Theorem doch0 41989

Description: Orthocomplement of the zero subspace. (Contributed by NM, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
doch0.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
doch0.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
doch0.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
doch0.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
doch0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
doch0	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( ⊥ ‘{ 0 }) = 𝑉)

Proof of Theorem doch0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		doch0.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		eqid 2765	. . . 4 ⊢ ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
3		doch0.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		doch0.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
5	1, 2, 3, 4	dih0rn 41915	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → { 0 } ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
6		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
7		doch0.o	. . . 4 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
8	6, 1, 2, 7	dochvalr 41988	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ { 0 } ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)) → ( ⊥ ‘{ 0 }) = (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘((oc‘𝐾)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘{ 0 }))))
9	5, 8	mpdan 699	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( ⊥ ‘{ 0 }) = (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘((oc‘𝐾)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘{ 0 }))))
10		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
11	1, 10, 2, 3, 4	dih0cnv 41914	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘{ 0 }) = (0.‘𝐾))
12	11	fveq2d 6875	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((oc‘𝐾)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘{ 0 })) = ((oc‘𝐾)‘(0.‘𝐾)))
13		hlop 39993	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
14	13	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐾 ∈ OP)
15		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
16	10, 15, 6	opoc0 39834	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ OP → ((oc‘𝐾)‘(0.‘𝐾)) = (1.‘𝐾))
17	14, 16	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((oc‘𝐾)‘(0.‘𝐾)) = (1.‘𝐾))
18	12, 17	eqtrd 2800	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((oc‘𝐾)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘{ 0 })) = (1.‘𝐾))
19	18	fveq2d 6875	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘((oc‘𝐾)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘{ 0 }))) = (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘(1.‘𝐾)))
20		doch0.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
21	15, 1, 2, 3, 20	dih1 41917	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘(1.‘𝐾)) = 𝑉)
22	19, 21	eqtrd 2800	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘((oc‘𝐾)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘{ 0 }))) = 𝑉)
23	9, 22	eqtrd 2800	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( ⊥ ‘{ 0 }) = 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  {csn 4585  ^◡ccnv 5650  ran crn 5652  ‘cfv 6525  Basecbs 17257  occoc 17306  0_gc0g 17480  0.cp0 18465  1.cp1 18466  OPcops 39803  HLchlt 39981  LHypclh 40615  DVecHcdvh 41709  DIsoHcdih 41859  ocHcoch 41978

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-riotaBAD 39584

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8210  df-undef 8257  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-er 8682  df-map 8814  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12222  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-n0 12493  df-z 12580  df-uz 12851  df-fz 13524  df-struct 17195  df-sets 17212  df-slot 17230  df-ndx 17242  df-base 17258  df-ress 17279  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-0g 17482  df-proset 18338  df-poset 18357  df-plt 18372  df-lub 18388  df-glb 18389  df-join 18390  df-meet 18391  df-p0 18467  df-p1 18468  df-lat 18476  df-clat 18543  df-mgm 18686  df-sgrp 18765  df-mnd 18781  df-submnd 18830  df-grp 18991  df-minusg 18992  df-sbg 18993  df-subg 19177  df-cntz 19375  df-lsm 19694  df-cmn 19840  df-abl 19841  df-mgp 20205  df-rng 20219  df-ur 20252  df-ring 20305  df-oppr 20407  df-dvdsr 20427  df-unit 20428  df-invr 20458  df-dvr 20471  df-drng 20803  df-lmod 20949  df-lss 21019  df-lsp 21059  df-lvec 21190  df-oposet 39807  df-ol 39809  df-oml 39810  df-covers 39897  df-ats 39898  df-atl 39929  df-cvlat 39953  df-hlat 39982  df-llines 40129  df-lplanes 40130  df-lvols 40131  df-lines 40132  df-psubsp 40134  df-pmap 40135  df-padd 40427  df-lhyp 40619  df-laut 40620  df-ldil 40735  df-ltrn 40736  df-trl 40790  df-tendo 41386  df-edring 41388  df-disoa 41660  df-dvech 41710  df-dib 41770  df-dic 41804  df-dih 41860  df-doch 41979

This theorem is referenced by:  dochoc0  41991  dochoc1  41992  dochsatshp  42082  dochshpsat  42085  dochexmidlem6  42096  dochexmid  42099  lcfl8  42133  lcfl9a  42136  lclkrlem2j  42147  mapd0  42296  hdmaplkr  42544