Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  osumcllem10N Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem osumcllem10N 39140
Description: Lemma for osumclN 39142. Contradict osumcllem9N 39139. (Contributed by NM, 25-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
osumcllem.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
osumcllem.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
osumcllem.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
osumcllem.p + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
osumcllem.o βŠ₯ = (βŠ₯π‘ƒβ€˜πΎ)
osumcllem.c 𝐢 = (PSubClβ€˜πΎ)
osumcllem.m 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})
osumcllem.u π‘ˆ = ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(𝑋 + π‘Œ)))
Assertion
Ref Expression
osumcllem10N (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + π‘Œ)) β†’ 𝑀 β‰  𝑋)
Proof of Theorem osumcllem10N
StepHypRef Expression
1 simp11 1202 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + π‘Œ)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2 simp2 1136 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + π‘Œ)) β†’ 𝑝 ∈ 𝐴)
32snssd 4812 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + π‘Œ)) β†’ {𝑝} βŠ† 𝐴)
4 simp12 1203 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + π‘Œ)) β†’ 𝑋 βŠ† 𝐴)
5 osumcllem.a . . . . . 6 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
6 osumcllem.p . . . . . 6 + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
75, 6sspadd2 38991 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ {𝑝} βŠ† 𝐴 ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴) β†’ {𝑝} βŠ† (𝑋 + {𝑝}))
81, 3, 4, 7syl3anc 1370 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + π‘Œ)) β†’ {𝑝} βŠ† (𝑋 + {𝑝}))
9 vex 3477 . . . . 5 𝑝 ∈ V
109snss 4789 . . . 4 (𝑝 ∈ (𝑋 + {𝑝}) ↔ {𝑝} βŠ† (𝑋 + {𝑝}))
118, 10sylibr 233 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + π‘Œ)) β†’ 𝑝 ∈ (𝑋 + {𝑝}))
12 osumcllem.m . . 3 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})
1311, 12eleqtrrdi 2843 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + π‘Œ)) β†’ 𝑝 ∈ 𝑀)
145, 6sspadd1 38990 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) β†’ 𝑋 βŠ† (𝑋 + π‘Œ))
15143ad2ant1 1132 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + π‘Œ)) β†’ 𝑋 βŠ† (𝑋 + π‘Œ))
16 simp3 1137 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + π‘Œ)) β†’ Β¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + π‘Œ))
1715, 16ssneldd 3985 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + π‘Œ)) β†’ Β¬ 𝑝 ∈ 𝑋)
18 nelne1 3038 . 2 ((𝑝 ∈ 𝑀 ∧ Β¬ 𝑝 ∈ 𝑋) β†’ 𝑀 β‰  𝑋)
1913, 17, 18syl2anc 583 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + π‘Œ)) β†’ 𝑀 β‰  𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939   βŠ† wss 3948  {csn 4628  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  lecple 17209  joincjn 18269  Atomscatm 38437  HLchlt 38524  +𝑃cpadd 38970  βŠ₯𝑃cpolN 39077  PSubClcpscN 39109
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-padd 38971
This theorem is referenced by:  osumcllem11N  39141
  Copyright terms: Public domain W3C validator