MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cmpkgen Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cmpkgen 23275
Description: A compact space is compactly generated. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
cmpkgen (𝐽 ∈ Comp β†’ 𝐽 ∈ ran π‘˜Gen)
Proof of Theorem cmpkgen
Dummy variables π‘˜ π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2732 . 2 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
2 cmptop 23119 . 2 (𝐽 ∈ Comp β†’ 𝐽 ∈ Top)
32adantr 481 . . . 4 ((𝐽 ∈ Comp ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽) β†’ 𝐽 ∈ Top)
41topopn 22628 . . . . 5 (𝐽 ∈ Top β†’ βˆͺ 𝐽 ∈ 𝐽)
53, 4syl 17 . . . 4 ((𝐽 ∈ Comp ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽) β†’ βˆͺ 𝐽 ∈ 𝐽)
6 simpr 485 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Comp ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽) β†’ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽)
76snssd 4812 . . . 4 ((𝐽 ∈ Comp ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽) β†’ {π‘₯} βŠ† βˆͺ 𝐽)
8 opnneiss 22842 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ βˆͺ 𝐽 ∈ 𝐽 ∧ {π‘₯} βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ βˆͺ 𝐽 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}))
93, 5, 7, 8syl3anc 1371 . . 3 ((𝐽 ∈ Comp ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽) β†’ βˆͺ 𝐽 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}))
101restid 17383 . . . . 5 (𝐽 ∈ Top β†’ (𝐽 β†Ύt βˆͺ 𝐽) = 𝐽)
113, 10syl 17 . . . 4 ((𝐽 ∈ Comp ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽) β†’ (𝐽 β†Ύt βˆͺ 𝐽) = 𝐽)
12 simpl 483 . . . 4 ((𝐽 ∈ Comp ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽) β†’ 𝐽 ∈ Comp)
1311, 12eqeltrd 2833 . . 3 ((𝐽 ∈ Comp ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽) β†’ (𝐽 β†Ύt βˆͺ 𝐽) ∈ Comp)
14 oveq2 7419 . . . . 5 (π‘˜ = βˆͺ 𝐽 β†’ (𝐽 β†Ύt π‘˜) = (𝐽 β†Ύt βˆͺ 𝐽))
1514eleq1d 2818 . . . 4 (π‘˜ = βˆͺ 𝐽 β†’ ((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp ↔ (𝐽 β†Ύt βˆͺ 𝐽) ∈ Comp))
1615rspcev 3612 . . 3 ((βˆͺ 𝐽 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) ∧ (𝐽 β†Ύt βˆͺ 𝐽) ∈ Comp) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯})(𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)
179, 13, 16syl2anc 584 . 2 ((𝐽 ∈ Comp ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯})(𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)
181, 2, 17llycmpkgen2 23274 1 (𝐽 ∈ Comp β†’ 𝐽 ∈ ran π‘˜Gen)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆƒwrex 3070   βŠ† wss 3948  {csn 4628  βˆͺ cuni 4908  ran crn 5677  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   β†Ύt crest 17370  Topctop 22615  neicnei 22821  Compccmp 23110  π‘˜Genckgen 23257
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-en 8942  df-fin 8945  df-fi 9408  df-rest 17372  df-topgen 17393  df-top 22616  df-topon 22633  df-bases 22669  df-ntr 22744  df-nei 22822  df-cmp 23111  df-kgen 23258
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator