MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcohtpylem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcohtpylem 24542
Description: Lemma for pcohtpy 24543. (Contributed by Jeff Madsen, 15-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pcohtpy.4 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜1) = (πΊβ€˜0))
pcohtpy.5 (πœ‘ β†’ 𝐹( ≃phβ€˜π½)𝐻)
pcohtpy.6 (πœ‘ β†’ 𝐺( ≃phβ€˜π½)𝐾)
pcohtpylem.7 𝑃 = (π‘₯ ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), ((2 Β· π‘₯)𝑀𝑦), (((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1)𝑁𝑦)))
pcohtpylem.8 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (𝐹(PHtpyβ€˜π½)𝐻))
pcohtpylem.9 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (𝐺(PHtpyβ€˜π½)𝐾))
Assertion
Ref Expression
pcohtpylem (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ ((𝐹(*π‘β€˜π½)𝐺)(PHtpyβ€˜π½)(𝐻(*π‘β€˜π½)𝐾)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐹   π‘₯,𝑀,𝑦   π‘₯,𝑁,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦   π‘₯,𝐺,𝑦   π‘₯,𝐻,𝑦   π‘₯,𝐽,𝑦   π‘₯,𝐾,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑃(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem pcohtpylem
Dummy variables 𝑠 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pcohtpy.5 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹( ≃phβ€˜π½)𝐻)
2 isphtpc 24517 . . . . 5 (𝐹( ≃phβ€˜π½)𝐻 ↔ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝐻 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹(PHtpyβ€˜π½)𝐻) β‰  βˆ…))
31, 2sylib 217 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝐻 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹(PHtpyβ€˜π½)𝐻) β‰  βˆ…))
43simp1d 1142 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
5 pcohtpy.6 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺( ≃phβ€˜π½)𝐾)
6 isphtpc 24517 . . . . 5 (𝐺( ≃phβ€˜π½)𝐾 ↔ (𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝐾 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐺(PHtpyβ€˜π½)𝐾) β‰  βˆ…))
75, 6sylib 217 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝐾 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐺(PHtpyβ€˜π½)𝐾) β‰  βˆ…))
87simp1d 1142 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
9 pcohtpy.4 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜1) = (πΊβ€˜0))
104, 8, 9pcocn 24540 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹(*π‘β€˜π½)𝐺) ∈ (II Cn 𝐽))
113simp2d 1143 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ (II Cn 𝐽))
127simp2d 1143 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (II Cn 𝐽))
13 pcohtpylem.8 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (𝐹(PHtpyβ€˜π½)𝐻))
144, 11, 13phtpy01 24508 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜0) = (π»β€˜0) ∧ (πΉβ€˜1) = (π»β€˜1)))
1514simprd 496 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜1) = (π»β€˜1))
16 pcohtpylem.9 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (𝐺(PHtpyβ€˜π½)𝐾))
178, 12, 16phtpy01 24508 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((πΊβ€˜0) = (πΎβ€˜0) ∧ (πΊβ€˜1) = (πΎβ€˜1)))
1817simpld 495 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜0) = (πΎβ€˜0))
199, 15, 183eqtr3d 2780 . . 3 (πœ‘ β†’ (π»β€˜1) = (πΎβ€˜0))
