Theorem doch0 37496

Description: Orthocomplement of the zero subspace. (Contributed by NM, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
doch0.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
doch0.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
doch0.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
doch0.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
doch0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
doch0	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( ⊥ ‘{ 0 }) = 𝑉)

Proof of Theorem doch0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		doch0.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		eqid 2777	. . . 4 ⊢ ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
3		doch0.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		doch0.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
5	1, 2, 3, 4	dih0rn 37422	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → { 0 } ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
6		eqid 2777	. . . 4 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
7		doch0.o	. . . 4 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
8	6, 1, 2, 7	dochvalr 37495	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ { 0 } ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)) → ( ⊥ ‘{ 0 }) = (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘((oc‘𝐾)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘{ 0 }))))
9	5, 8	mpdan 677	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( ⊥ ‘{ 0 }) = (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘((oc‘𝐾)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘{ 0 }))))
10		eqid 2777	. . . . . . 7 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
11	1, 10, 2, 3, 4	dih0cnv 37421	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘{ 0 }) = (0.‘𝐾))
12	11	fveq2d 6450	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((oc‘𝐾)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘{ 0 })) = ((oc‘𝐾)‘(0.‘𝐾)))
13		hlop 35500	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
14	13	adantr 474	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐾 ∈ OP)
15		eqid 2777	. . . . . . 7 ⊢ (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
16	10, 15, 6	opoc0 35341	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ OP → ((oc‘𝐾)‘(0.‘𝐾)) = (1.‘𝐾))
17	14, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((oc‘𝐾)‘(0.‘𝐾)) = (1.‘𝐾))
18	12, 17	eqtrd 2813	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((oc‘𝐾)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘{ 0 })) = (1.‘𝐾))
19	18	fveq2d 6450	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘((oc‘𝐾)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘{ 0 }))) = (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘(1.‘𝐾)))
20		doch0.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
21	15, 1, 2, 3, 20	dih1 37424	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘(1.‘𝐾)) = 𝑉)
22	19, 21	eqtrd 2813	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘((oc‘𝐾)‘(◡((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘{ 0 }))) = 𝑉)
23	9, 22	eqtrd 2813	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( ⊥ ‘{ 0 }) = 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2106  {csn 4397  ^◡ccnv 5354  ran crn 5356  ‘cfv 6135  Basecbs 16255  occoc 16346  0_gc0g 16486  0.cp0 17423  1.cp1 17424  OPcops 35310  HLchlt 35488  LHypclh 36122  DVecHcdvh 37216  DIsoHcdih 37366  ocHcoch 37485

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-riotaBAD 35091

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-iin 4756  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-tpos 7634  df-undef 7681  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-fz 12644  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-sca 16354  df-vsca 16355  df-0g 16488  df-proset 17314  df-poset 17332  df-plt 17344  df-lub 17360  df-glb 17361  df-join 17362  df-meet 17363  df-p0 17425  df-p1 17426  df-lat 17432  df-clat 17494  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-submnd 17722  df-grp 17812  df-minusg 17813  df-sbg 17814  df-subg 17975  df-cntz 18133  df-lsm 18435  df-cmn 18581  df-abl 18582  df-mgp 18877  df-ur 18889  df-ring 18936  df-oppr 19010  df-dvdsr 19028  df-unit 19029  df-invr 19059  df-dvr 19070  df-drng 19141  df-lmod 19257  df-lss 19325  df-lsp 19367  df-lvec 19498  df-oposet 35314  df-ol 35316  df-oml 35317  df-covers 35404  df-ats 35405  df-atl 35436  df-cvlat 35460  df-hlat 35489  df-llines 35636  df-lplanes 35637  df-lvols 35638  df-lines 35639  df-psubsp 35641  df-pmap 35642  df-padd 35934  df-lhyp 36126  df-laut 36127  df-ldil 36242  df-ltrn 36243  df-trl 36297  df-tendo 36893  df-edring 36895  df-disoa 37167  df-dvech 37217  df-dib 37277  df-dic 37311  df-dih 37367  df-doch 37486

This theorem is referenced by:  dochoc0  37498  dochoc1  37499  dochsatshp  37589  dochshpsat  37592  dochexmidlem6  37603  dochexmid  37606  lcfl8  37640  lcfl9a  37643  lclkrlem2j  37654  mapd0  37803  hdmaplkr  38051