Theorem neindisj 23231

Description: Any neighborhood of an element in the closure of a subset intersects the subset. Part of proof of Theorem 6.6 of [Munkres] p. 97. (Contributed by NM, 26-Feb-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
neips.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
neindisj	⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}))) → (𝑁 ∩ 𝑆) ≠ ∅)

Proof of Theorem neindisj

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neips.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2	1	clsss3 23173	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝑋)
3	2	sseld 3938	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) → 𝑃 ∈ 𝑋))
4	3	impr 459	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))) → 𝑃 ∈ 𝑋)
5	1	isneip 23219	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ↔ (𝑁 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁))))
6	4, 5	syldan 602	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ↔ (𝑁 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁))))
7		3anass 1109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))))
8	1	clsndisj 23189	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) ∧ (𝑔 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑔)) → (𝑔 ∩ 𝑆) ≠ ∅)
9	7, 8	sylanbr 593	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))) ∧ (𝑔 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑔)) → (𝑔 ∩ 𝑆) ≠ ∅)
10	9	anassrs 472	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))) ∧ 𝑔 ∈ 𝐽) ∧ 𝑃 ∈ 𝑔) → (𝑔 ∩ 𝑆) ≠ ∅)
11	10	adantllr 731	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))) ∧ 𝑁 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑔 ∈ 𝐽) ∧ 𝑃 ∈ 𝑔) → (𝑔 ∩ 𝑆) ≠ ∅)
12	11	adantrr 729	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))) ∧ 𝑁 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑔 ∈ 𝐽) ∧ (𝑃 ∈ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁)) → (𝑔 ∩ 𝑆) ≠ ∅)
13		ssdisj 4417	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑔 ⊆ 𝑁 ∧ (𝑁 ∩ 𝑆) = ∅) → (𝑔 ∩ 𝑆) = ∅)
14	13	ex 417	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 ⊆ 𝑁 → ((𝑁 ∩ 𝑆) = ∅ → (𝑔 ∩ 𝑆) = ∅))
15	14	necon3d 2981	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 ⊆ 𝑁 → ((𝑔 ∩ 𝑆) ≠ ∅ → (𝑁 ∩ 𝑆) ≠ ∅))
16	15	ad2antll 741	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))) ∧ 𝑁 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑔 ∈ 𝐽) ∧ (𝑃 ∈ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁)) → ((𝑔 ∩ 𝑆) ≠ ∅ → (𝑁 ∩ 𝑆) ≠ ∅))
17	12, 16	mpd 16	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))) ∧ 𝑁 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑔 ∈ 𝐽) ∧ (𝑃 ∈ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁)) → (𝑁 ∩ 𝑆) ≠ ∅)
18	17	rexlimdva2 3168	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))) ∧ 𝑁 ⊆ 𝑋) → (∃𝑔 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁) → (𝑁 ∩ 𝑆) ≠ ∅))
19	18	expimpd 458	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))) → ((𝑁 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁)) → (𝑁 ∩ 𝑆) ≠ ∅))
20	6, 19	sylbid 243	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) → (𝑁 ∩ 𝑆) ≠ ∅))
21	20	exp32 425	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑆 ⊆ 𝑋 → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) → (𝑁 ∩ 𝑆) ≠ ∅))))
22	21	imp43 432	1 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}))) → (𝑁 ∩ 𝑆) ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  ∃wrex 3089   ∩ cin 3906   ⊆ wss 3907  ∅c0 4288  {csn 4585  ∪ cuni 4867  ‘cfv 6525  Topctop 23007  clsccl 23132  neicnei 23211

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-top 23008  df-cld 23133  df-ntr 23134  df-cls 23135  df-nei 23212

This theorem is referenced by:  clslp  23262  flimclslem  24098  utop3cls  24365