2011, 12, 19pcocn 24540 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐻(*π‘β€˜π½)𝐾) ∈ (II Cn 𝐽))
21 pcohtpylem.7 . . 3 𝑃 = (π‘₯ ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), ((2 Β· π‘₯)𝑀𝑦), (((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1)𝑁𝑦)))
22 eqid 2732 . . . 4 (topGenβ€˜ran (,)) = (topGenβ€˜ran (,))
23 eqid 2732 . . . 4 ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (0[,](1 / 2))) = ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (0[,](1 / 2)))
24 eqid 2732 . . . 4 ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt ((1 / 2)[,]1)) = ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt ((1 / 2)[,]1))
25 dfii2 24405 . . . 4 II = ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (0[,]1))
26 0red 11219 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ℝ)
27 1red 11217 . . . 4 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ)
28 halfre 12428 . . . . . 6 (1 / 2) ∈ ℝ
29 halfge0 12431 . . . . . 6 0 ≀ (1 / 2)
30 1re 11216 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
31 halflt1 12432 . . . . . . 7 (1 / 2) < 1
3228, 30, 31ltleii 11339 . . . . . 6 (1 / 2) ≀ 1
33 elicc01 13445 . . . . . 6 ((1 / 2) ∈ (0[,]1) ↔ ((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (1 / 2) ∧ (1 / 2) ≀ 1))
3428, 29, 32, 33mpbir3an 1341 . . . . 5 (1 / 2) ∈ (0[,]1)
3534a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (1 / 2) ∈ (0[,]1))
36 iitopon 24402 . . . . 5 II ∈ (TopOnβ€˜(0[,]1))
3736a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ II ∈ (TopOnβ€˜(0[,]1)))
389adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ = (1 / 2) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1))) β†’ (πΉβ€˜1) = (πΊβ€˜0))
394, 11, 13phtpyi 24507 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) β†’ ((0𝑀𝑦) = (πΉβ€˜0) ∧ (1𝑀𝑦) = (πΉβ€˜1)))
4039simprd 496 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) β†’ (1𝑀𝑦) = (πΉβ€˜1))
4140adantrl 714 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ = (1 / 2) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1))) β†’ (1𝑀𝑦) = (πΉβ€˜1))
428, 12, 16phtpyi 24507 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) β†’ ((0𝑁𝑦) = (πΊβ€˜0) ∧ (1𝑁𝑦) = (πΊβ€˜1)))
4342simpld 495 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) β†’ (0𝑁𝑦) = (πΊβ€˜0))
4443adantrl 714 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ = (1 / 2) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1))) β†’ (0𝑁𝑦) = (πΊβ€˜0))
4538, 41, 443eqtr4d 2782 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ = (1 / 2) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1))) β†’ (1𝑀𝑦) = (0𝑁𝑦))
46 simprl 769 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ = (1 / 2) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1))) β†’ π‘₯ = (1 / 2))
4746oveq2d 7427 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ = (1 / 2) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1))) β†’ (2 Β· π‘₯) = (2 Β· (1 / 2)))
48 2cn 12289 . . . . . . . 8 2 ∈ β„‚
49 2ne0 12318 . . . . . . . 8 2 β‰  0
5048, 49recidi 11947 . . . . . . 7 (2 Β· (1 / 2)) = 1
5147, 50eqtrdi 2788 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ = (1 / 2) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1))) β†’ (2 Β· π‘₯) = 1)
