MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcohtpylem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcohtpylem 24535
Description: Lemma for pcohtpy 24536. (Contributed by Jeff Madsen, 15-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pcohtpy.4 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜1) = (πΊβ€˜0))
pcohtpy.5 (πœ‘ β†’ 𝐹( ≃phβ€˜π½)𝐻)
pcohtpy.6 (πœ‘ β†’ 𝐺( ≃phβ€˜π½)𝐾)
pcohtpylem.7 𝑃 = (π‘₯ ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), ((2 Β· π‘₯)𝑀𝑦), (((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1)𝑁𝑦)))
pcohtpylem.8 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (𝐹(PHtpyβ€˜π½)𝐻))
pcohtpylem.9 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (𝐺(PHtpyβ€˜π½)𝐾))
Assertion
Ref Expression
pcohtpylem (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ ((𝐹(*π‘β€˜π½)𝐺)(PHtpyβ€˜π½)(𝐻(*π‘β€˜π½)𝐾)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐹   π‘₯,𝑀,𝑦   π‘₯,𝑁,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦   π‘₯,𝐺,𝑦   π‘₯,𝐻,𝑦   π‘₯,𝐽,𝑦   π‘₯,𝐾,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑃(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem pcohtpylem
Dummy variables 𝑠 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pcohtpy.5 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹( ≃phβ€˜π½)𝐻)
2 isphtpc 24510 . . . . 5 (𝐹( ≃phβ€˜π½)𝐻 ↔ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝐻 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹(PHtpyβ€˜π½)𝐻) β‰  βˆ…))
31, 2sylib 217 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝐻 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹(PHtpyβ€˜π½)𝐻) β‰  βˆ…))
43simp1d 1143 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
5 pcohtpy.6 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺( ≃phβ€˜π½)𝐾)
6 isphtpc 24510 . . . . 5 (𝐺( ≃phβ€˜π½)𝐾 ↔ (𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝐾 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐺(PHtpyβ€˜π½)𝐾) β‰  βˆ…))
75, 6sylib 217 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝐾 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐺(PHtpyβ€˜π½)𝐾) β‰  βˆ…))
87simp1d 1143 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
9 pcohtpy.4 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜1) = (πΊβ€˜0))
104, 8, 9pcocn 24533 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹(*π‘β€˜π½)𝐺) ∈ (II Cn 𝐽))
113simp2d 1144 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ (II Cn 𝐽))
127simp2d 1144 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (II Cn 𝐽))
13 pcohtpylem.8 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (𝐹(PHtpyβ€˜π½)𝐻))
144, 11, 13phtpy01 24501 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜0) = (π»β€˜0) ∧ (πΉβ€˜1) = (π»β€˜1)))
1514simprd 497 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜1) = (π»β€˜1))
16 pcohtpylem.9 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (𝐺(PHtpyβ€˜π½)𝐾))
178, 12, 16phtpy01 24501 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((πΊβ€˜0) = (πΎβ€˜0) ∧ (πΊβ€˜1) = (πΎβ€˜1)))
1817simpld 496 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜0) = (πΎβ€˜0))
