MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcohtpylem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcohtpylem 25052
Description: Lemma for pcohtpy 25053. (Contributed by Jeff Madsen, 15-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pcohtpy.4 (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐺‘0))
pcohtpy.5 (𝜑𝐹( ≃ph𝐽)𝐻)
pcohtpy.6 (𝜑𝐺( ≃ph𝐽)𝐾)
pcohtpylem.7 𝑃 = (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), ((2 · 𝑥)𝑀𝑦), (((2 · 𝑥) − 1)𝑁𝑦)))
pcohtpylem.8 (𝜑𝑀 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐻))
pcohtpylem.9 (𝜑𝑁 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐾))
Assertion
Ref Expression
pcohtpylem (𝜑𝑃 ∈ ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)(PHtpy‘𝐽)(𝐻(*𝑝𝐽)𝐾)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝐻,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem pcohtpylem
Dummy variables 𝑠 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pcohtpy.5 . . . . 5 (𝜑𝐹( ≃ph𝐽)𝐻)
2 isphtpc 25026 . . . . 5 (𝐹( ≃ph𝐽)𝐻 ↔ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝐻 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐻) ≠ ∅))
31, 2sylib 218 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝐻 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐻) ≠ ∅))
43simp1d 1143 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
5 pcohtpy.6 . . . . 5 (𝜑𝐺( ≃ph𝐽)𝐾)
6 isphtpc 25026 . . . . 5 (𝐺( ≃ph𝐽)𝐾 ↔ (𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝐾 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐾) ≠ ∅))
75, 6sylib 218 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝐾 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐾) ≠ ∅))
87simp1d 1143 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
9 pcohtpy.4 . . 3 (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐺‘0))
104, 8, 9pcocn 25050 . 2 (𝜑 → (𝐹(*𝑝𝐽)𝐺) ∈ (II Cn 𝐽))
113simp2d 1144 . . 3 (𝜑𝐻 ∈ (II Cn 𝐽))
127simp2d 1144 . . 3 (𝜑𝐾 ∈ (II Cn 𝐽))
13 pcohtpylem.8 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐻))
144, 11, 13phtpy01 25017 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹‘0) = (𝐻‘0) ∧ (𝐹‘1) = (𝐻‘1)))
1514simprd 495 . . . 4 (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐻‘1))
16 pcohtpylem.9 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐾))
178, 12, 16phtpy01 25017 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐺‘0) = (𝐾‘0) ∧ (𝐺‘1) = (𝐾‘1)))
1817simpld 494 . . . 4 (𝜑 → (𝐺‘0) = (𝐾‘0))
199, 15, 183eqtr3d 2785 . . 3 (𝜑 → (𝐻‘1) = (𝐾‘0))
2011, 12, 19pcocn 25050 . 2 (𝜑 → (𝐻(*𝑝𝐽)𝐾) ∈ (II Cn 𝐽))
21 pcohtpylem.7 . . 3 𝑃 = (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), ((2 · 𝑥)𝑀𝑦), (((2 · 𝑥) − 1)𝑁𝑦)))
22 eqid 2737 . . . 4 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
23 eqid 2737 . . . 4 ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2)))
24 eqid 2737 . . . 4 ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1))
25 dfii2 24908 . . . 4 II = ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,]1))
26 0red 11264 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
27 1red 11262 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
28 halfre 12480 . . . . . 6 (1 / 2) ∈ ℝ
29 halfge0 12483 . . . . . 6 0 ≤ (1 / 2)
30 1re 11261 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
31 halflt1 12484 . . . . . . 7 (1 / 2) < 1
3228, 30, 31ltleii 11384 . . . . . 6 (1 / 2) ≤ 1
33 elicc01 13506 . . . . . 6 ((1 / 2) ∈ (0[,]1) ↔ ((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 2) ∧ (1 / 2) ≤ 1))
3428, 29, 32, 33mpbir3an 1342 . . . . 5 (1 / 2) ∈ (0[,]1)
3534a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (1 / 2) ∈ (0[,]1))
36 iitopon 24905 . . . . 5 II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
