Theorem pcovalg 25140

Description: Evaluate the concatenation of two paths. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
pcoval.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
pcoval.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))

Assertion

Ref	Expression
pcovalg	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺)‘𝑋) = if(𝑋 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑋)), (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1))))

Proof of Theorem pcovalg

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pcoval.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
2		pcoval.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
3	1, 2	pcoval 25139	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))))
4	3	fveq1d 6884	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺)‘𝑋) = ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))))‘𝑋))
5		breq1 5116	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 ≤ (1 / 2) ↔ 𝑋 ≤ (1 / 2)))
6		oveq2 7419	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (2 · 𝑥) = (2 · 𝑋))
7	6	fveq2d 6886	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐹‘(2 · 𝑥)) = (𝐹‘(2 · 𝑋)))
8	6	fvoveq1d 7433	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)) = (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1)))
9	5, 7, 8	ifbieq12d 4521	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))) = if(𝑋 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑋)), (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1))))
10		eqid 2769	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))))
11		fvex 6895	. . . 4 ⊢ (𝐹‘(2 · 𝑋)) ∈ V
12		fvex 6895	. . . 4 ⊢ (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1)) ∈ V
13	11, 12	ifex 4543	. . 3 ⊢ if(𝑋 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑋)), (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1))) ∈ V
14	9, 10, 13	fvmpt 6990	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ (0[,]1) → ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))))‘𝑋) = if(𝑋 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑋)), (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1))))
15	4, 14	sylan9eq 2824	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺)‘𝑋) = if(𝑋 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑋)), (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ifcif 4492   class class class wbr 5113   ↦ cmpt 5196  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  0cc0 11100  1c1 11101   · cmul 11105   ≤ cle 11244   − cmin 11441   / cdiv 11871  2c2 12295  [,]cicc 13375   Cn ccn 23350  IIcii 25003  *_𝑝cpco 25128

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-map 8826  df-top 23020  df-topon 23037  df-cn 23353  df-pco 25133

This theorem is referenced by:  pcoval1  25141  pcoval2  25144  pcohtpylem  25147