Theorem 1st2nd 8040

Description: Reconstruction of a member of a relation in terms of its ordered pair components. (Contributed by NM, 29-Aug-2006.)

Assertion

Ref	Expression
1st2nd	⊢ ((Rel 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 = ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩)

Proof of Theorem 1st2nd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rel 5666	. . 3 ⊢ (Rel 𝐵 ↔ 𝐵 ⊆ (V × V))
2		ssel2 3929	. . 3 ⊢ ((𝐵 ⊆ (V × V) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ (V × V))
3	1, 2	sylanb 593	. 2 ⊢ ((Rel 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ (V × V))
4		1st2nd2 8029	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (V × V) → 𝐴 = ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩)
5	3, 4	syl 18	1 ⊢ ((Rel 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 = ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3453   ⊆ wss 3902  ⟨cop 4593   × cxp 5657  Rel wrel 5664  ‘cfv 6537  1^st c1st 7988  2^nd c2nd 7989

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pr 5402  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fv 6545  df-1st 7990  df-2nd 7991

This theorem is used by:  2ndrn  8042  1st2ndbr  8043  funfv1st2nd  8047  funelss  8048  elopabi  8063  cnvf1olem  8111  ordpinq  10956  addassnq  10971  mulassnq  10972  distrnq  10974  mulidnq  10976  recmulnq  10977  ltexnq  10988  fsumcnv  15863  fprodcnv  16076  cofulid  17985  cofurid  17986  idffth  18030  cofull  18031  cofth  18032  ressffth  18035  isnat2  18046  nat1st2nd  18049  homadmcd  18137  catciso  18206  prf1st  18298  prf2nd  18299  1st2ndprf  18300  curfuncf  18332  uncfcurf  18333  curf2ndf  18341  yonffthlem  18376  yoniso  18379  dprd2dlem2  20175  dprd2dlem1  20176  dprd2da  20177  mdetunilem9  22848  2ndcctbss  23687  utop2nei  24482  utop3cls  24483  caubl  25542  wlkop  30095  nvop2  31097  nvvop  31098  nvop  31165  phop  31307  fgreu  33152  1stpreimas  33186  gsumhashmul  33515  cvmliftlem1  35872  heiborlem3  38571  rngoi  38657  drngoi  38709  isdrngo1  38714  iscrngo2  38755  tposideq  49822  cic1st2nd  49981  cofu1st2nd  50026  oppfval2  50071  oppfoppc2  50076  idfth  50092  up1st2nd  50119  up1st2ndr  50120  uptrlem2  50145  uptra  50149  uobeqw  50153  uobeq  50154  uptr2a  50156  diag1  50238  fuco11bALT  50272  fuco22nat  50280  fucocolem4  50290  precofvalALT  50302  prcoftposcurfucoa  50318  prcofdiag1  50327  prcofdiag  50328  oppfdiag1  50348  oppfdiag  50350  termcfuncval  50466  diagffth  50472  lmddu  50601