199, 15, 183eqtr3d 2781 . . 3 (πœ‘ β†’ (π»β€˜1) = (πΎβ€˜0))
2011, 12, 19pcocn 24533 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐻(*π‘β€˜π½)𝐾) ∈ (II Cn 𝐽))
21 pcohtpylem.7 . . 3 𝑃 = (π‘₯ ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), ((2 Β· π‘₯)𝑀𝑦), (((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1)𝑁𝑦)))
22 eqid 2733 . . . 4 (topGenβ€˜ran (,)) = (topGenβ€˜ran (,))
23 eqid 2733 . . . 4 ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (0[,](1 / 2))) = ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (0[,](1 / 2)))
24 eqid 2733 . . . 4 ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt ((1 / 2)[,]1)) = ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt ((1 / 2)[,]1))
25 dfii2 24398 . . . 4 II = ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (0[,]1))
26 0red 11217 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ℝ)
27 1red 11215 . . . 4 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ)
28 halfre 12426 . . . . . 6 (1 / 2) ∈ ℝ
29 halfge0 12429 . . . . . 6 0 ≀ (1 / 2)
30 1re 11214 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
31 halflt1 12430 . . . . . . 7 (1 / 2) < 1
3228, 30, 31ltleii 11337 . . . . . 6 (1 / 2) ≀ 1
33 elicc01 13443 . . . . . 6 ((1 / 2) ∈ (0[,]1) ↔ ((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (1 / 2) ∧ (1 / 2) ≀ 1))
3428, 29, 32, 33mpbir3an 1342 . . . . 5 (1 / 2) ∈ (0[,]1)
3534a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (1 / 2) ∈ (0[,]1))
36 iitopon 24395 . . . . 5 II ∈ (TopOnβ€˜(0[,]1))
3736a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ II ∈ (TopOnβ€˜(0[,]1)))
389adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ = (1 / 2) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1))) β†’ (πΉβ€˜1) = (πΊβ€˜0))
394, 11, 13phtpyi 24500 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) β†’ ((0𝑀𝑦) = (πΉβ€˜0) ∧ (1𝑀𝑦) = (πΉβ€˜1)))
4039simprd 497 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) β†’ (1𝑀𝑦) = (πΉβ€˜1))
4140adantrl 715 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ = (1 / 2) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1))) β†’ (1𝑀𝑦) = (πΉβ€˜1))
428, 12, 16phtpyi 24500 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) β†’ ((0𝑁𝑦) = (πΊβ€˜0) ∧ (1𝑁𝑦) = (πΊβ€˜1)))
4342simpld 496 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) β†’ (0𝑁𝑦) = (πΊβ€˜0))
4443adantrl 715 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ = (1 / 2) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1))) β†’ (0𝑁𝑦) = (πΊβ€˜0))
4538, 41, 443eqtr4d 2783 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ = (1 / 2) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1))) β†’ (1𝑀𝑦) = (0𝑁𝑦))
46 simprl 770 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ = (1 / 2) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1))) β†’ π‘₯ = (1 / 2))
4746oveq2d 7425 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ = (1 / 2) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1))) β†’ (2 Β· π‘₯) = (2 Β· (1 / 2)))
48 2cn 12287 . . . . . . . 8 2 ∈ β„‚
49 2ne0 12316 . . . . . . . 8 2 β‰  0
