Theorem osumcllem10N 41288

Description: Lemma for osumclN 41290. Contradict osumcllem9N 41287. (Contributed by NM, 25-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
osumcllem.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
osumcllem.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
osumcllem.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
osumcllem.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
osumcllem.o	⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
osumcllem.c	⊢ 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
osumcllem.m	⊢ 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})
osumcllem.u	⊢ 𝑈 = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)))

Assertion

Ref	Expression
osumcllem10N	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → 𝑀 ≠ 𝑋)

Proof of Theorem osumcllem10N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp11 1222	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → 𝐾 ∈ HL)
2		simp2 1155	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → 𝑝 ∈ 𝐴)
3	2	snssd 4749	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → {𝑝} ⊆ 𝐴)
4		simp12 1223	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → 𝑋 ⊆ 𝐴)
5		osumcllem.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
6		osumcllem.p	. . . . . 6 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
7	5, 6	sspadd2 41139	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ {𝑝} ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → {𝑝} ⊆ (𝑋 + {𝑝}))
8	1, 3, 4, 7	syl3anc 1399	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → {𝑝} ⊆ (𝑋 + {𝑝}))
9		vex 3458	. . . . 5 ⊢ 𝑝 ∈ V
10	9	snss 4747	. . . 4 ⊢ (𝑝 ∈ (𝑋 + {𝑝}) ↔ {𝑝} ⊆ (𝑋 + {𝑝}))
11	8, 10	sylibr 237	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → 𝑝 ∈ (𝑋 + {𝑝}))
12		osumcllem.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})
13	11, 12	eleqtrrdi 2875	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → 𝑝 ∈ 𝑀)
14	5, 6	sspadd1 41138	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → 𝑋 ⊆ (𝑋 + 𝑌))
15	14	3ad2ant1 1151	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → 𝑋 ⊆ (𝑋 + 𝑌))
16		simp3 1156	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌))
17	15, 16	ssneldd 3916	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → ¬ 𝑝 ∈ 𝑋)
18		nelne1 3056	. 2 ⊢ ((𝑝 ∈ 𝑀 ∧ ¬ 𝑝 ∈ 𝑋) → 𝑀 ≠ 𝑋)
19	13, 17, 18	syl2anc 596	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → 𝑀 ≠ 𝑋)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   ⊆ wss 3900  {csn 4588  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  lecple 17479  joincjn 18535  Atomscatm 40586  HLchlt 40673  +_𝑃cpadd 41118  ⊥_𝑃cpolN 41225  PSubClcpscN 41257

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-padd 41119

This theorem is used by:  osumcllem11N  41289