MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcohtpylem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcohtpylem 23541
Description: Lemma for pcohtpy 23542. (Contributed by Jeff Madsen, 15-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pcohtpy.4 (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐺‘0))
pcohtpy.5 (𝜑𝐹( ≃ph𝐽)𝐻)
pcohtpy.6 (𝜑𝐺( ≃ph𝐽)𝐾)
pcohtpylem.7 𝑃 = (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), ((2 · 𝑥)𝑀𝑦), (((2 · 𝑥) − 1)𝑁𝑦)))
pcohtpylem.8 (𝜑𝑀 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐻))
pcohtpylem.9 (𝜑𝑁 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐾))
Assertion
Ref Expression
pcohtpylem (𝜑𝑃 ∈ ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)(PHtpy‘𝐽)(𝐻(*𝑝𝐽)𝐾)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝐻,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem pcohtpylem
Dummy variables 𝑠 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pcohtpy.5 . . . . 5 (𝜑𝐹( ≃ph𝐽)𝐻)
2 isphtpc 23516 . . . . 5 (𝐹( ≃ph𝐽)𝐻 ↔ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝐻 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐻) ≠ ∅))
31, 2sylib 219 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝐻 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐻) ≠ ∅))
43simp1d 1136 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
5 pcohtpy.6 . . . . 5 (𝜑𝐺( ≃ph𝐽)𝐾)
6 isphtpc 23516 . . . . 5 (𝐺( ≃ph𝐽)𝐾 ↔ (𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝐾 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐾) ≠ ∅))
75, 6sylib 219 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝐾 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐾) ≠ ∅))
87simp1d 1136 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
9 pcohtpy.4 . . 3 (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐺‘0))
104, 8, 9pcocn 23539 . 2 (𝜑 → (𝐹(*𝑝𝐽)𝐺) ∈ (II Cn 𝐽))
113simp2d 1137 . . 3 (𝜑𝐻 ∈ (II Cn 𝐽))
127simp2d 1137 . . 3 (𝜑𝐾 ∈ (II Cn 𝐽))
13 pcohtpylem.8 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐻))
144, 11, 13phtpy01 23507 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹‘0) = (𝐻‘0) ∧ (𝐹‘1) = (𝐻‘1)))
1514simprd 496 . . . 4 (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐻‘1))
16 pcohtpylem.9 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐾))
178, 12, 16phtpy01 23507 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐺‘0) = (𝐾‘0) ∧ (𝐺‘1) = (𝐾‘1)))
1817simpld 495 . . . 4 (𝜑 → (𝐺‘0) = (𝐾‘0))
199, 15, 183eqtr3d 2869 . . 3 (𝜑 → (𝐻‘1) = (𝐾‘0))
2011, 12, 19pcocn 23539 . 2 (𝜑 → (𝐻(*𝑝𝐽)𝐾) ∈ (II Cn 𝐽))
21 pcohtpylem.7 . . 3 𝑃 = (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), ((2 · 𝑥)𝑀𝑦), (((2 · 𝑥) − 1)𝑁𝑦)))
22 eqid 2826 . . . 4 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
23 eqid 2826 . . . 4 ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2)))
24 eqid 2826 . . . 4 ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1))
25 dfii2 23408 . . . 4 II = ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,]1))
26 0red 10633 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
27 1red 10631 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
28 halfre 11840 . . . . . 6 (1 / 2) ∈ ℝ
29 halfge0 11843 . . . . . 6 0 ≤ (1 / 2)
30 1re 10630 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
31 halflt1 11844 . . . . . . 7 (1 / 2) < 1
3228, 30, 31ltleii 10752 . . . . . 6 (1 / 2) ≤ 1