5048, 49recidi 11945 . . . . . . 7 (2 Β· (1 / 2)) = 1
5147, 50eqtrdi 2789 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ = (1 / 2) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1))) β†’ (2 Β· π‘₯) = 1)
5251oveq1d 7424 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ = (1 / 2) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1))) β†’ ((2 Β· π‘₯)𝑀𝑦) = (1𝑀𝑦))
5351oveq1d 7424 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ = (1 / 2) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1))) β†’ ((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1) = (1 βˆ’ 1))
54 1m1e0 12284 . . . . . . 7 (1 βˆ’ 1) = 0
5553, 54eqtrdi 2789 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ = (1 / 2) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1))) β†’ ((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1) = 0)
5655oveq1d 7424 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ = (1 / 2) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1))) β†’ (((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1)𝑁𝑦) = (0𝑁𝑦))
5745, 52, 563eqtr4d 2783 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ = (1 / 2) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1))) β†’ ((2 Β· π‘₯)𝑀𝑦) = (((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1)𝑁𝑦))
58 retopon 24280 . . . . . . 7 (topGenβ€˜ran (,)) ∈ (TopOnβ€˜β„)
59 0re 11216 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
60 iccssre 13406 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) β†’ (0[,](1 / 2)) βŠ† ℝ)
6159, 28, 60mp2an 691 . . . . . . 7 (0[,](1 / 2)) βŠ† ℝ
62 resttopon 22665 . . . . . . 7 (((topGenβ€˜ran (,)) ∈ (TopOnβ€˜β„) ∧ (0[,](1 / 2)) βŠ† ℝ) β†’ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (0[,](1 / 2))) ∈ (TopOnβ€˜(0[,](1 / 2))))
6358, 61, 62mp2an 691 . . . . . 6 ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (0[,](1 / 2))) ∈ (TopOnβ€˜(0[,](1 / 2)))
6463a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (0[,](1 / 2))) ∈ (TopOnβ€˜(0[,](1 / 2))))
6564, 37cnmpt1st 23172 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (0[,](1 / 2)), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ π‘₯) ∈ ((((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (0[,](1 / 2))) Γ—t II) Cn ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (0[,](1 / 2)))))
6623iihalf1cn 24448 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (0[,](1 / 2)) ↦ (2 Β· 𝑧)) ∈ (((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (0[,](1 / 2))) Cn II)
6766a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ (0[,](1 / 2)) ↦ (2 Β· 𝑧)) ∈ (((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (0[,](1 / 2))) Cn II))
68 oveq2 7417 . . . . . 6 (𝑧 = π‘₯ β†’ (2 Β· 𝑧) = (2 Β· π‘₯))
6964, 37, 65, 64, 67, 68cnmpt21 23175 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (0[,](1 / 2)), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (2 Β· π‘₯)) ∈ ((((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (0[,](1 / 2))) Γ—t II) Cn II))
7064, 37cnmpt2nd 23173 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (0[,](1 / 2)), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑦) ∈ ((((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (0[,](1 / 2))) Γ—t II) Cn II))
