Theorem opoc1 39158

Description: Orthocomplement of orthoposet unity. (Contributed by NM, 24-Jan-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
opoc1.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
opoc1.u	⊢ 1 = (1.‘𝐾)
opoc1.o	⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
opoc1	⊢ (𝐾 ∈ OP → ( ⊥ ‘ 1 ) = 0 )

Proof of Theorem opoc1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2		opoc1.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
3	1, 2	op0cl 39140	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 0 ∈ (Base‘𝐾))
4		opoc1.o	. . . . . 6 ⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
5	1, 4	opoccl 39150	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 0 ∈ (Base‘𝐾)) → ( ⊥ ‘ 0 ) ∈ (Base‘𝐾))
6	3, 5	mpdan 686	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OP → ( ⊥ ‘ 0 ) ∈ (Base‘𝐾))
7		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
8		opoc1.u	. . . . 5 ⊢ 1 = (1.‘𝐾)
9	1, 7, 8	ople1 39147	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ ( ⊥ ‘ 0 ) ∈ (Base‘𝐾)) → ( ⊥ ‘ 0 )(le‘𝐾) 1 )
10	6, 9	mpdan 686	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ OP → ( ⊥ ‘ 0 )(le‘𝐾) 1 )
11	1, 8	op1cl 39141	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 1 ∈ (Base‘𝐾))
12	1, 7, 4	oplecon1b 39157	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 1 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 0 ∈ (Base‘𝐾)) → (( ⊥ ‘ 1 )(le‘𝐾) 0 ↔ ( ⊥ ‘ 0 )(le‘𝐾) 1 ))
13	11, 3, 12	mpd3an23 1463	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ OP → (( ⊥ ‘ 1 )(le‘𝐾) 0 ↔ ( ⊥ ‘ 0 )(le‘𝐾) 1 ))
14	10, 13	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ OP → ( ⊥ ‘ 1 )(le‘𝐾) 0 )
15	1, 4	opoccl 39150	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 1 ∈ (Base‘𝐾)) → ( ⊥ ‘ 1 ) ∈ (Base‘𝐾))
16	11, 15	mpdan 686	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ OP → ( ⊥ ‘ 1 ) ∈ (Base‘𝐾))
17	1, 7, 2	ople0 39143	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ ( ⊥ ‘ 1 ) ∈ (Base‘𝐾)) → (( ⊥ ‘ 1 )(le‘𝐾) 0 ↔ ( ⊥ ‘ 1 ) = 0 ))
18	16, 17	mpdan 686	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ OP → (( ⊥ ‘ 1 )(le‘𝐾) 0 ↔ ( ⊥ ‘ 1 ) = 0 ))
19	14, 18	mpbid 232	1 ⊢ (𝐾 ∈ OP → ( ⊥ ‘ 1 ) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  Basecbs 17258  lecple 17318  occoc 17319  0.cp0 18493  1.cp1 18494  OPcops 39128

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-proset 18365  df-poset 18383  df-lub 18416  df-glb 18417  df-p0 18495  df-p1 18496  df-oposet 39132

This theorem is referenced by:  opoc0  39159  olm11  39183  1cvrco  39429  1cvrjat  39432  pol1N  39867  doch1  41316