5251oveq1d 7426 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ = (1 / 2) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1))) β†’ ((2 Β· π‘₯)𝑀𝑦) = (1𝑀𝑦))
5351oveq1d 7426 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ = (1 / 2) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1))) β†’ ((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1) = (1 βˆ’ 1))
54 1m1e0 12286 . . . . . . 7 (1 βˆ’ 1) = 0
5553, 54eqtrdi 2788 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ = (1 / 2) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1))) β†’ ((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1) = 0)
5655oveq1d 7426 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ = (1 / 2) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1))) β†’ (((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1)𝑁𝑦) = (0𝑁𝑦))
5745, 52, 563eqtr4d 2782 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ = (1 / 2) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1))) β†’ ((2 Β· π‘₯)𝑀𝑦) = (((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1)𝑁𝑦))
58 retopon 24287 . . . . . . 7 (topGenβ€˜ran (,)) ∈ (TopOnβ€˜β„)
59 0re 11218 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
60 iccssre 13408 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) β†’ (0[,](1 / 2)) βŠ† ℝ)
6159, 28, 60mp2an 690 . . . . . . 7 (0[,](1 / 2)) βŠ† ℝ
62 resttopon 22672 . . . . . . 7 (((topGenβ€˜ran (,)) ∈ (TopOnβ€˜β„) ∧ (0[,](1 / 2)) βŠ† ℝ) β†’ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (0[,](1 / 2))) ∈ (TopOnβ€˜(0[,](1 / 2))))
6358, 61, 62mp2an 690 . . . . . 6 ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (0[,](1 / 2))) ∈ (TopOnβ€˜(0[,](1 / 2)))
6463a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (0[,](1 / 2))) ∈ (TopOnβ€˜(0[,](1 / 2))))
6564, 37cnmpt1st 23179 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (0[,](1 / 2)), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ π‘₯) ∈ ((((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (0[,](1 / 2))) Γ—t II) Cn ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (0[,](1 / 2)))))
6623iihalf1cn 24455 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (0[,](1 / 2)) ↦ (2 Β· 𝑧)) ∈ (((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (0[,](1 / 2))) Cn II)
6766a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ (0[,](1 / 2)) ↦ (2 Β· 𝑧)) ∈ (((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (0[,](1 / 2))) Cn II))
68 oveq2 7419 . . . . . 6 (𝑧 = π‘₯ β†’ (2 Β· 𝑧) = (2 Β· π‘₯))
6964, 37, 65, 64, 67, 68cnmpt21 23182 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (0[,](1 / 2)), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (2 Β· π‘₯)) ∈ ((((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (0[,](1 / 2))) Γ—t II) Cn II))
7064, 37cnmpt2nd 23180 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (0[,](1 / 2)), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑦) ∈ ((((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (0[,](1 / 2))) Γ—t II) Cn II))
714, 11phtpycn 24506 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐹(PHtpyβ€˜π½)𝐻) βŠ† ((II Γ—t II) Cn 𝐽))
7271, 13sseldd 3983 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ((II Γ—t II) Cn 𝐽))
7364, 37, 69, 70, 72cnmpt22f 23186 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (0[,](1 / 2)), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ ((2 Β· π‘₯)𝑀𝑦)) ∈ ((((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (0[,](1 / 2))) Γ—t II) Cn 𝐽))
74 iccssre 13408 . . . . . . . 8 (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ ((1 / 2)[,]1) βŠ† ℝ)
7528, 30, 74mp2an 690 . . . . . . 7 ((1 / 2)[,]1) βŠ† ℝ
76 resttopon 22672 . . . . . . 7 (((topGenβ€˜ran (,)) ∈ (TopOnβ€˜β„) ∧ ((1 / 2)[,]1) βŠ† ℝ) β†’ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt ((1 / 2)[,]1)) ∈ (TopOnβ€˜((1 / 2)[,]1)))
7758, 75, 76mp2an 690 . . . . . 6 ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt ((1 / 2)[,]1)) ∈ (TopOnβ€˜((1 / 2)[,]1))
7877a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt ((1 / 2)[,]1)) ∈ (TopOnβ€˜((1 / 2)[,]1)))
7978, 37cnmpt1st 23179 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ((1 / 2)[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ π‘₯) ∈ ((((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt ((1 / 2)[,]1)) Γ—t II) Cn ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt ((1 / 2)[,]1))))
8024iihalf2cn 24457 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ((1 / 2)[,]1) ↦ ((2 Β· 𝑧) βˆ’ 1)) ∈ (((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt ((1 / 2)[,]1)) Cn II)
8180a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ ((1 / 2)[,]1) ↦ ((2 Β· 𝑧) βˆ’ 1)) ∈ (((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt ((1 / 2)[,]1)) Cn II))
8268oveq1d 7426 . . . . . 6 (𝑧 = π‘₯ β†’ ((2 Β· 𝑧) βˆ’ 1) = ((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1))
8378, 37, 79, 78, 81, 82cnmpt21 23182 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ((1 / 2)[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ ((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1)) ∈ ((((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt ((1 / 2)[,]1)) Γ—t II) Cn II))
8478, 37cnmpt2nd 23180 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ((1 / 2)[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑦) ∈ ((((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt ((1 / 2)[,]1)) Γ—t II) Cn II))
858, 12phtpycn 24506 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐺(PHtpyβ€˜π½)𝐾) βŠ† ((II Γ—t II) Cn 𝐽))
8685, 16sseldd 3983 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ((II Γ—t II) Cn 𝐽))
8778, 37, 83, 84, 86cnmpt22f 23186 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ((1 / 2)[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1)𝑁𝑦)) ∈ ((((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt ((1 / 2)[,]1)) Γ—t II) Cn 𝐽))
8822, 23, 24, 25, 26, 27, 35, 37, 57, 73, 87cnmpopc 24451 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), ((2 Β· π‘₯)𝑀𝑦), (((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1)𝑁𝑦))) ∈ ((II Γ—t II) Cn 𝐽))
8921, 88eqeltrid 2837 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ ((II Γ—t II) Cn 𝐽))
90 simpll 765 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑠 ≀ (1 / 2)) β†’ πœ‘)
91 elii1 24458 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (0[,](1 / 2)) ↔ (𝑠 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ≀ (1 / 2)))
