Theorem neindisj 23255

Description: Any neighborhood of an element in the closure of a subset intersects the subset. Part of proof of Theorem 6.6 of [Munkres] p. 97. (Contributed by NM, 26-Feb-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
neips.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
neindisj	⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}))) → (𝑁 ∩ 𝑆) ≠ ∅)

Proof of Theorem neindisj

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neips.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2	1	clsss3 23197	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝑋)
3	2	sseld 3937	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) → 𝑃 ∈ 𝑋))
4	3	impr 459	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))) → 𝑃 ∈ 𝑋)
5	1	isneip 23243	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ↔ (𝑁 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁))))
6	4, 5	syldan 602	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ↔ (𝑁 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁))))
7		3anass 1111	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))))
8	1	clsndisj 23213	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) ∧ (𝑔 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑔)) → (𝑔 ∩ 𝑆) ≠ ∅)
9	7, 8	sylanbr 593	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))) ∧ (𝑔 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑔)) → (𝑔 ∩ 𝑆) ≠ ∅)
10	9	anassrs 472	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))) ∧ 𝑔 ∈ 𝐽) ∧ 𝑃 ∈ 𝑔) → (𝑔 ∩ 𝑆) ≠ ∅)
11	10	adantllr 731	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))) ∧ 𝑁 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑔 ∈ 𝐽) ∧ 𝑃 ∈ 𝑔) → (𝑔 ∩ 𝑆) ≠ ∅)
12	11	adantrr 729	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))) ∧ 𝑁 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑔 ∈ 𝐽) ∧ (𝑃 ∈ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁)) → (𝑔 ∩ 𝑆) ≠ ∅)
13		ssdisj 4421	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑔 ⊆ 𝑁 ∧ (𝑁 ∩ 𝑆) = ∅) → (𝑔 ∩ 𝑆) = ∅)
14	13	ex 417	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 ⊆ 𝑁 → ((𝑁 ∩ 𝑆) = ∅ → (𝑔 ∩ 𝑆) = ∅))
15	14	necon3d 2979	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 ⊆ 𝑁 → ((𝑔 ∩ 𝑆) ≠ ∅ → (𝑁 ∩ 𝑆) ≠ ∅))
16	15	ad2antll 741	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))) ∧ 𝑁 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑔 ∈ 𝐽) ∧ (𝑃 ∈ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁)) → ((𝑔 ∩ 𝑆) ≠ ∅ → (𝑁 ∩ 𝑆) ≠ ∅))
17	12, 16	mpd 16	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))) ∧ 𝑁 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑔 ∈ 𝐽) ∧ (𝑃 ∈ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁)) → (𝑁 ∩ 𝑆) ≠ ∅)
18	17	rexlimdva2 3168	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))) ∧ 𝑁 ⊆ 𝑋) → (∃𝑔 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁) → (𝑁 ∩ 𝑆) ≠ ∅))
19	18	expimpd 458	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))) → ((𝑁 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁)) → (𝑁 ∩ 𝑆) ≠ ∅))
20	6, 19	sylbid 243	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) → (𝑁 ∩ 𝑆) ≠ ∅))
21	20	exp32 425	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑆 ⊆ 𝑋 → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) → (𝑁 ∩ 𝑆) ≠ ∅))))
22	21	imp43 432	1 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}))) → (𝑁 ∩ 𝑆) ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∃wrex 3089   ∩ cin 3905   ⊆ wss 3906  ∅c0 4287  {csn 4590  ∪ cuni 4873  ‘cfv 6538  Topctop 23031  clsccl 23156  neicnei 23235

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-top 23032  df-cld 23157  df-ntr 23158  df-cls 23159  df-nei 23236

This theorem is referenced by:  clslp  23286  flimclslem  24122  utop3cls  24389