33 elicc01 12844 . . . . . 6 ((1 / 2) ∈ (0[,]1) ↔ ((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 2) ∧ (1 / 2) ≤ 1))
3428, 29, 32, 33mpbir3an 1335 . . . . 5 (1 / 2) ∈ (0[,]1)
3534a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (1 / 2) ∈ (0[,]1))
36 iitopon 23405 . . . . 5 II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
3736a1i 11 . . . 4 (𝜑 → II ∈ (TopOn‘(0[,]1)))
389adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 = (1 / 2) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1))) → (𝐹‘1) = (𝐺‘0))
394, 11, 13phtpyi 23506 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (0[,]1)) → ((0𝑀𝑦) = (𝐹‘0) ∧ (1𝑀𝑦) = (𝐹‘1)))
4039simprd 496 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (0[,]1)) → (1𝑀𝑦) = (𝐹‘1))
4140adantrl 712 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 = (1 / 2) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1))) → (1𝑀𝑦) = (𝐹‘1))
428, 12, 16phtpyi 23506 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (0[,]1)) → ((0𝑁𝑦) = (𝐺‘0) ∧ (1𝑁𝑦) = (𝐺‘1)))
4342simpld 495 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (0[,]1)) → (0𝑁𝑦) = (𝐺‘0))
4443adantrl 712 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 = (1 / 2) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1))) → (0𝑁𝑦) = (𝐺‘0))
4538, 41, 443eqtr4d 2871 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 = (1 / 2) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1))) → (1𝑀𝑦) = (0𝑁𝑦))
46 simprl 767 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 = (1 / 2) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1))) → 𝑥 = (1 / 2))
4746oveq2d 7164 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 = (1 / 2) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1))) → (2 · 𝑥) = (2 · (1 / 2)))
48 2cn 11701 . . . . . . . 8 2 ∈ ℂ
49 2ne0 11730 . . . . . . . 8 2 ≠ 0
5048, 49recidi 11360 . . . . . . 7 (2 · (1 / 2)) = 1
5147, 50syl6eq 2877 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 = (1 / 2) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1))) → (2 · 𝑥) = 1)
5251oveq1d 7163 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 = (1 / 2) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1))) → ((2 · 𝑥)𝑀𝑦) = (1𝑀𝑦))
5351oveq1d 7163 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 = (1 / 2) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1))) → ((2 · 𝑥) − 1) = (1 − 1))
54 1m1e0 11698 . . . . . . 7 (1 − 1) = 0
5553, 54syl6eq 2877 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 = (1 / 2) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1))) → ((2 · 𝑥) − 1) = 0)
5655oveq1d 7163 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 = (1 / 2) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1))) → (((2 · 𝑥) − 1)𝑁𝑦) = (0𝑁𝑦))
5745, 52, 563eqtr4d 2871 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 = (1 / 2) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1))) → ((2 · 𝑥)𝑀𝑦) = (((2 · 𝑥) − 1)𝑁𝑦))
58 retopon 23290 . . . . . . 7 (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
59 0re 10632 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
60 iccssre 12808 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (0[,](1 / 2)) ⊆ ℝ)
6159, 28, 60mp2an 688 . . . . . . 7 (0[,](1 / 2)) ⊆ ℝ
62 resttopon 21688 . . . . . . 7 (((topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ (0[,](1 / 2)) ⊆ ℝ) → ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ∈ (TopOn‘(0[,](1 / 2))))
6358, 61, 62mp2an 688 . . . . . 6 ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ∈ (TopOn‘(0[,](1 / 2)))
