Theorem pcoval1 24994

Description: Evaluate the concatenation of two paths on the first half. (Contributed by Jeff Madsen, 15-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
pcoval.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
pcoval.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))

Assertion

Ref	Expression
pcoval1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0[,](1 / 2))) → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺)‘𝑋) = (𝐹‘(2 · 𝑋)))

Proof of Theorem pcoval1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11141	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		1re 11139	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		0le0 12277	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 0
4		halfre 12385	. . . . . 6 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
5		halflt1 12389	. . . . . 6 ⊢ (1 / 2) < 1
6	4, 2, 5	ltleii 11264	. . . . 5 ⊢ (1 / 2) ≤ 1
7		iccss 13362	. . . . 5 ⊢ (((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 0 ∧ (1 / 2) ≤ 1)) → (0[,](1 / 2)) ⊆ (0[,]1))
8	1, 2, 3, 6, 7	mp4an 694	. . . 4 ⊢ (0[,](1 / 2)) ⊆ (0[,]1)
9	8	sseli 3918	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (0[,](1 / 2)) → 𝑋 ∈ (0[,]1))
10		pcoval.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
11		pcoval.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
12	10, 11	pcovalg 24993	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺)‘𝑋) = if(𝑋 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑋)), (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1))))
13	9, 12	sylan2 594	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0[,](1 / 2))) → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺)‘𝑋) = if(𝑋 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑋)), (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1))))
14		elii1 24916	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (0[,](1 / 2)) ↔ (𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2)))
15	14	simprbi 497	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (0[,](1 / 2)) → 𝑋 ≤ (1 / 2))
16	15	iftrued 4475	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (0[,](1 / 2)) → if(𝑋 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑋)), (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1))) = (𝐹‘(2 · 𝑋)))
17	16	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0[,](1 / 2))) → if(𝑋 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑋)), (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1))) = (𝐹‘(2 · 𝑋)))
18	13, 17	eqtrd 2772	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0[,](1 / 2))) → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺)‘𝑋) = (𝐹‘(2 · 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3890  ifcif 4467   class class class wbr 5086  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362  ℝcr 11032  0cc0 11033  1c1 11034   · cmul 11038   ≤ cle 11175   − cmin 11372   / cdiv 11802  2c2 12231  [,]cicc 13296   Cn ccn 23203  IIcii 24856  *_𝑝cpco 24981

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7813  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-er 8638  df-map 8770  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-icc 13300  df-top 22873  df-topon 22890  df-cn 23206  df-pco 24986

This theorem is referenced by:  pco0  24995  pcoass  25005  pcorevlem  25007