Theorem neindisj 23033

Description: Any neighborhood of an element in the closure of a subset intersects the subset. Part of proof of Theorem 6.6 of [Munkres] p. 97. (Contributed by NM, 26-Feb-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
neips.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
neindisj	⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}))) → (𝑁 ∩ 𝑆) ≠ ∅)

Proof of Theorem neindisj

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neips.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2	1	clsss3 22975	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝑋)
3	2	sseld 3933	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) → 𝑃 ∈ 𝑋))
4	3	impr 454	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))) → 𝑃 ∈ 𝑋)
5	1	isneip 23021	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ↔ (𝑁 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁))))
6	4, 5	syldan 591	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ↔ (𝑁 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁))))
7		3anass 1094	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))))
8	1	clsndisj 22991	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) ∧ (𝑔 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑔)) → (𝑔 ∩ 𝑆) ≠ ∅)
9	7, 8	sylanbr 582	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))) ∧ (𝑔 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑔)) → (𝑔 ∩ 𝑆) ≠ ∅)
10	9	anassrs 467	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))) ∧ 𝑔 ∈ 𝐽) ∧ 𝑃 ∈ 𝑔) → (𝑔 ∩ 𝑆) ≠ ∅)
11	10	adantllr 719	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))) ∧ 𝑁 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑔 ∈ 𝐽) ∧ 𝑃 ∈ 𝑔) → (𝑔 ∩ 𝑆) ≠ ∅)
12	11	adantrr 717	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))) ∧ 𝑁 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑔 ∈ 𝐽) ∧ (𝑃 ∈ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁)) → (𝑔 ∩ 𝑆) ≠ ∅)
13		ssdisj 4410	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑔 ⊆ 𝑁 ∧ (𝑁 ∩ 𝑆) = ∅) → (𝑔 ∩ 𝑆) = ∅)
14	13	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 ⊆ 𝑁 → ((𝑁 ∩ 𝑆) = ∅ → (𝑔 ∩ 𝑆) = ∅))
15	14	necon3d 2949	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 ⊆ 𝑁 → ((𝑔 ∩ 𝑆) ≠ ∅ → (𝑁 ∩ 𝑆) ≠ ∅))
16	15	ad2antll 729	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))) ∧ 𝑁 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑔 ∈ 𝐽) ∧ (𝑃 ∈ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁)) → ((𝑔 ∩ 𝑆) ≠ ∅ → (𝑁 ∩ 𝑆) ≠ ∅))
17	12, 16	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))) ∧ 𝑁 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑔 ∈ 𝐽) ∧ (𝑃 ∈ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁)) → (𝑁 ∩ 𝑆) ≠ ∅)
18	17	rexlimdva2 3135	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))) ∧ 𝑁 ⊆ 𝑋) → (∃𝑔 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁) → (𝑁 ∩ 𝑆) ≠ ∅))
19	18	expimpd 453	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))) → ((𝑁 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁)) → (𝑁 ∩ 𝑆) ≠ ∅))
20	6, 19	sylbid 240	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) → (𝑁 ∩ 𝑆) ≠ ∅))
21	20	exp32 420	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑆 ⊆ 𝑋 → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) → (𝑁 ∩ 𝑆) ≠ ∅))))
22	21	imp43 427	1 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}))) → (𝑁 ∩ 𝑆) ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∃wrex 3056   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902  ∅c0 4283  {csn 4576  ∪ cuni 4859  ‘cfv 6481  Topctop 22809  clsccl 22934  neicnei 23013

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-top 22810  df-cld 22935  df-ntr 22936  df-cls 22937  df-nei 23014

This theorem is referenced by:  clslp  23064  flimclslem  23900  utop3cls  24167