6463a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ∈ (TopOn‘(0[,](1 / 2))))
6564, 37cnmpt1st 22195 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,](1 / 2)), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑥) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ×t II) Cn ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2)))))
6623iihalf1cn 23454 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (0[,](1 / 2)) ↦ (2 · 𝑧)) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) Cn II)
6766a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑧 ∈ (0[,](1 / 2)) ↦ (2 · 𝑧)) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) Cn II))
68 oveq2 7156 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑥 → (2 · 𝑧) = (2 · 𝑥))
6964, 37, 65, 64, 67, 68cnmpt21 22198 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,](1 / 2)), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (2 · 𝑥)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ×t II) Cn II))
7064, 37cnmpt2nd 22196 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,](1 / 2)), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑦) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ×t II) Cn II))
714, 11phtpycn 23505 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐻) ⊆ ((II ×t II) Cn 𝐽))
7271, 13sseldd 3972 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
7364, 37, 69, 70, 72cnmpt22f 22202 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,](1 / 2)), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ ((2 · 𝑥)𝑀𝑦)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ×t II) Cn 𝐽))
74 iccssre 12808 . . . . . . . 8 (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((1 / 2)[,]1) ⊆ ℝ)
7528, 30, 74mp2an 688 . . . . . . 7 ((1 / 2)[,]1) ⊆ ℝ
76 resttopon 21688 . . . . . . 7 (((topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ ((1 / 2)[,]1) ⊆ ℝ) → ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ∈ (TopOn‘((1 / 2)[,]1)))
7758, 75, 76mp2an 688 . . . . . 6 ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ∈ (TopOn‘((1 / 2)[,]1))
7877a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ∈ (TopOn‘((1 / 2)[,]1)))
7978, 37cnmpt1st 22195 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑥) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ×t II) Cn ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1))))
8024iihalf2cn 23456 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ((1 / 2)[,]1) ↦ ((2 · 𝑧) − 1)) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) Cn II)
8180a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑧 ∈ ((1 / 2)[,]1) ↦ ((2 · 𝑧) − 1)) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) Cn II))
8268oveq1d 7163 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑥 → ((2 · 𝑧) − 1) = ((2 · 𝑥) − 1))
8378, 37, 79, 78, 81, 82cnmpt21 22198 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ ((2 · 𝑥) − 1)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ×t II) Cn II))
8478, 37cnmpt2nd 22196 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑦) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ×t II) Cn II))
858, 12phtpycn 23505 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐾) ⊆ ((II ×t II) Cn 𝐽))
8685, 16sseldd 3972 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
