Theorem 1st2nd 7971

Description: Reconstruction of a member of a relation in terms of its ordered pair components. (Contributed by NM, 29-Aug-2006.)

Assertion

Ref	Expression
1st2nd	⊢ ((Rel 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 = ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩)

Proof of Theorem 1st2nd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rel 5623	. . 3 ⊢ (Rel 𝐵 ↔ 𝐵 ⊆ (V × V))
2		ssel2 3929	. . 3 ⊢ ((𝐵 ⊆ (V × V) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ (V × V))
3	1, 2	sylanb 581	. 2 ⊢ ((Rel 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ (V × V))
4		1st2nd2 7960	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (V × V) → 𝐴 = ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩)
5	3, 4	syl 17	1 ⊢ ((Rel 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 = ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436   ⊆ wss 3902  ⟨cop 4582   × cxp 5614  Rel wrel 5621  ‘cfv 6481  1^st c1st 7919  2^nd c2nd 7920

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pr 5370  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fv 6489  df-1st 7921  df-2nd 7922

This theorem is referenced by:  2ndrn  7973  1st2ndbr  7974  funfv1st2nd  7978  funelss  7979  elopabi  7994  cnvf1olem  8040  ordpinq  10831  addassnq  10846  mulassnq  10847  distrnq  10849  mulidnq  10851  recmulnq  10852  ltexnq  10863  fsumcnv  15677  fprodcnv  15887  cofulid  17794  cofurid  17795  idffth  17839  cofull  17840  cofth  17841  ressffth  17844  isnat2  17855  nat1st2nd  17858  homadmcd  17946  catciso  18015  prf1st  18107  prf2nd  18108  1st2ndprf  18109  curfuncf  18141  uncfcurf  18142  curf2ndf  18150  yonffthlem  18185  yoniso  18188  dprd2dlem2  19952  dprd2dlem1  19953  dprd2da  19954  mdetunilem9  22533  2ndcctbss  23368  utop2nei  24163  utop3cls  24164  caubl  25233  wlkop  29604  nvop2  30583  nvvop  30584  nvop  30651  phop  30793  fgreu  32649  1stpreimas  32682  gsumhashmul  33036  cvmliftlem1  35317  heiborlem3  37852  rngoi  37938  drngoi  37990  isdrngo1  37995  iscrngo2  38036  tposideq  48918  cic1st2nd  49078  cofu1st2nd  49123  oppfval2  49168  oppfoppc2  49173  idfth  49189  up1st2nd  49216  up1st2ndr  49217  uptrlem2  49242  uptra  49246  uobeqw  49250  uobeq  49251  uptr2a  49253  diag1  49335  fuco11bALT  49369  fuco22nat  49377  fucocolem4  49387  precofvalALT  49399  prcoftposcurfucoa  49415  prcofdiag1  49424  prcofdiag  49425  oppfdiag1  49445  oppfdiag  49447  termcfuncval  49563  diagffth  49569  lmddu  49698