714, 11phtpycn 24499 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐹(PHtpyβ€˜π½)𝐻) βŠ† ((II Γ—t II) Cn 𝐽))
7271, 13sseldd 3984 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ((II Γ—t II) Cn 𝐽))
7364, 37, 69, 70, 72cnmpt22f 23179 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (0[,](1 / 2)), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ ((2 Β· π‘₯)𝑀𝑦)) ∈ ((((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (0[,](1 / 2))) Γ—t II) Cn 𝐽))
74 iccssre 13406 . . . . . . . 8 (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ ((1 / 2)[,]1) βŠ† ℝ)
7528, 30, 74mp2an 691 . . . . . . 7 ((1 / 2)[,]1) βŠ† ℝ
76 resttopon 22665 . . . . . . 7 (((topGenβ€˜ran (,)) ∈ (TopOnβ€˜β„) ∧ ((1 / 2)[,]1) βŠ† ℝ) β†’ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt ((1 / 2)[,]1)) ∈ (TopOnβ€˜((1 / 2)[,]1)))
7758, 75, 76mp2an 691 . . . . . 6 ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt ((1 / 2)[,]1)) ∈ (TopOnβ€˜((1 / 2)[,]1))
7877a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt ((1 / 2)[,]1)) ∈ (TopOnβ€˜((1 / 2)[,]1)))
7978, 37cnmpt1st 23172 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ((1 / 2)[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ π‘₯) ∈ ((((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt ((1 / 2)[,]1)) Γ—t II) Cn ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt ((1 / 2)[,]1))))
8024iihalf2cn 24450 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ((1 / 2)[,]1) ↦ ((2 Β· 𝑧) βˆ’ 1)) ∈ (((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt ((1 / 2)[,]1)) Cn II)
8180a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ ((1 / 2)[,]1) ↦ ((2 Β· 𝑧) βˆ’ 1)) ∈ (((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt ((1 / 2)[,]1)) Cn II))
8268oveq1d 7424 . . . . . 6 (𝑧 = π‘₯ β†’ ((2 Β· 𝑧) βˆ’ 1) = ((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1))
8378, 37, 79, 78, 81, 82cnmpt21 23175 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ((1 / 2)[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ ((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1)) ∈ ((((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt ((1 / 2)[,]1)) Γ—t II) Cn II))
8478, 37cnmpt2nd 23173 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ((1 / 2)[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑦) ∈ ((((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt ((1 / 2)[,]1)) Γ—t II) Cn II))
858, 12phtpycn 24499 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐺(PHtpyβ€˜π½)𝐾) βŠ† ((II Γ—t II) Cn 𝐽))
8685, 16sseldd 3984 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ((II Γ—t II) Cn 𝐽))
8778, 37, 83, 84, 86cnmpt22f 23179 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ((1 / 2)[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1)𝑁𝑦)) ∈ ((((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt ((1 / 2)[,]1)) Γ—t II) Cn 𝐽))
8822, 23, 24, 25, 26, 27, 35, 37, 57, 73, 87cnmpopc 24444 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), ((2 Β· π‘₯)𝑀𝑦), (((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1)𝑁𝑦))) ∈ ((II Γ—t II) Cn 𝐽))
