Theorem opnneissb 23137

Description: An open set is a neighborhood of any of its subsets. (Contributed by FL, 2-Oct-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
neips.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
opnneissb	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝑆 ⊆ 𝑁 ↔ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))

Proof of Theorem opnneissb

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neips.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2	1	eltopss 22928	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ 𝐽) → 𝑁 ⊆ 𝑋)
3	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ 𝐽) ∧ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑁)) → 𝑁 ⊆ 𝑋)
4		ssid 4017	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 ⊆ 𝑁
5		sseq2 4021	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 = 𝑁 → (𝑆 ⊆ 𝑔 ↔ 𝑆 ⊆ 𝑁))
6		sseq1 4020	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 = 𝑁 → (𝑔 ⊆ 𝑁 ↔ 𝑁 ⊆ 𝑁))
7	5, 6	anbi12d 632	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = 𝑁 → ((𝑆 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁) ↔ (𝑆 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑁 ⊆ 𝑁)))
8	7	rspcev 3621	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝐽 ∧ (𝑆 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑁 ⊆ 𝑁)) → ∃𝑔 ∈ 𝐽 (𝑆 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁))
9	4, 8	mpanr2 704	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑁) → ∃𝑔 ∈ 𝐽 (𝑆 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁))
10	9	ad2ant2l 746	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ 𝐽) ∧ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑁)) → ∃𝑔 ∈ 𝐽 (𝑆 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁))
11	1	isnei 23126	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ↔ (𝑁 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐽 (𝑆 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁))))
12	11	ad2ant2r 747	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ 𝐽) ∧ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑁)) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ↔ (𝑁 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐽 (𝑆 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁))))
13	3, 10, 12	mpbir2and 713	. . . 4 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ 𝐽) ∧ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑁)) → 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆))
14	13	exp43 436	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑁 ∈ 𝐽 → (𝑆 ⊆ 𝑋 → (𝑆 ⊆ 𝑁 → 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))))
15	14	3imp 1110	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝑆 ⊆ 𝑁 → 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))
16		ssnei 23133	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)) → 𝑆 ⊆ 𝑁)
17	16	ex 412	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) → 𝑆 ⊆ 𝑁))
18	17	3ad2ant1 1132	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) → 𝑆 ⊆ 𝑁))
19	15, 18	impbid 212	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝑆 ⊆ 𝑁 ↔ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  ∃wrex 3067   ⊆ wss 3962  ∪ cuni 4911  ‘cfv 6562  Topctop 22914  neicnei 23120

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-top 22915  df-nei 23121

This theorem is referenced by:  opnneiss  23141