92 iihalf1 24454 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (0[,](1 / 2)) β†’ (2 Β· 𝑠) ∈ (0[,]1))
9391, 92sylbir 234 . . . . . . 7 ((𝑠 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ≀ (1 / 2)) β†’ (2 Β· 𝑠) ∈ (0[,]1))
9493adantll 712 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑠 ≀ (1 / 2)) β†’ (2 Β· 𝑠) ∈ (0[,]1))
954, 11phtpyhtpy 24505 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐹(PHtpyβ€˜π½)𝐻) βŠ† (𝐹(II Htpy 𝐽)𝐻))
9695, 13sseldd 3983 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (𝐹(II Htpy 𝐽)𝐻))
9737, 4, 11, 96htpyi 24497 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (2 Β· 𝑠) ∈ (0[,]1)) β†’ (((2 Β· 𝑠)𝑀0) = (πΉβ€˜(2 Β· 𝑠)) ∧ ((2 Β· 𝑠)𝑀1) = (π»β€˜(2 Β· 𝑠))))
9890, 94, 97syl2anc 584 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑠 ≀ (1 / 2)) β†’ (((2 Β· 𝑠)𝑀0) = (πΉβ€˜(2 Β· 𝑠)) ∧ ((2 Β· 𝑠)𝑀1) = (π»β€˜(2 Β· 𝑠))))
9998simpld 495 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑠 ≀ (1 / 2)) β†’ ((2 Β· 𝑠)𝑀0) = (πΉβ€˜(2 Β· 𝑠)))
100 simpll 765 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (1 / 2)) β†’ πœ‘)
101 elii2 24459 . . . . . . . 8 ((𝑠 ∈ (0[,]1) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (1 / 2)) β†’ 𝑠 ∈ ((1 / 2)[,]1))
102101adantll 712 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (1 / 2)) β†’ 𝑠 ∈ ((1 / 2)[,]1))
103 iihalf2 24456 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ ((1 / 2)[,]1) β†’ ((2 Β· 𝑠) βˆ’ 1) ∈ (0[,]1))
104102, 103syl 17 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (1 / 2)) β†’ ((2 Β· 𝑠) βˆ’ 1) ∈ (0[,]1))
1058, 12phtpyhtpy 24505 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐺(PHtpyβ€˜π½)𝐾) βŠ† (𝐺(II Htpy 𝐽)𝐾))
106105, 16sseldd 3983 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (𝐺(II Htpy 𝐽)𝐾))
10737, 8, 12, 106htpyi 24497 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((2 Β· 𝑠) βˆ’ 1) ∈ (0[,]1)) β†’ ((((2 Β· 𝑠) βˆ’ 1)𝑁0) = (πΊβ€˜((2 Β· 𝑠) βˆ’ 1)) ∧ (((2 Β· 𝑠) βˆ’ 1)𝑁1) = (πΎβ€˜((2 Β· 𝑠) βˆ’ 1))))
108100, 104, 107syl2anc 584 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (1 / 2)) β†’ ((((2 Β· 𝑠) βˆ’ 1)𝑁0) = (πΊβ€˜((2 Β· 𝑠) βˆ’ 1)) ∧ (((2 Β· 𝑠) βˆ’ 1)𝑁1) = (πΎβ€˜((2 Β· 𝑠) βˆ’ 1))))
109108simpld 495 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (1 / 2)) β†’ (((2 Β· 𝑠) βˆ’ 1)𝑁0) = (πΊβ€˜((2 Β· 𝑠) βˆ’ 1)))
11099, 109ifeq12da 4561 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ if(𝑠 ≀ (1 / 2), ((2 Β· 𝑠)𝑀0), (((2 Β· 𝑠) βˆ’ 1)𝑁0)) = if(𝑠 ≀ (1 / 2), (πΉβ€˜(2 Β· 𝑠)), (πΊβ€˜((2 Β· 𝑠) βˆ’ 1))))
111 simpr 485 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ 𝑠 ∈ (0[,]1))
112 0elunit 13448 . . . 4 0 ∈ (0[,]1)
113 simpl 483 . . . . . . 7 ((π‘₯ = 𝑠 ∧ 𝑦 = 0) β†’ π‘₯ = 𝑠)
114113breq1d 5158 . . . . . 6 ((π‘₯ = 𝑠 ∧ 𝑦 = 0) β†’ (π‘₯ ≀ (1 / 2) ↔ 𝑠 ≀ (1 / 2)))
115113oveq2d 7427 . . . . . . 7 ((π‘₯ = 𝑠 ∧ 𝑦 = 0) β†’ (2 Β· π‘₯) = (2 Β· 𝑠))
116 simpr 485 . . . . . . 7 ((π‘₯ = 𝑠 ∧ 𝑦 = 0) β†’ 𝑦 = 0)
117115, 116oveq12d 7429 . . . . . 6 ((π‘₯ = 𝑠 ∧ 𝑦 = 0) β†’ ((2 Β· π‘₯)𝑀𝑦) = ((2 Β· 𝑠)𝑀0))
118115oveq1d 7426 . . . . . . 7 ((π‘₯ = 𝑠 ∧ 𝑦 = 0) β†’ ((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1) = ((2 Β· 𝑠) βˆ’ 1))
119118, 116oveq12d 7429 . . . . . 6 ((π‘₯ = 𝑠 ∧ 𝑦 = 0) β†’ (((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1)𝑁𝑦) = (((2 Β· 𝑠) βˆ’ 1)𝑁0))