8921, 88eqeltrid 2838 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ ((II Γ—t II) Cn 𝐽))
90 simpll 766 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑠 ≀ (1 / 2)) β†’ πœ‘)
91 elii1 24451 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (0[,](1 / 2)) ↔ (𝑠 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ≀ (1 / 2)))
92 iihalf1 24447 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (0[,](1 / 2)) β†’ (2 Β· 𝑠) ∈ (0[,]1))
9391, 92sylbir 234 . . . . . . 7 ((𝑠 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ≀ (1 / 2)) β†’ (2 Β· 𝑠) ∈ (0[,]1))
9493adantll 713 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑠 ≀ (1 / 2)) β†’ (2 Β· 𝑠) ∈ (0[,]1))
954, 11phtpyhtpy 24498 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐹(PHtpyβ€˜π½)𝐻) βŠ† (𝐹(II Htpy 𝐽)𝐻))
9695, 13sseldd 3984 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (𝐹(II Htpy 𝐽)𝐻))
9737, 4, 11, 96htpyi 24490 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (2 Β· 𝑠) ∈ (0[,]1)) β†’ (((2 Β· 𝑠)𝑀0) = (πΉβ€˜(2 Β· 𝑠)) ∧ ((2 Β· 𝑠)𝑀1) = (π»β€˜(2 Β· 𝑠))))
9890, 94, 97syl2anc 585 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑠 ≀ (1 / 2)) β†’ (((2 Β· 𝑠)𝑀0) = (πΉβ€˜(2 Β· 𝑠)) ∧ ((2 Β· 𝑠)𝑀1) = (π»β€˜(2 Β· 𝑠))))
9998simpld 496 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑠 ≀ (1 / 2)) β†’ ((2 Β· 𝑠)𝑀0) = (πΉβ€˜(2 Β· 𝑠)))
100 simpll 766 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (1 / 2)) β†’ πœ‘)
101 elii2 24452 . . . . . . . 8 ((𝑠 ∈ (0[,]1) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (1 / 2)) β†’ 𝑠 ∈ ((1 / 2)[,]1))
102101adantll 713 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (1 / 2)) β†’ 𝑠 ∈ ((1 / 2)[,]1))
103 iihalf2 24449 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ ((1 / 2)[,]1) β†’ ((2 Β· 𝑠) βˆ’ 1) ∈ (0[,]1))
104102, 103syl 17 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (1 / 2)) β†’ ((2 Β· 𝑠) βˆ’ 1) ∈ (0[,]1))
1058, 12phtpyhtpy 24498 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐺(PHtpyβ€˜π½)𝐾) βŠ† (𝐺(II Htpy 𝐽)𝐾))
106105, 16sseldd 3984 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (𝐺(II Htpy 𝐽)𝐾))
10737, 8, 12, 106htpyi 24490 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((2 Β· 𝑠) βˆ’ 1) ∈ (0[,]1)) β†’ ((((2 Β· 𝑠) βˆ’ 1)𝑁0) = (πΊβ€˜((2 Β· 𝑠) βˆ’ 1)) ∧ (((2 Β· 𝑠) βˆ’ 1)𝑁1) = (πΎβ€˜((2 Β· 𝑠) βˆ’ 1))))
108100, 104, 107syl2anc 585 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (1 / 2)) β†’ ((((2 Β· 𝑠) βˆ’ 1)𝑁0) = (πΊβ€˜((2 Β· 𝑠) βˆ’ 1)) ∧ (((2 Β· 𝑠) βˆ’ 1)𝑁1) = (πΎβ€˜((2 Β· 𝑠) βˆ’ 1))))
109108simpld 496 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (1 / 2)) β†’ (((2 Β· 𝑠) βˆ’ 1)𝑁0) = (πΊβ€˜((2 Β· 𝑠) βˆ’ 1)))
11099, 109ifeq12da 4562 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ if(𝑠 ≀ (1 / 2), ((2 Β· 𝑠)𝑀0), (((2 Β· 𝑠) βˆ’ 1)𝑁0)) = if(𝑠 ≀ (1 / 2), (πΉβ€˜(2 Β· 𝑠)), (πΊβ€˜((2 Β· 𝑠) βˆ’ 1))))
111 simpr 486 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ 𝑠 ∈ (0[,]1))
112 0elunit 13446 . . . 4 0 ∈ (0[,]1)
113 simpl 484 . . . . . . 7 ((π‘₯ = 𝑠 ∧ 𝑦 = 0) β†’ π‘₯ = 𝑠)
