Theorem osumcllem1N 35969

Description: Lemma for osumclN 35980. (Contributed by NM, 25-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
osumcllem.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
osumcllem.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
osumcllem.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
osumcllem.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
osumcllem.o	⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
osumcllem.c	⊢ 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
osumcllem.m	⊢ 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})
osumcllem.u	⊢ 𝑈 = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)))

Assertion

Ref	Expression
osumcllem1N	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → (𝑈 ∩ 𝑀) = 𝑀)

Proof of Theorem osumcllem1N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		osumcllem.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})
2		osumcllem.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3		osumcllem.p	. . . . . . 7 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
4	2, 3	sspadd1 35828	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → 𝑋 ⊆ (𝑋 + 𝑌))
5	4	adantr 473	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → 𝑋 ⊆ (𝑋 + 𝑌))
6		simpl1 1243	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → 𝐾 ∈ HL)
7	2, 3	paddssat 35827	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝐴)
8	7	adantr 473	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝐴)
9		osumcllem.o	. . . . . . . 8 ⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
10	2, 9	2polssN 35928	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝐴) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))))
11	6, 8, 10	syl2anc 580	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))))
12		osumcllem.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)))
13	11, 12	syl6sseqr 3846	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝑈)
14	5, 13	sstrd 3806	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → 𝑋 ⊆ 𝑈)
15		simpr 478	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → 𝑝 ∈ 𝑈)
16	15	snssd 4526	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → {𝑝} ⊆ 𝑈)
17		simpl2 1245	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → 𝑋 ⊆ 𝐴)
18	2, 9	polssatN 35921	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)) ⊆ 𝐴)
19	6, 8, 18	syl2anc 580	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → ( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)) ⊆ 𝐴)
20	2, 9	polssatN 35921	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)) ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))) ⊆ 𝐴)
21	6, 19, 20	syl2anc 580	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))) ⊆ 𝐴)
22	12, 21	syl5eqss 3843	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → 𝑈 ⊆ 𝐴)
23	16, 22	sstrd 3806	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → {𝑝} ⊆ 𝐴)
24		eqid 2797	. . . . . . . 8 ⊢ (PSubSp‘𝐾) = (PSubSp‘𝐾)
25	2, 24, 9	polsubN 35920	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)) ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))) ∈ (PSubSp‘𝐾))
26	6, 19, 25	syl2anc 580	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))) ∈ (PSubSp‘𝐾))
27	12, 26	syl5eqel 2880	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → 𝑈 ∈ (PSubSp‘𝐾))
28	2, 24, 3	paddss 35858	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ {𝑝} ⊆ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ (PSubSp‘𝐾))) → ((𝑋 ⊆ 𝑈 ∧ {𝑝} ⊆ 𝑈) ↔ (𝑋 + {𝑝}) ⊆ 𝑈))
29	6, 17, 23, 27, 28	syl13anc 1492	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → ((𝑋 ⊆ 𝑈 ∧ {𝑝} ⊆ 𝑈) ↔ (𝑋 + {𝑝}) ⊆ 𝑈))
30	14, 16, 29	mpbi2and 704	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → (𝑋 + {𝑝}) ⊆ 𝑈)
31	1, 30	syl5eqss 3843	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → 𝑀 ⊆ 𝑈)
32		sseqin2 4013	. 2 ⊢ (𝑀 ⊆ 𝑈 ↔ (𝑈 ∩ 𝑀) = 𝑀)
33	31, 32	sylib 210	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → (𝑈 ∩ 𝑀) = 𝑀)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 385   ∧ w3a 1108   = wceq 1653   ∈ wcel 2157   ∩ cin 3766   ⊆ wss 3767  {csn 4366  ‘cfv 6099  (class class class)co 6876  lecple 16271  joincjn 17256  Atomscatm 35276  HLchlt 35363  PSubSpcpsubsp 35509  +_𝑃cpadd 35808  ⊥_𝑃cpolN 35915  PSubClcpscN 35947

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2354  ax-ext 2775  ax-rep 4962  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181  ax-riotaBAD 34966

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-nel 3073  df-ral 3092  df-rex 3093  df-reu 3094  df-rmo 3095  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-op 4373  df-uni 4627  df-iun 4710  df-iin 4711  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-id 5218  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-res 5322  df-ima 5323  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-riota 6837  df-ov 6879  df-oprab 6880  df-mpt2 6881  df-1st 7399  df-2nd 7400  df-undef 7635  df-proset 17240  df-poset 17258  df-plt 17270  df-lub 17286  df-glb 17287  df-join 17288  df-meet 17289  df-p0 17351  df-p1 17352  df-lat 17358  df-clat 17420  df-oposet 35189  df-ol 35191  df-oml 35192  df-covers 35279  df-ats 35280  df-atl 35311  df-cvlat 35335  df-hlat 35364  df-psubsp 35516  df-pmap 35517  df-padd 35809  df-polarityN 35916

This theorem is referenced by:  osumcllem2N  35970  osumcllem9N  35977