Theorem pcoval1 25181

Description: Evaluate the concatenation of two paths on the first half. (Contributed by Jeff Madsen, 15-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
pcoval.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
pcoval.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))

Assertion

Ref	Expression
pcoval1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0[,](1 / 2))) → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺)‘𝑋) = (𝐹‘(2 · 𝑋)))

Proof of Theorem pcoval1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11214	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		1re 11212	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		0le0 12346	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 0
4		halfre 12461	. . . . . 6 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
5		halflt1 12465	. . . . . 6 ⊢ (1 / 2) < 1
6	4, 2, 5	ltleii 11337	. . . . 5 ⊢ (1 / 2) ≤ 1
7		iccss 13445	. . . . 5 ⊢ (((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 0 ∧ (1 / 2) ≤ 1)) → (0[,](1 / 2)) ⊆ (0[,]1))
8	1, 2, 3, 6, 7	mp4an 705	. . . 4 ⊢ (0[,](1 / 2)) ⊆ (0[,]1)
9	8	sseli 3933	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (0[,](1 / 2)) → 𝑋 ∈ (0[,]1))
10		pcoval.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
11		pcoval.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
12	10, 11	pcovalg 25180	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺)‘𝑋) = if(𝑋 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑋)), (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1))))
13	9, 12	sylan2 604	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0[,](1 / 2))) → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺)‘𝑋) = if(𝑋 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑋)), (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1))))
14		elii1 25103	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (0[,](1 / 2)) ↔ (𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2)))
15	14	simprbi 502	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (0[,](1 / 2)) → 𝑋 ≤ (1 / 2))
16	15	iftrued 4495	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (0[,](1 / 2)) → if(𝑋 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑋)), (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1))) = (𝐹‘(2 · 𝑋)))
17	16	adantl 486	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0[,](1 / 2))) → if(𝑋 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑋)), (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1))) = (𝐹‘(2 · 𝑋)))
18	13, 17	eqtrd 2798	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0[,](1 / 2))) → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺)‘𝑋) = (𝐹‘(2 · 𝑋)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ⊆ wss 3905  ifcif 4487   class class class wbr 5109  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℝcr 11103  0cc0 11104  1c1 11105   · cmul 11109   ≤ cle 11248   − cmin 11445   / cdiv 11875  2c2 12299  [,]cicc 13379   Cn ccn 23390  IIcii 25043  *_𝑝cpco 25168

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11876  df-nn 12238  df-2 12307  df-icc 13383  df-top 23060  df-topon 23077  df-cn 23393  df-pco 25173

This theorem is used by:  pco0  25182  pcoass  25192  pcorevlem  25194