120114, 117, 119ifbieq12d 4556 . . . . 5 ((π‘₯ = 𝑠 ∧ 𝑦 = 0) β†’ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), ((2 Β· π‘₯)𝑀𝑦), (((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1)𝑁𝑦)) = if(𝑠 ≀ (1 / 2), ((2 Β· 𝑠)𝑀0), (((2 Β· 𝑠) βˆ’ 1)𝑁0)))
121 ovex 7444 . . . . . 6 ((2 Β· 𝑠)𝑀0) ∈ V
122 ovex 7444 . . . . . 6 (((2 Β· 𝑠) βˆ’ 1)𝑁0) ∈ V
123121, 122ifex 4578 . . . . 5 if(𝑠 ≀ (1 / 2), ((2 Β· 𝑠)𝑀0), (((2 Β· 𝑠) βˆ’ 1)𝑁0)) ∈ V
124120, 21, 123ovmpoa 7565 . . . 4 ((𝑠 ∈ (0[,]1) ∧ 0 ∈ (0[,]1)) β†’ (𝑠𝑃0) = if(𝑠 ≀ (1 / 2), ((2 Β· 𝑠)𝑀0), (((2 Β· 𝑠) βˆ’ 1)𝑁0)))
125111, 112, 124sylancl 586 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (𝑠𝑃0) = if(𝑠 ≀ (1 / 2), ((2 Β· 𝑠)𝑀0), (((2 Β· 𝑠) βˆ’ 1)𝑁0)))
1264, 8pcovalg 24535 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ ((𝐹(*π‘β€˜π½)𝐺)β€˜π‘ ) = if(𝑠 ≀ (1 / 2), (πΉβ€˜(2 Β· 𝑠)), (πΊβ€˜((2 Β· 𝑠) βˆ’ 1))))
127110, 125, 1263eqtr4d 2782 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (𝑠𝑃0) = ((𝐹(*π‘β€˜π½)𝐺)β€˜π‘ ))
12898simprd 496 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑠 ≀ (1 / 2)) β†’ ((2 Β· 𝑠)𝑀1) = (π»β€˜(2 Β· 𝑠)))
129108simprd 496 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (1 / 2)) β†’ (((2 Β· 𝑠) βˆ’ 1)𝑁1) = (πΎβ€˜((2 Β· 𝑠) βˆ’ 1)))
130128, 129ifeq12da 4561 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ if(𝑠 ≀ (1 / 2), ((2 Β· 𝑠)𝑀1), (((2 Β· 𝑠) βˆ’ 1)𝑁1)) = if(𝑠 ≀ (1 / 2), (π»β€˜(2 Β· 𝑠)), (πΎβ€˜((2 Β· 𝑠) βˆ’ 1))))
131 1elunit 13449 . . . 4 1 ∈ (0[,]1)
132 simpl 483 . . . . . . 7 ((π‘₯ = 𝑠 ∧ 𝑦 = 1) β†’ π‘₯ = 𝑠)
133132breq1d 5158 . . . . . 6 ((π‘₯ = 𝑠 ∧ 𝑦 = 1) β†’ (π‘₯ ≀ (1 / 2) ↔ 𝑠 ≀ (1 / 2)))
134132oveq2d 7427 . . . . . . 7 ((π‘₯ = 𝑠 ∧ 𝑦 = 1) β†’ (2 Β· π‘₯) = (2 Β· 𝑠))
135 simpr 485 . . . . . . 7 ((π‘₯ = 𝑠 ∧ 𝑦 = 1) β†’ 𝑦 = 1)
136134, 135oveq12d 7429 . . . . . 6 ((π‘₯ = 𝑠 ∧ 𝑦 = 1) β†’ ((2 Β· π‘₯)𝑀𝑦) = ((2 Β· 𝑠)𝑀1))
137134oveq1d 7426 . . . . . . 7 ((π‘₯ = 𝑠 ∧ 𝑦 = 1) β†’ ((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1) = ((2 Β· 𝑠) βˆ’ 1))
138137, 135oveq12d 7429 . . . . . 6 ((π‘₯ = 𝑠 ∧ 𝑦 = 1) β†’ (((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1)𝑁𝑦) = (((2 Β· 𝑠) βˆ’ 1)𝑁1))
139133, 136, 138ifbieq12d 4556 . . . . 5 ((π‘₯ = 𝑠 ∧ 𝑦 = 1) β†’ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), ((2 Β· π‘₯)𝑀𝑦), (((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1)𝑁𝑦)) = if(𝑠 ≀ (1 / 2), ((2 Β· 𝑠)𝑀1), (((2 Β· 𝑠) βˆ’ 1)𝑁1)))
140 ovex 7444 . . . . . 6 ((2 Β· 𝑠)𝑀1) ∈ V
141 ovex 7444 . . . . . 6 (((2 Β· 𝑠) βˆ’ 1)𝑁1) ∈ V
142140, 141ifex 4578 . . . . 5 if(𝑠 ≀ (1 / 2), ((2 Β· 𝑠)𝑀1), (((2 Β· 𝑠) βˆ’ 1)𝑁1)) ∈ V
143139, 21, 142ovmpoa 7565 . . . 4 ((𝑠 ∈ (0[,]1) ∧ 1 ∈ (0[,]1)) β†’ (𝑠𝑃1) = if(𝑠 ≀ (1 / 2), ((2 Β· 𝑠)𝑀1), (((2 Β· 𝑠) βˆ’ 1)𝑁1)))
144111, 131, 143sylancl 586 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (𝑠𝑃1) = if(𝑠 ≀ (1 / 2), ((2 Β· 𝑠)𝑀1), (((2 Β· 𝑠) βˆ’ 1)𝑁1)))
14511, 12pcovalg 24535 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ ((𝐻(*π‘β€˜π½)𝐾)β€˜π‘ ) = if(𝑠 ≀ (1 / 2), (π»β€˜(2 Β· 𝑠)), (πΎβ€˜((2 Β· 𝑠) βˆ’ 1))))
146130, 144, 1453eqtr4d 2782 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (𝑠𝑃1) = ((𝐻(*π‘β€˜π½)𝐾)β€˜π‘ ))
1474, 11, 13phtpyi 24507 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ ((0𝑀𝑠) = (πΉβ€˜0) ∧ (1𝑀𝑠) = (πΉβ€˜1)))
