Theorem opoc1 39144

Description: Orthocomplement of orthoposet unity. (Contributed by NM, 24-Jan-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
opoc1.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
opoc1.u	⊢ 1 = (1.‘𝐾)
opoc1.o	⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
opoc1	⊢ (𝐾 ∈ OP → ( ⊥ ‘ 1 ) = 0 )

Proof of Theorem opoc1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2		opoc1.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
3	1, 2	op0cl 39126	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 0 ∈ (Base‘𝐾))
4		opoc1.o	. . . . . 6 ⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
5	1, 4	opoccl 39136	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 0 ∈ (Base‘𝐾)) → ( ⊥ ‘ 0 ) ∈ (Base‘𝐾))
6	3, 5	mpdan 687	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OP → ( ⊥ ‘ 0 ) ∈ (Base‘𝐾))
7		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
8		opoc1.u	. . . . 5 ⊢ 1 = (1.‘𝐾)
9	1, 7, 8	ople1 39133	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ ( ⊥ ‘ 0 ) ∈ (Base‘𝐾)) → ( ⊥ ‘ 0 )(le‘𝐾) 1 )
10	6, 9	mpdan 687	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ OP → ( ⊥ ‘ 0 )(le‘𝐾) 1 )
11	1, 8	op1cl 39127	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 1 ∈ (Base‘𝐾))
12	1, 7, 4	oplecon1b 39143	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 1 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 0 ∈ (Base‘𝐾)) → (( ⊥ ‘ 1 )(le‘𝐾) 0 ↔ ( ⊥ ‘ 0 )(le‘𝐾) 1 ))
13	11, 3, 12	mpd3an23 1464	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ OP → (( ⊥ ‘ 1 )(le‘𝐾) 0 ↔ ( ⊥ ‘ 0 )(le‘𝐾) 1 ))
14	10, 13	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ OP → ( ⊥ ‘ 1 )(le‘𝐾) 0 )
15	1, 4	opoccl 39136	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 1 ∈ (Base‘𝐾)) → ( ⊥ ‘ 1 ) ∈ (Base‘𝐾))
16	11, 15	mpdan 687	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ OP → ( ⊥ ‘ 1 ) ∈ (Base‘𝐾))
17	1, 7, 2	ople0 39129	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ ( ⊥ ‘ 1 ) ∈ (Base‘𝐾)) → (( ⊥ ‘ 1 )(le‘𝐾) 0 ↔ ( ⊥ ‘ 1 ) = 0 ))
18	16, 17	mpdan 687	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ OP → (( ⊥ ‘ 1 )(le‘𝐾) 0 ↔ ( ⊥ ‘ 1 ) = 0 ))
19	14, 18	mpbid 232	1 ⊢ (𝐾 ∈ OP → ( ⊥ ‘ 1 ) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5125  ‘cfv 6542  Basecbs 17230  lecple 17284  occoc 17285  0.cp0 18442  1.cp1 18443  OPcops 39114

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5261  ax-sep 5278  ax-nul 5288  ax-pow 5347  ax-pr 5414

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3773  df-csb 3882  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3950  df-nul 4316  df-if 4508  df-pw 4584  df-sn 4609  df-pr 4611  df-op 4615  df-uni 4890  df-iun 4975  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5208  df-id 5560  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6495  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7417  df-proset 18315  df-poset 18334  df-lub 18365  df-glb 18366  df-p0 18444  df-p1 18445  df-oposet 39118

This theorem is referenced by:  opoc0  39145  olm11  39169  1cvrco  39415  1cvrjat  39418  pol1N  39853  doch1  41302