Theorem cmpkgen 22156

Description: A compact space is compactly generated. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cmpkgen	⊢ (𝐽 ∈ Comp → 𝐽 ∈ ran 𝑘Gen)

Proof of Theorem cmpkgen

Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2798	. 2 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
2		cmptop 22000	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Comp → 𝐽 ∈ Top)
3	2	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐽) → 𝐽 ∈ Top)
4	1	topopn 21511	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∪ 𝐽 ∈ 𝐽)
5	3, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐽) → ∪ 𝐽 ∈ 𝐽)
6		simpr 488	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐽) → 𝑥 ∈ ∪ 𝐽)
7	6	snssd 4702	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐽) → {𝑥} ⊆ ∪ 𝐽)
8		opnneiss 21723	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ∪ 𝐽 ∈ 𝐽 ∧ {𝑥} ⊆ ∪ 𝐽) → ∪ 𝐽 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥}))
9	3, 5, 7, 8	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐽) → ∪ 𝐽 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥}))
10	1	restid 16699	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝐽 ↾t ∪ 𝐽) = 𝐽)
11	3, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐽) → (𝐽 ↾t ∪ 𝐽) = 𝐽)
12		simpl 486	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐽) → 𝐽 ∈ Comp)
13	11, 12	eqeltrd 2890	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐽) → (𝐽 ↾t ∪ 𝐽) ∈ Comp)
14		oveq2 7143	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = ∪ 𝐽 → (𝐽 ↾t 𝑘) = (𝐽 ↾t ∪ 𝐽))
15	14	eleq1d 2874	. . . 4 ⊢ (𝑘 = ∪ 𝐽 → ((𝐽 ↾t 𝑘) ∈ Comp ↔ (𝐽 ↾t ∪ 𝐽) ∈ Comp))
16	15	rspcev 3571	. . 3 ⊢ ((∪ 𝐽 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ∧ (𝐽 ↾t ∪ 𝐽) ∈ Comp) → ∃𝑘 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥})(𝐽 ↾t 𝑘) ∈ Comp)
17	9, 13, 16	syl2anc 587	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐽) → ∃𝑘 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥})(𝐽 ↾t 𝑘) ∈ Comp)
18	1, 2, 17	llycmpkgen2 22155	1 ⊢ (𝐽 ∈ Comp → 𝐽 ∈ ran 𝑘Gen)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3107   ⊆ wss 3881  {csn 4525  ∪ cuni 4800  ran crn 5520  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135   ↾_t crest 16686  Topctop 21498  neicnei 21702  Compccmp 21991  𝑘Genckgen 22138

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-oadd 8089  df-er 8272  df-en 8493  df-fin 8496  df-fi 8859  df-rest 16688  df-topgen 16709  df-top 21499  df-topon 21516  df-bases 21551  df-ntr 21625  df-nei 21703  df-cmp 21992  df-kgen 22139

This theorem is referenced by: (None)