Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  osumcllem1N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem osumcllem1N 36960
Description: Lemma for osumclN 36971. (Contributed by NM, 25-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
osumcllem.l = (le‘𝐾)
osumcllem.j = (join‘𝐾)
osumcllem.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
osumcllem.p + = (+𝑃𝐾)
osumcllem.o = (⊥𝑃𝐾)
osumcllem.c 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
osumcllem.m 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})
osumcllem.u 𝑈 = ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌)))
Assertion
Ref Expression
osumcllem1N (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑝𝑈) → (𝑈𝑀) = 𝑀)

Proof of Theorem osumcllem1N
StepHypRef Expression
1 osumcllem.m . . 3 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})
2 osumcllem.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3 osumcllem.p . . . . . . 7 + = (+𝑃𝐾)
42, 3sspadd1 36819 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → 𝑋 ⊆ (𝑋 + 𝑌))
54adantr 481 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑝𝑈) → 𝑋 ⊆ (𝑋 + 𝑌))
6 simpl1 1185 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑝𝑈) → 𝐾 ∈ HL)
72, 3paddssat 36818 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝐴)
87adantr 481 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑝𝑈) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝐴)
9 osumcllem.o . . . . . . . 8 = (⊥𝑃𝐾)
102, 92polssN 36919 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝐴) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))))
116, 8, 10syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑝𝑈) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))))
12 osumcllem.u . . . . . 6 𝑈 = ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌)))
1311, 12sseqtrrdi 4021 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑝𝑈) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝑈)
145, 13sstrd 3980 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑝𝑈) → 𝑋𝑈)
15 simpr 485 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑝𝑈) → 𝑝𝑈)
1615snssd 4740 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑝𝑈) → {𝑝} ⊆ 𝑈)
17 simpl2 1186 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑝𝑈) → 𝑋𝐴)
182, 9polssatN 36912 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝐴) → ( ‘(𝑋 + 𝑌)) ⊆ 𝐴)
196, 8, 18syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑝𝑈) → ( ‘(𝑋 + 𝑌)) ⊆ 𝐴)
202, 9polssatN 36912 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ ( ‘(𝑋 + 𝑌)) ⊆ 𝐴) → ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))) ⊆ 𝐴)
216, 19, 20syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑝𝑈) → ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))) ⊆ 𝐴)
2212, 21eqsstrid 4018 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑝𝑈) → 𝑈𝐴)
2316, 22sstrd 3980 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑝𝑈) → {𝑝} ⊆ 𝐴)
24 eqid 2824 . . . . . . . 8 (PSubSp‘𝐾) = (PSubSp‘𝐾)
252, 24, 9polsubN 36911 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ ( ‘(𝑋 + 𝑌)) ⊆ 𝐴) → ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))) ∈ (PSubSp‘𝐾))
266, 19, 25syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑝𝑈) → ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))) ∈ (PSubSp‘𝐾))
2712, 26eqeltrid 2921 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑝𝑈) → 𝑈 ∈ (PSubSp‘𝐾))
282, 24, 3paddss 36849 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴 ∧ {𝑝} ⊆ 𝐴𝑈 ∈ (PSubSp‘𝐾))) → ((𝑋𝑈 ∧ {𝑝} ⊆ 𝑈) ↔ (𝑋 + {𝑝}) ⊆ 𝑈))
296, 17, 23, 27, 28syl13anc 1366 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑝𝑈) → ((𝑋𝑈 ∧ {𝑝} ⊆ 𝑈) ↔ (𝑋 + {𝑝}) ⊆ 𝑈))
3014, 16, 29mpbi2and 708 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑝𝑈) → (𝑋 + {𝑝}) ⊆ 𝑈)
311, 30eqsstrid 4018 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑝𝑈) → 𝑀𝑈)
32 sseqin2 4195 . 2 (𝑀𝑈 ↔ (𝑈𝑀) = 𝑀)
3331, 32sylib 219 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑝𝑈) → (𝑈𝑀) = 𝑀)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2106  cin 3938  wss 3939  {csn 4563  cfv 6351  (class class class)co 7151  lecple 16564  joincjn 17546  Atomscatm 36267  HLchlt 36354  PSubSpcpsubsp 36500  +𝑃cpadd 36799  𝑃cpolN 36906  PSubClcpscN 36938
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2152  ax-12 2167  ax-ext 2796  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-riotaBAD 35957
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2615  df-eu 2649  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-op 4570  df-uni 4837  df-iun 4918  df-iin 4919  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-id 5458  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-undef 7933  df-proset 17530  df-poset 17548  df-plt 17560  df-lub 17576  df-glb 17577  df-join 17578  df-meet 17579  df-p0 17641  df-p1 17642  df-lat 17648  df-clat 17710  df-oposet 36180  df-ol 36182  df-oml 36183  df-covers 36270  df-ats 36271  df-atl 36302  df-cvlat 36326  df-hlat 36355  df-psubsp 36507  df-pmap 36508  df-padd 36800  df-polarityN 36907
This theorem is referenced by:  osumcllem2N  36961  osumcllem9N  36968
  Copyright terms: Public domain W3C validator