Theorem cmpkgen 23669

Description: A compact space is compactly generated. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cmpkgen	⊢ (𝐽 ∈ Comp → 𝐽 ∈ ran 𝑘Gen)

Proof of Theorem cmpkgen

Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2765	. 2 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
2		cmptop 23513	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Comp → 𝐽 ∈ Top)
3	2	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐽) → 𝐽 ∈ Top)
4	1	topopn 23024	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∪ 𝐽 ∈ 𝐽)
5	3, 4	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐽) → ∪ 𝐽 ∈ 𝐽)
6		simpr 489	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐽) → 𝑥 ∈ ∪ 𝐽)
7	6	snssd 4748	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐽) → {𝑥} ⊆ ∪ 𝐽)
8		opnneiss 23236	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ∪ 𝐽 ∈ 𝐽 ∧ {𝑥} ⊆ ∪ 𝐽) → ∪ 𝐽 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥}))
9	3, 5, 7, 8	syl3anc 1394	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐽) → ∪ 𝐽 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥}))
10	1	restid 17476	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝐽 ↾t ∪ 𝐽) = 𝐽)
11	3, 10	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐽) → (𝐽 ↾t ∪ 𝐽) = 𝐽)
12		simpl 487	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐽) → 𝐽 ∈ Comp)
13	11, 12	eqeltrd 2865	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐽) → (𝐽 ↾t ∪ 𝐽) ∈ Comp)
14		oveq2 7408	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = ∪ 𝐽 → (𝐽 ↾t 𝑘) = (𝐽 ↾t ∪ 𝐽))
15	14	eleq1d 2850	. . . 4 ⊢ (𝑘 = ∪ 𝐽 → ((𝐽 ↾t 𝑘) ∈ Comp ↔ (𝐽 ↾t ∪ 𝐽) ∈ Comp))
16	15	rspcev 3584	. . 3 ⊢ ((∪ 𝐽 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ∧ (𝐽 ↾t ∪ 𝐽) ∈ Comp) → ∃𝑘 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥})(𝐽 ↾t 𝑘) ∈ Comp)
17	9, 13, 16	syl2anc 595	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐽) → ∃𝑘 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥})(𝐽 ↾t 𝑘) ∈ Comp)
18	1, 2, 17	llycmpkgen2 23668	1 ⊢ (𝐽 ∈ Comp → 𝐽 ∈ ran 𝑘Gen)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3089   ⊆ wss 3907  {csn 4585  ∪ cuni 4868  ran crn 5653  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400   ↾_t crest 17463  Topctop 23011  neicnei 23215  Compccmp 23504  𝑘Genckgen 23651

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-en 8932  df-fin 8935  df-fi 9359  df-rest 17465  df-topgen 17486  df-top 23012  df-topon 23029  df-bases 23064  df-ntr 23138  df-nei 23216  df-cmp 23505  df-kgen 23652

This theorem is referenced by: (None)