Theorem pcovalg 24175

Description: Evaluate the concatenation of two paths. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
pcoval.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
pcoval.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))

Assertion

Ref	Expression
pcovalg	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺)‘𝑋) = if(𝑋 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑋)), (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1))))

Proof of Theorem pcovalg

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pcoval.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
2		pcoval.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
3	1, 2	pcoval 24174	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))))
4	3	fveq1d 6776	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺)‘𝑋) = ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))))‘𝑋))
5		breq1 5077	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 ≤ (1 / 2) ↔ 𝑋 ≤ (1 / 2)))
6		oveq2 7283	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (2 · 𝑥) = (2 · 𝑋))
7	6	fveq2d 6778	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐹‘(2 · 𝑥)) = (𝐹‘(2 · 𝑋)))
8	6	fvoveq1d 7297	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)) = (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1)))
9	5, 7, 8	ifbieq12d 4487	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))) = if(𝑋 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑋)), (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1))))
10		eqid 2738	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))))
11		fvex 6787	. . . 4 ⊢ (𝐹‘(2 · 𝑋)) ∈ V
12		fvex 6787	. . . 4 ⊢ (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1)) ∈ V
13	11, 12	ifex 4509	. . 3 ⊢ if(𝑋 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑋)), (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1))) ∈ V
14	9, 10, 13	fvmpt 6875	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ (0[,]1) → ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))))‘𝑋) = if(𝑋 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑋)), (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1))))
15	4, 14	sylan9eq 2798	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺)‘𝑋) = if(𝑋 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑋)), (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ifcif 4459   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5157  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  0cc0 10871  1c1 10872   · cmul 10876   ≤ cle 11010   − cmin 11205   / cdiv 11632  2c2 12028  [,]cicc 13082   Cn ccn 22375  IIcii 24038  *_𝑝cpco 24163

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-map 8617  df-top 22043  df-topon 22060  df-cn 22378  df-pco 24168

This theorem is referenced by:  pcoval1  24176  pcoval2  24179  pcohtpylem  24182