8778, 37, 83, 84, 86cnmpt22f 22202 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (((2 · 𝑥) − 1)𝑁𝑦)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ×t II) Cn 𝐽))
8822, 23, 24, 25, 26, 27, 35, 37, 57, 73, 87cnmpopc 23450 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), ((2 · 𝑥)𝑀𝑦), (((2 · 𝑥) − 1)𝑁𝑦))) ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
8921, 88eqeltrid 2922 . 2 (𝜑𝑃 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
90 simpll 763 . . . . . 6 (((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑠 ≤ (1 / 2)) → 𝜑)
91 elii1 23457 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (0[,](1 / 2)) ↔ (𝑠 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ≤ (1 / 2)))
92 iihalf1 23453 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (0[,](1 / 2)) → (2 · 𝑠) ∈ (0[,]1))
9391, 92sylbir 236 . . . . . . 7 ((𝑠 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ≤ (1 / 2)) → (2 · 𝑠) ∈ (0[,]1))
9493adantll 710 . . . . . 6 (((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑠 ≤ (1 / 2)) → (2 · 𝑠) ∈ (0[,]1))
954, 11phtpyhtpy 23504 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐻) ⊆ (𝐹(II Htpy 𝐽)𝐻))
9695, 13sseldd 3972 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ (𝐹(II Htpy 𝐽)𝐻))
9737, 4, 11, 96htpyi 23496 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (2 · 𝑠) ∈ (0[,]1)) → (((2 · 𝑠)𝑀0) = (𝐹‘(2 · 𝑠)) ∧ ((2 · 𝑠)𝑀1) = (𝐻‘(2 · 𝑠))))
9890, 94, 97syl2anc 584 . . . . 5 (((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑠 ≤ (1 / 2)) → (((2 · 𝑠)𝑀0) = (𝐹‘(2 · 𝑠)) ∧ ((2 · 𝑠)𝑀1) = (𝐻‘(2 · 𝑠))))
9998simpld 495 . . . 4 (((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑠 ≤ (1 / 2)) → ((2 · 𝑠)𝑀0) = (𝐹‘(2 · 𝑠)))
100 simpll 763 . . . . . 6 (((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ ¬ 𝑠 ≤ (1 / 2)) → 𝜑)
101 elii2 23458 . . . . . . . 8 ((𝑠 ∈ (0[,]1) ∧ ¬ 𝑠 ≤ (1 / 2)) → 𝑠 ∈ ((1 / 2)[,]1))
102101adantll 710 . . . . . . 7 (((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ ¬ 𝑠 ≤ (1 / 2)) → 𝑠 ∈ ((1 / 2)[,]1))
103 iihalf2 23455 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ ((1 / 2)[,]1) → ((2 · 𝑠) − 1) ∈ (0[,]1))
104102, 103syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ ¬ 𝑠 ≤ (1 / 2)) → ((2 · 𝑠) − 1) ∈ (0[,]1))
1058, 12phtpyhtpy 23504 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐾) ⊆ (𝐺(II Htpy 𝐽)𝐾))
106105, 16sseldd 3972 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ (𝐺(II Htpy 𝐽)𝐾))
10737, 8, 12, 106htpyi 23496 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((2 · 𝑠) − 1) ∈ (0[,]1)) → ((((2 · 𝑠) − 1)𝑁0) = (𝐺‘((2 · 𝑠) − 1)) ∧ (((2 · 𝑠) − 1)𝑁1) = (𝐾‘((2 · 𝑠) − 1))))
108100, 104, 107syl2anc 584 . . . . 5 (((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ ¬ 𝑠 ≤ (1 / 2)) → ((((2 · 𝑠) − 1)𝑁0) = (𝐺‘((2 · 𝑠) − 1)) ∧ (((2 · 𝑠) − 1)𝑁1) = (𝐾‘((2 · 𝑠) − 1))))
109108simpld 495 . . . 4 (((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ ¬ 𝑠 ≤ (1 / 2)) → (((2 · 𝑠) − 1)𝑁0) = (𝐺‘((2 · 𝑠) − 1)))
11099, 109ifeq12da 4502 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → if(𝑠 ≤ (1 / 2), ((2 · 𝑠)𝑀0), (((2 · 𝑠) − 1)𝑁0)) = if(𝑠 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑠)), (𝐺‘((2 · 𝑠) − 1))))
111 simpr 485 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → 𝑠 ∈ (0[,]1))
112 0elunit 12845 . . . 4 0 ∈ (0[,]1)
113 simpl 483 . . . . . . 7 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 0) → 𝑥 = 𝑠)
114113breq1d 5073 . . . . . 6 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 0) → (𝑥 ≤ (1 / 2) ↔ 𝑠 ≤ (1 / 2)))
