MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lterpq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lterpq 10913
Description: Compatibility of ordering on equivalent fractions. (Contributed by Mario Carneiro, 9-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
lterpq (๐ด <pQ ๐ต โ†” ([Q]โ€˜๐ด) <Q ([Q]โ€˜๐ต))

Proof of Theorem lterpq
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ltpq 10853 . . . 4 <pQ = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (N ร— N)) โˆง ((1st โ€˜๐‘ฅ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฆ)) <N ((1st โ€˜๐‘ฆ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฅ)))}
2 opabssxp 5729 . . . 4 {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (N ร— N)) โˆง ((1st โ€˜๐‘ฅ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฆ)) <N ((1st โ€˜๐‘ฆ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฅ)))} โŠ† ((N ร— N) ร— (N ร— N))
31, 2eqsstri 3983 . . 3 <pQ โŠ† ((N ร— N) ร— (N ร— N))
43brel 5702 . 2 (๐ด <pQ ๐ต โ†’ (๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N)))
5 ltrelnq 10869 . . . 4 <Q โŠ† (Q ร— Q)
65brel 5702 . . 3 (([Q]โ€˜๐ด) <Q ([Q]โ€˜๐ต) โ†’ (([Q]โ€˜๐ด) โˆˆ Q โˆง ([Q]โ€˜๐ต) โˆˆ Q))
7 elpqn 10868 . . . 4 (([Q]โ€˜๐ด) โˆˆ Q โ†’ ([Q]โ€˜๐ด) โˆˆ (N ร— N))
8 elpqn 10868 . . . 4 (([Q]โ€˜๐ต) โˆˆ Q โ†’ ([Q]โ€˜๐ต) โˆˆ (N ร— N))
9 nqerf 10873 . . . . . . 7 [Q]:(N ร— N)โŸถQ
109fdmi 6685 . . . . . 6 dom [Q] = (N ร— N)
11 0nelxp 5672 . . . . . 6 ยฌ โˆ… โˆˆ (N ร— N)
1210, 11ndmfvrcl 6883 . . . . 5 (([Q]โ€˜๐ด) โˆˆ (N ร— N) โ†’ ๐ด โˆˆ (N ร— N))
1310, 11ndmfvrcl 6883 . . . . 5 (([Q]โ€˜๐ต) โˆˆ (N ร— N) โ†’ ๐ต โˆˆ (N ร— N))
1412, 13anim12i 614 . . . 4 ((([Q]โ€˜๐ด) โˆˆ (N ร— N) โˆง ([Q]โ€˜๐ต) โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N)))
157, 8, 14syl2an 597 . . 3 ((([Q]โ€˜๐ด) โˆˆ Q โˆง ([Q]โ€˜๐ต) โˆˆ Q) โ†’ (๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N)))
166, 15syl 17 . 2 (([Q]โ€˜๐ด) <Q ([Q]โ€˜๐ต) โ†’ (๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N)))
17 xp1st 7958 . . . . 5 (๐ด โˆˆ (N ร— N) โ†’ (1st โ€˜๐ด) โˆˆ N)
18 xp2nd 7959 . . . . 5 (๐ต โˆˆ (N ร— N) โ†’ (2nd โ€˜๐ต) โˆˆ N)
19 mulclpi 10836 . . . . 5 (((1st โ€˜๐ด) โˆˆ N โˆง (2nd โ€˜๐ต) โˆˆ N) โ†’ ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) โˆˆ N)
2017, 18, 19syl2an 597 . . . 4 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N)) โ†’ ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) โˆˆ N)
21 ltmpi 10847 . . . 4 (((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) โˆˆ N โ†’ (((1st โ€˜([Q]โ€˜๐ด)) ยทN (2nd โ€˜([Q]โ€˜๐ต))) <N ((1st โ€˜([Q]โ€˜๐ต)) ยทN (2nd โ€˜([Q]โ€˜๐ด))) โ†” (((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) ยทN ((1st โ€˜([Q]โ€˜๐ด)) ยทN (2nd โ€˜([Q]โ€˜๐ต)))) <N (((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) ยทN ((1st โ€˜([Q]โ€˜๐ต)) ยทN (2nd โ€˜([Q]โ€˜๐ด))))))
2220, 21syl 17 . . 3 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (((1st โ€˜([Q]โ€˜๐ด)) ยทN (2nd โ€˜([Q]โ€˜๐ต))) <N ((1st โ€˜([Q]โ€˜๐ต)) ยทN (2nd โ€˜([Q]โ€˜๐ด))) โ†” (((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) ยทN ((1st โ€˜([Q]โ€˜๐ด)) ยทN (2nd โ€˜([Q]โ€˜๐ต)))) <N (((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) ยทN ((1st โ€˜([Q]โ€˜๐ต)) ยทN (2nd โ€˜([Q]โ€˜๐ด))))))
23 nqercl 10874 . . . 4 (๐ด โˆˆ (N ร— N) โ†’ ([Q]โ€˜๐ด) โˆˆ Q)
24 nqercl 10874 . . . 4 (๐ต โˆˆ (N ร— N) โ†’ ([Q]โ€˜๐ต) โˆˆ Q)
25 ordpinq 10886 . . . 4 ((([Q]โ€˜๐ด) โˆˆ Q โˆง ([Q]โ€˜๐ต) โˆˆ Q) โ†’ (([Q]โ€˜๐ด) <Q ([Q]โ€˜๐ต) โ†” ((1st โ€˜([Q]โ€˜๐ด)) ยทN (2nd โ€˜([Q]โ€˜๐ต))) <N ((1st โ€˜([Q]โ€˜๐ต)) ยทN (2nd โ€˜([Q]โ€˜๐ด)))))
2623, 24, 25syl2an 597 . . 3 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (([Q]โ€˜๐ด) <Q ([Q]โ€˜๐ต) โ†” ((1st โ€˜([Q]โ€˜๐ด)) ยทN (2nd โ€˜([Q]โ€˜๐ต))) <N ((1st โ€˜([Q]โ€˜๐ต)) ยทN (2nd โ€˜([Q]โ€˜๐ด)))))
27 1st2nd2 7965 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ (N ร— N) โ†’ ๐ด = โŸจ(1st โ€˜๐ด), (2nd โ€˜๐ด)โŸฉ)
28 1st2nd2 7965 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ (N ร— N) โ†’ ๐ต = โŸจ(1st โ€˜๐ต), (2nd โ€˜๐ต)โŸฉ)
2927, 28breqan12d 5126 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (๐ด <pQ ๐ต โ†” โŸจ(1st โ€˜๐ด), (2nd โ€˜๐ด)โŸฉ <pQ โŸจ(1st โ€˜๐ต), (2nd โ€˜๐ต)โŸฉ))
30 ordpipq 10885 . . . . 5 (โŸจ(1st โ€˜๐ด), (2nd โ€˜๐ด)โŸฉ <pQ โŸจ(1st โ€˜๐ต), (2nd โ€˜๐ต)โŸฉ โ†” ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) <N ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด)))
3129, 30bitrdi 287 . . . 4 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (๐ด <pQ ๐ต โ†” ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) <N ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด))))
32 xp1st 7958 . . . . . . 7 (([Q]โ€˜๐ด) โˆˆ (N ร— N) โ†’ (1st โ€˜([Q]โ€˜๐ด)) โˆˆ N)
3323, 7, 323syl 18 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ (N ร— N) โ†’ (1st โ€˜([Q]โ€˜๐ด)) โˆˆ N)
34 xp2nd 7959 . . . . . . 7 (([Q]โ€˜๐ต) โˆˆ (N ร— N) โ†’ (2nd โ€˜([Q]โ€˜๐ต)) โˆˆ N)
3524, 8, 343syl 18 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ (N ร— N) โ†’ (2nd โ€˜([Q]โ€˜๐ต)) โˆˆ N)
36 mulclpi 10836 . . . . . 6 (((1st โ€˜([Q]โ€˜๐ด)) โˆˆ N โˆง (2nd โ€˜([Q]โ€˜๐ต)) โˆˆ N) โ†’ ((1st โ€˜([Q]โ€˜๐ด)) ยทN (2nd โ€˜([Q]โ€˜๐ต))) โˆˆ N)
3733, 35, 36syl2an 597 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N)) โ†’ ((1st โ€˜([Q]โ€˜๐ด)) ยทN (2nd โ€˜([Q]โ€˜๐ต))) โˆˆ N)
38 ltmpi 10847 . . . . 5 (((1st โ€˜([Q]โ€˜๐ด)) ยทN (2nd โ€˜([Q]โ€˜๐ต))) โˆˆ N โ†’ (((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) <N ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) โ†” (((1st โ€˜([Q]โ€˜๐ด)) ยทN (2nd โ€˜([Q]โ€˜๐ต))) ยทN ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต))) <N (((1st โ€˜([Q]โ€˜๐ด)) ยทN (2nd โ€˜([Q]โ€˜๐ต))) ยทN ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด)))))
3937, 38syl 17 . . . 4 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) <N ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) โ†” (((1st โ€˜([Q]โ€˜๐ด)) ยทN (2nd โ€˜([Q]โ€˜๐ต))) ยทN ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต))) <N (((1st โ€˜([Q]โ€˜๐ด)) ยทN (2nd โ€˜([Q]โ€˜๐ต))) ยทN ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด)))))
40 mulcompi 10839 . . . . . 6 (((1st โ€˜([Q]โ€˜๐ด)) ยทN (2nd โ€˜([Q]โ€˜๐ต))) ยทN ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต))) = (((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) ยทN ((1st โ€˜([Q]โ€˜๐ด)) ยทN (2nd โ€˜([Q]โ€˜๐ต))))
4140a1i 11 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (((1st โ€˜([Q]โ€˜๐ด)) ยทN (2nd โ€˜([Q]โ€˜๐ต))) ยทN ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต))) = (((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) ยทN ((1st โ€˜([Q]โ€˜๐ด)) ยทN (2nd โ€˜([Q]โ€˜๐ต)))))
42 nqerrel 10875 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ (N ร— N) โ†’ ๐ด ~Q ([Q]โ€˜๐ด))
4323, 7syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ (N ร— N) โ†’ ([Q]โ€˜๐ด) โˆˆ (N ร— N))
44 enqbreq2 10863 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ([Q]โ€˜๐ด) โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (๐ด ~Q ([Q]โ€˜๐ด) โ†” ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜([Q]โ€˜๐ด))) = ((1st โ€˜([Q]โ€˜๐ด)) ยทN (2nd โ€˜๐ด))))
4543, 44mpdan 686 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ (N ร— N) โ†’ (๐ด ~Q ([Q]โ€˜๐ด) โ†” ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜([Q]โ€˜๐ด))) = ((1st โ€˜([Q]โ€˜๐ด)) ยทN (2nd โ€˜๐ด))))
4642, 45mpbid 231 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ (N ร— N) โ†’ ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜([Q]โ€˜๐ด))) = ((1st โ€˜([Q]โ€˜๐ด)) ยทN (2nd โ€˜๐ด)))
4746eqcomd 2743 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ (N ร— N) โ†’ ((1st โ€˜([Q]โ€˜๐ด)) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) = ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜([Q]โ€˜๐ด))))
48 nqerrel 10875 . . . . . . . 8 (๐ต โˆˆ (N ร— N) โ†’ ๐ต ~Q ([Q]โ€˜๐ต))
4924, 8syl 17 . . . . . . . . 9 (๐ต โˆˆ (N ร— N) โ†’ ([Q]โ€˜๐ต) โˆˆ (N ร— N))
50 enqbreq2 10863 . . . . . . . . 9 ((๐ต โˆˆ (N ร— N) โˆง ([Q]โ€˜๐ต) โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (๐ต ~Q ([Q]โ€˜๐ต) โ†” ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜([Q]โ€˜๐ต))) = ((1st โ€˜([Q]โ€˜๐ต)) ยทN (2nd โ€˜๐ต))))
5149, 50mpdan 686 . . . . . . . 8 (๐ต โˆˆ (N ร— N) โ†’ (๐ต ~Q ([Q]โ€˜๐ต) โ†” ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜([Q]โ€˜๐ต))) = ((1st โ€˜([Q]โ€˜๐ต)) ยทN (2nd โ€˜๐ต))))
5248, 51mpbid 231 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ (N ร— N) โ†’ ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜([Q]โ€˜๐ต))) = ((1st โ€˜([Q]โ€˜๐ต)) ยทN (2nd โ€˜๐ต)))
5347, 52oveqan12d 7381 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (((1st โ€˜([Q]โ€˜๐ด)) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) ยทN ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜([Q]โ€˜๐ต)))) = (((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜([Q]โ€˜๐ด))) ยทN ((1st โ€˜([Q]โ€˜๐ต)) ยทN (2nd โ€˜๐ต))))
54 mulcompi 10839 . . . . . . 7 (((1st โ€˜([Q]โ€˜๐ด)) ยทN (2nd โ€˜([Q]โ€˜๐ต))) ยทN ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด))) = (((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) ยทN ((1st โ€˜([Q]โ€˜๐ด)) ยทN (2nd โ€˜([Q]โ€˜๐ต))))
55 fvex 6860 . . . . . . . 8 (1st โ€˜๐ต) โˆˆ V
56 fvex 6860 . . . . . . . 8 (2nd โ€˜๐ด) โˆˆ V
57 fvex 6860 . . . . . . . 8 (1st โ€˜([Q]โ€˜๐ด)) โˆˆ V
58 mulcompi 10839 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ ยทN ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ ยทN ๐‘ฅ)
59 mulasspi 10840 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ ยทN ๐‘ฆ) ยทN ๐‘ง) = (๐‘ฅ ยทN (๐‘ฆ ยทN ๐‘ง))
60 fvex 6860 . . . . . . . 8 (2nd โ€˜([Q]โ€˜๐ต)) โˆˆ V
6155, 56, 57, 58, 59, 60caov411 7591 . . . . . . 7 (((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) ยทN ((1st โ€˜([Q]โ€˜๐ด)) ยทN (2nd โ€˜([Q]โ€˜๐ต)))) = (((1st โ€˜([Q]โ€˜๐ด)) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) ยทN ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜([Q]โ€˜๐ต))))
6254, 61eqtri 2765 . . . . . 6 (((1st โ€˜([Q]โ€˜๐ด)) ยทN (2nd โ€˜([Q]โ€˜๐ต))) ยทN ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด))) = (((1st โ€˜([Q]โ€˜๐ด)) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) ยทN ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜([Q]โ€˜๐ต))))
63 mulcompi 10839 . . . . . . 7 (((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) ยทN ((1st โ€˜([Q]โ€˜๐ต)) ยทN (2nd โ€˜([Q]โ€˜๐ด)))) = (((1st โ€˜([Q]โ€˜๐ต)) ยทN (2nd โ€˜([Q]โ€˜๐ด))) ยทN ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)))
64 fvex 6860 . . . . . . . 8 (1st โ€˜([Q]โ€˜๐ต)) โˆˆ V
65 fvex 6860 . . . . . . . 8 (2nd โ€˜([Q]โ€˜๐ด)) โˆˆ V
66 fvex 6860 . . . . . . . 8 (1st โ€˜๐ด) โˆˆ V
67 fvex 6860 . . . . . . . 8 (2nd โ€˜๐ต) โˆˆ V
6864, 65, 66, 58, 59, 67caov411 7591 . . . . . . 7 (((1st โ€˜([Q]โ€˜๐ต)) ยทN (2nd โ€˜([Q]โ€˜๐ด))) ยทN ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต))) = (((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜([Q]โ€˜๐ด))) ยทN ((1st โ€˜([Q]โ€˜๐ต)) ยทN (2nd โ€˜๐ต)))
6963, 68eqtri 2765 . . . . . 6 (((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) ยทN ((1st โ€˜([Q]โ€˜๐ต)) ยทN (2nd โ€˜([Q]โ€˜๐ด)))) = (((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜([Q]โ€˜๐ด))) ยทN ((1st โ€˜([Q]โ€˜๐ต)) ยทN (2nd โ€˜๐ต)))
7053, 62, 693eqtr4g 2802 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (((1st โ€˜([Q]โ€˜๐ด)) ยทN (2nd โ€˜([Q]โ€˜๐ต))) ยทN ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด))) = (((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) ยทN ((1st โ€˜([Q]โ€˜๐ต)) ยทN (2nd โ€˜([Q]โ€˜๐ด)))))
7141, 70breq12d 5123 . . . 4 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N)) โ†’ ((((1st โ€˜([Q]โ€˜๐ด)) ยทN (2nd โ€˜([Q]โ€˜๐ต))) ยทN ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต))) <N (((1st โ€˜([Q]โ€˜๐ด)) ยทN (2nd โ€˜([Q]โ€˜๐ต))) ยทN ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด))) โ†” (((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) ยทN ((1st โ€˜([Q]โ€˜๐ด)) ยทN (2nd โ€˜([Q]โ€˜๐ต)))) <N (((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) ยทN ((1st โ€˜([Q]โ€˜๐ต)) ยทN (2nd โ€˜([Q]โ€˜๐ด))))))
7231, 39, 713bitrd 305 . . 3 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (๐ด <pQ ๐ต โ†” (((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) ยทN ((1st โ€˜([Q]โ€˜๐ด)) ยทN (2nd โ€˜([Q]โ€˜๐ต)))) <N (((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) ยทN ((1st โ€˜([Q]โ€˜๐ต)) ยทN (2nd โ€˜([Q]โ€˜๐ด))))))
7322, 26, 723bitr4rd 312 . 2 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (๐ด <pQ ๐ต โ†” ([Q]โ€˜๐ด) <Q ([Q]โ€˜๐ต)))
744, 16, 73pm5.21nii 380 1 (๐ด <pQ ๐ต โ†” ([Q]โ€˜๐ด) <Q ([Q]โ€˜๐ต))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โŸจcop 4597   class class class wbr 5110  {copab 5172   ร— cxp 5636  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  1st c1st 7924  2nd c2nd 7925  Ncnpi 10787   ยทN cmi 10789   <N clti 10790   <pQ cltpq 10793   ~Q ceq 10794  Qcnq 10795  [Q]cerq 10797   <Q cltq 10801
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-oadd 8421  df-omul 8422  df-er 8655  df-ni 10815  df-mi 10817  df-lti 10818  df-ltpq 10853  df-enq 10854  df-nq 10855  df-erq 10856  df-1nq 10859  df-ltnq 10861
This theorem is referenced by:  ltanq  10914  ltmnq  10915  1lt2nq  10916
  Copyright terms: Public domain W3C validator