114113breq1d 5159 . . . . . 6 ((π‘₯ = 𝑠 ∧ 𝑦 = 0) β†’ (π‘₯ ≀ (1 / 2) ↔ 𝑠 ≀ (1 / 2)))
115113oveq2d 7425 . . . . . . 7 ((π‘₯ = 𝑠 ∧ 𝑦 = 0) β†’ (2 Β· π‘₯) = (2 Β· 𝑠))
116 simpr 486 . . . . . . 7 ((π‘₯ = 𝑠 ∧ 𝑦 = 0) β†’ 𝑦 = 0)
117115, 116oveq12d 7427 . . . . . 6 ((π‘₯ = 𝑠 ∧ 𝑦 = 0) β†’ ((2 Β· π‘₯)𝑀𝑦) = ((2 Β· 𝑠)𝑀0))
118115oveq1d 7424 . . . . . . 7 ((π‘₯ = 𝑠 ∧ 𝑦 = 0) β†’ ((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1) = ((2 Β· 𝑠) βˆ’ 1))
119118, 116oveq12d 7427 . . . . . 6 ((π‘₯ = 𝑠 ∧ 𝑦 = 0) β†’ (((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1)𝑁𝑦) = (((2 Β· 𝑠) βˆ’ 1)𝑁0))
120114, 117, 119ifbieq12d 4557 . . . . 5 ((π‘₯ = 𝑠 ∧ 𝑦 = 0) β†’ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), ((2 Β· π‘₯)𝑀𝑦), (((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1)𝑁𝑦)) = if(𝑠 ≀ (1 / 2), ((2 Β· 𝑠)𝑀0), (((2 Β· 𝑠) βˆ’ 1)𝑁0)))
121 ovex 7442 . . . . . 6 ((2 Β· 𝑠)𝑀0) ∈ V
122 ovex 7442 . . . . . 6 (((2 Β· 𝑠) βˆ’ 1)𝑁0) ∈ V
123121, 122ifex 4579 . . . . 5 if(𝑠 ≀ (1 / 2), ((2 Β· 𝑠)𝑀0), (((2 Β· 𝑠) βˆ’ 1)𝑁0)) ∈ V
124120, 21, 123ovmpoa 7563 . . . 4 ((𝑠 ∈ (0[,]1) ∧ 0 ∈ (0[,]1)) β†’ (𝑠𝑃0) = if(𝑠 ≀ (1 / 2), ((2 Β· 𝑠)𝑀0), (((2 Β· 𝑠) βˆ’ 1)𝑁0)))
125111, 112, 124sylancl 587 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (𝑠𝑃0) = if(𝑠 ≀ (1 / 2), ((2 Β· 𝑠)𝑀0), (((2 Β· 𝑠) βˆ’ 1)𝑁0)))
1264, 8pcovalg 24528 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ ((𝐹(*π‘β€˜π½)𝐺)β€˜π‘ ) = if(𝑠 ≀ (1 / 2), (πΉβ€˜(2 Β· 𝑠)), (πΊβ€˜((2 Β· 𝑠) βˆ’ 1))))
127110, 125, 1263eqtr4d 2783 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (𝑠𝑃0) = ((𝐹(*π‘β€˜π½)𝐺)β€˜π‘ ))
12898simprd 497 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑠 ≀ (1 / 2)) β†’ ((2 Β· 𝑠)𝑀1) = (π»β€˜(2 Β· 𝑠)))
129108simprd 497 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (1 / 2)) β†’ (((2 Β· 𝑠) βˆ’ 1)𝑁1) = (πΎβ€˜((2 Β· 𝑠) βˆ’ 1)))
130128, 129ifeq12da 4562 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ if(𝑠 ≀ (1 / 2), ((2 Β· 𝑠)𝑀1), (((2 Β· 𝑠) βˆ’ 1)𝑁1)) = if(𝑠 ≀ (1 / 2), (π»β€˜(2 Β· 𝑠)), (πΎβ€˜((2 Β· 𝑠) βˆ’ 1))))
131 1elunit 13447 . . . 4 1 ∈ (0[,]1)
132 simpl 484 . . . . . . 7 ((π‘₯ = 𝑠 ∧ 𝑦 = 1) β†’ π‘₯ = 𝑠)
133132breq1d 5159 . . . . . 6 ((π‘₯ = 𝑠 ∧ 𝑦 = 1) β†’ (π‘₯ ≀ (1 / 2) ↔ 𝑠 ≀ (1 / 2)))
134132oveq2d 7425 . . . . . . 7 ((π‘₯ = 𝑠 ∧ 𝑦 = 1) β†’ (2 Β· π‘₯) = (2 Β· 𝑠))
135 simpr 486 . . . . . . 7 ((π‘₯ = 𝑠 ∧ 𝑦 = 1) β†’ 𝑦 = 1)
136134, 135oveq12d 7427 . . . . . 6 ((π‘₯ = 𝑠 ∧ 𝑦 = 1) β†’ ((2 Β· π‘₯)𝑀𝑦) = ((2 Β· 𝑠)𝑀1))
137134oveq1d 7424 . . . . . . 7 ((π‘₯ = 𝑠 ∧ 𝑦 = 1) β†’ ((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1) = ((2 Β· 𝑠) βˆ’ 1))
138137, 135oveq12d 7427 . . . . . 6 ((π‘₯ = 𝑠 ∧ 𝑦 = 1) β†’ (((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1)𝑁𝑦) = (((2 Β· 𝑠) βˆ’ 1)𝑁1))
139133, 136, 138ifbieq12d 4557 . . . . 5 ((π‘₯ = 𝑠 ∧ 𝑦 = 1) β†’ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), ((2 Β· π‘₯)𝑀𝑦), (((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1)𝑁𝑦)) = if(𝑠 ≀ (1 / 2), ((2 Β· 𝑠)𝑀1), (((2 Β· 𝑠) βˆ’ 1)𝑁1)))
140 ovex 7442 . . . . . 6 ((2 Β· 𝑠)𝑀1) ∈ V
141 ovex 7442 . . . . . 6 (((2 Β· 𝑠) βˆ’ 1)𝑁1) ∈ V
