ad2antll 711 . . . . . . . 8 (((((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆𝑋𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))) ∧ 𝑁𝑋) ∧ 𝑔𝐽) ∧ (𝑃𝑔𝑔𝑁)) → ((𝑔𝑆) ≠ ∅ → (𝑁𝑆) ≠ ∅))
1712, 16mpd 15 . . . . . . 7 (((((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆𝑋𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))) ∧ 𝑁𝑋) ∧ 𝑔𝐽) ∧ (𝑃𝑔𝑔𝑁)) → (𝑁𝑆) ≠ ∅)
1817ex 399 . . . . . 6 ((((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆𝑋𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))) ∧ 𝑁𝑋) ∧ 𝑔𝐽) → ((𝑃𝑔𝑔𝑁) → (𝑁𝑆) ≠ ∅))
1918rexlimdva 3230 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆𝑋𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))) ∧ 𝑁𝑋) → (∃𝑔𝐽 (𝑃𝑔𝑔𝑁) → (𝑁𝑆) ≠ ∅))
2019expimpd 443 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆𝑋𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))) → ((𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑃𝑔𝑔𝑁)) → (𝑁𝑆) ≠ ∅))
216, 20sylbid 231 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆𝑋𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) → (𝑁𝑆) ≠ ∅))
2221exp32 409 . 2 (𝐽 ∈ Top → (𝑆𝑋 → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) → (𝑁𝑆) ≠ ∅))))
2322imp43 416 1 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}))) → (𝑁𝑆) ≠ ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1100   = wceq 1637  wcel 2157  wne 2989  wrex 3108  cin 3779  wss 3780  c0 4127  {csn 4381   cuni 4641  cfv 6111  Topctop 20932  clsccl 21057  neicnei 21136
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2795  ax-rep 4977  ax-sep 4988  ax-nul 4996  ax-pow 5048  ax-pr 5109  ax-un 7189
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2642  df-clab 2804  df-cleq 2810  df-clel 2813  df-nfc 2948  df-ne 2990  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rab 3116  df-v 3404  df-sbc 3645  df-csb 3740  df-dif 3783  df-un 3785  df-in 3787  df-ss 3794  df-nul 4128  df-if 4291  df-pw 4364  df-sn 4382  df-pr 4384  df-op 4388  df-uni 4642  df-int 4681  df-iun 4725  df-iin 4726  df-br 4856  df-opab 4918  df-mpt 4935  df-id 5232  df-xp 5330  df-rel 5331  df-cnv 5332  df-co 5333  df-dm 5334  df-rn 5335  df-res 5336  df-ima 5337  df-iota 6074  df-fun 6113  df-fn 6114  df-f 6115  df-f1 6116  df-fo 6117  df-f1o 6118  df-fv 6119  df-top 20933  df-cld 21058  df-ntr 21059  df-cls 21060  df-nei 21137
This theorem is referenced by:  clslp  21187  flimclslem  22022  utop3cls  22289
  Copyright terms: Public domain W3C validator