115113oveq2d 7164 . . . . . . 7 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 0) → (2 · 𝑥) = (2 · 𝑠))
116 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 0) → 𝑦 = 0)
117115, 116oveq12d 7166 . . . . . 6 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 0) → ((2 · 𝑥)𝑀𝑦) = ((2 · 𝑠)𝑀0))
118115oveq1d 7163 . . . . . . 7 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 0) → ((2 · 𝑥) − 1) = ((2 · 𝑠) − 1))
119118, 116oveq12d 7166 . . . . . 6 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 0) → (((2 · 𝑥) − 1)𝑁𝑦) = (((2 · 𝑠) − 1)𝑁0))
120114, 117, 119ifbieq12d 4497 . . . . 5 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 0) → if(𝑥 ≤ (1 / 2), ((2 · 𝑥)𝑀𝑦), (((2 · 𝑥) − 1)𝑁𝑦)) = if(𝑠 ≤ (1 / 2), ((2 · 𝑠)𝑀0), (((2 · 𝑠) − 1)𝑁0)))
121 ovex 7181 . . . . . 6 ((2 · 𝑠)𝑀0) ∈ V
122 ovex 7181 . . . . . 6 (((2 · 𝑠) − 1)𝑁0) ∈ V
123121, 122ifex 4518 . . . . 5 if(𝑠 ≤ (1 / 2), ((2 · 𝑠)𝑀0), (((2 · 𝑠) − 1)𝑁0)) ∈ V
124120, 21, 123ovmpoa 7295 . . . 4 ((𝑠 ∈ (0[,]1) ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → (𝑠𝑃0) = if(𝑠 ≤ (1 / 2), ((2 · 𝑠)𝑀0), (((2 · 𝑠) − 1)𝑁0)))
125111, 112, 124sylancl 586 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝑠𝑃0) = if(𝑠 ≤ (1 / 2), ((2 · 𝑠)𝑀0), (((2 · 𝑠) − 1)𝑁0)))
1264, 8pcovalg 23534 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘𝑠) = if(𝑠 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑠)), (𝐺‘((2 · 𝑠) − 1))))
127110, 125, 1263eqtr4d 2871 . 2 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝑠𝑃0) = ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘𝑠))
12898simprd 496 . . . 4 (((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑠 ≤ (1 / 2)) → ((2 · 𝑠)𝑀1) = (𝐻‘(2 · 𝑠)))
129108simprd 496 . . . 4 (((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ ¬ 𝑠 ≤ (1 / 2)) → (((2 · 𝑠) − 1)𝑁1) = (𝐾‘((2 · 𝑠) − 1)))
130128, 129ifeq12da 4502 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → if(𝑠 ≤ (1 / 2), ((2 · 𝑠)𝑀1), (((2 · 𝑠) − 1)𝑁1)) = if(𝑠 ≤ (1 / 2), (𝐻‘(2 · 𝑠)), (𝐾‘((2 · 𝑠) − 1))))
131 1elunit 12846 . . . 4 1 ∈ (0[,]1)
132 simpl 483 . . . . . . 7 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 1) → 𝑥 = 𝑠)
133132breq1d 5073 . . . . . 6 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 1) → (𝑥 ≤ (1 / 2) ↔ 𝑠 ≤ (1 / 2)))
134132oveq2d 7164 . . . . . . 7 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 1) → (2 · 𝑥) = (2 · 𝑠))
135 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 1) → 𝑦 = 1)
136134, 135oveq12d 7166 . . . . . 6 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 1) → ((2 · 𝑥)𝑀𝑦) = ((2 · 𝑠)𝑀1))
137134oveq1d 7163 . . . . . . 7 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 1) → ((2 · 𝑥) − 1) = ((2 · 𝑠) − 1))
138137, 135oveq12d 7166 . . . . . 6 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 1) → (((2 · 𝑥) − 1)𝑁𝑦) = (((2 · 𝑠) − 1)𝑁1))
139133, 136, 138ifbieq12d 4497 . . . . 5 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 1) → if(𝑥 ≤ (1 / 2), ((2 · 𝑥)𝑀𝑦), (((2 · 𝑥) − 1)𝑁𝑦)) = if(𝑠 ≤ (1 / 2), ((2 · 𝑠)𝑀1), (((2 · 𝑠) − 1)𝑁1)))
140 ovex 7181 . . . . . 6 ((2 · 𝑠)𝑀1) ∈ V
141 ovex 7181 . . . . . 6 (((2 · 𝑠) − 1)𝑁1) ∈ V
142140, 141ifex 4518 . . . . 5 if(𝑠 ≤ (1 / 2), ((2 · 𝑠)𝑀1), (((2 · 𝑠) − 1)𝑁1)) ∈ V
143139, 21, 142ovmpoa 7295 . . . 4 ((𝑠 ∈ (0[,]1) ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → (𝑠𝑃1) = if(𝑠 ≤ (1 / 2), ((2 · 𝑠)𝑀1), (((2 · 𝑠) − 1)𝑁1)))
