Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  osumcllem1N Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem osumcllem1N 38827
Description: Lemma for osumclN 38838. (Contributed by NM, 25-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
osumcllem.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
osumcllem.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
osumcllem.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
osumcllem.p + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
osumcllem.o βŠ₯ = (βŠ₯π‘ƒβ€˜πΎ)
osumcllem.c 𝐢 = (PSubClβ€˜πΎ)
osumcllem.m 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})
osumcllem.u π‘ˆ = ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(𝑋 + π‘Œ)))
Assertion
Ref Expression
osumcllem1N (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘ˆ ∩ 𝑀) = 𝑀)
Proof of Theorem osumcllem1N
StepHypRef Expression
1 osumcllem.m . . 3 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})
2 osumcllem.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
3 osumcllem.p . . . . . . 7 + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
42, 3sspadd1 38686 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) β†’ 𝑋 βŠ† (𝑋 + π‘Œ))
54adantr 482 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑋 βŠ† (𝑋 + π‘Œ))
6 simpl1 1192 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐾 ∈ HL)
72, 3paddssat 38685 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) β†’ (𝑋 + π‘Œ) βŠ† 𝐴)
87adantr 482 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋 + π‘Œ) βŠ† 𝐴)
9 osumcllem.o . . . . . . . 8 βŠ₯ = (βŠ₯π‘ƒβ€˜πΎ)
102, 92polssN 38786 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 + π‘Œ) βŠ† 𝐴) β†’ (𝑋 + π‘Œ) βŠ† ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(𝑋 + π‘Œ))))
116, 8, 10syl2anc 585 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋 + π‘Œ) βŠ† ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(𝑋 + π‘Œ))))
12 osumcllem.u . . . . . 6 π‘ˆ = ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(𝑋 + π‘Œ)))
1311, 12sseqtrrdi 4034 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋 + π‘Œ) βŠ† π‘ˆ)
145, 13sstrd 3993 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑋 βŠ† π‘ˆ)
15 simpr 486 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑝 ∈ π‘ˆ)
1615snssd 4813 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) β†’ {𝑝} βŠ† π‘ˆ)
17 simpl2 1193 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑋 βŠ† 𝐴)
182, 9polssatN 38779 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 + π‘Œ) βŠ† 𝐴) β†’ ( βŠ₯ β€˜(𝑋 + π‘Œ)) βŠ† 𝐴)
196, 8, 18syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) β†’ ( βŠ₯ β€˜(𝑋 + π‘Œ)) βŠ† 𝐴)
202, 9polssatN 38779 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ ( βŠ₯ β€˜(𝑋 + π‘Œ)) βŠ† 𝐴) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(𝑋 + π‘Œ))) βŠ† 𝐴)
216, 19, 20syl2anc 585 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(𝑋 + π‘Œ))) βŠ† 𝐴)
2212, 21eqsstrid 4031 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) β†’ π‘ˆ βŠ† 𝐴)
2316, 22sstrd 3993 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) β†’ {𝑝} βŠ† 𝐴)
24 eqid 2733 . . . . . . . 8 (PSubSpβ€˜πΎ) = (PSubSpβ€˜πΎ)
252, 24, 9polsubN 38778 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ ( βŠ₯ β€˜(𝑋 + π‘Œ)) βŠ† 𝐴) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(𝑋 + π‘Œ))) ∈ (PSubSpβ€˜πΎ))
266, 19, 25syl2anc 585 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(𝑋 + π‘Œ))) ∈ (PSubSpβ€˜πΎ))
2712, 26eqeltrid 2838 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) β†’ π‘ˆ ∈ (PSubSpβ€˜πΎ))
282, 24, 3paddss 38716 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ {𝑝} βŠ† 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ (PSubSpβ€˜πΎ))) β†’ ((𝑋 βŠ† π‘ˆ ∧ {𝑝} βŠ† π‘ˆ) ↔ (𝑋 + {𝑝}) βŠ† π‘ˆ))
296, 17, 23, 27, 28syl13anc 1373 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) β†’ ((𝑋 βŠ† π‘ˆ ∧ {𝑝} βŠ† π‘ˆ) ↔ (𝑋 + {𝑝}) βŠ† π‘ˆ))
3014, 16, 29mpbi2and 711 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋 + {𝑝}) βŠ† π‘ˆ)
311, 30eqsstrid 4031 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑀 βŠ† π‘ˆ)
32 sseqin2 4216 . 2 (𝑀 βŠ† π‘ˆ ↔ (π‘ˆ ∩ 𝑀) = 𝑀)
3331, 32sylib 217 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘ˆ ∩ 𝑀) = 𝑀)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  {csn 4629  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  lecple 17204  joincjn 18264  Atomscatm 38133  HLchlt 38220  PSubSpcpsubsp 38367  +𝑃cpadd 38666  βŠ₯𝑃cpolN 38773  PSubClcpscN 38805
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-proset 18248  df-poset 18266  df-plt 18283  df-lub 18299  df-glb 18300  df-join 18301  df-meet 18302  df-p0 18378  df-p1 18379  df-lat 18385  df-clat 18452  df-oposet 38046  df-ol 38048  df-oml 38049  df-covers 38136  df-ats 38137  df-atl 38168  df-cvlat 38192  df-hlat 38221  df-psubsp 38374  df-pmap 38375  df-padd 38667  df-polarityN 38774
This theorem is referenced by:  osumcllem2N  38828  osumcllem9N  38835
  Copyright terms: Public domain W3C validator