MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cmpkgen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cmpkgen 23499
Description: A compact space is compactly generated. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
cmpkgen (𝐽 ∈ Comp → 𝐽 ∈ ran 𝑘Gen)

Proof of Theorem cmpkgen
Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2725 . 2 𝐽 = 𝐽
2 cmptop 23343 . 2 (𝐽 ∈ Comp → 𝐽 ∈ Top)
32adantr 479 . . . 4 ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑥 𝐽) → 𝐽 ∈ Top)
41topopn 22852 . . . . 5 (𝐽 ∈ Top → 𝐽𝐽)
53, 4syl 17 . . . 4 ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑥 𝐽) → 𝐽𝐽)
6 simpr 483 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑥 𝐽) → 𝑥 𝐽)
76snssd 4814 . . . 4 ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑥 𝐽) → {𝑥} ⊆ 𝐽)
8 opnneiss 23066 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐽𝐽 ∧ {𝑥} ⊆ 𝐽) → 𝐽 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥}))
93, 5, 7, 8syl3anc 1368 . . 3 ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑥 𝐽) → 𝐽 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥}))
101restid 17418 . . . . 5 (𝐽 ∈ Top → (𝐽t 𝐽) = 𝐽)
113, 10syl 17 . . . 4 ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑥 𝐽) → (𝐽t 𝐽) = 𝐽)
12 simpl 481 . . . 4 ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑥 𝐽) → 𝐽 ∈ Comp)
1311, 12eqeltrd 2825 . . 3 ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑥 𝐽) → (𝐽t 𝐽) ∈ Comp)
14 oveq2 7427 . . . . 5 (𝑘 = 𝐽 → (𝐽t 𝑘) = (𝐽t 𝐽))
1514eleq1d 2810 . . . 4 (𝑘 = 𝐽 → ((𝐽t 𝑘) ∈ Comp ↔ (𝐽t 𝐽) ∈ Comp))
1615rspcev 3606 . . 3 (( 𝐽 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ∧ (𝐽t 𝐽) ∈ Comp) → ∃𝑘 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥})(𝐽t 𝑘) ∈ Comp)
179, 13, 16syl2anc 582 . 2 ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑥 𝐽) → ∃𝑘 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥})(𝐽t 𝑘) ∈ Comp)
181, 2, 17llycmpkgen2 23498 1 (𝐽 ∈ Comp → 𝐽 ∈ ran 𝑘Gen)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wrex 3059  wss 3944  {csn 4630   cuni 4909  ran crn 5679  cfv 6549  (class class class)co 7419  t crest 17405  Topctop 22839  neicnei 23045  Compccmp 23334  𝑘Genckgen 23481
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-en 8965  df-fin 8968  df-fi 9436  df-rest 17407  df-topgen 17428  df-top 22840  df-topon 22857  df-bases 22893  df-ntr 22968  df-nei 23046  df-cmp 23335  df-kgen 23482
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator