Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  osumcllem10N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem osumcllem10N 38774
Description: Lemma for osumclN 38776. Contradict osumcllem9N 38773. (Contributed by NM, 25-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
osumcllem.l = (le‘𝐾)
osumcllem.j = (join‘𝐾)
osumcllem.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
osumcllem.p + = (+𝑃𝐾)
osumcllem.o = (⊥𝑃𝐾)
osumcllem.c 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
osumcllem.m 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})
osumcllem.u 𝑈 = ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌)))
Assertion
Ref Expression
osumcllem10N (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → 𝑀𝑋)

Proof of Theorem osumcllem10N
StepHypRef Expression
1 simp11 1204 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → 𝐾 ∈ HL)
2 simp2 1138 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → 𝑝𝐴)
32snssd 4811 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → {𝑝} ⊆ 𝐴)
4 simp12 1205 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → 𝑋𝐴)
5 osumcllem.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
6 osumcllem.p . . . . . 6 + = (+𝑃𝐾)
75, 6sspadd2 38625 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ {𝑝} ⊆ 𝐴𝑋𝐴) → {𝑝} ⊆ (𝑋 + {𝑝}))
81, 3, 4, 7syl3anc 1372 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → {𝑝} ⊆ (𝑋 + {𝑝}))
9 vex 3479 . . . . 5 𝑝 ∈ V
109snss 4788 . . . 4 (𝑝 ∈ (𝑋 + {𝑝}) ↔ {𝑝} ⊆ (𝑋 + {𝑝}))
118, 10sylibr 233 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → 𝑝 ∈ (𝑋 + {𝑝}))
12 osumcllem.m . . 3 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})
1311, 12eleqtrrdi 2845 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → 𝑝𝑀)
145, 6sspadd1 38624 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → 𝑋 ⊆ (𝑋 + 𝑌))
15143ad2ant1 1134 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → 𝑋 ⊆ (𝑋 + 𝑌))
16 simp3 1139 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌))
1715, 16ssneldd 3984 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → ¬ 𝑝𝑋)
18 nelne1 3040 . 2 ((𝑝𝑀 ∧ ¬ 𝑝𝑋) → 𝑀𝑋)
1913, 17, 18syl2anc 585 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → 𝑀𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2941  wss 3947  {csn 4627  cfv 6540  (class class class)co 7404  lecple 17200  joincjn 18260  Atomscatm 38071  HLchlt 38158  +𝑃cpadd 38604  𝑃cpolN 38711  PSubClcpscN 38743
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-padd 38605
This theorem is referenced by:  osumcllem11N  38775
  Copyright terms: Public domain W3C validator