Theorem osumcllem1N 37897

Description: Lemma for osumclN 37908. (Contributed by NM, 25-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
osumcllem.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
osumcllem.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
osumcllem.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
osumcllem.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
osumcllem.o	⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
osumcllem.c	⊢ 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
osumcllem.m	⊢ 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})
osumcllem.u	⊢ 𝑈 = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)))

Assertion

Ref	Expression
osumcllem1N	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → (𝑈 ∩ 𝑀) = 𝑀)

Proof of Theorem osumcllem1N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		osumcllem.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})
2		osumcllem.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3		osumcllem.p	. . . . . . 7 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
4	2, 3	sspadd1 37756	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → 𝑋 ⊆ (𝑋 + 𝑌))
5	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → 𝑋 ⊆ (𝑋 + 𝑌))
6		simpl1 1189	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → 𝐾 ∈ HL)
7	2, 3	paddssat 37755	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝐴)
8	7	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝐴)
9		osumcllem.o	. . . . . . . 8 ⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
10	2, 9	2polssN 37856	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝐴) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))))
11	6, 8, 10	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))))
12		osumcllem.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)))
13	11, 12	sseqtrrdi 3968	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝑈)
14	5, 13	sstrd 3927	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → 𝑋 ⊆ 𝑈)
15		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → 𝑝 ∈ 𝑈)
16	15	snssd 4739	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → {𝑝} ⊆ 𝑈)
17		simpl2 1190	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → 𝑋 ⊆ 𝐴)
18	2, 9	polssatN 37849	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)) ⊆ 𝐴)
19	6, 8, 18	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → ( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)) ⊆ 𝐴)
20	2, 9	polssatN 37849	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)) ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))) ⊆ 𝐴)
21	6, 19, 20	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))) ⊆ 𝐴)
22	12, 21	eqsstrid 3965	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → 𝑈 ⊆ 𝐴)
23	16, 22	sstrd 3927	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → {𝑝} ⊆ 𝐴)
24		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (PSubSp‘𝐾) = (PSubSp‘𝐾)
25	2, 24, 9	polsubN 37848	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)) ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))) ∈ (PSubSp‘𝐾))
26	6, 19, 25	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))) ∈ (PSubSp‘𝐾))
27	12, 26	eqeltrid 2843	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → 𝑈 ∈ (PSubSp‘𝐾))
28	2, 24, 3	paddss 37786	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ {𝑝} ⊆ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ (PSubSp‘𝐾))) → ((𝑋 ⊆ 𝑈 ∧ {𝑝} ⊆ 𝑈) ↔ (𝑋 + {𝑝}) ⊆ 𝑈))
29	6, 17, 23, 27, 28	syl13anc 1370	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → ((𝑋 ⊆ 𝑈 ∧ {𝑝} ⊆ 𝑈) ↔ (𝑋 + {𝑝}) ⊆ 𝑈))
30	14, 16, 29	mpbi2and 708	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → (𝑋 + {𝑝}) ⊆ 𝑈)
31	1, 30	eqsstrid 3965	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → 𝑀 ⊆ 𝑈)
32		sseqin2 4146	. 2 ⊢ (𝑀 ⊆ 𝑈 ↔ (𝑈 ∩ 𝑀) = 𝑀)
33	31, 32	sylib 217	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → (𝑈 ∩ 𝑀) = 𝑀)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883  {csn 4558  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  lecple 16895  joincjn 17944  Atomscatm 37204  HLchlt 37291  PSubSpcpsubsp 37437  +_𝑃cpadd 37736  ⊥_𝑃cpolN 37843  PSubClcpscN 37875

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-riotaBAD 36894

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-undef 8060  df-proset 17928  df-poset 17946  df-plt 17963  df-lub 17979  df-glb 17980  df-join 17981  df-meet 17982  df-p0 18058  df-p1 18059  df-lat 18065  df-clat 18132  df-oposet 37117  df-ol 37119  df-oml 37120  df-covers 37207  df-ats 37208  df-atl 37239  df-cvlat 37263  df-hlat 37292  df-psubsp 37444  df-pmap 37445  df-padd 37737  df-polarityN 37844

This theorem is referenced by:  osumcllem2N  37898  osumcllem9N  37905