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Theorem osumcllem1N 38815
Description: Lemma for osumclN 38826. (Contributed by NM, 25-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
osumcllem.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
osumcllem.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
osumcllem.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
osumcllem.p + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
osumcllem.o βŠ₯ = (βŠ₯π‘ƒβ€˜πΎ)
osumcllem.c 𝐢 = (PSubClβ€˜πΎ)
osumcllem.m 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})
osumcllem.u π‘ˆ = ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(𝑋 + π‘Œ)))
Assertion
Ref Expression
osumcllem1N (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘ˆ ∩ 𝑀) = 𝑀)
Proof of Theorem osumcllem1N
StepHypRef Expression
1 osumcllem.m . . 3 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})
2 osumcllem.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
3 osumcllem.p . . . . . . 7 + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
42, 3sspadd1 38674 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) β†’ 𝑋 βŠ† (𝑋 + π‘Œ))
54adantr 481 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑋 βŠ† (𝑋 + π‘Œ))
6 simpl1 1191 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐾 ∈ HL)
72, 3paddssat 38673 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) β†’ (𝑋 + π‘Œ) βŠ† 𝐴)
87adantr 481 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋 + π‘Œ) βŠ† 𝐴)
9 osumcllem.o . . . . . . . 8 βŠ₯ = (βŠ₯π‘ƒβ€˜πΎ)
102, 92polssN 38774 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 + π‘Œ) βŠ† 𝐴) β†’ (𝑋 + π‘Œ) βŠ† ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(𝑋 + π‘Œ))))
116, 8, 10syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋 + π‘Œ) βŠ† ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(𝑋 + π‘Œ))))
12 osumcllem.u . . . . . 6 π‘ˆ = ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(𝑋 + π‘Œ)))
1311, 12sseqtrrdi 4032 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋 + π‘Œ) βŠ† π‘ˆ)
145, 13sstrd 3991 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑋 βŠ† π‘ˆ)
15 simpr 485 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑝 ∈ π‘ˆ)
1615snssd 4811 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) β†’ {𝑝} βŠ† π‘ˆ)
17 simpl2 1192 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑋 βŠ† 𝐴)
182, 9polssatN 38767 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 + π‘Œ) βŠ† 𝐴) β†’ ( βŠ₯ β€˜(𝑋 + π‘Œ)) βŠ† 𝐴)
196, 8, 18syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) β†’ ( βŠ₯ β€˜(𝑋 + π‘Œ)) βŠ† 𝐴)
202, 9polssatN 38767 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ ( βŠ₯ β€˜(𝑋 + π‘Œ)) βŠ† 𝐴) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(𝑋 + π‘Œ))) βŠ† 𝐴)
216, 19, 20syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(𝑋 + π‘Œ))) βŠ† 𝐴)
2212, 21eqsstrid 4029 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) β†’ π‘ˆ βŠ† 𝐴)
2316, 22sstrd 3991 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) β†’ {𝑝} βŠ† 𝐴)
24 eqid 2732 . . . . . . . 8 (PSubSpβ€˜πΎ) = (PSubSpβ€˜πΎ)
252, 24, 9polsubN 38766 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ ( βŠ₯ β€˜(𝑋 + π‘Œ)) βŠ† 𝐴) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(𝑋 + π‘Œ))) ∈ (PSubSpβ€˜πΎ))
266, 19, 25syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(𝑋 + π‘Œ))) ∈ (PSubSpβ€˜πΎ))
2712, 26eqeltrid 2837 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) β†’ π‘ˆ ∈ (PSubSpβ€˜πΎ))
282, 24, 3paddss 38704 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ {𝑝} βŠ† 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ (PSubSpβ€˜πΎ))) β†’ ((𝑋 βŠ† π‘ˆ ∧ {𝑝} βŠ† π‘ˆ) ↔ (𝑋 + {𝑝}) βŠ† π‘ˆ))
296, 17, 23, 27, 28syl13anc 1372 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) β†’ ((𝑋 βŠ† π‘ˆ ∧ {𝑝} βŠ† π‘ˆ) ↔ (𝑋 + {𝑝}) βŠ† π‘ˆ))
3014, 16, 29mpbi2and 710 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋 + {𝑝}) βŠ† π‘ˆ)
311, 30eqsstrid 4029 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑀 βŠ† π‘ˆ)
32 sseqin2 4214 . 2 (𝑀 βŠ† π‘ˆ ↔ (π‘ˆ ∩ 𝑀) = 𝑀)
3331, 32sylib 217 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘ˆ ∩ 𝑀) = 𝑀)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  {csn 4627  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  lecple 17200  joincjn 18260  Atomscatm 38121  HLchlt 38208  PSubSpcpsubsp 38355  +𝑃cpadd 38654  βŠ₯𝑃cpolN 38761  PSubClcpscN 38793
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-proset 18244  df-poset 18262  df-plt 18279  df-lub 18295  df-glb 18296  df-join 18297  df-meet 18298  df-p0 18374  df-p1 18375  df-lat 18381  df-clat 18448  df-oposet 38034  df-ol 38036  df-oml 38037  df-covers 38124  df-ats 38125  df-atl 38156  df-cvlat 38180  df-hlat 38209  df-psubsp 38362  df-pmap 38363  df-padd 38655  df-polarityN 38762
This theorem is referenced by:  osumcllem2N  38816  osumcllem9N  38823
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