3736a1i 11 . . . 4 (𝜑 → II ∈ (TopOn‘(0[,]1)))
389adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 = (1 / 2) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1))) → (𝐹‘1) = (𝐺‘0))
394, 11, 13phtpyi 25016 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (0[,]1)) → ((0𝑀𝑦) = (𝐹‘0) ∧ (1𝑀𝑦) = (𝐹‘1)))
4039simprd 495 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (0[,]1)) → (1𝑀𝑦) = (𝐹‘1))
4140adantrl 716 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 = (1 / 2) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1))) → (1𝑀𝑦) = (𝐹‘1))
428, 12, 16phtpyi 25016 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (0[,]1)) → ((0𝑁𝑦) = (𝐺‘0) ∧ (1𝑁𝑦) = (𝐺‘1)))
4342simpld 494 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (0[,]1)) → (0𝑁𝑦) = (𝐺‘0))
4443adantrl 716 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 = (1 / 2) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1))) → (0𝑁𝑦) = (𝐺‘0))
4538, 41, 443eqtr4d 2787 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 = (1 / 2) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1))) → (1𝑀𝑦) = (0𝑁𝑦))
46 simprl 771 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 = (1 / 2) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1))) → 𝑥 = (1 / 2))
4746oveq2d 7447 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 = (1 / 2) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1))) → (2 · 𝑥) = (2 · (1 / 2)))
48 2cn 12341 . . . . . . . 8 2 ∈ ℂ
49 2ne0 12370 . . . . . . . 8 2 ≠ 0
5048, 49recidi 11998 . . . . . . 7 (2 · (1 / 2)) = 1
5147, 50eqtrdi 2793 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 = (1 / 2) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1))) → (2 · 𝑥) = 1)
5251oveq1d 7446 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 = (1 / 2) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1))) → ((2 · 𝑥)𝑀𝑦) = (1𝑀𝑦))
5351oveq1d 7446 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 = (1 / 2) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1))) → ((2 · 𝑥) − 1) = (1 − 1))
54 1m1e0 12338 . . . . . . 7 (1 − 1) = 0
5553, 54eqtrdi 2793 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 = (1 / 2) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1))) → ((2 · 𝑥) − 1) = 0)
5655oveq1d 7446 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 = (1 / 2) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1))) → (((2 · 𝑥) − 1)𝑁𝑦) = (0𝑁𝑦))
5745, 52, 563eqtr4d 2787 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 = (1 / 2) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1))) → ((2 · 𝑥)𝑀𝑦) = (((2 · 𝑥) − 1)𝑁𝑦))
58 retopon 24784 . . . . . . 7 (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
59 0re 11263 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
60 iccssre 13469 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (0[,](1 / 2)) ⊆ ℝ)
6159, 28, 60mp2an 692 . . . . . . 7 (0[,](1 / 2)) ⊆ ℝ
62 resttopon 23169 . . . . . . 7 (((topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ (0[,](1 / 2)) ⊆ ℝ) → ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ∈ (TopOn‘(0[,](1 / 2))))
6358, 61, 62mp2an 692 . . . . . 6 ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ∈ (TopOn‘(0[,](1 / 2)))
6463a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ∈ (TopOn‘(0[,](1 / 2))))
6564, 37cnmpt1st 23676 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,](1 / 2)), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑥) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ×t II) Cn ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2)))))
6623iihalf1cn 24959 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (0[,](1 / 2)) ↦ (2 · 𝑧)) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) Cn II)
6766a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑧 ∈ (0[,](1 / 2)) ↦ (2 · 𝑧)) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) Cn II))
68 oveq2 7439 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑥 → (2 · 𝑧) = (2 · 𝑥))
6964, 37, 65, 64, 67, 68cnmpt21 23679 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,](1 / 2)), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (2 · 𝑥)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ×t II) Cn II))
7064, 37cnmpt2nd 23677 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,](1 / 2)), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑦) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ×t II) Cn II))
714, 11phtpycn 25015 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐻) ⊆ ((II ×t II) Cn 𝐽))
7271, 13sseldd 3984 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
7364, 37, 69, 70, 72cnmpt22f 23683 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,](1 / 2)), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ ((2 · 𝑥)𝑀𝑦)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ×t II) Cn 𝐽))
74 iccssre 13469 . . . . . . . 8 (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((1 / 2)[,]1) ⊆ ℝ)
7528, 30, 74mp2an 692 . . . . . . 7 ((1 / 2)[,]1) ⊆ ℝ
76 resttopon 23169 . . . . . . 7 (((topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ ((1 / 2)[,]1) ⊆ ℝ) → ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ∈ (TopOn‘((1 / 2)[,]1)))
7758, 75, 76mp2an 692 . . . . . 6 ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ∈ (TopOn‘((1 / 2)[,]1))
7877a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ∈ (TopOn‘((1 / 2)[,]1)))
7978, 37cnmpt1st 23676 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑥) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ×t II) Cn ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1))))
8024iihalf2cn 24962 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ((1 / 2)[,]1) ↦ ((2 · 𝑧) − 1)) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) Cn II)
8180a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑧 ∈ ((1 / 2)[,]1) ↦ ((2 · 𝑧) − 1)) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) Cn II))
8268oveq1d 7446 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑥 → ((2 · 𝑧) − 1) = ((2 · 𝑥) − 1))
8378, 37, 79, 78, 81, 82cnmpt21 23679 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ ((2 · 𝑥) − 1)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ×t II) Cn II))
8478, 37cnmpt2nd 23677 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑦) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ×t II) Cn II))
858, 12phtpycn 25015 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐾) ⊆ ((II ×t II) Cn 𝐽))
8685, 16sseldd 3984 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
8778, 37, 83, 84, 86cnmpt22f 23683 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (((2 · 𝑥) − 1)𝑁𝑦)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ×t II) Cn 𝐽))
8822, 23, 24, 25, 26, 27, 35, 37, 57, 73, 87cnmpopc 24955 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), ((2 · 𝑥)𝑀𝑦), (((2 · 𝑥) − 1)𝑁𝑦))) ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
8921, 88eqeltrid 2845 . 2 (𝜑𝑃 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
90 simpll 767 . . . . . 6 (((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑠 ≤ (1 / 2)) → 𝜑)
91 elii1 24964 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (0[,](1 / 2)) ↔ (𝑠 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ≤ (1 / 2)))
92 iihalf1 24958 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (0[,](1 / 2)) → (2 · 𝑠) ∈ (0[,]1))
9391, 92sylbir 235 . . . . . . 7 ((𝑠 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ≤ (1 / 2)) → (2 · 𝑠) ∈ (0[,]1))
