Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  osumcllem1N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem osumcllem1N 37744
Description: Lemma for osumclN 37755. (Contributed by NM, 25-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
osumcllem.l = (le‘𝐾)
osumcllem.j = (join‘𝐾)
osumcllem.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
osumcllem.p + = (+𝑃𝐾)
osumcllem.o = (⊥𝑃𝐾)
osumcllem.c 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
osumcllem.m 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})
osumcllem.u 𝑈 = ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌)))
Assertion
Ref Expression
osumcllem1N (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑝𝑈) → (𝑈𝑀) = 𝑀)

Proof of Theorem osumcllem1N
StepHypRef Expression
1 osumcllem.m . . 3 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})
2 osumcllem.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3 osumcllem.p . . . . . . 7 + = (+𝑃𝐾)
42, 3sspadd1 37603 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → 𝑋 ⊆ (𝑋 + 𝑌))
54adantr 484 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑝𝑈) → 𝑋 ⊆ (𝑋 + 𝑌))
6 simpl1 1193 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑝𝑈) → 𝐾 ∈ HL)
72, 3paddssat 37602 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝐴)
87adantr 484 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑝𝑈) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝐴)
9 osumcllem.o . . . . . . . 8 = (⊥𝑃𝐾)
102, 92polssN 37703 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝐴) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))))
116, 8, 10syl2anc 587 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑝𝑈) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))))
12 osumcllem.u . . . . . 6 𝑈 = ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌)))
1311, 12sseqtrrdi 3969 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑝𝑈) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝑈)
145, 13sstrd 3928 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑝𝑈) → 𝑋𝑈)
15 simpr 488 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑝𝑈) → 𝑝𝑈)
1615snssd 4739 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑝𝑈) → {𝑝} ⊆ 𝑈)
17 simpl2 1194 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑝𝑈) → 𝑋𝐴)
182, 9polssatN 37696 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝐴) → ( ‘(𝑋 + 𝑌)) ⊆ 𝐴)
196, 8, 18syl2anc 587 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑝𝑈) → ( ‘(𝑋 + 𝑌)) ⊆ 𝐴)
202, 9polssatN 37696 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ ( ‘(𝑋 + 𝑌)) ⊆ 𝐴) → ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))) ⊆ 𝐴)
216, 19, 20syl2anc 587 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑝𝑈) → ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))) ⊆ 𝐴)
2212, 21eqsstrid 3966 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑝𝑈) → 𝑈𝐴)
2316, 22sstrd 3928 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑝𝑈) → {𝑝} ⊆ 𝐴)
24 eqid 2739 . . . . . . . 8 (PSubSp‘𝐾) = (PSubSp‘𝐾)
252, 24, 9polsubN 37695 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ ( ‘(𝑋 + 𝑌)) ⊆ 𝐴) → ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))) ∈ (PSubSp‘𝐾))
266, 19, 25syl2anc 587 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑝𝑈) → ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))) ∈ (PSubSp‘𝐾))
2712, 26eqeltrid 2844 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑝𝑈) → 𝑈 ∈ (PSubSp‘𝐾))
282, 24, 3paddss 37633 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴 ∧ {𝑝} ⊆ 𝐴𝑈 ∈ (PSubSp‘𝐾))) → ((𝑋𝑈 ∧ {𝑝} ⊆ 𝑈) ↔ (𝑋 + {𝑝}) ⊆ 𝑈))
296, 17, 23, 27, 28syl13anc 1374 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑝𝑈) → ((𝑋𝑈 ∧ {𝑝} ⊆ 𝑈) ↔ (𝑋 + {𝑝}) ⊆ 𝑈))
3014, 16, 29mpbi2and 712 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑝𝑈) → (𝑋 + {𝑝}) ⊆ 𝑈)
311, 30eqsstrid 3966 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑝𝑈) → 𝑀𝑈)
32 sseqin2 4147 . 2 (𝑀𝑈 ↔ (𝑈𝑀) = 𝑀)
3331, 32sylib 221 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑝𝑈) → (𝑈𝑀) = 𝑀)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1089   = wceq 1543  wcel 2112  cin 3882  wss 3883  {csn 4558  cfv 6401  (class class class)co 7235  lecple 16842  joincjn 17851  Atomscatm 37051  HLchlt 37138  PSubSpcpsubsp 37284  +𝑃cpadd 37583  𝑃cpolN 37690  PSubClcpscN 37722
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2710  ax-rep 5196  ax-sep 5209  ax-nul 5216  ax-pow 5275  ax-pr 5339  ax-un 7545  ax-riotaBAD 36741
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2818  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3425  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4255  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5153  df-id 5472  df-xp 5575  df-rel 5576  df-cnv 5577  df-co 5578  df-dm 5579  df-rn 5580  df-res 5581  df-ima 5582  df-iota 6359  df-fun 6403  df-fn 6404  df-f 6405  df-f1 6406  df-fo 6407  df-f1o 6408  df-fv 6409  df-riota 7192  df-ov 7238  df-oprab 7239  df-mpo 7240  df-1st 7783  df-2nd 7784  df-undef 8039  df-proset 17835  df-poset 17853  df-plt 17869  df-lub 17885  df-glb 17886  df-join 17887  df-meet 17888  df-p0 17964  df-p1 17965  df-lat 17971  df-clat 18038  df-oposet 36964  df-ol 36966  df-oml 36967  df-covers 37054  df-ats 37055  df-atl 37086  df-cvlat 37110  df-hlat 37139  df-psubsp 37291  df-pmap 37292  df-padd 37584  df-polarityN 37691
This theorem is referenced by:  osumcllem2N  37745  osumcllem9N  37752
  Copyright terms: Public domain W3C validator