Theorem opnneissb 23101

Description: An open set is a neighborhood of any of its subsets. (Contributed by FL, 2-Oct-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
neips.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
opnneissb	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝑆 ⊆ 𝑁 ↔ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))

Proof of Theorem opnneissb

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neips.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2	1	eltopss 22894	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ 𝐽) → 𝑁 ⊆ 𝑋)
3	2	adantr 482	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ 𝐽) ∧ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑁)) → 𝑁 ⊆ 𝑋)
4		ssid 3939	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 ⊆ 𝑁
5		sseq2 3943	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 = 𝑁 → (𝑆 ⊆ 𝑔 ↔ 𝑆 ⊆ 𝑁))
6		sseq1 3942	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 = 𝑁 → (𝑔 ⊆ 𝑁 ↔ 𝑁 ⊆ 𝑁))
7	5, 6	anbi12d 639	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = 𝑁 → ((𝑆 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁) ↔ (𝑆 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑁 ⊆ 𝑁)))
8	7	rspcev 3562	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝐽 ∧ (𝑆 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑁 ⊆ 𝑁)) → ∃𝑔 ∈ 𝐽 (𝑆 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁))
9	4, 8	mpanr2 711	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑁) → ∃𝑔 ∈ 𝐽 (𝑆 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁))
10	9	ad2ant2l 753	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ 𝐽) ∧ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑁)) → ∃𝑔 ∈ 𝐽 (𝑆 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁))
11	1	isnei 23090	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ↔ (𝑁 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐽 (𝑆 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁))))
12	11	ad2ant2r 754	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ 𝐽) ∧ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑁)) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ↔ (𝑁 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐽 (𝑆 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁))))
13	3, 10, 12	mpbir2and 720	. . . 4 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ 𝐽) ∧ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑁)) → 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆))
14	13	exp43 438	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑁 ∈ 𝐽 → (𝑆 ⊆ 𝑋 → (𝑆 ⊆ 𝑁 → 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))))
15	14	3imp 1117	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝑆 ⊆ 𝑁 → 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))
16		ssnei 23097	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)) → 𝑆 ⊆ 𝑁)
17	16	ex 414	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) → 𝑆 ⊆ 𝑁))
18	17	3ad2ant1 1140	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) → 𝑆 ⊆ 𝑁))
19	15, 18	impbid 214	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝑆 ⊆ 𝑁 ↔ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   ∧ w3a 1093   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  ∃wrex 3065   ⊆ wss 3885  ∪ cuni 4841  ‘cfv 6489  Topctop 22880  neicnei 23084

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-ral 3056  df-rex 3066  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-top 22881  df-nei 23085

This theorem is referenced by:  opnneiss  23105