9493adantll 714 . . . . . 6 (((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑠 ≤ (1 / 2)) → (2 · 𝑠) ∈ (0[,]1))
954, 11phtpyhtpy 25014 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐻) ⊆ (𝐹(II Htpy 𝐽)𝐻))
9695, 13sseldd 3984 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ (𝐹(II Htpy 𝐽)𝐻))
9737, 4, 11, 96htpyi 25006 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (2 · 𝑠) ∈ (0[,]1)) → (((2 · 𝑠)𝑀0) = (𝐹‘(2 · 𝑠)) ∧ ((2 · 𝑠)𝑀1) = (𝐻‘(2 · 𝑠))))
9890, 94, 97syl2anc 584 . . . . 5 (((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑠 ≤ (1 / 2)) → (((2 · 𝑠)𝑀0) = (𝐹‘(2 · 𝑠)) ∧ ((2 · 𝑠)𝑀1) = (𝐻‘(2 · 𝑠))))
9998simpld 494 . . . 4 (((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑠 ≤ (1 / 2)) → ((2 · 𝑠)𝑀0) = (𝐹‘(2 · 𝑠)))
100 simpll 767 . . . . . 6 (((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ ¬ 𝑠 ≤ (1 / 2)) → 𝜑)
101 elii2 24965 . . . . . . . 8 ((𝑠 ∈ (0[,]1) ∧ ¬ 𝑠 ≤ (1 / 2)) → 𝑠 ∈ ((1 / 2)[,]1))
102101adantll 714 . . . . . . 7 (((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ ¬ 𝑠 ≤ (1 / 2)) → 𝑠 ∈ ((1 / 2)[,]1))
103 iihalf2 24961 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ ((1 / 2)[,]1) → ((2 · 𝑠) − 1) ∈ (0[,]1))
104102, 103syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ ¬ 𝑠 ≤ (1 / 2)) → ((2 · 𝑠) − 1) ∈ (0[,]1))
1058, 12phtpyhtpy 25014 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐾) ⊆ (𝐺(II Htpy 𝐽)𝐾))
106105, 16sseldd 3984 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ (𝐺(II Htpy 𝐽)𝐾))
10737, 8, 12, 106htpyi 25006 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((2 · 𝑠) − 1) ∈ (0[,]1)) → ((((2 · 𝑠) − 1)𝑁0) = (𝐺‘((2 · 𝑠) − 1)) ∧ (((2 · 𝑠) − 1)𝑁1) = (𝐾‘((2 · 𝑠) − 1))))
108100, 104, 107syl2anc 584 . . . . 5 (((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ ¬ 𝑠 ≤ (1 / 2)) → ((((2 · 𝑠) − 1)𝑁0) = (𝐺‘((2 · 𝑠) − 1)) ∧ (((2 · 𝑠) − 1)𝑁1) = (𝐾‘((2 · 𝑠) − 1))))
109108simpld 494 . . . 4 (((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ ¬ 𝑠 ≤ (1 / 2)) → (((2 · 𝑠) − 1)𝑁0) = (𝐺‘((2 · 𝑠) − 1)))
11099, 109ifeq12da 4559 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → if(𝑠 ≤ (1 / 2), ((2 · 𝑠)𝑀0), (((2 · 𝑠) − 1)𝑁0)) = if(𝑠 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑠)), (𝐺‘((2 · 𝑠) − 1))))
111 simpr 484 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → 𝑠 ∈ (0[,]1))
112 0elunit 13509 . . . 4 0 ∈ (0[,]1)
113 simpl 482 . . . . . . 7 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 0) → 𝑥 = 𝑠)
114113breq1d 5153 . . . . . 6 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 0) → (𝑥 ≤ (1 / 2) ↔ 𝑠 ≤ (1 / 2)))
115113oveq2d 7447 . . . . . . 7 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 0) → (2 · 𝑥) = (2 · 𝑠))
116 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 0) → 𝑦 = 0)
117115, 116oveq12d 7449 . . . . . 6 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 0) → ((2 · 𝑥)𝑀𝑦) = ((2 · 𝑠)𝑀0))
118115oveq1d 7446 . . . . . . 7 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 0) → ((2 · 𝑥) − 1) = ((2 · 𝑠) − 1))
119118, 116oveq12d 7449 . . . . . 6 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 0) → (((2 · 𝑥) − 1)𝑁𝑦) = (((2 · 𝑠) − 1)𝑁0))
120114, 117, 119ifbieq12d 4554 . . . . 5 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 0) → if(𝑥 ≤ (1 / 2), ((2 · 𝑥)𝑀𝑦), (((2 · 𝑥) − 1)𝑁𝑦)) = if(𝑠 ≤ (1 / 2), ((2 · 𝑠)𝑀0), (((2 · 𝑠) − 1)𝑁0)))
121 ovex 7464 . . . . . 6 ((2 · 𝑠)𝑀0) ∈ V
122 ovex 7464 . . . . . 6 (((2 · 𝑠) − 1)𝑁0) ∈ V
123121, 122ifex 4576 . . . . 5 if(𝑠 ≤ (1 / 2), ((2 · 𝑠)𝑀0), (((2 · 𝑠) − 1)𝑁0)) ∈ V
124120, 21, 123ovmpoa 7588 . . . 4 ((𝑠 ∈ (0[,]1) ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → (𝑠𝑃0) = if(𝑠 ≤ (1 / 2), ((2 · 𝑠)𝑀0), (((2 · 𝑠) − 1)𝑁0)))
