Theorem opoc1 39190

Description: Orthocomplement of orthoposet unity. (Contributed by NM, 24-Jan-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
opoc1.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
opoc1.u	⊢ 1 = (1.‘𝐾)
opoc1.o	⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
opoc1	⊢ (𝐾 ∈ OP → ( ⊥ ‘ 1 ) = 0 )

Proof of Theorem opoc1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2		opoc1.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
3	1, 2	op0cl 39172	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 0 ∈ (Base‘𝐾))
4		opoc1.o	. . . . . 6 ⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
5	1, 4	opoccl 39182	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 0 ∈ (Base‘𝐾)) → ( ⊥ ‘ 0 ) ∈ (Base‘𝐾))
6	3, 5	mpdan 687	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OP → ( ⊥ ‘ 0 ) ∈ (Base‘𝐾))
7		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
8		opoc1.u	. . . . 5 ⊢ 1 = (1.‘𝐾)
9	1, 7, 8	ople1 39179	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ ( ⊥ ‘ 0 ) ∈ (Base‘𝐾)) → ( ⊥ ‘ 0 )(le‘𝐾) 1 )
10	6, 9	mpdan 687	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ OP → ( ⊥ ‘ 0 )(le‘𝐾) 1 )
11	1, 8	op1cl 39173	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 1 ∈ (Base‘𝐾))
12	1, 7, 4	oplecon1b 39189	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 1 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 0 ∈ (Base‘𝐾)) → (( ⊥ ‘ 1 )(le‘𝐾) 0 ↔ ( ⊥ ‘ 0 )(le‘𝐾) 1 ))
13	11, 3, 12	mpd3an23 1465	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ OP → (( ⊥ ‘ 1 )(le‘𝐾) 0 ↔ ( ⊥ ‘ 0 )(le‘𝐾) 1 ))
14	10, 13	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ OP → ( ⊥ ‘ 1 )(le‘𝐾) 0 )
15	1, 4	opoccl 39182	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 1 ∈ (Base‘𝐾)) → ( ⊥ ‘ 1 ) ∈ (Base‘𝐾))
16	11, 15	mpdan 687	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ OP → ( ⊥ ‘ 1 ) ∈ (Base‘𝐾))
17	1, 7, 2	ople0 39175	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ ( ⊥ ‘ 1 ) ∈ (Base‘𝐾)) → (( ⊥ ‘ 1 )(le‘𝐾) 0 ↔ ( ⊥ ‘ 1 ) = 0 ))
18	16, 17	mpdan 687	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ OP → (( ⊥ ‘ 1 )(le‘𝐾) 0 ↔ ( ⊥ ‘ 1 ) = 0 ))
19	14, 18	mpbid 232	1 ⊢ (𝐾 ∈ OP → ( ⊥ ‘ 1 ) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5109  ‘cfv 6513  Basecbs 17185  lecple 17233  occoc 17234  0.cp0 18388  1.cp1 18389  OPcops 39160

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5535  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-proset 18261  df-poset 18280  df-lub 18311  df-glb 18312  df-p0 18390  df-p1 18391  df-oposet 39164

This theorem is referenced by:  opoc0  39191  olm11  39215  1cvrco  39461  1cvrjat  39464  pol1N  39899  doch1  41348