MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcoval1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcoval1 25046
Description: Evaluate the concatenation of two paths on the first half. (Contributed by Jeff Madsen, 15-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pcoval.2 (𝜑𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
pcoval.3 (𝜑𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
Assertion
Ref Expression
pcoval1 ((𝜑𝑋 ∈ (0[,](1 / 2))) → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘𝑋) = (𝐹‘(2 · 𝑋)))

Proof of Theorem pcoval1
StepHypRef Expression
1 0re 11263 . . . . 5 0 ∈ ℝ
2 1re 11261 . . . . 5 1 ∈ ℝ
3 0le0 12367 . . . . 5 0 ≤ 0
4 halfre 12480 . . . . . 6 (1 / 2) ∈ ℝ
5 halflt1 12484 . . . . . 6 (1 / 2) < 1
64, 2, 5ltleii 11384 . . . . 5 (1 / 2) ≤ 1
7 iccss 13455 . . . . 5 (((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 0 ∧ (1 / 2) ≤ 1)) → (0[,](1 / 2)) ⊆ (0[,]1))
81, 2, 3, 6, 7mp4an 693 . . . 4 (0[,](1 / 2)) ⊆ (0[,]1)
98sseli 3979 . . 3 (𝑋 ∈ (0[,](1 / 2)) → 𝑋 ∈ (0[,]1))
10 pcoval.2 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
11 pcoval.3 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
1210, 11pcovalg 25045 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘𝑋) = if(𝑋 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑋)), (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1))))
139, 12sylan2 593 . 2 ((𝜑𝑋 ∈ (0[,](1 / 2))) → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘𝑋) = if(𝑋 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑋)), (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1))))
14 elii1 24964 . . . . 5 (𝑋 ∈ (0[,](1 / 2)) ↔ (𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2)))
1514simprbi 496 . . . 4 (𝑋 ∈ (0[,](1 / 2)) → 𝑋 ≤ (1 / 2))
1615iftrued 4533 . . 3 (𝑋 ∈ (0[,](1 / 2)) → if(𝑋 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑋)), (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1))) = (𝐹‘(2 · 𝑋)))
1716adantl 481 . 2 ((𝜑𝑋 ∈ (0[,](1 / 2))) → if(𝑋 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑋)), (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1))) = (𝐹‘(2 · 𝑋)))
1813, 17eqtrd 2777 1 ((𝜑𝑋 ∈ (0[,](1 / 2))) → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘𝑋) = (𝐹‘(2 · 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wss 3951  ifcif 4525   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   · cmul 11160  cle 11296  cmin 11492   / cdiv 11920  2c2 12321  [,]cicc 13390   Cn ccn 23232  IIcii 24901  *𝑝cpco 25033
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-2 12329  df-icc 13394  df-top 22900  df-topon 22917  df-cn 23235  df-pco 25038
This theorem is referenced by:  pco0  25047  pcoass  25057  pcorevlem  25059
  Copyright terms: Public domain W3C validator