125111, 112, 124sylancl 586 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝑠𝑃0) = if(𝑠 ≤ (1 / 2), ((2 · 𝑠)𝑀0), (((2 · 𝑠) − 1)𝑁0)))
1264, 8pcovalg 25045 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘𝑠) = if(𝑠 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑠)), (𝐺‘((2 · 𝑠) − 1))))
127110, 125, 1263eqtr4d 2787 . 2 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝑠𝑃0) = ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘𝑠))
12898simprd 495 . . . 4 (((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑠 ≤ (1 / 2)) → ((2 · 𝑠)𝑀1) = (𝐻‘(2 · 𝑠)))
129108simprd 495 . . . 4 (((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ ¬ 𝑠 ≤ (1 / 2)) → (((2 · 𝑠) − 1)𝑁1) = (𝐾‘((2 · 𝑠) − 1)))
130128, 129ifeq12da 4559 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → if(𝑠 ≤ (1 / 2), ((2 · 𝑠)𝑀1), (((2 · 𝑠) − 1)𝑁1)) = if(𝑠 ≤ (1 / 2), (𝐻‘(2 · 𝑠)), (𝐾‘((2 · 𝑠) − 1))))
131 1elunit 13510 . . . 4 1 ∈ (0[,]1)
132 simpl 482 . . . . . . 7 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 1) → 𝑥 = 𝑠)
133132breq1d 5153 . . . . . 6 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 1) → (𝑥 ≤ (1 / 2) ↔ 𝑠 ≤ (1 / 2)))
134132oveq2d 7447 . . . . . . 7 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 1) → (2 · 𝑥) = (2 · 𝑠))
135 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 1) → 𝑦 = 1)
136134, 135oveq12d 7449 . . . . . 6 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 1) → ((2 · 𝑥)𝑀𝑦) = ((2 · 𝑠)𝑀1))
137134oveq1d 7446 . . . . . . 7 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 1) → ((2 · 𝑥) − 1) = ((2 · 𝑠) − 1))
138137, 135oveq12d 7449 . . . . . 6 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 1) → (((2 · 𝑥) − 1)𝑁𝑦) = (((2 · 𝑠) − 1)𝑁1))
139133, 136, 138ifbieq12d 4554 . . . . 5 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 1) → if(𝑥 ≤ (1 / 2), ((2 · 𝑥)𝑀𝑦), (((2 · 𝑥) − 1)𝑁𝑦)) = if(𝑠 ≤ (1 / 2), ((2 · 𝑠)𝑀1), (((2 · 𝑠) − 1)𝑁1)))
140 ovex 7464 . . . . . 6 ((2 · 𝑠)𝑀1) ∈ V
141 ovex 7464 . . . . . 6 (((2 · 𝑠) − 1)𝑁1) ∈ V
142140, 141ifex 4576 . . . . 5 if(𝑠 ≤ (1 / 2), ((2 · 𝑠)𝑀1), (((2 · 𝑠) − 1)𝑁1)) ∈ V
143139, 21, 142ovmpoa 7588 . . . 4 ((𝑠 ∈ (0[,]1) ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → (𝑠𝑃1) = if(𝑠 ≤ (1 / 2), ((2 · 𝑠)𝑀1), (((2 · 𝑠) − 1)𝑁1)))
144111, 131, 143sylancl 586 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝑠𝑃1) = if(𝑠 ≤ (1 / 2), ((2 · 𝑠)𝑀1), (((2 · 𝑠) − 1)𝑁1)))
14511, 12pcovalg 25045 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((𝐻(*𝑝𝐽)𝐾)‘𝑠) = if(𝑠 ≤ (1 / 2), (𝐻‘(2 · 𝑠)), (𝐾‘((2 · 𝑠) − 1))))
146130, 144, 1453eqtr4d 2787 . 2 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝑠𝑃1) = ((𝐻(*𝑝𝐽)𝐾)‘𝑠))
1474, 11, 13phtpyi 25016 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((0𝑀𝑠) = (𝐹‘0) ∧ (1𝑀𝑠) = (𝐹‘1)))
148147simpld 494 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (0𝑀𝑠) = (𝐹‘0))
149 simpl 482 . . . . . . . 8 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) → 𝑥 = 0)
150149, 29eqbrtrdi 5182 . . . . . . 7 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) → 𝑥 ≤ (1 / 2))
151150iftrued 4533 . . . . . 6 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) → if(𝑥 ≤ (1 / 2), ((2 · 𝑥)𝑀𝑦), (((2 · 𝑥) − 1)𝑁𝑦)) = ((2 · 𝑥)𝑀𝑦))
152149oveq2d 7447 . . . . . . . 8 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) → (2 · 𝑥) = (2 · 0))
153 2t0e0 12435 . . . . . . . 8 (2 · 0) = 0
154152, 153eqtrdi 2793 . . . . . . 7 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) → (2 · 𝑥) = 0)
155 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) → 𝑦 = 𝑠)
156154, 155oveq12d 7449 . . . . . 6 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) → ((2 · 𝑥)𝑀𝑦) = (0𝑀𝑠))
