Theorem 1st2nd 8037

Description: Reconstruction of a member of a relation in terms of its ordered pair components. (Contributed by NM, 29-Aug-2006.)

Assertion

Ref	Expression
1st2nd	⊢ ((Rel 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 = ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩)

Proof of Theorem 1st2nd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rel 5670	. . 3 ⊢ (Rel 𝐵 ↔ 𝐵 ⊆ (V × V))
2		ssel2 3933	. . 3 ⊢ ((𝐵 ⊆ (V × V) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ (V × V))
3	1, 2	sylanb 592	. 2 ⊢ ((Rel 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ (V × V))
4		1st2nd2 8026	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (V × V) → 𝐴 = ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩)
5	3, 4	syl 18	1 ⊢ ((Rel 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 = ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455   ⊆ wss 3906  ⟨cop 4596   × cxp 5661  Rel wrel 5668  ‘cfv 6538  1^st c1st 7985  2^nd c2nd 7986

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pr 5406  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fv 6546  df-1st 7987  df-2nd 7988

This theorem is referenced by:  2ndrn  8039  1st2ndbr  8040  funfv1st2nd  8044  funelss  8045  elopabi  8060  cnvf1olem  8106  ordpinq  10929  addassnq  10944  mulassnq  10945  distrnq  10947  mulidnq  10949  recmulnq  10950  ltexnq  10961  fsumcnv  15826  fprodcnv  16039  cofulid  17948  cofurid  17949  idffth  17993  cofull  17994  cofth  17995  ressffth  17998  isnat2  18009  nat1st2nd  18012  homadmcd  18100  catciso  18169  prf1st  18261  prf2nd  18262  1st2ndprf  18263  curfuncf  18295  uncfcurf  18296  curf2ndf  18304  yonffthlem  18339  yoniso  18342  dprd2dlem2  20113  dprd2dlem1  20114  dprd2da  20115  mdetunilem9  22758  2ndcctbss  23593  utop2nei  24388  utop3cls  24389  caubl  25448  wlkop  29958  nvop2  30941  nvvop  30942  nvop  31009  phop  31151  fgreu  32997  1stpreimas  33032  gsumhashmul  33368  cvmliftlem1  35758  heiborlem3  38445  rngoi  38531  drngoi  38583  isdrngo1  38588  iscrngo2  38629  tposideq  49649  cic1st2nd  49808  cofu1st2nd  49853  oppfval2  49898  oppfoppc2  49903  idfth  49919  up1st2nd  49946  up1st2ndr  49947  uptrlem2  49972  uptra  49976  uobeqw  49980  uobeq  49981  uptr2a  49983  diag1  50065  fuco11bALT  50099  fuco22nat  50107  fucocolem4  50117  precofvalALT  50129  prcoftposcurfucoa  50145  prcofdiag1  50154  prcofdiag  50155  oppfdiag1  50175  oppfdiag  50177  termcfuncval  50293  diagffth  50299  lmddu  50428