Theorem opoc1 40525

Description: Orthocomplement of orthoposet unity. (Contributed by NM, 24-Jan-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
opoc1.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
opoc1.u	⊢ 1 = (1.‘𝐾)
opoc1.o	⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
opoc1	⊢ (𝐾 ∈ OP → ( ⊥ ‘ 1 ) = 0 )

Proof of Theorem opoc1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2		opoc1.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
3	1, 2	op0cl 40507	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 0 ∈ (Base‘𝐾))
4		opoc1.o	. . . . . 6 ⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
5	1, 4	opoccl 40517	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 0 ∈ (Base‘𝐾)) → ( ⊥ ‘ 0 ) ∈ (Base‘𝐾))
6	3, 5	mpdan 700	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OP → ( ⊥ ‘ 0 ) ∈ (Base‘𝐾))
7		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
8		opoc1.u	. . . . 5 ⊢ 1 = (1.‘𝐾)
9	1, 7, 8	ople1 40514	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ ( ⊥ ‘ 0 ) ∈ (Base‘𝐾)) → ( ⊥ ‘ 0 )(le‘𝐾) 1 )
10	6, 9	mpdan 700	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ OP → ( ⊥ ‘ 0 )(le‘𝐾) 1 )
11	1, 8	op1cl 40508	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 1 ∈ (Base‘𝐾))
12	1, 7, 4	oplecon1b 40524	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 1 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 0 ∈ (Base‘𝐾)) → (( ⊥ ‘ 1 )(le‘𝐾) 0 ↔ ( ⊥ ‘ 0 )(le‘𝐾) 1 ))
13	11, 3, 12	mpd3an23 1493	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ OP → (( ⊥ ‘ 1 )(le‘𝐾) 0 ↔ ( ⊥ ‘ 0 )(le‘𝐾) 1 ))
14	10, 13	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ OP → ( ⊥ ‘ 1 )(le‘𝐾) 0 )
15	1, 4	opoccl 40517	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 1 ∈ (Base‘𝐾)) → ( ⊥ ‘ 1 ) ∈ (Base‘𝐾))
16	11, 15	mpdan 700	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ OP → ( ⊥ ‘ 1 ) ∈ (Base‘𝐾))
17	1, 7, 2	ople0 40510	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ ( ⊥ ‘ 1 ) ∈ (Base‘𝐾)) → (( ⊥ ‘ 1 )(le‘𝐾) 0 ↔ ( ⊥ ‘ 1 ) = 0 ))
18	16, 17	mpdan 700	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ OP → (( ⊥ ‘ 1 )(le‘𝐾) 0 ↔ ( ⊥ ‘ 1 ) = 0 ))
19	14, 18	mpbid 235	1 ⊢ (𝐾 ∈ OP → ( ⊥ ‘ 1 ) = 0 )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5108  ‘cfv 6566  Basecbs 17431  lecple 17479  occoc 17480  0.cp0 18645  1.cp1 18646  OPcops 40495

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-proset 18518  df-poset 18537  df-lub 18568  df-glb 18569  df-p0 18647  df-p1 18648  df-oposet 40499

This theorem is used by:  opoc0  40526  olm11  40550  1cvrco  40795  1cvrjat  40798  pol1N  41233  doch1  42682