Theorem pcoval1 24082

Description: Evaluate the concatenation of two paths on the first half. (Contributed by Jeff Madsen, 15-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
pcoval.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
pcoval.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))

Assertion

Ref	Expression
pcoval1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0[,](1 / 2))) → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺)‘𝑋) = (𝐹‘(2 · 𝑋)))

Proof of Theorem pcoval1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 10908	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		1re 10906	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		0le0 12004	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 0
4		halfre 12117	. . . . . 6 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
5		halflt1 12121	. . . . . 6 ⊢ (1 / 2) < 1
6	4, 2, 5	ltleii 11028	. . . . 5 ⊢ (1 / 2) ≤ 1
7		iccss 13076	. . . . 5 ⊢ (((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 0 ∧ (1 / 2) ≤ 1)) → (0[,](1 / 2)) ⊆ (0[,]1))
8	1, 2, 3, 6, 7	mp4an 689	. . . 4 ⊢ (0[,](1 / 2)) ⊆ (0[,]1)
9	8	sseli 3913	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (0[,](1 / 2)) → 𝑋 ∈ (0[,]1))
10		pcoval.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
11		pcoval.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
12	10, 11	pcovalg 24081	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺)‘𝑋) = if(𝑋 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑋)), (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1))))
13	9, 12	sylan2 592	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0[,](1 / 2))) → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺)‘𝑋) = if(𝑋 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑋)), (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1))))
14		elii1 24004	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (0[,](1 / 2)) ↔ (𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2)))
15	14	simprbi 496	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (0[,](1 / 2)) → 𝑋 ≤ (1 / 2))
16	15	iftrued 4464	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (0[,](1 / 2)) → if(𝑋 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑋)), (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1))) = (𝐹‘(2 · 𝑋)))
17	16	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0[,](1 / 2))) → if(𝑋 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑋)), (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1))) = (𝐹‘(2 · 𝑋)))
18	13, 17	eqtrd 2778	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0[,](1 / 2))) → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺)‘𝑋) = (𝐹‘(2 · 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3883  ifcif 4456   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803   · cmul 10807   ≤ cle 10941   − cmin 11135   / cdiv 11562  2c2 11958  [,]cicc 13011   Cn ccn 22283  IIcii 23944  *_𝑝cpco 24069

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-2 11966  df-icc 13015  df-top 21951  df-topon 21968  df-cn 22286  df-pco 24074

This theorem is referenced by:  pco0  24083  pcoass  24093  pcorevlem  24095