Theorem opnneissb 23034

Description: An open set is a neighborhood of any of its subsets. (Contributed by FL, 2-Oct-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
neips.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
opnneissb	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝑆 ⊆ 𝑁 ↔ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))

Proof of Theorem opnneissb

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neips.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2	1	eltopss 22827	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ 𝐽) → 𝑁 ⊆ 𝑋)
3	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ 𝐽) ∧ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑁)) → 𝑁 ⊆ 𝑋)
4		ssid 3966	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 ⊆ 𝑁
5		sseq2 3970	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 = 𝑁 → (𝑆 ⊆ 𝑔 ↔ 𝑆 ⊆ 𝑁))
6		sseq1 3969	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 = 𝑁 → (𝑔 ⊆ 𝑁 ↔ 𝑁 ⊆ 𝑁))
7	5, 6	anbi12d 632	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = 𝑁 → ((𝑆 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁) ↔ (𝑆 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑁 ⊆ 𝑁)))
8	7	rspcev 3585	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝐽 ∧ (𝑆 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑁 ⊆ 𝑁)) → ∃𝑔 ∈ 𝐽 (𝑆 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁))
9	4, 8	mpanr2 704	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑁) → ∃𝑔 ∈ 𝐽 (𝑆 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁))
10	9	ad2ant2l 746	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ 𝐽) ∧ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑁)) → ∃𝑔 ∈ 𝐽 (𝑆 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁))
11	1	isnei 23023	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ↔ (𝑁 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐽 (𝑆 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁))))
12	11	ad2ant2r 747	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ 𝐽) ∧ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑁)) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ↔ (𝑁 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐽 (𝑆 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁))))
13	3, 10, 12	mpbir2and 713	. . . 4 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ 𝐽) ∧ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑁)) → 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆))
14	13	exp43 436	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑁 ∈ 𝐽 → (𝑆 ⊆ 𝑋 → (𝑆 ⊆ 𝑁 → 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))))
15	14	3imp 1110	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝑆 ⊆ 𝑁 → 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))
16		ssnei 23030	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)) → 𝑆 ⊆ 𝑁)
17	16	ex 412	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) → 𝑆 ⊆ 𝑁))
18	17	3ad2ant1 1133	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) → 𝑆 ⊆ 𝑁))
19	15, 18	impbid 212	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝑆 ⊆ 𝑁 ↔ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053   ⊆ wss 3911  ∪ cuni 4867  ‘cfv 6499  Topctop 22813  neicnei 23017

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-top 22814  df-nei 23018

This theorem is referenced by:  opnneiss  23038