Theorem pcovalg 25360

Description: Evaluate the concatenation of two paths. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
pcoval.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
pcoval.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))

Assertion

Ref	Expression
pcovalg	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺)‘𝑋) = if(𝑋 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑋)), (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1))))

Proof of Theorem pcovalg

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pcoval.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
2		pcoval.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
3	1, 2	pcoval 25359	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))))
4	3	fveq1d 6907	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺)‘𝑋) = ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))))‘𝑋))
5		breq1 5109	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 ≤ (1 / 2) ↔ 𝑋 ≤ (1 / 2)))
6		oveq2 7448	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (2 · 𝑥) = (2 · 𝑋))
7	6	fveq2d 6909	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐹‘(2 · 𝑥)) = (𝐹‘(2 · 𝑋)))
8	6	fvoveq1d 7462	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)) = (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1)))
9	5, 7, 8	ifbieq12d 4514	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))) = if(𝑋 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑋)), (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1))))
10		eqid 2763	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))))
11		fvex 6918	. . . 4 ⊢ (𝐹‘(2 · 𝑋)) ∈ V
12		fvex 6918	. . . 4 ⊢ (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1)) ∈ V
13	11, 12	ifex 4536	. . 3 ⊢ if(𝑋 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑋)), (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1))) ∈ V
14	9, 10, 13	fvmpt 7013	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ (0[,]1) → ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))))‘𝑋) = if(𝑋 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑋)), (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1))))
15	4, 14	sylan9eq 2818	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺)‘𝑋) = if(𝑋 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑋)), (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ifcif 4485   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  0cc0 11224  1c1 11225   · cmul 11229   ≤ cle 11368   − cmin 11565   / cdiv 11997  2c2 12421  [,]cicc 13503   Cn ccn 23569  IIcii 25223  *_𝑝cpco 25348

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-map 8874  df-top 23239  df-topon 23256  df-cn 23572  df-pco 25353

This theorem is used by:  pcoval1  25361  pcoval2  25364  pcohtpylem  25367