142140, 141ifex 4579 . . . . 5 if(𝑠 ≀ (1 / 2), ((2 Β· 𝑠)𝑀1), (((2 Β· 𝑠) βˆ’ 1)𝑁1)) ∈ V
143139, 21, 142ovmpoa 7563 . . . 4 ((𝑠 ∈ (0[,]1) ∧ 1 ∈ (0[,]1)) β†’ (𝑠𝑃1) = if(𝑠 ≀ (1 / 2), ((2 Β· 𝑠)𝑀1), (((2 Β· 𝑠) βˆ’ 1)𝑁1)))
144111, 131, 143sylancl 587 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (𝑠𝑃1) = if(𝑠 ≀ (1 / 2), ((2 Β· 𝑠)𝑀1), (((2 Β· 𝑠) βˆ’ 1)𝑁1)))
14511, 12pcovalg 24528 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ ((𝐻(*π‘β€˜π½)𝐾)β€˜π‘ ) = if(𝑠 ≀ (1 / 2), (π»β€˜(2 Β· 𝑠)), (πΎβ€˜((2 Β· 𝑠) βˆ’ 1))))
146130, 144, 1453eqtr4d 2783 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (𝑠𝑃1) = ((𝐻(*π‘β€˜π½)𝐾)β€˜π‘ ))
1474, 11, 13phtpyi 24500 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ ((0𝑀𝑠) = (πΉβ€˜0) ∧ (1𝑀𝑠) = (πΉβ€˜1)))
148147simpld 496 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (0𝑀𝑠) = (πΉβ€˜0))
149 simpl 484 . . . . . . . 8 ((π‘₯ = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) β†’ π‘₯ = 0)
150149, 29eqbrtrdi 5188 . . . . . . 7 ((π‘₯ = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) β†’ π‘₯ ≀ (1 / 2))
151150iftrued 4537 . . . . . 6 ((π‘₯ = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) β†’ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), ((2 Β· π‘₯)𝑀𝑦), (((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1)𝑁𝑦)) = ((2 Β· π‘₯)𝑀𝑦))
152149oveq2d 7425 . . . . . . . 8 ((π‘₯ = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) β†’ (2 Β· π‘₯) = (2 Β· 0))
153 2t0e0 12381 . . . . . . . 8 (2 Β· 0) = 0
154152, 153eqtrdi 2789 . . . . . . 7 ((π‘₯ = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) β†’ (2 Β· π‘₯) = 0)
155 simpr 486 . . . . . . 7 ((π‘₯ = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) β†’ 𝑦 = 𝑠)
156154, 155oveq12d 7427 . . . . . 6 ((π‘₯ = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) β†’ ((2 Β· π‘₯)𝑀𝑦) = (0𝑀𝑠))
157151, 156eqtrd 2773 . . . . 5 ((π‘₯ = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) β†’ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), ((2 Β· π‘₯)𝑀𝑦), (((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1)𝑁𝑦)) = (0𝑀𝑠))
158 ovex 7442 . . . . 5 (0𝑀𝑠) ∈ V
159157, 21, 158ovmpoa 7563 . . . 4 ((0 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (0𝑃𝑠) = (0𝑀𝑠))
160112, 111, 159sylancr 588 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (0𝑃𝑠) = (0𝑀𝑠))
1614, 8pco0 24530 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐹(*π‘β€˜π½)𝐺)β€˜0) = (πΉβ€˜0))
162161adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ ((𝐹(*π‘β€˜π½)𝐺)β€˜0) = (πΉβ€˜0))
163148, 160, 1623eqtr4d 2783 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (0𝑃𝑠) = ((𝐹(*π‘β€˜π½)𝐺)β€˜0))
1648, 12, 16phtpyi 24500 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ ((0𝑁𝑠) = (πΊβ€˜0) ∧ (1𝑁𝑠) = (πΊβ€˜1)))
165164simprd 497 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (1𝑁𝑠) = (πΊβ€˜1))
16628, 30ltnlei 11335 . . . . . . . . 9 ((1 / 2) < 1 ↔ Β¬ 1 ≀ (1 / 2))
16731, 166mpbi 229 . . . . . . . 8 Β¬ 1 ≀ (1 / 2)
168 simpl 484 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) β†’ π‘₯ = 1)
169168breq1d 5159 . . . . . . . 8 ((π‘₯ = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) β†’ (π‘₯ ≀ (1 / 2) ↔ 1 ≀ (1 / 2)))