144111, 131, 143sylancl 586 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝑠𝑃1) = if(𝑠 ≤ (1 / 2), ((2 · 𝑠)𝑀1), (((2 · 𝑠) − 1)𝑁1)))
14511, 12pcovalg 23534 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((𝐻(*𝑝𝐽)𝐾)‘𝑠) = if(𝑠 ≤ (1 / 2), (𝐻‘(2 · 𝑠)), (𝐾‘((2 · 𝑠) − 1))))
146130, 144, 1453eqtr4d 2871 . 2 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝑠𝑃1) = ((𝐻(*𝑝𝐽)𝐾)‘𝑠))
1474, 11, 13phtpyi 23506 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((0𝑀𝑠) = (𝐹‘0) ∧ (1𝑀𝑠) = (𝐹‘1)))
148147simpld 495 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (0𝑀𝑠) = (𝐹‘0))
149 simpl 483 . . . . . . . 8 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) → 𝑥 = 0)
150149, 29eqbrtrdi 5102 . . . . . . 7 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) → 𝑥 ≤ (1 / 2))
151150iftrued 4478 . . . . . 6 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) → if(𝑥 ≤ (1 / 2), ((2 · 𝑥)𝑀𝑦), (((2 · 𝑥) − 1)𝑁𝑦)) = ((2 · 𝑥)𝑀𝑦))
152149oveq2d 7164 . . . . . . . 8 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) → (2 · 𝑥) = (2 · 0))
153 2t0e0 11795 . . . . . . . 8 (2 · 0) = 0
154152, 153syl6eq 2877 . . . . . . 7 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) → (2 · 𝑥) = 0)
155 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) → 𝑦 = 𝑠)
156154, 155oveq12d 7166 . . . . . 6 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) → ((2 · 𝑥)𝑀𝑦) = (0𝑀𝑠))
157151, 156eqtrd 2861 . . . . 5 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) → if(𝑥 ≤ (1 / 2), ((2 · 𝑥)𝑀𝑦), (((2 · 𝑥) − 1)𝑁𝑦)) = (0𝑀𝑠))
158 ovex 7181 . . . . 5 (0𝑀𝑠) ∈ V
159157, 21, 158ovmpoa 7295 . . . 4 ((0 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (0𝑃𝑠) = (0𝑀𝑠))
160112, 111, 159sylancr 587 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (0𝑃𝑠) = (0𝑀𝑠))
1614, 8pco0 23536 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘0) = (𝐹‘0))
162161adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘0) = (𝐹‘0))
163148, 160, 1623eqtr4d 2871 . 2 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (0𝑃𝑠) = ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘0))
1648, 12, 16phtpyi 23506 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((0𝑁𝑠) = (𝐺‘0) ∧ (1𝑁𝑠) = (𝐺‘1)))
165164simprd 496 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1𝑁𝑠) = (𝐺‘1))
16628, 30ltnlei 10750 . . . . . . . . 9 ((1 / 2) < 1 ↔ ¬ 1 ≤ (1 / 2))
16731, 166mpbi 231 . . . . . . . 8 ¬ 1 ≤ (1 / 2)
168 simpl 483 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) → 𝑥 = 1)
169168breq1d 5073 . . . . . . . 8 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) → (𝑥 ≤ (1 / 2) ↔ 1 ≤ (1 / 2)))
170167, 169mtbiri 328 . . . . . . 7 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) → ¬ 𝑥 ≤ (1 / 2))
171170iffalsed 4481 . . . . . 6 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) → if(𝑥 ≤ (1 / 2), ((2 · 𝑥)𝑀𝑦), (((2 · 𝑥) − 1)𝑁𝑦)) = (((2 · 𝑥) − 1)𝑁𝑦))
172168oveq2d 7164 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) → (2 · 𝑥) = (2 · 1))
173 2t1e2 11789 . . . . . . . . . 10 (2 · 1) = 2
174172, 173syl6eq 2877 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) → (2 · 𝑥) = 2)
175174oveq1d 7163 . . . . . . . 8 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) → ((2 · 𝑥) − 1) = (2 − 1))
176 2m1e1 11752 . . . . . . . 8 (2 − 1) = 1
177175, 176syl6eq 2877 . . . . . . 7 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) → ((2 · 𝑥) − 1) = 1)
178 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) → 𝑦 = 𝑠)
