Theorem osumcllem10N 40425

Description: Lemma for osumclN 40427. Contradict osumcllem9N 40424. (Contributed by NM, 25-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
osumcllem.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
osumcllem.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
osumcllem.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
osumcllem.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
osumcllem.o	⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
osumcllem.c	⊢ 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
osumcllem.m	⊢ 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})
osumcllem.u	⊢ 𝑈 = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)))

Assertion

Ref	Expression
osumcllem10N	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → 𝑀 ≠ 𝑋)

Proof of Theorem osumcllem10N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp11 1205	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → 𝐾 ∈ HL)
2		simp2 1138	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → 𝑝 ∈ 𝐴)
3	2	snssd 4753	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → {𝑝} ⊆ 𝐴)
4		simp12 1206	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → 𝑋 ⊆ 𝐴)
5		osumcllem.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
6		osumcllem.p	. . . . . 6 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
7	5, 6	sspadd2 40276	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ {𝑝} ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → {𝑝} ⊆ (𝑋 + {𝑝}))
8	1, 3, 4, 7	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → {𝑝} ⊆ (𝑋 + {𝑝}))
9		vex 3434	. . . . 5 ⊢ 𝑝 ∈ V
10	9	snss 4729	. . . 4 ⊢ (𝑝 ∈ (𝑋 + {𝑝}) ↔ {𝑝} ⊆ (𝑋 + {𝑝}))
11	8, 10	sylibr 234	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → 𝑝 ∈ (𝑋 + {𝑝}))
12		osumcllem.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})
13	11, 12	eleqtrrdi 2848	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → 𝑝 ∈ 𝑀)
14	5, 6	sspadd1 40275	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → 𝑋 ⊆ (𝑋 + 𝑌))
15	14	3ad2ant1 1134	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → 𝑋 ⊆ (𝑋 + 𝑌))
16		simp3 1139	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌))
17	15, 16	ssneldd 3925	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → ¬ 𝑝 ∈ 𝑋)
18		nelne1 3030	. 2 ⊢ ((𝑝 ∈ 𝑀 ∧ ¬ 𝑝 ∈ 𝑋) → 𝑀 ≠ 𝑋)
19	13, 17, 18	syl2anc 585	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → 𝑀 ≠ 𝑋)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   ⊆ wss 3890  {csn 4568  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  lecple 17218  joincjn 18268  Atomscatm 39723  HLchlt 39810  +_𝑃cpadd 40255  ⊥_𝑃cpolN 40362  PSubClcpscN 40394

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-padd 40256

This theorem is referenced by:  osumcllem11N  40426