148147simpld 495 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (0𝑀𝑠) = (πΉβ€˜0))
149 simpl 483 . . . . . . . 8 ((π‘₯ = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) β†’ π‘₯ = 0)
150149, 29eqbrtrdi 5187 . . . . . . 7 ((π‘₯ = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) β†’ π‘₯ ≀ (1 / 2))
151150iftrued 4536 . . . . . 6 ((π‘₯ = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) β†’ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), ((2 Β· π‘₯)𝑀𝑦), (((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1)𝑁𝑦)) = ((2 Β· π‘₯)𝑀𝑦))
152149oveq2d 7427 . . . . . . . 8 ((π‘₯ = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) β†’ (2 Β· π‘₯) = (2 Β· 0))
153 2t0e0 12383 . . . . . . . 8 (2 Β· 0) = 0
154152, 153eqtrdi 2788 . . . . . . 7 ((π‘₯ = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) β†’ (2 Β· π‘₯) = 0)
155 simpr 485 . . . . . . 7 ((π‘₯ = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) β†’ 𝑦 = 𝑠)
156154, 155oveq12d 7429 . . . . . 6 ((π‘₯ = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) β†’ ((2 Β· π‘₯)𝑀𝑦) = (0𝑀𝑠))
157151, 156eqtrd 2772 . . . . 5 ((π‘₯ = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) β†’ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), ((2 Β· π‘₯)𝑀𝑦), (((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1)𝑁𝑦)) = (0𝑀𝑠))
158 ovex 7444 . . . . 5 (0𝑀𝑠) ∈ V
159157, 21, 158ovmpoa 7565 . . . 4 ((0 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (0𝑃𝑠) = (0𝑀𝑠))
160112, 111, 159sylancr 587 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (0𝑃𝑠) = (0𝑀𝑠))
1614, 8pco0 24537 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐹(*π‘β€˜π½)𝐺)β€˜0) = (πΉβ€˜0))
162161adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ ((𝐹(*π‘β€˜π½)𝐺)β€˜0) = (πΉβ€˜0))
163148, 160, 1623eqtr4d 2782 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (0𝑃𝑠) = ((𝐹(*π‘β€˜π½)𝐺)β€˜0))
1648, 12, 16phtpyi 24507 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ ((0𝑁𝑠) = (πΊβ€˜0) ∧ (1𝑁𝑠) = (πΊβ€˜1)))
165164simprd 496 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (1𝑁𝑠) = (πΊβ€˜1))
16628, 30ltnlei 11337 . . . . . . . . 9 ((1 / 2) < 1 ↔ Β¬ 1 ≀ (1 / 2))
16731, 166mpbi 229 . . . . . . . 8 Β¬ 1 ≀ (1 / 2)
168 simpl 483 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) β†’ π‘₯ = 1)
169168breq1d 5158 . . . . . . . 8 ((π‘₯ = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) β†’ (π‘₯ ≀ (1 / 2) ↔ 1 ≀ (1 / 2)))
170167, 169mtbiri 326 . . . . . . 7 ((π‘₯ = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) β†’ Β¬ π‘₯ ≀ (1 / 2))
171170iffalsed 4539 . . . . . 6 ((π‘₯ = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) β†’ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), ((2 Β· π‘₯)𝑀𝑦), (((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1)𝑁𝑦)) = (((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1)𝑁𝑦))
172168oveq2d 7427 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) β†’ (2 Β· π‘₯) = (2 Β· 1))
173 2t1e2 12377 . . . . . . . . . 10 (2 Β· 1) = 2
174172, 173eqtrdi 2788 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) β†’ (2 Β· π‘₯) = 2)