179177, 178oveq12d 7166 . . . . . 6 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) → (((2 · 𝑥) − 1)𝑁𝑦) = (1𝑁𝑠))
180171, 179eqtrd 2861 . . . . 5 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) → if(𝑥 ≤ (1 / 2), ((2 · 𝑥)𝑀𝑦), (((2 · 𝑥) − 1)𝑁𝑦)) = (1𝑁𝑠))
181 ovex 7181 . . . . 5 (1𝑁𝑠) ∈ V
182180, 21, 181ovmpoa 7295 . . . 4 ((1 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1𝑃𝑠) = (1𝑁𝑠))
183131, 111, 182sylancr 587 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1𝑃𝑠) = (1𝑁𝑠))
1844, 8pco1 23537 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘1) = (𝐺‘1))
185184adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘1) = (𝐺‘1))
186165, 183, 1853eqtr4d 2871 . 2 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1𝑃𝑠) = ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘1))
18710, 20, 89, 127, 146, 163, 186isphtpy2d 23509 1 (𝜑𝑃 ∈ ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)(PHtpy‘𝐽)(𝐻(*𝑝𝐽)𝐾)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3021  wss 3940  c0 4295  ifcif 4470   class class class wbr 5063  cmpt 5143  ran crn 5555  cfv 6352  (class class class)co 7148  cmpo 7150  cr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   · cmul 10531   < clt 10664  cle 10665  cmin 10859   / cdiv 11286  2c2 11681  (,)cioo 12728  [,]cicc 12731  t crest 16684  topGenctg 16701  TopOnctopon 21437   Cn ccn 21751   ×t ctx 22087  IIcii 23401   Htpy chtpy 23489  PHtpycphtpy 23490  phcphtpc 23491  *𝑝cpco 23522
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-mulf 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-iin 4920  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-isom 6361  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7399  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-supp 7822  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-2o 8094  df-oadd 8097  df-er 8279  df-map 8398  df-ixp 8451  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-fsupp 8823  df-fi 8864  df-sup 8895  df-inf 8896  df-oi 8963  df-card 9357  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690  df-4 11691  df-5 11692  df-6 11693  df-7 11694  df-8 11695  df-9 11696  df-n0 11887  df-z 11971  df-dec 12088  df-uz 12233  df-q 12338  df-rp 12380  df-xneg 12497  df-xadd 12498  df-xmul 12499  df-ioo 12732  df-icc 12735  df-fz 12883  df-fzo 13024  df-seq 13360  df-exp 13420  df-hash 13681  df-cj 14448  df-re 14449  df-im 14450  df-sqrt 14584  df-abs 14585  df-struct 16475  df-ndx 16476  df-slot 16477  df-base 16479  df-sets 16480  df-ress 16481  df-plusg 16568  df-mulr 16569  df-starv 16570  df-sca 16571  df-vsca 16572  df-ip 16573  df-tset 16574  df-ple 16575  df-ds 16577  df-unif 16578  df-hom 16579  df-cco 16580  df-rest 16686  df-topn 16687  df-0g 16705  df-gsum 16706  df-topgen 16707  df-pt 16708  df-prds 16711  df-xrs 16765  df-qtop 16770  df-imas 16771  df-xps 16773  df-mre 16847  df-mrc 16848  df-acs 16850  df-mgm 17842  df-sgrp 17890  df-mnd 17901  df-submnd 17945  df-mulg 18155  df-cntz 18377  df-cmn 18828  df-psmet 20456  df-xmet 20457  df-met 20458  df-bl 20459  df-mopn 20460  df-cnfld 20465  df-top 21421  df-topon 21438  df-topsp 21460  df-bases 21473  df-cld 21546  df-cn 21754  df-cnp 21755  df-tx 22089  df-hmeo 22282  df-xms 22848  df-ms 22849  df-tms 22850  df-ii 23403  df-htpy 23492  df-phtpy 23493  df-phtpc 23514  df-pco 23527
This theorem is referenced by:  pcohtpy  23542
  Copyright terms: Public domain W3C validator