Theorem opoc1 38067

Description: Orthocomplement of orthoposet unity. (Contributed by NM, 24-Jan-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
opoc1.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
opoc1.u	⊢ 1 = (1.‘𝐾)
opoc1.o	⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
opoc1	⊢ (𝐾 ∈ OP → ( ⊥ ‘ 1 ) = 0 )

Proof of Theorem opoc1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2732	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2		opoc1.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
3	1, 2	op0cl 38049	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 0 ∈ (Base‘𝐾))
4		opoc1.o	. . . . . 6 ⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
5	1, 4	opoccl 38059	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 0 ∈ (Base‘𝐾)) → ( ⊥ ‘ 0 ) ∈ (Base‘𝐾))
6	3, 5	mpdan 685	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OP → ( ⊥ ‘ 0 ) ∈ (Base‘𝐾))
7		eqid 2732	. . . . 5 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
8		opoc1.u	. . . . 5 ⊢ 1 = (1.‘𝐾)
9	1, 7, 8	ople1 38056	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ ( ⊥ ‘ 0 ) ∈ (Base‘𝐾)) → ( ⊥ ‘ 0 )(le‘𝐾) 1 )
10	6, 9	mpdan 685	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ OP → ( ⊥ ‘ 0 )(le‘𝐾) 1 )
11	1, 8	op1cl 38050	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 1 ∈ (Base‘𝐾))
12	1, 7, 4	oplecon1b 38066	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 1 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 0 ∈ (Base‘𝐾)) → (( ⊥ ‘ 1 )(le‘𝐾) 0 ↔ ( ⊥ ‘ 0 )(le‘𝐾) 1 ))
13	11, 3, 12	mpd3an23 1463	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ OP → (( ⊥ ‘ 1 )(le‘𝐾) 0 ↔ ( ⊥ ‘ 0 )(le‘𝐾) 1 ))
14	10, 13	mpbird 256	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ OP → ( ⊥ ‘ 1 )(le‘𝐾) 0 )
15	1, 4	opoccl 38059	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 1 ∈ (Base‘𝐾)) → ( ⊥ ‘ 1 ) ∈ (Base‘𝐾))
16	11, 15	mpdan 685	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ OP → ( ⊥ ‘ 1 ) ∈ (Base‘𝐾))
17	1, 7, 2	ople0 38052	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ ( ⊥ ‘ 1 ) ∈ (Base‘𝐾)) → (( ⊥ ‘ 1 )(le‘𝐾) 0 ↔ ( ⊥ ‘ 1 ) = 0 ))
18	16, 17	mpdan 685	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ OP → (( ⊥ ‘ 1 )(le‘𝐾) 0 ↔ ( ⊥ ‘ 1 ) = 0 ))
19	14, 18	mpbid 231	1 ⊢ (𝐾 ∈ OP → ( ⊥ ‘ 1 ) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  ‘cfv 6543  Basecbs 17143  lecple 17203  occoc 17204  0.cp0 18375  1.cp1 18376  OPcops 38037

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-proset 18247  df-poset 18265  df-lub 18298  df-glb 18299  df-p0 18377  df-p1 18378  df-oposet 38041

This theorem is referenced by:  opoc0  38068  olm11  38092  1cvrco  38338  1cvrjat  38341  pol1N  38776  doch1  40225