Theorem 1st2nd 7992

Description: Reconstruction of a member of a relation in terms of its ordered pair components. (Contributed by NM, 29-Aug-2006.)

Assertion

Ref	Expression
1st2nd	⊢ ((Rel 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 = ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩)

Proof of Theorem 1st2nd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rel 5638	. . 3 ⊢ (Rel 𝐵 ↔ 𝐵 ⊆ (V × V))
2		ssel2 3916	. . 3 ⊢ ((𝐵 ⊆ (V × V) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ (V × V))
3	1, 2	sylanb 582	. 2 ⊢ ((Rel 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ (V × V))
4		1st2nd2 7981	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (V × V) → 𝐴 = ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩)
5	3, 4	syl 17	1 ⊢ ((Rel 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 = ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3429   ⊆ wss 3889  ⟨cop 4573   × cxp 5629  Rel wrel 5636  ‘cfv 6498  1^st c1st 7940  2^nd c2nd 7941

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fv 6506  df-1st 7942  df-2nd 7943

This theorem is referenced by:  2ndrn  7994  1st2ndbr  7995  funfv1st2nd  7999  funelss  8000  elopabi  8015  cnvf1olem  8060  ordpinq  10866  addassnq  10881  mulassnq  10882  distrnq  10884  mulidnq  10886  recmulnq  10887  ltexnq  10898  fsumcnv  15735  fprodcnv  15948  cofulid  17857  cofurid  17858  idffth  17902  cofull  17903  cofth  17904  ressffth  17907  isnat2  17918  nat1st2nd  17921  homadmcd  18009  catciso  18078  prf1st  18170  prf2nd  18171  1st2ndprf  18172  curfuncf  18204  uncfcurf  18205  curf2ndf  18213  yonffthlem  18248  yoniso  18251  dprd2dlem2  20017  dprd2dlem1  20018  dprd2da  20019  mdetunilem9  22585  2ndcctbss  23420  utop2nei  24215  utop3cls  24216  caubl  25275  wlkop  29696  nvop2  30679  nvvop  30680  nvop  30747  phop  30889  fgreu  32744  1stpreimas  32779  gsumhashmul  33128  cvmliftlem1  35467  heiborlem3  38134  rngoi  38220  drngoi  38272  isdrngo1  38277  iscrngo2  38318  tposideq  49363  cic1st2nd  49522  cofu1st2nd  49567  oppfval2  49612  oppfoppc2  49617  idfth  49633  up1st2nd  49660  up1st2ndr  49661  uptrlem2  49686  uptra  49690  uobeqw  49694  uobeq  49695  uptr2a  49697  diag1  49779  fuco11bALT  49813  fuco22nat  49821  fucocolem4  49831  precofvalALT  49843  prcoftposcurfucoa  49859  prcofdiag1  49868  prcofdiag  49869  oppfdiag1  49889  oppfdiag  49891  termcfuncval  50007  diagffth  50013  lmddu  50142