Theorem doch0 40831

Description: Orthocomplement of the zero subspace. (Contributed by NM, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
doch0.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
doch0.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
doch0.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
doch0.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
doch0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
doch0	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( ⊥ ‘{ 0 }) = 𝑉)

Proof of Theorem doch0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		doch0.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		eqid 2728	. . . 4 ⊢ ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
3		doch0.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		doch0.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
5	1, 2, 3, 4	dih0rn 40757	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → { 0 } ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
6		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
7		doch0.o	. . . 4 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
8	6, 1, 2, 7	dochvalr 40830	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ { 0 } ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)) → ( ⊥ ‘{ 0 }) = (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘((oc‘𝐾)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘{ 0 }))))
9	5, 8	mpdan 686	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( ⊥ ‘{ 0 }) = (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘((oc‘𝐾)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘{ 0 }))))
10		eqid 2728	. . . . . . 7 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
11	1, 10, 2, 3, 4	dih0cnv 40756	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘{ 0 }) = (0.‘𝐾))
12	11	fveq2d 6901	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((oc‘𝐾)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘{ 0 })) = ((oc‘𝐾)‘(0.‘𝐾)))
13		hlop 38834	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
14	13	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐾 ∈ OP)
15		eqid 2728	. . . . . . 7 ⊢ (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
16	10, 15, 6	opoc0 38675	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ OP → ((oc‘𝐾)‘(0.‘𝐾)) = (1.‘𝐾))
17	14, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((oc‘𝐾)‘(0.‘𝐾)) = (1.‘𝐾))
18	12, 17	eqtrd 2768	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((oc‘𝐾)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘{ 0 })) = (1.‘𝐾))
19	18	fveq2d 6901	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘((oc‘𝐾)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘{ 0 }))) = (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘(1.‘𝐾)))
20		doch0.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
21	15, 1, 2, 3, 20	dih1 40759	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘(1.‘𝐾)) = 𝑉)
22	19, 21	eqtrd 2768	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘((oc‘𝐾)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘{ 0 }))) = 𝑉)
23	9, 22	eqtrd 2768	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( ⊥ ‘{ 0 }) = 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  {csn 4629  ^◡ccnv 5677  ran crn 5679  ‘cfv 6548  Basecbs 17179  occoc 17240  0_gc0g 17420  0.cp0 18414  1.cp1 18415  OPcops 38644  HLchlt 38822  LHypclh 39457  DVecHcdvh 40551  DIsoHcdih 40701  ocHcoch 40820

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-riotaBAD 38425

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-tpos 8231  df-undef 8278  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-er 8724  df-map 8846  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-0g 17422  df-proset 18286  df-poset 18304  df-plt 18321  df-lub 18337  df-glb 18338  df-join 18339  df-meet 18340  df-p0 18416  df-p1 18417  df-lat 18423  df-clat 18490  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18740  df-grp 18892  df-minusg 18893  df-sbg 18894  df-subg 19077  df-cntz 19267  df-lsm 19590  df-cmn 19736  df-abl 19737  df-mgp 20074  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-oppr 20272  df-dvdsr 20295  df-unit 20296  df-invr 20326  df-dvr 20339  df-drng 20625  df-lmod 20744  df-lss 20815  df-lsp 20855  df-lvec 20987  df-oposet 38648  df-ol 38650  df-oml 38651  df-covers 38738  df-ats 38739  df-atl 38770  df-cvlat 38794  df-hlat 38823  df-llines 38971  df-lplanes 38972  df-lvols 38973  df-lines 38974  df-psubsp 38976  df-pmap 38977  df-padd 39269  df-lhyp 39461  df-laut 39462  df-ldil 39577  df-ltrn 39578  df-trl 39632  df-tendo 40228  df-edring 40230  df-disoa 40502  df-dvech 40552  df-dib 40612  df-dic 40646  df-dih 40702  df-doch 40821

This theorem is referenced by:  dochoc0  40833  dochoc1  40834  dochsatshp  40924  dochshpsat  40927  dochexmidlem6  40938  dochexmid  40941  lcfl8  40975  lcfl9a  40978  lclkrlem2j  40989  mapd0  41138  hdmaplkr  41386