Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  osumcllem1N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem osumcllem1N 35969
Description: Lemma for osumclN 35980. (Contributed by NM, 25-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
osumcllem.l = (le‘𝐾)
osumcllem.j = (join‘𝐾)
osumcllem.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
osumcllem.p + = (+𝑃𝐾)
osumcllem.o = (⊥𝑃𝐾)
osumcllem.c 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
osumcllem.m 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})
osumcllem.u 𝑈 = ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌)))
Assertion
Ref Expression
osumcllem1N (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑝𝑈) → (𝑈𝑀) = 𝑀)

Proof of Theorem osumcllem1N
StepHypRef Expression
1 osumcllem.m . . 3 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})
2 osumcllem.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3 osumcllem.p . . . . . . 7 + = (+𝑃𝐾)
42, 3sspadd1 35828 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → 𝑋 ⊆ (𝑋 + 𝑌))
54adantr 473 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑝𝑈) → 𝑋 ⊆ (𝑋 + 𝑌))
6 simpl1 1243 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑝𝑈) → 𝐾 ∈ HL)
72, 3paddssat 35827 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝐴)
87adantr 473 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑝𝑈) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝐴)
9 osumcllem.o . . . . . . . 8 = (⊥𝑃𝐾)
102, 92polssN 35928 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝐴) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))))
116, 8, 10syl2anc 580 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑝𝑈) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))))
12 osumcllem.u . . . . . 6 𝑈 = ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌)))
1311, 12syl6sseqr 3846 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑝𝑈) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝑈)
145, 13sstrd 3806 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑝𝑈) → 𝑋𝑈)
15 simpr 478 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑝𝑈) → 𝑝𝑈)
1615snssd 4526 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑝𝑈) → {𝑝} ⊆ 𝑈)
17 simpl2 1245 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑝𝑈) → 𝑋𝐴)
182, 9polssatN 35921 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝐴) → ( ‘(𝑋 + 𝑌)) ⊆ 𝐴)
196, 8, 18syl2anc 580 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑝𝑈) → ( ‘(𝑋 + 𝑌)) ⊆ 𝐴)
202, 9polssatN 35921 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ ( ‘(𝑋 + 𝑌)) ⊆ 𝐴) → ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))) ⊆ 𝐴)
216, 19, 20syl2anc 580 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑝𝑈) → ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))) ⊆ 𝐴)
2212, 21syl5eqss 3843 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑝𝑈) → 𝑈𝐴)
2316, 22sstrd 3806 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑝𝑈) → {𝑝} ⊆ 𝐴)
24 eqid 2797 . . . . . . . 8 (PSubSp‘𝐾) = (PSubSp‘𝐾)
252, 24, 9polsubN 35920 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ ( ‘(𝑋 + 𝑌)) ⊆ 𝐴) → ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))) ∈ (PSubSp‘𝐾))
266, 19, 25syl2anc 580 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑝𝑈) → ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))) ∈ (PSubSp‘𝐾))
2712, 26syl5eqel 2880 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑝𝑈) → 𝑈 ∈ (PSubSp‘𝐾))
282, 24, 3paddss 35858 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴 ∧ {𝑝} ⊆ 𝐴𝑈 ∈ (PSubSp‘𝐾))) → ((𝑋𝑈 ∧ {𝑝} ⊆ 𝑈) ↔ (𝑋 + {𝑝}) ⊆ 𝑈))
296, 17, 23, 27, 28syl13anc 1492 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑝𝑈) → ((𝑋𝑈 ∧ {𝑝} ⊆ 𝑈) ↔ (𝑋 + {𝑝}) ⊆ 𝑈))
3014, 16, 29mpbi2and 704 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑝𝑈) → (𝑋 + {𝑝}) ⊆ 𝑈)
311, 30syl5eqss 3843 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑝𝑈) → 𝑀𝑈)
32 sseqin2 4013 . 2 (𝑀𝑈 ↔ (𝑈𝑀) = 𝑀)
3331, 32sylib 210 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑝𝑈) → (𝑈𝑀) = 𝑀)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 385  w3a 1108   = wceq 1653  wcel 2157  cin 3766  wss 3767  {csn 4366  cfv 6099  (class class class)co 6876  lecple 16271  joincjn 17256  Atomscatm 35276  HLchlt 35363  PSubSpcpsubsp 35509  +𝑃cpadd 35808  𝑃cpolN 35915  PSubClcpscN 35947
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2354  ax-ext 2775  ax-rep 4962  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181  ax-riotaBAD 34966
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-nel 3073  df-ral 3092  df-rex 3093  df-reu 3094  df-rmo 3095  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-op 4373  df-uni 4627  df-iun 4710  df-iin 4711  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-id 5218  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-res 5322  df-ima 5323  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-riota 6837  df-ov 6879  df-oprab 6880  df-mpt2 6881  df-1st 7399  df-2nd 7400  df-undef 7635  df-proset 17240  df-poset 17258  df-plt 17270  df-lub 17286  df-glb 17287  df-join 17288  df-meet 17289  df-p0 17351  df-p1 17352  df-lat 17358  df-clat 17420  df-oposet 35189  df-ol 35191  df-oml 35192  df-covers 35279  df-ats 35280  df-atl 35311  df-cvlat 35335  df-hlat 35364  df-psubsp 35516  df-pmap 35517  df-padd 35809  df-polarityN 35916
This theorem is referenced by:  osumcllem2N  35970  osumcllem9N  35977
  Copyright terms: Public domain W3C validator