175174oveq1d 7426 . . . . . . . 8 ((π‘₯ = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) β†’ ((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1) = (2 βˆ’ 1))
176 2m1e1 12340 . . . . . . . 8 (2 βˆ’ 1) = 1
177175, 176eqtrdi 2788 . . . . . . 7 ((π‘₯ = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) β†’ ((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1) = 1)
178 simpr 485 . . . . . . 7 ((π‘₯ = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) β†’ 𝑦 = 𝑠)
179177, 178oveq12d 7429 . . . . . 6 ((π‘₯ = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) β†’ (((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1)𝑁𝑦) = (1𝑁𝑠))
180171, 179eqtrd 2772 . . . . 5 ((π‘₯ = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) β†’ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), ((2 Β· π‘₯)𝑀𝑦), (((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1)𝑁𝑦)) = (1𝑁𝑠))
181 ovex 7444 . . . . 5 (1𝑁𝑠) ∈ V
182180, 21, 181ovmpoa 7565 . . . 4 ((1 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (1𝑃𝑠) = (1𝑁𝑠))
183131, 111, 182sylancr 587 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (1𝑃𝑠) = (1𝑁𝑠))
1844, 8pco1 24538 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐹(*π‘β€˜π½)𝐺)β€˜1) = (πΊβ€˜1))
185184adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ ((𝐹(*π‘β€˜π½)𝐺)β€˜1) = (πΊβ€˜1))
186165, 183, 1853eqtr4d 2782 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (1𝑃𝑠) = ((𝐹(*π‘β€˜π½)𝐺)β€˜1))
18710, 20, 89, 127, 146, 163, 186isphtpy2d 24510 1 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ ((𝐹(*π‘β€˜π½)𝐺)(PHtpyβ€˜π½)(𝐻(*π‘β€˜π½)𝐾)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  ifcif 4528   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ran crn 5677  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   ∈ cmpo 7413  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   Β· cmul 11117   < clt 11250   ≀ cle 11251   βˆ’ cmin 11446   / cdiv 11873  2c2 12269  (,)cioo 13326  [,]cicc 13329   β†Ύt crest 17368  topGenctg 17385  TopOnctopon 22419   Cn ccn 22735   Γ—t ctx 23071  IIcii 24398   Htpy chtpy 24490  PHtpycphtpy 24491   ≃phcphtpc 24492  *𝑝cpco 24523
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-ioo 13330  df-icc 13333  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-seq 13969  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-starv 17214  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-ip 17217  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-unif 17222  df-hom 17223  df-cco 17224  df-rest 17370  df-topn 17371  df-0g 17389  df-gsum 17390  df-topgen 17391  df-pt 17392  df-prds 17395  df-xrs 17450  df-qtop 17455  df-imas 17456  df-xps 17458  df-mre 17532  df-mrc 17533  df-acs 17535  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-submnd 18674  df-mulg 18953  df-cntz 19183  df-cmn 19652  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-met 20944  df-bl 20945  df-mopn 20946  df-cnfld 20951  df-top 22403  df-topon 22420  df-topsp 22442  df-bases 22456  df-cld 22530  df-cn 22738  df-cnp 22739  df-tx 23073  df-hmeo 23266  df-xms 23833  df-ms 23834  df-tms 23835  df-ii 24400  df-htpy 24493  df-phtpy 24494  df-phtpc 24515  df-pco 24528
This theorem is referenced by:  pcohtpy  24543
  Copyright terms: Public domain W3C validator