157151, 156eqtrd 2777 . . . . 5 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) → if(𝑥 ≤ (1 / 2), ((2 · 𝑥)𝑀𝑦), (((2 · 𝑥) − 1)𝑁𝑦)) = (0𝑀𝑠))
158 ovex 7464 . . . . 5 (0𝑀𝑠) ∈ V
159157, 21, 158ovmpoa 7588 . . . 4 ((0 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (0𝑃𝑠) = (0𝑀𝑠))
160112, 111, 159sylancr 587 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (0𝑃𝑠) = (0𝑀𝑠))
1614, 8pco0 25047 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘0) = (𝐹‘0))
162161adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘0) = (𝐹‘0))
163148, 160, 1623eqtr4d 2787 . 2 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (0𝑃𝑠) = ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘0))
1648, 12, 16phtpyi 25016 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((0𝑁𝑠) = (𝐺‘0) ∧ (1𝑁𝑠) = (𝐺‘1)))
165164simprd 495 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1𝑁𝑠) = (𝐺‘1))
16628, 30ltnlei 11382 . . . . . . . . 9 ((1 / 2) < 1 ↔ ¬ 1 ≤ (1 / 2))
16731, 166mpbi 230 . . . . . . . 8 ¬ 1 ≤ (1 / 2)
168 simpl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) → 𝑥 = 1)
169168breq1d 5153 . . . . . . . 8 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) → (𝑥 ≤ (1 / 2) ↔ 1 ≤ (1 / 2)))
170167, 169mtbiri 327 . . . . . . 7 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) → ¬ 𝑥 ≤ (1 / 2))
171170iffalsed 4536 . . . . . 6 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) → if(𝑥 ≤ (1 / 2), ((2 · 𝑥)𝑀𝑦), (((2 · 𝑥) − 1)𝑁𝑦)) = (((2 · 𝑥) − 1)𝑁𝑦))
172168oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) → (2 · 𝑥) = (2 · 1))
173 2t1e2 12429 . . . . . . . . . 10 (2 · 1) = 2
174172, 173eqtrdi 2793 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) → (2 · 𝑥) = 2)
175174oveq1d 7446 . . . . . . . 8 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) → ((2 · 𝑥) − 1) = (2 − 1))
176 2m1e1 12392 . . . . . . . 8 (2 − 1) = 1
177175, 176eqtrdi 2793 . . . . . . 7 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) → ((2 · 𝑥) − 1) = 1)
178 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) → 𝑦 = 𝑠)
179177, 178oveq12d 7449 . . . . . 6 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) → (((2 · 𝑥) − 1)𝑁𝑦) = (1𝑁𝑠))
180171, 179eqtrd 2777 . . . . 5 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) → if(𝑥 ≤ (1 / 2), ((2 · 𝑥)𝑀𝑦), (((2 · 𝑥) − 1)𝑁𝑦)) = (1𝑁𝑠))
181 ovex 7464 . . . . 5 (1𝑁𝑠) ∈ V
182180, 21, 181ovmpoa 7588 . . . 4 ((1 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1𝑃𝑠) = (1𝑁𝑠))
183131, 111, 182sylancr 587 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1𝑃𝑠) = (1𝑁𝑠))
1844, 8pco1 25048 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘1) = (𝐺‘1))
185184adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘1) = (𝐺‘1))
186165, 183, 1853eqtr4d 2787 . 2 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1𝑃𝑠) = ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘1))
18710, 20, 89, 127, 146, 163, 186isphtpy2d 25019 1 (𝜑𝑃 ∈ ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)(PHtpy‘𝐽)(𝐻(*𝑝𝐽)𝐾)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wss 3951  c0 4333  ifcif 4525   class class class wbr 5143  cmpt 5225  ran crn 5686  cfv 6561  (class class class)co 7431  cmpo 7433  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   · cmul 11160   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492   / cdiv 11920  2c2 12321  (,)cioo 13387  [,]cicc 13390  t crest 17465  topGenctg 17482  TopOnctopon 22916   Cn ccn 23232   ×t ctx 23568  IIcii 24901   Htpy chtpy 24999  PHtpycphtpy 25000  phcphtpc 25001  *𝑝cpco 25033
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-ii 24903  df-htpy 25002  df-phtpy 25003  df-phtpc 25024  df-pco 25038
This theorem is referenced by:  pcohtpy  25053
  Copyright terms: Public domain W3C validator