170167, 169mtbiri 327 . . . . . . 7 ((π‘₯ = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) β†’ Β¬ π‘₯ ≀ (1 / 2))
171170iffalsed 4540 . . . . . 6 ((π‘₯ = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) β†’ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), ((2 Β· π‘₯)𝑀𝑦), (((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1)𝑁𝑦)) = (((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1)𝑁𝑦))
172168oveq2d 7425 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) β†’ (2 Β· π‘₯) = (2 Β· 1))
173 2t1e2 12375 . . . . . . . . . 10 (2 Β· 1) = 2
174172, 173eqtrdi 2789 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) β†’ (2 Β· π‘₯) = 2)
175174oveq1d 7424 . . . . . . . 8 ((π‘₯ = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) β†’ ((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1) = (2 βˆ’ 1))
176 2m1e1 12338 . . . . . . . 8 (2 βˆ’ 1) = 1
177175, 176eqtrdi 2789 . . . . . . 7 ((π‘₯ = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) β†’ ((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1) = 1)
178 simpr 486 . . . . . . 7 ((π‘₯ = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) β†’ 𝑦 = 𝑠)
179177, 178oveq12d 7427 . . . . . 6 ((π‘₯ = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) β†’ (((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1)𝑁𝑦) = (1𝑁𝑠))
180171, 179eqtrd 2773 . . . . 5 ((π‘₯ = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) β†’ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), ((2 Β· π‘₯)𝑀𝑦), (((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1)𝑁𝑦)) = (1𝑁𝑠))
181 ovex 7442 . . . . 5 (1𝑁𝑠) ∈ V
182180, 21, 181ovmpoa 7563 . . . 4 ((1 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (1𝑃𝑠) = (1𝑁𝑠))
183131, 111, 182sylancr 588 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (1𝑃𝑠) = (1𝑁𝑠))
1844, 8pco1 24531 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐹(*π‘β€˜π½)𝐺)β€˜1) = (πΊβ€˜1))
185184adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ ((𝐹(*π‘β€˜π½)𝐺)β€˜1) = (πΊβ€˜1))
186165, 183, 1853eqtr4d 2783 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (1𝑃𝑠) = ((𝐹(*π‘β€˜π½)𝐺)β€˜1))
18710, 20, 89, 127, 146, 163, 186isphtpy2d 24503 1 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ ((𝐹(*π‘β€˜π½)𝐺)(PHtpyβ€˜π½)(𝐻(*π‘β€˜π½)𝐾)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  ifcif 4529   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  ran crn 5678  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ∈ cmpo 7411  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   Β· cmul 11115   < clt 11248   ≀ cle 11249   βˆ’ cmin 11444   / cdiv 11871  2c2 12267  (,)cioo 13324  [,]cicc 13327   β†Ύt crest 17366  topGenctg 17383  TopOnctopon 22412   Cn ccn 22728   Γ—t ctx 23064  IIcii 24391   Htpy chtpy 24483  PHtpycphtpy 24484   ≃phcphtpc 24485  *𝑝cpco 24516
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-ii 24393  df-htpy 24486  df-phtpy 24487  df-phtpc 24508  df-pco 24521
This theorem is referenced by:  pcohtpy  24536
  Copyright terms: Public domain W3C validator