Theorem cmpkgen 23689

Description: A compact space is compactly generated. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cmpkgen	⊢ (𝐽 ∈ Comp → 𝐽 ∈ ran 𝑘Gen)

Proof of Theorem cmpkgen

Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. 2 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
2		cmptop 23533	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Comp → 𝐽 ∈ Top)
3	2	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐽) → 𝐽 ∈ Top)
4	1	topopn 23044	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∪ 𝐽 ∈ 𝐽)
5	3, 4	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐽) → ∪ 𝐽 ∈ 𝐽)
6		simpr 489	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐽) → 𝑥 ∈ ∪ 𝐽)
7	6	snssd 4753	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐽) → {𝑥} ⊆ ∪ 𝐽)
8		opnneiss 23256	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ∪ 𝐽 ∈ 𝐽 ∧ {𝑥} ⊆ ∪ 𝐽) → ∪ 𝐽 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥}))
9	3, 5, 7, 8	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐽) → ∪ 𝐽 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥}))
10	1	restid 17487	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝐽 ↾t ∪ 𝐽) = 𝐽)
11	3, 10	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐽) → (𝐽 ↾t ∪ 𝐽) = 𝐽)
12		simpl 487	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐽) → 𝐽 ∈ Comp)
13	11, 12	eqeltrd 2863	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐽) → (𝐽 ↾t ∪ 𝐽) ∈ Comp)
14		oveq2 7420	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = ∪ 𝐽 → (𝐽 ↾t 𝑘) = (𝐽 ↾t ∪ 𝐽))
15	14	eleq1d 2848	. . . 4 ⊢ (𝑘 = ∪ 𝐽 → ((𝐽 ↾t 𝑘) ∈ Comp ↔ (𝐽 ↾t ∪ 𝐽) ∈ Comp))
16	15	rspcev 3582	. . 3 ⊢ ((∪ 𝐽 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ∧ (𝐽 ↾t ∪ 𝐽) ∈ Comp) → ∃𝑘 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥})(𝐽 ↾t 𝑘) ∈ Comp)
17	9, 13, 16	syl2anc 595	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐽) → ∃𝑘 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥})(𝐽 ↾t 𝑘) ∈ Comp)
18	1, 2, 17	llycmpkgen2 23688	1 ⊢ (𝐽 ∈ Comp → 𝐽 ∈ ran 𝑘Gen)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∃wrex 3089   ⊆ wss 3906  {csn 4590  ∪ cuni 4873  ran crn 5664  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412   ↾_t crest 17474  Topctop 23031  neicnei 23235  Compccmp 23524  𝑘Genckgen 23671

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-en 8945  df-fin 8948  df-fi 9372  df-rest 17476  df-topgen 17497  df-top 23032  df-topon 23049  df-bases 23084  df-ntr 23158  df-nei 23236  df-cmp 23525  df-kgen 23672

This theorem is referenced by: (None)