Theorem neindisj 23441

Description: Any neighborhood of an element in the closure of a subset intersects the subset. Part of proof of Theorem 6.6 of [Munkres] p. 97. (Contributed by NM, 26-Feb-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
neips.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
neindisj	⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}))) → (𝑁 ∩ 𝑆) ≠ ∅)

Proof of Theorem neindisj

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neips.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2	1	clsss3 23383	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝑋)
3	2	sseld 3907	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) → 𝑃 ∈ 𝑋))
4	3	impr 460	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))) → 𝑃 ∈ 𝑋)
5	1	isneip 23429	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ↔ (𝑁 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁))))
6	4, 5	syldan 603	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ↔ (𝑁 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁))))
7		3anass 1111	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))))
8	1	clsndisj 23399	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) ∧ (𝑔 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑔)) → (𝑔 ∩ 𝑆) ≠ ∅)
9	7, 8	sylanbr 594	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))) ∧ (𝑔 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑔)) → (𝑔 ∩ 𝑆) ≠ ∅)
10	9	anassrs 473	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))) ∧ 𝑔 ∈ 𝐽) ∧ 𝑃 ∈ 𝑔) → (𝑔 ∩ 𝑆) ≠ ∅)
11	10	adantllr 732	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))) ∧ 𝑁 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑔 ∈ 𝐽) ∧ 𝑃 ∈ 𝑔) → (𝑔 ∩ 𝑆) ≠ ∅)
12	11	adantrr 730	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))) ∧ 𝑁 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑔 ∈ 𝐽) ∧ (𝑃 ∈ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁)) → (𝑔 ∩ 𝑆) ≠ ∅)
13		ssdisj 4412	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑔 ⊆ 𝑁 ∧ (𝑁 ∩ 𝑆) = ∅) → (𝑔 ∩ 𝑆) = ∅)
14	13	ex 418	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 ⊆ 𝑁 → ((𝑁 ∩ 𝑆) = ∅ → (𝑔 ∩ 𝑆) = ∅))
15	14	necon3d 2976	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 ⊆ 𝑁 → ((𝑔 ∩ 𝑆) ≠ ∅ → (𝑁 ∩ 𝑆) ≠ ∅))
16	15	ad2antll 742	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))) ∧ 𝑁 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑔 ∈ 𝐽) ∧ (𝑃 ∈ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁)) → ((𝑔 ∩ 𝑆) ≠ ∅ → (𝑁 ∩ 𝑆) ≠ ∅))
17	12, 16	mpd 16	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))) ∧ 𝑁 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑔 ∈ 𝐽) ∧ (𝑃 ∈ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁)) → (𝑁 ∩ 𝑆) ≠ ∅)
18	17	rexlimdva2 3165	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))) ∧ 𝑁 ⊆ 𝑋) → (∃𝑔 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁) → (𝑁 ∩ 𝑆) ≠ ∅))
19	18	expimpd 459	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))) → ((𝑁 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁)) → (𝑁 ∩ 𝑆) ≠ ∅))
20	6, 19	sylbid 243	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) → (𝑁 ∩ 𝑆) ≠ ∅))
21	20	exp32 426	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑆 ⊆ 𝑋 → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) → (𝑁 ∩ 𝑆) ≠ ∅))))
22	21	imp43 433	1 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}))) → (𝑁 ∩ 𝑆) ≠ ∅)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∃wrex 3086   ⊆ wss 3895   ∩ cin 4089  ∅c0 4278  {csn 4584  ∪ cuni 4866  ‘cfv 6539  Topctop 23217  clsccl 23342  neicnei 23421

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-top 23218  df-cld 23343  df-ntr 23344  df-cls 23345  df-nei 23422

This theorem is used by:  clslp  23472  flimclslem  24309  utop3cls  24576