Theorem osumcllem1N 41013

Description: Lemma for osumclN 41024. (Contributed by NM, 25-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
osumcllem.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
osumcllem.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
osumcllem.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
osumcllem.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
osumcllem.o	⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
osumcllem.c	⊢ 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
osumcllem.m	⊢ 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})
osumcllem.u	⊢ 𝑈 = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)))

Assertion

Ref	Expression
osumcllem1N	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → (𝑈 ∩ 𝑀) = 𝑀)

Proof of Theorem osumcllem1N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		osumcllem.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})
2		osumcllem.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3		osumcllem.p	. . . . . . 7 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
4	2, 3	sspadd1 40872	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → 𝑋 ⊆ (𝑋 + 𝑌))
5	4	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → 𝑋 ⊆ (𝑋 + 𝑌))
6		simpl1 1210	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → 𝐾 ∈ HL)
7	2, 3	paddssat 40871	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝐴)
8	7	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝐴)
9		osumcllem.o	. . . . . . . 8 ⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
10	2, 9	2polssN 40972	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝐴) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))))
11	6, 8, 10	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))))
12		osumcllem.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)))
13	11, 12	sseqtrrdi 3972	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝑈)
14	5, 13	sstrd 3941	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → 𝑋 ⊆ 𝑈)
15		simpr 490	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → 𝑝 ∈ 𝑈)
16	15	snssd 4747	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → {𝑝} ⊆ 𝑈)
17		simpl2 1211	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → 𝑋 ⊆ 𝐴)
18	2, 9	polssatN 40965	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)) ⊆ 𝐴)
19	6, 8, 18	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → ( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)) ⊆ 𝐴)
20	2, 9	polssatN 40965	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)) ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))) ⊆ 𝐴)
21	6, 19, 20	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))) ⊆ 𝐴)
22	12, 21	eqsstrid 3969	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → 𝑈 ⊆ 𝐴)
23	16, 22	sstrd 3941	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → {𝑝} ⊆ 𝐴)
24		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (PSubSp‘𝐾) = (PSubSp‘𝐾)
25	2, 24, 9	polsubN 40964	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)) ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))) ∈ (PSubSp‘𝐾))
26	6, 19, 25	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))) ∈ (PSubSp‘𝐾))
27	12, 26	eqeltrid 2865	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → 𝑈 ∈ (PSubSp‘𝐾))
28	2, 24, 3	paddss 40902	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ {𝑝} ⊆ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ (PSubSp‘𝐾))) → ((𝑋 ⊆ 𝑈 ∧ {𝑝} ⊆ 𝑈) ↔ (𝑋 + {𝑝}) ⊆ 𝑈))
29	6, 17, 23, 27, 28	syl13anc 1399	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → ((𝑋 ⊆ 𝑈 ∧ {𝑝} ⊆ 𝑈) ↔ (𝑋 + {𝑝}) ⊆ 𝑈))
30	14, 16, 29	mpbi2and 725	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → (𝑋 + {𝑝}) ⊆ 𝑈)
31	1, 30	eqsstrid 3969	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → 𝑀 ⊆ 𝑈)
32		sseqin2 4169	. 2 ⊢ (𝑀 ⊆ 𝑈 ↔ (𝑈 ∩ 𝑀) = 𝑀)
33	31, 32	sylib 221	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → (𝑈 ∩ 𝑀) = 𝑀)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  {csn 4584  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  lecple 17435  joincjn 18485  Atomscatm 40320  HLchlt 40407  PSubSpcpsubsp 40553  +_𝑃cpadd 40852  ⊥_𝑃cpolN 40959  PSubClcpscN 40991

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-proset 18468  df-poset 18487  df-plt 18502  df-lub 18518  df-glb 18519  df-join 18520  df-meet 18521  df-p0 18597  df-p1 18598  df-lat 18606  df-clat 18673  df-oposet 40233  df-ol 40235  df-oml 40236  df-covers 40323  df-ats 40324  df-atl 40355  df-cvlat 40379  df-hlat 40408  df-psubsp 40560  df-pmap 40561  df-padd 40853  df-polarityN 40960

This theorem is used by:  osumcllem2N  41014  osumcllem9N  41021